Карта сложного квадратирования

В математике комплексное возведение в квадрат , полиномиальное отображение степени второй , является простой и доступной демонстрацией хаоса в динамических системах . Его можно построить, выполнив следующие шаги:

Выберите любое комплексное число на единичном круге, которого аргумент (угол) не является рациональным кратным π,
Несколько раз возведите это число в квадрат.

Это повторение (итерация) создает последовательность комплексных чисел, которые можно описать только их аргументами. Любой выбор начального угла, который удовлетворяет приведенному выше (1), приведет к чрезвычайно сложной последовательности углов, что противоречит простоте шагов. Можно показать, что последовательность будет хаотичной , т.е. она чувствительна к детальному выбору начального угла.

Хаос и сложная карта квадратур

Неформальная причина, по которой итерация является хаотичной, заключается в том, что угол удваивается на каждой итерации, и удвоение растет очень быстро по мере того, как угол становится все больше, но углы, которые отличаются кратно 2π ( радианам ), идентичны. Таким образом, когда угол превышает 2π, он должен перейти к остатку от деления на 2π. Таким образом, угол преобразуется в соответствии с диадическим преобразованием (также известным как карта 2 x mod 1). Поскольку начальное значение z ₀ было выбрано так, что его аргумент не является рациональным кратным π, орбита z прямая _n не может повториться и стать периодической.

Более формально итерацию можно записать как

z_{n+1}=z_{n}^{2}

где $z_{n}$ - результирующая последовательность комплексных чисел, полученная путем итерации описанных выше шагов, и $z_{0}$ представляет начальный стартовый номер. Мы можем точно решить эту итерацию:

z_{n}=z_{0}^{2^{n}}

Начиная с угла θ , мы можем записать начальный член как $z_{0}=\exp(i\theta )$ так что $z_{n}=\exp(i2^{n}\theta )$ . Это делает понятным последовательное удвоение угла. (Это эквивалентно соотношению $z_{n}=\cos(2^{n}\theta )+i\sin(2^{n}\theta )$ по формуле Эйлера .)

Обобщения

Это отображение является частным случаем комплексного квадратичного отображения , которое имеет точные решения для многих частных случаев. ^[1] Комплексная карта, полученная возведением предыдущего числа в любую натуральную степень. $z_{n+1}=z_{n}^{p}$ также точно разрешимо как $z_{n}=z_{0}^{p^{n}}$ . В случае p = 2 динамику можно отобразить в диадическое преобразование, как описано выше, но при p > 2 мы получим отображение сдвига в системе счисления p . Например, p = 10 — это карта десятичного сдвига.