Механизм Хиггса

В Стандартной модели физики элементарных частиц механизм Хиггса важен для объяснения механизма возникновения свойства « масса » для калибровочных бозонов . Без механизма Хиггса все бозоны (один из двух классов частиц, другой — фермионы ) считались бы безмассовыми , но измерения показывают, что W ⁺ , В ⁻ и З ⁰ бозоны на самом деле имеют относительно большие массы, около 80 ГэВ/ с. ² . Поле Хиггса решает эту загадку. Простейшее описание механизма добавляет квантовое поле ( поле Хиггса к Стандартной модели ), которое пронизывает все пространство. Ниже очень высокой температуры поле вызывает спонтанное нарушение симметрии во время взаимодействий. Нарушение симметрии запускает механизм Хиггса, в результате чего бозоны, с которыми он взаимодействует, приобретают массу. В Стандартной модели фраза «механизм Хиггса» относится конкретно к генерации масс для W. ^± и Z слабые калибровочные бозоны из-за нарушения электрослабой симметрии. Большой адронный коллайдер в ЦЕРН объявил 14 марта 2013 года о результатах, согласующихся с частицей Хиггса, что делает чрезвычайно вероятным существование поля или подобного ему поля и объясняет, как механизм Хиггса действует в природе. Представление о механизме Хиггса как о спонтанном нарушении калибровочной симметрии технически неверно, поскольку по теореме Элицура калибровочные симметрии никогда не могут быть спонтанно нарушены. Скорее, механизм Фрелиха – Моркио – Строкки переформулирует механизм Хиггса полностью калибровочно-инвариантным образом, что обычно приводит к тем же результатам.

Механизм был предложен в 1962 году Филипом Уорреном Андерсоном . после работы конца 1950-х годов по нарушению симметрии в сверхпроводимости и статьи Ёитиро Намбу 1960 года , в которой обсуждалось ее применение в физике элементарных частиц .

Теория, способная наконец объяснить образование массы , не «нарушая» калибровочную теорию, была опубликована почти одновременно тремя независимыми группами в 1964 году: Робертом Браутом и Франсуа Энглертом ; Питер Хиггс ; и Джеральдом Гуральником , Ч.Р. Хагеном и Томом Кибблом . Поэтому механизм Хиггса также называют механизмом Броута-Энглерта-Хиггса или механизмом Энглера-Браута-Хиггса-Гуральника-Хагена-Киббла . механизм Андерсона-Хиггса , Механизм Андерсона–Хиггса–Киббла , Механизм Хиггса – Киббла Абдуса Салама. и механизм ABEGHHK'tH (для Андерсона, Браута, Энглерта, Гуральника, Хагена, Хиггса, Киббла и Т Хоофта ) Питера Хиггса. Механизм Хиггса в электродинамике был также открыт независимо Эберли и Рейссом в обратном порядке.как «калибровочное» поле Дирака, прирост массы за счет искусственно смещенного электромагнитного поля как поля Хиггса.

8 октября 2013 года, после открытия на Большом адронном коллайдере ЦЕРН новой частицы, которая оказалась долгожданным бозоном Хиггса, предсказанным теорией, было объявлено, что Питер Хиггс и Франсуа Энглерт были удостоены Нобелевской премии по физике 2013 года. .

Стандартная модель

Механизм Хиггса был включен в современную физику элементарных частиц Стивеном Вайнбергом и Абдусом Саламом и является важной частью Стандартной модели .

В Стандартной модели при температурах, достаточно высоких, чтобы не нарушалась электрослабая симметрия, все элементарные частицы не имеют массы. При критической температуре поле Хиггса приобретает вакуумное математическое ожидание ; некоторые теории предполагают, что симметрия спонтанно нарушается в результате тахионной конденсации , и бозоны W и Z приобретают массы (также называемое «электрослабым нарушением симметрии», или EWSB ). Считается, что в истории Вселенной это произошло примерно за пикосекунду ( 10 ⁻¹² с) после горячего большого взрыва, когда Вселенная имела температуру 159,5 ± 1,5 ГэВ .

Фермионы, такие как лептоны и кварки в Стандартной модели, также могут приобретать массу в результате взаимодействия с полем Хиггса, но не так, как калибровочные бозоны.

Структура поля Хиггса

В стандартной модели поле Хиггса представляет собой SU (2) дублет (т. е. стандартное представление с двумя комплексными компонентами, называемыми изоспином), который является скаляром при преобразованиях Лоренца. Его электрический заряд равен нулю; его слабый изоспин 1/2 , а третий компонент слабого изоспина — 1/2 ​ ​ ; а ее слабый гиперзаряд (заряд для калибровочной группы U (1), определенный с точностью до произвольной мультипликативной константы) равен 1. При вращениях U (1) он умножается на фазу, что, таким образом, смешивает действительную и мнимую части комплексный спинор друг в друга, объединяясь в стандартное двухкомпонентное комплексное представление группы U (2).

Поле Хиггса посредством взаимодействий, заданных (суммированных, представленных или даже смоделированных) его потенциалом, вызывает спонтанное разрушение трех из четырех генераторов («направлений») калибровочной группы U (2). Это часто записывают как SU (2) _L × U (1) _Y (что, строго говоря, то же самое на уровне бесконечно малых симметрий), поскольку диагональный фазовый фактор действует и на другие поля, на кварки в частности . Три из четырех его компонентов обычно рассматривались бы как бозоны Голдстоуна , если бы они не были связаны с калибровочными полями.

Однако после нарушения симметрии эти три из четырех степеней свободы в поле Хиггса смешиваются с тремя W- и Z-бозонами (
В ⁺
,
В ⁻
и
С ⁰
) и наблюдаются только как компоненты этих слабых бозонов , которые из-за их включения становятся массивными; только единственная оставшаяся степень свободы становится новой скалярной частицей: бозоном Хиггса . Компоненты, не смешивающиеся с бозонами Голдстоуна, образуют безмассовый фотон.

Фотон как часть

Калибровочная группа электрослабой части стандартной модели SU (2) _L × U (1) _Y . Группа SU (2) — это группа всех унитарных матриц размера 2х2 с единичным определителем; все ортонормированные изменения координат в комплексном двумерном векторном пространстве.

чтобы второй базисный вектор указывал в направлении бозона Хиггса, делает вакуумное математическое ожидание H Вращение координат так , спинором (0, v ) . Генераторы вращений вокруг осей x, y и z представляют собой половину матриц Паули σ _x , σ _y и σ _z , так что вращение на угол θ вокруг оси z приводит к тому, что вакуум становится

$\ {\Bigl (}\ 0\ ,\ v\ e^{-{\tfrac {1}{2}}\ i\ \theta }\ {\Bigr )}~.$

В то время как T _x и Ty _{генераторы} смешивают верхнюю и нижнюю компоненты спинора , вращения T _z только умножают каждое на противоположные фазы. Эту фазу можно отменить поворотом U (1) на угол 1/2 ​ ​ θ . Следовательно, как при SU (2) T _z -повороте, так и при U (1) повороте на величину 1/2 ​ θ . вакуум инвариантен

Эта комбинация генераторов

$\ Q=T_{3}+{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}\$

определяет неразрывную часть калибровочной группы, где Q — электрический заряд, T ₃ — генератор вращений вокруг оси 3 в SU (2) и Y _W — слабого гиперзаряда генератор U (1). Эта комбинация генераторов ( 3 поворота в SU (2) и одновременного поворота U (1) на половину угла) сохраняет вакуум и определяет непрерывную калибровочную группу в стандартной модели, а именно группу электрического заряда. Часть калибровочного поля в этом направлении остается безмассовой и представляет собой физический фотон.Напротив, нарушенный след-ортогональный заряд $\ T_{3}-{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}=2\ T_{3}-Q\$ пары в массовом порядке
С ⁰
бозон.

для

Несмотря на введение спонтанного нарушения симметрии, массовые члены исключают киральную калибровочную инвариантность. Для этих полей массовые члены всегда следует заменять калибровочно-инвариантным механизмом Хиггса. Одной из возможностей является некоторая связь Юкавы (см. ниже) между фермионным полем ψ и полем Хиггса φ с неизвестными связями G _ψ , которая после нарушения симметрии (точнее: после расширения плотности Лагранжа вокруг подходящего основного состояния) снова приводит к исходным массовым членам, которые, однако, теперь (т. е. благодаря введению поля Хиггса) записаны калибровочно-инвариантным образом. Плотность Лагранжа для юкавского взаимодействия фермионного поля ψ и поля Хиггса φ равна

$\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {Fermion} }(\phi ,A,\psi )~=~{\overline {\psi }}\ \gamma ^{\mu }\ D_{\mu }\ \psi ~+~G_{\psi }\ {\overline {\psi }}\ \phi \ \psi \ ,$

где снова калибровочное поле A входит только через калибровочно-ковариантный оператор производной D _µ (т. е. оно видимо только косвенно). Величины γ _µ являются матрицами Дирака , а G _ψ – уже упомянутый параметр связи Юкавы для ψ . Теперь генерация массы следует тому же принципу, что и выше, а именно из существования конечного среднего значения. $\ |\langle \phi \rangle |~.$ Опять же, это имеет решающее значение для существования массы собственности .

История исследований

Предыстория

Спонтанное нарушение симметрии предложило основу для введения бозонов в релятивистские квантовые теории поля. Однако согласно теореме Голдстоуна эти бозоны должны быть безмассовыми. Единственными наблюдаемыми частицами, которые можно было приблизительно интерпретировать как бозоны Голдстоуна, были пионы , которые Йоитиро Намбу связал с нарушением киральной симметрии .

Аналогичная проблема возникает с теорией Янга-Миллса (также известной как неабелева калибровочная теория ), которая предсказывает безмассовые со спином -1 калибровочные бозоны . Безмассовые слабовзаимодействующие калибровочные бозоны приводят к дальнодействующим силам, которые наблюдаются только для электромагнетизма и соответствующего безмассового фотона . Калибровочным теориям слабого взаимодействия нужен был способ описания массивных калибровочных бозонов, чтобы быть непротиворечивыми.

Открытие

Филип В. Андерсон первым реализовал этот механизм в 1962 году.

Пять из шести лауреатов премии APS Sakurai 2010 года — (слева направо) Том Киббл, Джеральд Гуральник, Карл Ричард Хаген, Франсуа Энглерт и Роберт Браут.

Питер Хиггс (2009)

То, что нарушение калибровочной симметрии не привело к появлению безмассовых частиц, было обнаружено в 1961 году Джулианом Швингером . но он не продемонстрировал, что в конечном итоге могут возникнуть массивные частицы. Это было сделано в статье Филипа Уоррена Андерсона 1962 года. но только в нерелятивистской теории поля; он также обсуждал последствия для физики элементарных частиц, но не разработал явную релятивистскую модель. Релятивистская модель была разработана в 1964 году тремя независимыми группами:

• Роберт Браут и Франсуа Энглерт
• Питер Хиггс
• Джеральд Гуральник , Карл Ричард Хаген и Том Киббл .

Чуть позже, в 1965 г., но независимо от других изданий. механизм также предложили Александр Мигдал и Александр Поляков , в то время советские студенты. Однако их статья была задержана редакцией ЖЭТФ и опубликована поздно, в 1966 г.

Этот механизм очень похож на явления, ранее открытые Ёитиро Намбу, связанные с «вакуумной структурой» квантовых полей в сверхпроводимости . Подобный, но отличный эффект (включающий аффинную реализацию того, что сейчас называется полем Хиггса), известный как механизм Штюкельберга , ранее изучался Эрнстом Штюкельбергом .

Эти физики обнаружили, что когда калибровочная теория объединяется с дополнительным полем, которое спонтанно нарушает группу симметрии, калибровочные бозоны могут последовательно приобретать ненулевую массу. Несмотря на большие значения (см. Ниже), это позволяет описать слабое взаимодействие калибровочной теорией, которая была независимо разработана Стивеном Вайнбергом и Абдусом Саламом в 1967 году. Первоначальная статья Хиггса, представляющая модель, была отклонена журналом Physics Letters . Пересматривая статью перед повторной отправкой ее в Physical Review Letters , он добавил в конце предложение: отметив, что это подразумевает существование одного или нескольких новых массивных скалярных бозонов, которые не образуют полного представления группы симметрии; это бозоны Хиггса.

Три статьи Браута и Энглерта; Хиггс; и Гуральник, Хаген и Киббл были признаны журналом Physical Review Letters в 2008 году «веховыми письмами». Хотя в каждой из этих основополагающих статей использовались схожие подходы, вклад и различия между статьями о нарушении симметрии PRL 1964 года заслуживают внимания. все шесть физиков были совместно награждены премией Дж. Дж. Сакураи 2010 года в области теоретической физики элементарных частиц . За эту работу

Бенджамину В. Ли часто приписывают первое название механизма, подобного Хиггсу, хотя ведутся споры о том, когда это впервые произошло. Один из первых случаев, когда имя Хиггса появилось в печати, было в 1972 году, когда Герардус 'т Хоофт и Мартинус Дж. Вельтман назвали его «механизмом Хиггса-Киббла» в своей нобелевской работе.

Простое объяснение теории, начиная с ее истоков

Предложенный механизм Хиггса возник в результате теорий, предложенных для объяснения наблюдений в сверхпроводимости . Сверхпроводник не допускает проникновения внешних магнитных полей ( эффект Мейснера ). Это странное наблюдение подразумевает, что во время этого явления электромагнитное поле каким-то образом становится короткодействующим. Успешные теории, объясняющие это, возникли в 1950-е годы сначала для фермионов ( теория Гинзбурга-Ландау , 1950), а затем для бозонов ( теория БКШ , 1957).

В этих теориях сверхпроводимость интерпретируется как возникновение заряженного конденсата . Первоначально значение конденсата не имеет какого-либо предпочтительного направления. Это означает, что он скаляр, но его фаза способна определять калибровку в теориях поля, основанных на калибровке. Для этого поле должно быть заряжено. Заряженное скалярное поле также должно быть комплексным (или, описываемым по-другому, оно содержит как минимум два компонента и симметрию, способную вращать друг друга). В наивной калибровочной теории калибровочное преобразование конденсата обычно вращает фазу. Однако в этих обстоятельствах он вместо этого фиксирует предпочтительный выбор фазы. Однако оказывается, что выбор датчика таким образом, чтобы конденсат везде имел одну и ту же фазу, также приводит к тому, что электромагнитное поле приобретает дополнительный член. Этот дополнительный член приводит к тому, что электромагнитное поле становится короткодействующим.

Теорема Голдстоуна также играет роль в таких теориях. Технически связь такова: когда конденсат нарушает симметрию, то состояние, достигнутое воздействием на конденсат генератора симметрии, имеет ту же энергию, что и раньше. Это означает, что некоторые виды колебаний не связаны с изменением энергии. Колебания с неизменной энергией подразумевают, что возбуждения (частицы), связанные с колебанием, не имеют массы.

Когда к этой теории было привлечено внимание в физике элементарных частиц, параллели стали ясны. Изменение обычно дальнодействующего электромагнитного поля на короткодействующее в рамках калибровочно-инвариантной теории было именно тем эффектом, который искали для бозонов слабого взаимодействия (поскольку дальнодействующее взаимодействие имеет безмассовые калибровочные бозоны, а короткодействующее взаимодействие предполагает массивность калибровочного бозона). бозонов, что позволяет предположить, что результатом этого взаимодействия является приобретение массы калибровочными бозонами поля или аналогичный и эквивалентный эффект). Характеристики поля, необходимые для этого, также были достаточно четко определены: оно должно было быть заряженным скалярным полем, по крайней мере, с двумя компонентами и сложным, чтобы поддерживать симметрию, способную вращать их друг в друга.

Примеры

Механизм Хиггса возникает всякий раз, когда заряженное поле имеет вакуумное математическое ожидание. В нерелятивистском контексте это сверхпроводник , более формально известный как Ландау модель заряженного конденсата Бозе-Эйнштейна . В релятивистском конденсате конденсат представляет собой скалярное поле, релятивистски инвариантное.

Модель Ландау

Механизм Хиггса — это тип сверхпроводимости , возникающий в вакууме. Это происходит, когда все пространство заполнено морем заряженных частиц, или, на языке поля, когда заряженное поле имеет ненулевое вакуумное математическое ожидание. Взаимодействие с квантовой жидкостью, заполняющей пространство, препятствует распространению некоторых сил на большие расстояния (как это происходит внутри сверхпроводника; например, в теории Гинзбурга–Ландау ).

Сверхпроводник вытесняет все магнитные поля из своей внутренней части — явление, известное как эффект Мейснера . Долгое время это было загадочным, поскольку подразумевает, что электромагнитные силы каким-то образом становятся короткодействующими внутри сверхпроводника. Сравните это с поведением обычного металла. В металле проводимость экранирует электрические поля путем перераспределения зарядов на поверхности до тех пор, пока общее поле не уравновесится внутри.

Но магнитные поля могут проникать на любое расстояние, и если магнитный монополь (изолированный магнитный полюс) окружен металлом, поле может уйти, не слившись в струну. Однако в сверхпроводнике электрические заряды движутся без рассеивания, и это обеспечивает постоянные поверхностные токи, а не только поверхностные заряды. Когда магнитные поля вводятся на границе сверхпроводника, они создают поверхностные токи, которые точно нейтрализуют их.

Эффект Мейсснера возникает из-за токов в тонком поверхностном слое, толщину которого можно рассчитать на основе простой модели теории Гинзбурга–Ландау, рассматривающей сверхпроводимость как заряженный конденсат Бозе–Эйнштейна.

Предположим, что в сверхпроводнике имеются бозоны с зарядом q . Волновую функцию бозонов можно описать введя квантовое поле , $\ \psi \ ,$ которое подчиняется уравнению Шрёдингера как уравнению поля . В единицах, где постоянная Планка ħ приведенная равна 1:

$\ i\ {\frac {\partial }{\ \partial t\ }}\ \psi ~=~{\frac {\ \left(\nabla -iqA\right)^{2}}{2m}}\ \psi ~.$

Оператор $\ \psi (x)\$ аннигилирует бозон в точке x , а его сопряженный $\ \psi ^{\dagger }\$ создает новый бозон в той же точке. Тогда волновая функция конденсата Бозе-Эйнштейна представляет собой математическое ожидание. $\ \langle \psi \rangle \$ из $\ \psi (x)\ ,$ это классическая функция, подчиняющаяся тому же уравнению. Интерпретация значения ожидания состоит в том, что это фаза, которую следует придать вновь созданному бозону, чтобы он когерентно наложился на все остальные бозоны, уже находящиеся в конденсате.

При наличии заряженного конденсата электромагнитные взаимодействия экранируются. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим влияние калибровочного преобразования на поле. Калибровочное преобразование поворачивает фазу конденсата на величину, которая меняется от точки к точке, и смещает векторный потенциал на градиент:

${\begin{aligned}\psi &\rightarrow e^{iq\phi (x)}\psi \\\\A&\rightarrow A+\nabla \phi ~.\end{aligned}}$

При отсутствии конденсата это превращение лишь меняет определение фазы $\ \psi \$ в каждой точке. Но когда имеется конденсат, фаза конденсата определяет предпочтительный выбор фазы.

Волновую функцию конденсата можно записать как

$\psi (x)=\rho (x)\ e^{i\theta (x)}\ ,$

где ρ — действительная амплитуда, определяющая локальную плотность конденсата. Если бы конденсат был нейтральным, течение было бы вдоль градиентов θ — направления, в котором изменяется фаза поля Шрёдингера. Если фаза θ меняется медленно, поток медленный и имеет очень мало энергии. Но теперь θ можно сделать равным нулю, просто выполнив калибровочное преобразование для поворота фазы поля.

Энергию медленных изменений фазы можно рассчитать по кинетической энергии Шредингера:

$\ H={\frac {1}{\ 2\ m\ }}\ {\Bigl |}\left(iqA+\nabla \right)\psi {\Bigr |}^{2}\ ,$

и считая плотность конденсата ρ постоянной,

$H\approx {\frac {~\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ \left(qA+\nabla \theta \right)^{2}~.$

Зафиксировав выбор калибра так, чтобы конденсат везде имел одну и ту же фазу, энергия электромагнитного поля получила дополнительный член:

${\frac {\;q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}A^{2}~.$

При наличии этого члена электромагнитные взаимодействия становятся короткодействующими. Каждая мода поля, независимо от длины волны, колеблется с ненулевой частотой. Самая низкая частота может быть определена по энергии длинноволновой моды А ,

$E\approx {\frac {\;{\dot {A}}^{2}}{2}}+{\frac {\ q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ A^{2}~.$

Это гармонический генератор с частотой

${\sqrt {{\frac {1}{\ m\ }}\ q^{2}\ \rho ^{2}\ }}~.$

Количество $\ \left|\psi (x)\right|^{2}=\rho ^{2}\$ – плотность конденсата сверхпроводящих частиц.

В настоящем сверхпроводнике заряженными частицами являются электроны, которые являются фермионами, а не бозонами. Итак, чтобы иметь сверхпроводимость, электроны должны каким-то образом связываться в куперовские пары . Таким образом, заряд конденсата q в два раза превышает заряд электрона −e . Спаривание в нормальном сверхпроводнике происходит за счет колебаний решетки и на самом деле очень слабое; это означает, что пары очень слабо связаны. Описание конденсата Бозе-Эйнштейна слабосвязанных пар на самом деле сложнее, чем описание конденсата элементарных частиц, и было разработано только в 1957 году Джоном Бардином , Леоном Купером и Джоном Робертом Шриффером в знаменитой теории БКШ .

Абелев механизм Хиггса

Калибровочная инвариантность означает, что некоторые преобразования калибровочного поля вообще не меняют энергию. добавить произвольный градиент Если к A , энергия поля будет точно такой же. Это затрудняет добавление массового члена, поскольку массовый член имеет тенденцию подталкивать поле к нулевому значению. Но нулевое значение векторного потенциала не является идеей калибровочного инварианта. То, что равно нулю в одной калибровке, не равно нулю в другой.

Итак, чтобы придать массу калибровочной теории, калибровочная инвариантность должна быть нарушена конденсатом. Тогда конденсат будет определять предпочтительную фазу, а фаза конденсата будет определять нулевое значение поля калибровочно-инвариантным способом. Калибровочно-инвариантное определение состоит в том, что калибровочное поле равно нулю, когда изменение фазы на любом пути параллельного переноса равно разности фаз волновой функции конденсата.

Величина конденсата описывается квантовым полем со средним значением, как и в модели Гинзбурга–Ландау .

Чтобы фаза вакуума определяла манометр, поле должно иметь фазу (также называемую «зарядиться»). Чтобы скалярное поле Φ имело фазу, оно должно быть комплексным или (что эквивалентно) оно должно содержать два поля с симметрией, которая вращает их друг в друга. Векторный потенциал изменяет фазу квантов, создаваемых полем, когда они перемещаются из точки в точку. Что касается полей, он определяет, насколько нужно повернуть действительную и мнимую части полей друг в друга при сравнении значений полей в соседних точках.

Единственная перенормируемая модель, в которой комплексное скалярное поле Φ принимает ненулевое значение, - это модель мексиканской шляпы, в которой энергия поля имеет минимум вдали от нуля. Действие для этой модели

$\ S(\phi )=\int d^{4}x\left[{\tfrac {1}{2}}\left|\partial \phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]\ ,$

что приводит к гамильтониану

$\ H(\phi )={\tfrac {1}{2}}\left(\left|{\dot {\phi }}\right|^{2}+\left|\nabla \phi \right|^{2}\right)+V\left(\left|\phi \right|\right)~.$

Первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию поля. Второй член — это дополнительная потенциальная энергия, когда поле меняется от точки к точке. Третий член — это потенциальная энергия, когда поле имеет любую заданную величину.

Эта потенциальная энергия, потенциал Хиггса , $~V\left(z,\Phi \right)=\lambda \left(\left|z\right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\ ,$ имеет график, похожий на мексиканскую шляпу , который и дал название модели. В частности, минимальное значение энергии находится не в точке z = 0 , а в круге точек, где величина z равна Φ .

Хиггса В. Потенциал фиксированного значения λ потенциал представлен вверх против действительной и мнимой частей Φ Для . или Следует обратить внимание на профиль мексиканской шляпы бутылки шампанского на земле.

Когда поле Φ( x ) не связано с электромагнетизмом, потенциал мексиканской шляпы имеет плоские направления. Старт в любом из кругов вакуума и изменение фазы поля от точки к точке требует очень мало энергии. Математически, если

$\ \phi (x)=\Phi e^{i\theta (x)}\$

с постоянным предмножителем, то действие для поля θ ( x ) , т. е. «фаза» поля Хиггса Φ( x ) , имеет только производные члены. Это неудивительно: добавление константы к θ ( x ) является симметрией исходной теории, поэтому разные значения θ ( x ) не могут иметь разные энергии. Это пример настройки модели в соответствии с теоремой Голдстоуна : спонтанное нарушение непрерывной симметрии (обычно) приводит к безмассовым возбуждениям.

Модель абелева Хиггса представляет собой модель мексиканской шляпы, связанную с электромагнетизмом :

$\ S(\phi ,A)=\int d^{4}x\left[-{\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+\left|\left(\partial -iqA\right)\phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]~.$

showАльтернативная форма действия модели абелева Хиггса

The Abelian Higgs model action can also be written $\ S[\phi ,A]=\int d^{4}x\left[-{\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+D_{\mu }\phi (D^{\mu }\phi )^{*}-V(\phi )\right]\ ,$ where the potential is $\ V(\phi )=\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}~.$ and the covariant derivative $D_{\mu }$ is $\ D_{\mu }=\partial _{\mu }-iqA_{\mu }~.$ For completeness, the tensor $\ F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\$ is the Maxwell tensor, also known as the electromagnetic field strength, $\ \mathrm {U} (1)\$ field strength or more geometrically the curvature of the $\ \mathrm {U} (1)\$ connection $\ A_{\mu }~.$ The four-vector gauge field $\ A_{\mu }\$ is also known as the four-potential. This makes the gauge-invariance of the action (and therefore Lagrangian and resulting equations of motion) manifest. The potential makes the non-zero vacuum expectation value evident.

находится в минимуме потенциала, где величина комплексного поля φ равна Φ Классический вакуум снова . Но теперь фаза поля произвольна, поскольку калибровочные преобразования меняют ее. Это означает, что поле $\ \theta (x)\$ может быть установлено равным нулю с помощью калибровочного преобразования и вообще не представляет никаких реальных степеней свободы.

Более того, при выборе датчика с фиксированной фазой вакуума потенциальная энергия флуктуаций векторного поля отлична от нуля. Так в абелевой модели Хиггса калибровочное поле приобретает массу. Чтобы вычислить величину массы, рассмотрим постоянное значение векторного потенциала A в направлении x в датчике, где конденсат имеет постоянную фазу. Это то же самое, что синусоидально меняющийся конденсат в датчике, где векторный потенциал равен нулю. В датчике, где A равно нулю, плотность потенциальной энергии в конденсате представляет собой скалярную градиентную энергию:

$\ E={\tfrac {1}{2}}\left|\partial \left(\Phi e^{iqAx}\right)\right|^{2}={\tfrac {1}{2}}q^{2}\Phi ^{2}A^{2}~.$

Эта энергия аналогична массовому члену 1/2 2м ² А ² где м знак равно q Φ .

абелева механизма

showЛагранжиан в явной нарушенной симметрии форме

Start from the Lagrangian $\ {\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\tfrac {1}{2}}D_{\mu }\phi (D^{\mu }\phi )^{*}-V(\phi )\ ,$ with $\ D_{\mu }\phi =\partial _{\mu }\phi +ieA_{\mu }\phi \$ $\ V(\phi )={\tfrac {1}{4}}\lambda (|\phi |^{2}-v^{2})^{2}~.$ Guided by the minimum of the potential $V$ being at $\ |\phi |=v\ ,$ we write the complex scalar field $\ \phi (x)\$ in terms of real scalar fields $\ \xi (x)\$ and $\ \eta (x)\$ as follows: $\ \phi (x)=e^{i\xi (x)}(\eta (x)+v)~.$ The field $\ \xi (x)\$ is known as the Nambu-Goldstone field, and the field $\ \eta (x)\$ is known as the Higgs boson. Upon rewriting the Lagrangian in terms of $\ \xi \$ and $\ \eta \$ one finds $\ {\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\tfrac {1}{2}}\left[\partial _{\mu }\eta \partial ^{\mu }\eta +\left(\eta +v\right)^{2}\ \left(\partial _{\mu }\xi +eA_{\mu }\right)^{2}\right]-\left[\lambda v^{2}\eta ^{2}+\lambda v\eta ^{3}+{\tfrac {1}{4}}\lambda \eta ^{4}\right]~.$ At this point the only term which contains $\ \xi \$ is the term containing $\ \partial _{\mu }\xi +eA_{\mu }~.$ But the dependence on $\ \xi \$ can be gauged away by the gauge transformation which sends $\ A_{\mu }+{\frac {1}{\ e\ }}\partial _{\mu }\xi \mapsto A_{\mu }~.$ This is known as the unitary or unitarity gauge. In differential-geometric language, as is spelled out in the following box, the condensate $\xi (x)$ has defined a canonical trivialization. In unitary gauge, the Lagrangian can be organised into parts which depend on the gauge field and Higgs field $\ {\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\tfrac {1}{2}}e^{2}\left(\eta +v\right)^{2}A_{\mu }A^{\mu }+{\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\eta \partial ^{\mu }\eta -\lambda v^{2}\eta ^{2}-\lambda v\eta ^{3}-{\tfrac {1}{4}}\lambda \eta ^{4}\$ or into quadratic and interaction pieces $\ {\mathcal {L}}=\left[-{\tfrac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\tfrac {1}{2}}e^{2}v^{2}A_{\mu }A^{\mu }+{\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\eta \partial ^{\mu }\eta -\lambda v^{2}\eta ^{2}\right]+\left[-\lambda v\eta ^{3}-{\tfrac {1}{4}}\lambda \eta ^{4}+{\tfrac {1}{2}}\left(\eta ^{2}+2v\eta \right)A^{\mu }A_{\mu }\right]~.$ By focusing on the quadratic piece, we see that the gauge field $\ A_{\mu }\$ has acquired a Proca mass, while the Higgs field $\ \eta \$ has a mass of $\ {\sqrt {2\lambda v^{2}~}}~.$ This method largely carries over to the case where the $\ \mathrm {U} (1)\$ gauge symmetry is promoted to a non-abelian gauge group $\ G~.$ The Nambu-Goldstone field $\ \xi \$ is then promoted to a $\ {\mathfrak {g}}$-valued field, where $\ {\mathfrak {g}}\$ is the Lie algebra of $G~.$

showСпонтанное нарушение симметрии и тривиализации

A more mathematical or specifically differential-geometric viewpoint is that the field $\ \theta (x)\$ picks out a canonical trivialization which breaks the right-invariance of the principal bundle that the gauge theory lives on. This is realized most easily when the theory is based on flat spacetime $\ \mathbb {R} ^{1,3}\ ,$ as then the base spacetime is contractible, and hence any fibre bundle is trivial. In gauge theory one considers principal bundles with the spacetime as its base manifold, where the fibre is a torsor of the gauge group $\ G~.$ Crucially, since the principal bundle must be trivial, there exists a global trivialization. In physics, one generally works under an implicit global trivialization and rarely in the more abstract principal bundle. However, there are many choices of global trivialization, which differ from one another by a transition function, which can be written as a function $\ g:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow G~.$ From the physical viewpoint, this is known as a gauge transformation. There is a corresponding (choice of) transition function or gauge transformation at the algebra level $\ \alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\mathfrak {g}}\$ such that $\ \exp(\alpha (x))=g(x)\ ,$ where $~\exp ~$ is the exponential map for Lie algebras. Then we can view the phase function $\theta (x)$ as a transition function at the algebra level. It picks out a canonical global trivialization which 'differs from' the initial implicit global trivialization by $\ \theta (x)~.$ This breaks the (right-)invariance of the principal bundle under the action of $\ G\ ,$ as this action does not preserve the canonical trivialization. Mathematically, this is the symmetry which is broken during spontaneous symmetry breaking. For the Abelian Higgs mechanism the relevant gauge group is $\ \mathrm {U} (1)~.$

Неабелев механизм Хиггса

Неабелева модель Хиггса имеет следующее действие.

$S(\phi ,\mathbf {A} )=\int {1 \over 4g^{2}}\mathop {\textrm {tr}} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+|D\phi |^{2}+V(|\phi |),$

где теперь неабелевое поле A содержится в ковариантной производной D и в тензорных компонентах $F^{\mu \nu }$ и $F_{\mu \nu }$ (связь между A и этими компонентами хорошо известна из теории Янга – Миллса ).

Она в точности аналогична абелевой модели Хиггса. Теперь поле $\phi$ находится в представлении калибровочной группы, а калибровочная ковариантная производная определяется скоростью изменения поля за вычетом скорости изменения от параллельного переноса с использованием калибровочного поля A в качестве связи.

$D\phi =\partial \phi -iA^{k}t_{k}\phi$

Опять же, математическое ожидание $\phi$ определяет предпочтительный манометр, в котором вакуум постоянен, и при фиксации этого манометра флуктуации калибровочного поля A сопровождаются ненулевыми затратами энергии.

В зависимости от представления скалярного поля не каждое калибровочное поле приобретает массу. Простой пример — перенормируемая версия ранней электрослабой модели Джулиана Швингера . В этой модели калибровочная группа имеет вид SO (3) (или SU (2) — в модели нет спинорных представлений), а калибровочная инвариантность нарушается до U (1) или SO (2) на больших расстояниях. Чтобы сделать непротиворечивую перенормируемую версию с использованием механизма Хиггса, введите скалярное поле $\phi ^{a}$ который преобразуется как вектор (тройка) SO (3). Если это поле имеет вакуумное математическое ожидание, оно указывает в некотором направлении в пространстве поля. Без ограничения общности можно выбрать ось z в пространстве полей как направление, $\phi$ указывает, а затем вакуумное математическое ожидание $\phi$ равно (0, 0, Ã ) , где Ã — константа с размерами массы ( $c=\hbar =1$).

Вращения вокруг оси z образуют подгруппу U (1) группы SO (3), которая сохраняет вакуумное математическое ожидание $\phi$, и это непрерывная калибровочная группа. Вращения вокруг осей x и y не сохраняют вакуум, и компоненты калибровочного поля SO (3), генерирующие эти вращения, становятся массивными векторными мезонами. В модели Швингера есть два массивных W-мезона с массой, заданной шкалой масс Ã , и один безмассовый калибровочный бозон U (1), аналогичный фотону.

Модель Швингера предсказывает магнитные монополи в масштабе электрослабого объединения и не предсказывает Z-бозон. Он не нарушает электрослабую симметрию должным образом, как в природе. Но исторически модель, подобная этой (но не использующая механизм Хиггса), была первой, в которой слабое взаимодействие и электромагнитное взаимодействие были объединены.

Аффинный механизм Хиггса

Эрнст Штюкельберг открыл версия механизма Хиггса на основе анализа теории квантовой электродинамики с массивным фотоном. По сути, модель Штюкельберга представляет собой предел обычной мексиканской шляпы абелевой модели Хиггса, в которой вакуумное математическое ожидание H стремится к бесконечности, а заряд поля Хиггса стремится к нулю таким образом, что их произведение остается фиксированным. Масса бозона Хиггса пропорциональна H , поэтому бозон Хиггса становится бесконечно массивным и отделяется, поэтому не участвует в обсуждении. Однако масса векторного мезона равна произведению eH и остается конечной.

Объяснение состоит в том, что когда калибровочное поле U (1) не требует квантованных зарядов, можно сохранить только угловую часть хиггсовских колебаний, а радиальную часть отбросить. Угловая часть поля Хиггса θ имеет следующий закон калибровочного преобразования:

${\begin{aligned}\theta &\rightarrow \theta +e\alpha \,\\A&\rightarrow A+\partial \alpha .\end{aligned}}$

Калибровочная ковариантная производная угла (которая на самом деле является калибровочным инвариантом):

$D\theta =\partial \theta -eAH\,$.

Чтобы сохранить колебания θ конечными и ненулевыми в этом пределе, θ следует масштабировать на H , чтобы его кинетический член в действии оставался нормированным. Действие тета-поля считывается из действия мексиканской шляпы путем замены $\phi =He^{i\theta /H}$.

$S=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(D\theta )^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -HeA)^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -mA)^{2}{\bigr ]}$

поскольку eH — масса калибровочного бозона. Выполняя калибровочное преобразование, чтобы установить θ = 0 , калибровочная свобода в действии устраняется, и действие становится действием массивного векторного поля:

$S={\tfrac {1}{2}}\int {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}F^{2}+m^{2}A^{2}{\bigr ]}\,.$

Чтобы иметь сколь угодно малые заряды, необходимо, чтобы U (1) представляло собой не круг единичных комплексных чисел при умножении, а действительные числа R при сложении, которые отличаются только в глобальной топологии. Такая группа U (1) некомпактна. Поле θ преобразуется как аффинное представление калибровочной группы. Среди разрешенных калибровочных групп только некомпактная U (1) допускает аффинные представления, а U (1) электромагнетизма экспериментально известна как компактная, поскольку квантование заряда выполняется с чрезвычайно высокой точностью.

Конденсат Хиггса в этой модели имеет бесконечно малый заряд, поэтому взаимодействие с бозоном Хиггса не нарушает сохранения заряда. Теория квантовой электродинамики с массивным фотоном по-прежнему остается перенормируемой теорией, в которой электрический заряд все еще сохраняется, но магнитные монополи не допускаются. Для неабелевой калибровочной теории не существует аффинного предела, и колебания Хиггса не могут быть намного более массивными, чем векторы.

См. также

• Электромагнитная масса
• Пучок Хиггса
• Квантовая тривиальность
• Угол Вайнберга
• Уравнения Янга–Миллса–Хиггса.

Дальнейшее чтение

• Шумм, Брюс А. (2004). Вещи в глубине души . Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса. Глава 9. ISBN  9780801879715 .
• Киббл, Том ВБ (2009). «Механизм Энглерта – Браута – Хиггса – Гуральника – Хагена – Киббла» . Схоларпедия . 4 (1): 6441. Бибкод : 2009SchpJ...4.6441K . doi : 10.4249/scholarpedia.6441 .
• Органтини, Джованни (2016). «Механизм Хиггса для студентов» . Труды по ядерной физике и физике элементарных частиц . 273–275. Эльзевир : 2572–2574. Бибкод : 2016НППП..273.2572О . doi : 10.1016/j.nuclphysbps.2015.09.463 . HDL : 11573/1072015 .

Внешние ссылки

• Педагогическое введение в нарушение электрослабой симметрии с пошаговым выводом многих ключевых отношений, не встречающихся в текстах, см. «Нарушение электрослабой симметрии» (PDF) . Quantumfieldtheory.info .
• Гуральник Г.С.; Хаген, Чехия; Киббл, TWB (1964). «Глобальные законы сохранения и безмассовые частицы» . Письма о физических отзывах . 13 (20): 585–87. Бибкод : 1964PhRvL..13..585G . дои : 10.1103/PhysRevLett.13.585 .
• Марк Д. Робертс (1999). «Обобщенная модель Хиггса». arXiv : hep-th/9904080 .
• ФермиФред (2010). Приз Сакураи – Все мероприятия (видео) – на YouTube.
• Стивен Вайнберг, Техасский университет в Остине (21 января 2008 г.). «От БКС к БАКу» . ЦЕРН Курьер .
• Вайнберг, Стивен (11 июня 2009 г.). Хиггс, темная материя и суперсимметрия: Что нам расскажет Большой адронный коллайдер (видео). Zl4W3DYTIKw – через YouTube.
• Гуральник, Джерри. Гуральник выступает в Университете Брауна о документах PRL 1964 года (видео). WLZ78gwWQI0 – через YouTube.
• Гуральник, Джеральд (март 2013 г.). «Еретические идеи, ставшие краеугольным камнем стандартной модели физики элементарных частиц» . САУ Mitteilungen (39): 14. Архивировано из оригинала 15 октября 2013 г. Проверено 23 мая 2013 г.
• «Стивен Вайнберг хвалит команды за теорию бозона Хиггса» . Архивировано из оригинала 16 апреля 2008 г.
• «Документы к 50-летию» . Письма о физических отзывах . 12 февраля 2014 г.
• «Документы к 50-летию ПРЛ» . Имперский колледж Лондона. 13 июня 2008 г.
• Киббл, Том (2009). «Механизм Энглерта – Браута – Хиггса – Гуральника – Хагена – Киббла» . Схоларпедия . 4 (1): 6441. Бибкод : 2009SchpJ...4.6441K . doi : 10.4249/scholarpedia.6441 .
• Киббл, Том (2009). «Механизм Энглерта – Браута – Хиггса – Гуральника – Хагена – Киббла (история)» . Схоларпедия . 4 (1): 8741. Бибкод : 2009SchpJ...4.8741K . doi : 10.4249/scholarpedia.8741 .
• «Охота на Хиггса у Тэватрона» (PDF) .
• Грист, Ким. Тайна пустого пространства – лекция с физиком Калифорнийского университета в Сан-Франциско Кимом Гристом (43 минуты) (видео). Телевидение Калифорнийского университета. Y-vKh_jKX7Q – через YouTube.