Теория операторов

В математике — теория операторов это изучение линейных операторов в функциональных пространствах , начиная с дифференциальных и интегральных операторов . Операторы могут быть представлены абстрактно по их характеристикам, например, ограниченные линейные операторы или закрытые операторы , а также могут быть рассмотрены нелинейные операторы . Исследование, которое во многом зависит от топологии функциональных пространств, является разделом функционального анализа .

Если совокупность операторов образует алгебру над полем , то она является операторной алгеброй . Описание операторных алгебр является частью теории операторов.

Теория одного оператора

Теория одного оператора занимается свойствами и классификацией операторов, рассматриваемых по одному. Например, в эту категорию попадает классификация нормальных операторов по их спектрам .

Спектр операторов

Спектральная теорема — это любой из ряда результатов о линейных операторах или о матрицах . ^{[ 1 ]} В широком смысле спектральная теорема обеспечивает условия, при которых оператор или матрица могут быть диагонализированы (то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе). Эта концепция диагонализации относительно проста для операторов в конечномерных пространствах, но требует некоторой модификации для операторов в бесконечномерных пространствах. В общем, спектральная теорема определяет класс линейных операторов , которые можно смоделировать операторами умножения , которые настолько просты, насколько можно надеяться найти. Говоря более абстрактным языком, спектральная теорема — это утверждение о коммутативных C*-алгебрах . См. также спектральную теорию для исторической перспективы.

Примерами операторов, к которым применима спектральная теорема, являются самосопряженные операторы или, в более общем смысле, нормальные операторы в гильбертовых пространствах .

Спектральная теорема также обеспечивает каноническое разложение, называемое спектральным разложением , разложением по собственным значениям или разложением по собственным значениям , базового векторного пространства, на котором действует оператор.

Обычные операторы

Нормальный оператор в комплексном гильбертовом пространстве H — это непрерывный линейный оператор N : H → H , который коммутирует со своим эрмитовым сопряженным N* , то есть: NN* = N*N . ^{[ 2 ]}

Нормальные операторы важны, поскольку для них справедлива спектральная теорема . Сегодня класс нормальных операторов хорошо изучен. Примеры обычных операторов:

унитарные операторы : N* = N ⁻¹
Эрмитовы операторы (т. е. самосопряженные операторы: N* = N ; также антисамосопряженные операторы: N* = − N )
положительные операторы : N = MM*
нормальные матрицы можно рассматривать как нормальные операторы, если принять гильбертово пространство за C ^н.

Спектральная теорема распространяется на более общий класс матриц. Пусть A — оператор в конечномерном пространстве внутреннего произведения . А называется нормальным, если А ^* А = АА ^*. Можно показать, что A является нормальным тогда и только тогда, когда оно унитарно диагонализируемо: согласно разложению Шура мы имеем A = UTU ^*, где U унитарный, а T верхнетреугольный . Так как A нормальный, TT ^* = Т ^* Т. Следовательно, T должна быть диагональной, поскольку нормальные верхнетреугольные матрицы диагональны. Обратное очевидно.

Другими словами, A является нормальной тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица U такая, что $A=UDU^{*}$ где D — диагональная матрица . Тогда элементы диагонали D являются собственными A значениями . Вектор-столбцы U являются собственными векторами и A являются ортонормированными . В отличие от эрмитова случая, элементы D не обязательно должны быть действительными.

Полярное разложение

Полярное разложение любого ограниченного линейного оператора A между комплексными гильбертовыми пространствами представляет собой каноническую факторизацию как произведение частичной изометрии и неотрицательного оператора. ^{[ 3 ]}

Полярное разложение матриц обобщается следующим образом: если A — ограниченный линейный оператор, то существует единственная факторизация A как произведение A = UP , где U — частичная изометрия, P — неотрицательный самосопряженный оператор и исходный пространство U является замыканием диапазона P .

Оператор U необходимо ослабить до частичной изометрии, а не до унитарной, из-за следующих проблем. Если A — односторонний сдвиг на l ²( N ), тогда | А | = ( А*А ) ^1/2 = Я. Итак, если А = U | A |, U должно быть A , которое не является унитарным.

Существование полярного разложения является следствием леммы Дугласа :

Лемма . Если A , B — ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H и A*A ≤ B*B , то существует сжатие C такое, что A = CB . Более того, C единственен, если Ker ( B* ) ⊂ Ker ( C ).

Оператор C может быть определен как $C (Bh) = Ah$ , расширен по непрерывности до замыкания Ran ( B ) и нулем на ортогональном дополнении $Ran(B)$ . Оператор C корректно определен, поскольку $из A*A \leq B*B$ следует $Ker(B) \subset Ker(A)$ . Далее следует лемма.

В частности, если $A*A = B*B$ , то C является частичной изометрией, которая единственна, если $Ker(B*) \subset Ker(C).$ В общем случае для любого ограниченного A оператора $A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}},$ где ( А*А ) ^1/2 — уникальный положительный квадратный корень из A*A , заданный обычным функциональным исчислением . Итак, по лемме имеем $A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}$ для некоторой частичной изометрии U , которая единственна, если Ker( A ) ⊂ Ker( U ). (Обратите внимание: $Ker(A) = Ker(A*A) = Ker(B) = Ker(B*)$ , где $B = B* = (A*A) 1/2$ .) Возьмем P равным ( A*A ) ^1/2 и получаем полярное разложение A = UP . Обратите внимание, что аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать A = P'U' , где P' является положительным, а U' - частичной изометрией.

Когда H конечномерен, U можно расширить до унитарного оператора; в целом это не так (см. пример выше). В качестве альтернативы полярное разложение можно показать, используя операторную версию разложения по сингулярным значениям .

По свойству непрерывного функционального исчисления | А | находится в C*-алгебре, порожденной A . Аналогичное, но более слабое утверждение справедливо и для частичной изометрии: полярная часть U находится в алгебре фон Неймана, порожденной A . Если A обратимо, то U будет находиться в C*-алгебре, порожденной A. также

Связь с комплексным анализом

Многие изучаемые операторы являются операторами в гильбертовых пространствах голоморфных функций , и исследование оператора тесно связана с вопросами теории функций. Например, теорема Берлинга описывает инвариантные подпространства одностороннего сдвига в терминах внутренних функций, которые представляют собой ограниченные голоморфные функции на единичном круге с унимодулярными граничными значениями почти всюду на круге. Берлинг интерпретировал односторонний сдвиг как умножение на независимую переменную в пространстве Харди . ^{[ 4 ]} Успех в изучении операторов умножения и, в более общем смысле, операторов Теплица (которые представляют собой умножение с последующей проекцией на пространство Харди) вдохновил на изучение аналогичных вопросов в других пространствах, таких как пространство Бергмана .

Операторные алгебры

Теория операторных алгебр выдвигает такие алгебры операторов, как С*-алгебры на первый план .

C*-алгебры

AC*-алгебра, A , является банаховой алгеброй полем комплексных чисел вместе с отображением $*: A \to A.$ над Пишут * для изображения элемента x из A. x Карта * имеет следующие свойства: ^{[ 5 ]}

Это инволюция , для каждого x в A $x^{**}=(x^{*})^{*}=x$
Для всех x , y в A : $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$
Для каждого λ в C и каждого x в A : $(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.$
Для всех x в A : $\|x^{*}x\|=\left\|x\right\|\left\|x^{*}\right\|.$

Замечание. Первые три тождества говорят, что A является *-алгеброй . Последнее тождество называется тождеством C* и эквивалентно: $\|xx^{*}\|=\|x\|^{2},$

C*-идентичность является очень строгим требованием. Например, вместе с формулой спектрального радиуса это означает, что C*-норма однозначно определяется алгебраической структурой: $\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.$

См. также

Ссылки

^ Сундер, В.С. Функциональный анализ: спектральная теория (1997) Birkhäuser Verlag
^ Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971), Линейная алгебра (2-е изд.), Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., стр. 312, МР 0276251
^ Конвей, Джон Б. (2000), Курс теории операторов , Аспирантура по математике , Американское математическое общество, ISBN 0821820656
^ Nikolski, Nikolai (1986), A treatise on the shift operator , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0 . Сложная трактовка связей между теорией операторов и теорией функций в пространстве Харди .
^ Арвесон, Уильям (1976), Приглашение к C *-алгебре , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0 . Отличное введение в предмет, доступное для тех, кто обладает знаниями в области базового функционального анализа .

Дальнейшее чтение

Конвей, Дж. Б .: Курс функционального анализа , 2-е издание, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
Ёсино, Такаши (1993). Введение в теорию операторов . Чепмен и Холл/CRC. ISBN 978-0582237438 .

Внешние ссылки

История теории операторов

[1] Сундер, В.С. Функциональный анализ: спектральная теория (1997) Birkhäuser Verlag

[2] Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971), Линейная алгебра (2-е изд.), Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., стр. 312, МР 0276251

[3] Конвей, Джон Б. (2000), Курс теории операторов , Аспирантура по математике , Американское математическое общество, ISBN 0821820656

[4] Nikolski, Nikolai (1986), A treatise on the shift operator , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0 . Сложная трактовка связей между теорией операторов и теорией функций в пространстве Харди .

[5] Арвесон, Уильям (1976), Приглашение к C *-алгебре , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0 . Отличное введение в предмет, доступное для тех, кто обладает знаниями в области базового функционального анализа .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]