Дрожащая рука, идеальное равновесие.

Дрожащая рука обширной формы, идеальное равновесие.
Дрожащая рука обширной формы, идеальное равновесие.
Концепция решения в теории игр
Отношение
Подмножество	Идеальное равновесие подыгры , Идеальное байесовское равновесие , Последовательное равновесие
Значение
Предложено	Райнхард Зельтен
Используется для	Обширная форма игры

(Нормальная форма) дрожащая рука идеальное равновесие
(Нормальная форма) дрожащая рука идеальное равновесие
Концепция решения в теории игр
Отношение
Подмножество	Равновесие Нэша
Суперсет	Правильное равновесие
Значение
Предложено	Райнхард Зельтен

В теории игр идеальное равновесие «дрожащей рукой» — это разновидность уточненного равновесия Нэша , которое впервые было предложено Райнхардом Зельтеном . ^[1] Идеальное равновесие дрожащей руки — это равновесие, которое учитывает возможность неравновесной игры, предполагая, что игроки из-за «проскальзывания рук» или дрожи могут выбрать непреднамеренные стратегии , хотя и с незначительной вероятностью .

Определение

Сначала определим возмущенную игру . Искаженная игра — это копия базовой игры с тем ограничением, что только полностью смешанные разрешено использовать стратегии. Полностью смешанная стратегия — это смешанная стратегия, в которой каждая стратегия (как чистая, так и смешанная) используется с ненулевой вероятностью. Это «дрожащие руки» игроков; иногда они используют другую стратегию, отличную от той, которую намеревались использовать. Затем определите набор стратегий S (в базовой игре) как совершенный дрожащей рукой, если существует последовательность возмущенных игр, сходящихся к основной игре, в которой существует ряд равновесий Нэша , сходящихся к S.

Примечание. Все полностью смешанные равновесия Нэша идеальны.

Примечание 2. Расширение смешанной стратегии любой конечной игры в нормальной форме имеет по крайней мере одно идеальное равновесие. ^[2]

Пример

Игра, представленная в следующей матрице нормальной формы, имеет два равновесия Нэша в чистой стратегии , а именно: $\langle {\text{Up}},{\text{Left}}\rangle$ и $\langle {\text{Down}},{\text{Right}}\rangle$ . Однако только $\langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle$ совершенен дрожащими руками.

	Левый	Верно
Вверх	1, 1	2, 0
Вниз	0, 2	2, 2
Дрожащая рука, идеальное равновесие.

Предположим, что игрок 1 (игрок в ряду) использует смешанную стратегию. $(1-\varepsilon ,\varepsilon )$ , для $0<\varepsilon <1$ .

Ожидаемый выигрыш игрока 2 от игры L составляет:

1(1-\varepsilon )+2\varepsilon =1+\varepsilon

Ожидаемый выигрыш игрока 2 от стратегии R составит:

0(1-\varepsilon )+2\varepsilon =2\varepsilon

Для небольших значений $\varepsilon$ , игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, помещая минимальный вес на R и максимальный вес на L. По симметрии игрок 1 должен приложить минимальный вес на D и максимальный вес на U, если игрок 2 играет смешанную стратегию $(1-\varepsilon ,\varepsilon )$ . Следовательно $\langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle$ совершенен дрожащими руками.

Однако аналогичный анализ не работает для профиля стратегии $\langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle$ .

Предположим, что игрок 2 использует смешанную стратегию. $(\varepsilon ,1-\varepsilon )$ . Ожидаемый выигрыш игрока 1 от игры U составляет:

1\varepsilon +2(1-\varepsilon )=2-\varepsilon

Ожидаемый выигрыш игрока 1 от игры D составит:

0(\varepsilon )+2(1-\varepsilon )=2-2\varepsilon

Для всех положительных значений $\varepsilon$ , игрок 1 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, помещая минимальный вес на D и максимальный вес на U. Следовательно $\langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle$ не является идеальным, поскольку игрок 2 (и, по симметрии, игрок 1) максимизирует свой ожидаемый выигрыш, чаще всего отклоняясь от L, если существует небольшая вероятность ошибки в поведении игрока 1.

Равновесие в играх двух игроков.

Для игр 2x2 набор идеальных равновесий дрожащей руки совпадает с набором равновесий, состоящим из двух недоминируемых стратегий. В приведенном выше примере мы видим, что равновесие <Вниз, Вправо> несовершенно, поскольку Левое (слабо) доминирует Вправо для Игрока 2, а Вверх (слабо) доминирует Вниз для Игрока 1. ^[3]

Равновесия игр развернутой формы.

Есть два возможных способа распространить определение совершенства дрожащих рук на игры с обширной формой .

Можно интерпретировать развернутую форму как просто краткое описание игры нормальной формы и применить концепции, описанные выше, к этой игре нормальной формы. В результирующих возмущенных играх каждая стратегия игры развернутой формы должна использоваться с ненулевой вероятностью. Это приводит к представлению о нормальной форме идеального равновесия дрожащей руки .
В качестве альтернативы можно вспомнить, что трепеты следует интерпретировать как ошибки моделирования, допущенные игроками с некоторой незначительной вероятностью во время игры. Такая ошибка, скорее всего, будет заключаться в том, что игрок в какой-то момент игры сделает ход, отличный от запланированного. Вряд ли это будет состоять в том, что игрок выберет другую стратегию , чем предполагалось, то есть неправильный план всей игры. Чтобы уловить это, можно определить возмущенную игру, потребовав, чтобы каждый ход в каждом наборе информации выполнялся с ненулевой вероятностью. Пределы равновесия таких возмущенных игр, когда вероятности дрожания стремятся к нулю, называются совершенными равновесиями с дрожащей рукой в развернутой форме .

Понятия равновесия с идеальной дрожащей рукой в нормальной форме и развернутой форме несопоставимы, т. е. равновесие в игре в развернутой форме может быть идеальным равновесием с идеальной дрожащей рукой в нормальной форме, но не в развернутой форме, и наоборот. В качестве крайнего примера Жан-Франсуа Мертенс привел пример игры развернутой формы для двух игроков, в которой недопустимо совершенное равновесие с дрожащей рукой развернутой формы, т. е. наборы совершенной дрожащей руки расширенной формы и нормальной формы. равновесия в этой игре не пересекаются. ^{[ нужна ссылка ]}

Совершенное равновесие с дрожащей рукой в развернутой форме также является последовательным равновесием . Идеальное равновесие дрожащей руки в нормальной форме в игре с расширенной формой может быть последовательным, но это не обязательно так. Фактически, идеальное равновесие с дрожащей рукой в нормальной форме даже не обязательно должно быть идеальным на подигре .

Проблемы с совершенством

Майерсон (1978) ^[4] отметил, что совершенство чувствительно к добавлению строго доминируемой стратегии, и вместо этого предложил другое уточнение, известное как правильное равновесие .

Ссылки

^ Зельтен, Р. (1975). «Пересмотр концепции совершенства для точек равновесия в экстенсивных играх» . Международный журнал теории игр . 4 (1): 25–55. дои : 10.1007/BF01766400 .
^ Селтен, Р.: Пересмотр концепции совершенства точек равновесия в обширных играх. Межд. Дж. Теория игр4, 1975, 25–55.
^ Ван Дамм, Эрик (1987). Устойчивость и совершенство равновесий Нэша . дои : 10.1007/978-3-642-96978-2 . ISBN 978-3-642-96980-5 .
^ Майерсон, Роджер Б. «Уточнения концепции равновесия Нэша». Международный журнал теории игр 7.2 (1978): 73-80.

Дальнейшее чтение

Осборн, Мартин Дж.; Рубинштейн, Ариэль (1994). Курс теории игр . МТИ Пресс. стр. 246–254. ISBN 9780262650403 .

[1] Зельтен, Р. (1975). «Пересмотр концепции совершенства для точек равновесия в экстенсивных играх» . Международный журнал теории игр . 4 (1): 25–55. дои : 10.1007/BF01766400 .

[2] Селтен, Р.: Пересмотр концепции совершенства точек равновесия в обширных играх. Межд. Дж. Теория игр4, 1975, 25–55.

[3] Ван Дамм, Эрик (1987). Устойчивость и совершенство равновесий Нэша . дои : 10.1007/978-3-642-96978-2 . ISBN 978-3-642-96980-5 .

[4] Майерсон, Роджер Б. «Уточнения концепции равновесия Нэша». Международный журнал теории игр 7.2 (1978): 73-80.

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Темы теории игр
Определения	Игра с пробками Кооперативная игра Определенность Эскалация обязательств Игра развернутой формы Победа первого и второго игрока Сложность игры Графическая игра Иерархия убеждений Информационный набор Игра в нормальной форме Предпочтение Последовательная игра Одновременная игра Выбор одновременного действия Решенная игра Краткая игра Конструкция механизма
Равновесие концепции	Байесовское коррелированное равновесие Байесовское равновесие Нэша Равновесие Бержа Основной Коррелированное равновесие Коалиционно-устойчивое равновесие Нэша Эпсилон-равновесие Эволюционно стабильная стратегия Равновесие Гиббса Устойчивое равновесие Мертенса Марковское совершенное равновесие Равновесие Нэша Парето-эффективность Идеальное байесовское равновесие Правильное равновесие Равновесие квантового ответа Практически идеальный баланс Доминирование риска Равновесие удовлетворенности Самоподтверждающееся равновесие Последовательное равновесие Значение Шепли Сильное равновесие Нэша Совершенство подигры Дрожащая рука, равновесие
Стратегии	Умиротворение Обратная индукция Затенение ставок Сговор Дешевый разговор Деэскалация Сдерживание Эскалация Прямая индукция Мрачный триггер Марковская стратегия Доминирующие стратегии Чистая стратегия Смешанная стратегия Аргумент о краже стратегии Око за око
Классы игр	Аукцион Проблема с переговорами Глобальная игра Непереходная игра Среднее поле игры n игроков игра для Идеальная информация Большая игра Пуассона Потенциальная игра Повторная игра Скрининговая игра Сигнальная игра Строго определенная игра Стохастическая игра Симметричная игра Игра с нулевой суммой
Игры	Идти шахматы Бесконечные шахматы Шашки Аукцион с полной оплатой Дилемма заключенного Игра-обмен подарками Необязательная дилемма заключенного Дилемма путешественника Координационная игра Курица игра многоножка Сигнальная игра Льюиса Дилемма волонтера Долларовый аукцион Битва полов Охота на оленя Соответствующие пенни Ультиматум игра Электронная почтовая игра Камень-ножницы-бумага Пиратская игра Диктатор игра Игра «Общественные блага» Блото игра Война на истощение Проблема с баром Эль-Фарол Ярмарочный отдел Ярмарка разрезания торта Бертран конкурс Конкурс Курно конкурс Штакельберга Тупик Дилемма закусочной Угадайте 2/3 от среднего Кун покер Торговая игра Нэша Индукционные головоломки Доверительная игра Игра Принцесса и монстр Проблема встречи
Теоремы	Теорема согласия Ауманна Народная теория Теорема о минимаксе Nash's theorem Теорема Негамакса Теорема очистки Принцип откровения Теорема Спрэга – Гранди Теорема Цермело
Ключ цифры	Альберт В. Такер Амос Тверски Антуан Огюстен Курно Ариэль Рубинштейн Клод Шеннон Дэниел Канеман Дэвид К. Левин Дэвид М. Крепс Дональд Б. Гиллис Дрю Фуденберг Эрик Маскин Гарольд В. Кун Герберт Саймон Эрве Мулен Джон Конвей Жан Тироль Жан-Франсуа Мертенс Дженнифер Тур Чейес Джон Харсаньи Джон Мейнард Смит Джон Нэш Джон фон Нейман Кеннет Эрроу Кеннет Бинмор Леонид Гурвич Ллойд Шепли Мелвин Дрешер Меррилл М. Флуд Ольга Бондарева Оскар Моргенштерн Пол Милгром Пейтон Янг Райнхард Зельтен Роберт Аксельрод Роберт Ауманн Роберт Б. Уилсон Роджер Майерсон Сэмюэл Боулз Сюзанна Скотчмер Томас Шеллинг Уильям Викри
Разнообразный	Альфа-бета-обрезка Ограниченная рациональность Комбинаторная теория игр Анализ конфронтации сотрудничество Эволюционная теория игр Глоссарий теории игр Список теоретиков игр Список игр по теории игр Безвыходная ситуация Топологическая игра Трагедия общего пользования