Дрожащая рука, идеальное равновесие.
(Нормальная форма) дрожащая рука идеальное равновесие | |
---|---|
Концепция решения в теории игр | |
Отношение | |
Подмножество | Равновесие Нэша |
Суперсет | Правильное равновесие |
Значение | |
Предложено | Райнхард Зельтен |
В теории игр идеальное равновесие «дрожащей рукой» — это разновидность уточненного равновесия Нэша , которое впервые было предложено Райнхардом Зельтеном . [1] Идеальное равновесие дрожащей руки — это равновесие, которое учитывает возможность неравновесной игры, предполагая, что игроки из-за «проскальзывания рук» или дрожи могут выбрать непреднамеренные стратегии , хотя и с незначительной вероятностью .
Определение
[ редактировать ]Сначала определим возмущенную игру . Искаженная игра — это копия базовой игры с тем ограничением, что только полностью смешанные разрешено использовать стратегии. Полностью смешанная стратегия — это смешанная стратегия, в которой каждая стратегия (как чистая, так и смешанная) используется с ненулевой вероятностью. Это «дрожащие руки» игроков; иногда они используют другую стратегию, отличную от той, которую намеревались использовать. Затем определите набор стратегий S (в базовой игре) как совершенный дрожащей рукой, если существует последовательность возмущенных игр, сходящихся к основной игре, в которой существует ряд равновесий Нэша , сходящихся к S.
Примечание. Все полностью смешанные равновесия Нэша идеальны.
Примечание 2. Расширение смешанной стратегии любой конечной игры в нормальной форме имеет по крайней мере одно идеальное равновесие. [2]
Пример
[ редактировать ]Игра, представленная в следующей матрице нормальной формы, имеет два равновесия Нэша в чистой стратегии , а именно: и . Однако только совершенен дрожащими руками.
Левый | Верно | |
Вверх | 1, 1 | 2, 0 |
Вниз | 0, 2 | 2, 2 |
Дрожащая рука, идеальное равновесие. |
Предположим, что игрок 1 (игрок в ряду) использует смешанную стратегию. , для .
Ожидаемый выигрыш игрока 2 от игры L составляет:
Ожидаемый выигрыш игрока 2 от стратегии R составит:
Для небольших значений , игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, помещая минимальный вес на R и максимальный вес на L. По симметрии игрок 1 должен приложить минимальный вес на D и максимальный вес на U, если игрок 2 играет смешанную стратегию . Следовательно совершенен дрожащими руками.
Однако аналогичный анализ не работает для профиля стратегии .
Предположим, что игрок 2 использует смешанную стратегию. . Ожидаемый выигрыш игрока 1 от игры U составляет:
Ожидаемый выигрыш игрока 1 от игры D составит:
Для всех положительных значений , игрок 1 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, помещая минимальный вес на D и максимальный вес на U. Следовательно не является идеальным, поскольку игрок 2 (и, по симметрии, игрок 1) максимизирует свой ожидаемый выигрыш, чаще всего отклоняясь от L, если существует небольшая вероятность ошибки в поведении игрока 1.
Равновесие в играх двух игроков.
[ редактировать ]Для игр 2x2 набор идеальных равновесий дрожащей руки совпадает с набором равновесий, состоящим из двух недоминируемых стратегий. В приведенном выше примере мы видим, что равновесие <Вниз, Вправо> несовершенно, поскольку Левое (слабо) доминирует Вправо для Игрока 2, а Вверх (слабо) доминирует Вниз для Игрока 1. [3]
Равновесия игр развернутой формы.
[ редактировать ]Дрожащая рука обширной формы, идеальное равновесие. | |
---|---|
Концепция решения в теории игр | |
Отношение | |
Подмножество | Идеальное равновесие подыгры , Идеальное байесовское равновесие , Последовательное равновесие |
Значение | |
Предложено | Райнхард Зельтен |
Используется для | Обширная форма игры |
Есть два возможных способа распространить определение совершенства дрожащих рук на игры с обширной формой .
- Можно интерпретировать развернутую форму как просто краткое описание игры нормальной формы и применить концепции, описанные выше, к этой игре нормальной формы. В результирующих возмущенных играх каждая стратегия игры развернутой формы должна использоваться с ненулевой вероятностью. Это приводит к представлению о нормальной форме идеального равновесия дрожащей руки .
- В качестве альтернативы можно вспомнить, что трепеты следует интерпретировать как ошибки моделирования, допущенные игроками с некоторой незначительной вероятностью во время игры. Такая ошибка, скорее всего, будет заключаться в том, что игрок в какой-то момент игры сделает ход, отличный от запланированного. Вряд ли это будет состоять в том, что игрок выберет другую стратегию , чем предполагалось, то есть неправильный план всей игры. Чтобы уловить это, можно определить возмущенную игру, потребовав, чтобы каждый ход в каждом наборе информации выполнялся с ненулевой вероятностью. Пределы равновесия таких возмущенных игр, когда вероятности дрожания стремятся к нулю, называются совершенными равновесиями с дрожащей рукой в развернутой форме .
Понятия равновесия с идеальной дрожащей рукой в нормальной форме и развернутой форме несопоставимы, т. е. равновесие в игре в развернутой форме может быть идеальным равновесием с идеальной дрожащей рукой в нормальной форме, но не в развернутой форме, и наоборот. В качестве крайнего примера Жан-Франсуа Мертенс привел пример игры развернутой формы для двух игроков, в которой недопустимо совершенное равновесие с дрожащей рукой развернутой формы, т. е. наборы совершенной дрожащей руки расширенной формы и нормальной формы. равновесия в этой игре не пересекаются. [ нужна ссылка ]
Совершенное равновесие с дрожащей рукой в развернутой форме также является последовательным равновесием . Идеальное равновесие дрожащей руки в нормальной форме в игре с расширенной формой может быть последовательным, но это не обязательно так. Фактически, идеальное равновесие с дрожащей рукой в нормальной форме даже не обязательно должно быть идеальным на подигре .
Проблемы с совершенством
[ редактировать ]Майерсон (1978) [4] отметил, что совершенство чувствительно к добавлению строго доминируемой стратегии, и вместо этого предложил другое уточнение, известное как правильное равновесие .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Зельтен, Р. (1975). «Пересмотр концепции совершенства для точек равновесия в экстенсивных играх» . Международный журнал теории игр . 4 (1): 25–55. дои : 10.1007/BF01766400 .
- ^ Селтен, Р.: Пересмотр концепции совершенства точек равновесия в обширных играх. Межд. Дж. Теория игр4, 1975, 25–55.
- ^ Ван Дамм, Эрик (1987). Устойчивость и совершенство равновесий Нэша . дои : 10.1007/978-3-642-96978-2 . ISBN 978-3-642-96980-5 .
- ^ Майерсон, Роджер Б. «Уточнения концепции равновесия Нэша». Международный журнал теории игр 7.2 (1978): 73-80.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Осборн, Мартин Дж.; Рубинштейн, Ариэль (1994). Курс теории игр . МТИ Пресс. стр. 246–254. ISBN 9780262650403 .