Жесткая динамика тела

Движение каждого из компонентов парового двигателя Boulton & Watt (1784) может быть описано набором уравнений кинематики и кинетики.

В физической науке динамики динамика жесткого тела изучает движение систем взаимосвязанных тел под действием внешних сил . Предположение о том, что тела жесткие (то есть они не деформируются в соответствии с действием прикладных сил), упрощает анализ путем уменьшения параметров, которые описывают конфигурацию системы к переводу и вращению эталонных кадров, прикрепленных к каждому телу. Это исключает тела, которые отображают жидкость , высоко эластичное и пластиковое поведение.

Динамика жесткой системы тела описывается законами кинематики и применением второго закона Ньютона ( кинетика ) или их производной, Лагранжской механики . Решение этих уравнений движения дает описание позиции, движения и ускорения отдельных компонентов системы и в целом самой системы, как функция времени . Состав и решение динамики твердой тела является важным инструментом в компьютерном моделировании механических систем .

Планарная жесткая динамика тела

Если система частиц перемещается параллельно фиксированной плоскости, говорится, что система ограничена плоским движением. В этом случае законы Ньютона (кинетика) для жесткой системы n частиц, p _i , i = 1, ..., n нет движения , упрощают, потому что в направлении K . Определить результирующую силу и крутящий момент в контрольной точке r , чтобы получить $$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times m_{i}\mathbf {A} _{i},$$

где r _I обозначает плоскую траекторию каждой частицы.

Кинематика опорной частицы , твердого тела дает формулу для ускорения частицы P _i с точки зрения положения R и ускорения A а также вектор угловой скорости ω и углового ускоряющего вектор α жесткой системы частиц как как как В $$\mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {A} .$$

Для систем, которые ограничены плоским движением, угловые скорости и угловые векторы направляются вдоль K перпендикулярной плоскости движения, что упрощает это уравнение ускорения. В этом случае векторы ускорения могут быть упрощены путем введения единичных векторов E _I из контрольной точки R до точки R _I и векторов устройства ${\textstyle \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} \times \mathbf {e} _{i}}$, так $$\mathbf {A} _{i}=\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} .$$

Это дает результирующую силу в системе как $$\mathbf {F} =\alpha \sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i}\right)-\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\right)\mathbf {A} ,$$ и крутящий момент как $${\begin{aligned}\mathbf {T} ={}&\sum _{i=1}^{N}(m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})\times \left(\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} \right)\\{}={}&\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {k} +\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}$$

где ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i}=0}$ и ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} }$ Является ли единичный вектор, перпендикулярный плоскости для всех частиц p _i .

Используйте центр массы C в качестве контрольной точки, поэтому эти уравнения для законов Ньютона упрощаются, чтобы стать $$\mathbf {F} =M\mathbf {A} ,\quad \mathbf {T} =I_{\textbf {C}}\alpha \mathbf {k} ,$$

где m - это общая масса, а I _c - момент инерции о оси, перпендикулярной движению жесткой системы и через центр масс.

Жесткое тело в трех измерениях

Описания ориентации или отношения

Основная статья: Формализм вращения в трех измерениях

Было разработано несколько методов описания ориентаций твердого тела в трех измерениях. Они суммированы в следующих разделах.

Эйлер углы

Основная статья: Углы Эйлера

Первая попытка представить ориентацию объясняется Леонхардом Эйлером . Он представлял три эталонных кадра, которые могли вращать одну вокруг другого, и понял, что, начиная с фиксированной эталонной рамы и выполнив три вращения Исправьте две другие оси). Значения этих трех вращений называются углами Эйлера . Обычно $\psi$ используется для обозначения прецессии, $\theta$ Nutation, и $\phi$ Внутреннее вращение.

• 
  Диаграмма углов Эйлера
• 
  Внутреннее вращение шарика вокруг фиксированной оси
• 
  Движение вершины в углах Эйлера

Тейт -Бриан Углы

Основная статья: Углы Эйлера § Тейт -Криан Углы

Тейт -Криан Углы, другой способ описать ориентацию

Это три угла, также известные как рыскание, тона и рулона, углы навигации и углы кардана. Математически они представляют собой набор из шести возможностей внутри двенадцати возможных наборов углов Эйлера, причем упорядочение является одним из лучших для описания ориентации транспортного средства, такого как самолет. В аэрокосмической технике их обычно называют углами Эйлера.

Вектор ориентации

: Основная статья

Эйлер также понял, что состав двух вращений эквивалентен одному вращению вокруг другой фиксированной оси ( теорема вращения Эйлера ). Следовательно, состав первых трех углов должен быть равен только одному вращению, ось которой была сложна для расчета до тех пор, пока не были разработаны матрицы.

Основываясь на этом факте, он ввел векторный способ описать любое вращение, с вектором на оси вращения и модуль, равное значению угла. Следовательно, любая ориентация может быть представлена ​​вектором вращения (также называемого Euler Vector), который приводит к ней из эталонной кадра. При использовании для представления ориентации вектор вращения обычно называют вектором ориентации или вектором отношения.

Аналогичный метод, называемый представлением угла оси , описывает вращение или ориентацию с использованием единичного вектора, выровненного с осью вращения, и отдельное значение для указания угла (см. Рисунок).

Ориентационная матрица

Основная статья: Матрица вращения

С введением матриц теоремы Эйлера были переписаны. Вращения были описаны ортогональными матрицами, называемыми матрицами вращения или косинусными матрицами направления. При использовании для представления ориентации матрица вращения обычно называют матрицей ориентации или матрицей отношения.

Вышеупомянутый вектор Эйлера является собственным вектором матрицы вращения (матрица вращения имеет уникальное реальное собственное значение ). Продуктом двух матриц вращения является состав вращений. Следовательно, как и прежде, ориентация может быть назначена как вращение от начальной кадра для достижения кадра, которую мы хотим описать.

Пространство конфигурации не симметричного объекта в n -размерном пространстве таково ( n ) × r ^не Полем Ориентация может быть визуализирована путем прикрепления основы касательных векторов к объекту. Направление, в котором каждая точка вектора определяет его ориентацию.

Ориентация Кватернион

Основная статья: кватернионы и пространственное вращение

Другим способом описания вращений является использование кватернионов вращения , также называемых Versors. Они эквивалентны матрицам вращения и векторам вращения. Что касается векторов вращения, их можно легче преобразовать в матрицы и обратно. При использовании для представления ориентаций кватернионы вращения обычно называют кватернионами ориентации или кватернионам отношения.

Второй закон Ньютона в трех измерениях

Чтобы рассмотреть жесткую динамику тела в трехмерном пространстве, второй закон Ньютона должен быть расширен для определения взаимосвязи между движением твердого тела и системой сил и крутящих моментов, которые действуют на него.

Ньютон сформулировал свой второй закон для частицы как: «Изменение движения объекта пропорционально впечатленной силе и производится в направлении прямой линии, в которой сила впечатлена». Поскольку Ньютон обычно называл скорость массового времени как «движение» частицы, фраза «изменение движения» относится к ускорению времен массы частицы, и поэтому этот закон обычно написан как $$\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,$$ где F понимается как единственная внешняя сила, действующая на частицу, M является массой частицы, а A - это вектор ускорения. Расширение второго закона Ньютона на жесткие тела достигается с учетом жесткой системы частиц.

Жесткая система частиц

Если система n частиц, p _i , i = 1, ..., n , собирается в твердое тело, то второй закон Ньютона может быть применен к каждой из частиц тела. Если F _I является внешней силой, приложенной к частицам P _I с массой M _I , то тогда $$\mathbf {F} _{i}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{ij}=m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad i=1,\ldots ,N,$$ где F _IJ является внутренней силой частицы P _J, действующей на частицу P _I , которая поддерживает постоянное расстояние между этими частицами.

Человеческое тело смоделировано как система жестких тел геометрических твердых веществ. Репрезентативные кости были добавлены для лучшей визуализации пешеходного человека.

Важное упрощение этих уравнений силы получается путем введения результирующей силы и крутящего момента, который действует в жесткой системе. Эта результирующая сила и крутящий момент получают путем выбора одной из частиц в системе в качестве контрольной точки, R , где каждая из внешних сил применяется с добавлением связанного крутящего момента. Результирующая сила F и крутящий момент t дают формулами, $$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},$$ где r _I - вектор, который определяет положение частицы p _i .

Второй закон Ньютона для частицы в сочетании с этими формулами для получения результирующей силы и крутящего момента $$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i}),$$ где внутренние силы отменяются _парами . Кинематика опорной частицы , твердого тела дает формулу для ускорения частицы P _i с точки зрения положения R и ускорения A а также вектор угловой скорости ω и углового ускоряющего вектор α жесткой системы частиц как как как В $$\mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {a} .$$

Массовые свойства

Массовые свойства твердого тела представлены его центром массовой и инерционной матрицы . Выберите точку отсчета R, чтобы он удовлетворял условию $$\sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )=0,$$

Тогда он известен как центр масс системы.

Матрица инерции [i _r ] системы относительно эталонной точки r определяется $$[I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\mathbf {I} \left(\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}\right)-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\right),$$

где $\mathbf {S} _{i}$ это вектор столбца R _I - R ; $\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}$ его транспонирование, и $\mathbf {I}$ это матрица 3 на 3 идентификации.

$\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}$ это скалярное произведение $\mathbf {S} _{i}$ с самим собой, пока $\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}$ Тенсорный продукт $\mathbf {S} _{i}$ с самим собой.

Уравнения силового круга

Используя центр массовой и инерционной матрицы, уравнения силы и крутящего момента для одного твердого тела принимают форму $$\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,$$ и известны как второй закон Ньютона для жесткого органа.

Динамика взаимосвязанной системы твердых тел, B _I , J = 1, ..., M , сформулирована путем выделения каждого твердого тела и введения сил взаимодействия. Результат внешних и взаимодействующих сил на каждом теле дает уравнения силового круга $$\mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.$$

Составление Ньютона дает 6 -м уравнения, которые определяют динамику системы жестких тел.

Вращение в трех измерениях

Вращающийся объект, независимо от того, под влиянием крутящих моментов или нет, может проявлять поведение прецессии и оттока . Фундаментальное уравнение, описывающее поведение вращающегося твердого тела, является уравнением движения Эйлера : $${\boldsymbol {\tau }}={\frac {D\mathbf {L} }{Dt}}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} ={\frac {d(I{\boldsymbol {\omega }})}{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}$$ Если псевдовекторы τ и l , соответственно, крутящими моментами на организме и его угловом импульсе , скаляр I - это момент его инерции , вектор ω - его угловая скорость, вектор α - его угловое ускорение, D - дифференциал в в Инерциальный эталонный кадр и D являются дифференциалом в относительной опорной рамке, закрепленной телом.

Решение этого уравнения, когда в статьях обсуждается крутящий Эллипсоида Пульсота момент .

Из уравнения Эйлера следует, что крутящий момент τ, нанесенный перпендикулярно оси вращения, и, следовательно, перпендикулярно , приводит к вращению вокруг оси, перпендикулярной как τ, так и L. L Это движение называется прецессией . Угловая скорость прецессии ω _p определяется поперечным продуктом : $${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {P} }\times \mathbf {L} .$$

Прецессия гироскопа

Процессия может быть продемонстрирована путем размещения вращающегося верхней части с горизонтальной осью и свободно поддерживается (без трения к прецессии) на одном конце. Вместо того, чтобы падать, как и следовало ожидать, вершина, по -видимому, бросает вызов гравитации, оставаясь с горизонтальной осью, когда другой конец оси остается неподдерживаемым, а свободный конец оси медленно описывает круг в горизонтальной плоскости, полученный прецессия поворачивается. Этот эффект объясняется вышеуказанными уравнениями. Крутящий момент на вершине поставляется несколькими силами: гравитация, действующая вниз по центру масс устройства, и равной сил, действующей вверх, для поддержки одного конца устройства. Вращение, возникающее в результате этого крутящего момента, не вниз, как это может быть интуитивно ожидалось, в результате чего устройство упало, но перпендикулярно как гравитационному крутящему моменту (горизонтальный и перпендикулярный по отношению к оси вращения) и ось вращения (горизонтальный и наружный точка поддержки), т.е. о вертикальной оси, в результате чего устройство медленно вращается вокруг точки поддержки.

При постоянном крутящем моменте τ скорость прецессии ω _p обратно пропорциональна L , величина его углового импульса: $$\tau ={\mathit {\Omega }}_{\mathrm {P} }L\sin \theta ,$$ где θ - угол между векторами ω _p и l . Таким образом, если вращение вершины замедляется (например, из -за трения), его угловой импульс уменьшается, и поэтому скорость прецессии увеличивается. Это продолжается до тех пор, пока устройство не сможет вращаться достаточно быстро, чтобы поддержать свой вес, когда оно остановится, и не опадает его поддержку, в основном потому, что трение против прецессии вызывают еще одну прецессию, которая вызывает падение.

По соглашению, эти три вектора - крутящий момент, спин и прецессия - все ориентированы по отношению друг к другу в соответствии с правым правилом .

Виртуальная работа сил, действующих на твердое тело

Альтернативная формулировка динамики твердой тела, которая имеет ряд удобных функций, получается с учетом виртуальной работы сил, действующих на твердое тело.

Виртуальная работа сил, действующих в различных точках на одном твердого теле, может быть рассчитана с использованием скоростей их точки применения и результирующей силы и крутящего момента . Чтобы увидеть это, пусть силы F ₁ , f ₂ ... f _n действуют на точки r ₁ , r ₂ ... r _n в жестком теле.

Траектории r _i , i = 1, ..., n определяются движением твердого тела. Скорость точек r _I вдоль их траекторий $$\mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,$$ где ω - вектор угловой скорости тела.

Виртуальная работа

Работа вычисляется из точечного продукта каждой силы с перемещением точки контакта $$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}.$$ Если траектория твердого тела определяется набором обобщенных координат q _j , j = 1, ..., m , то виртуальные смещения Δ r _I даются $$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}.$$ Виртуальная работа этой системы сил, действующих на организм с точки зрения обобщенных координат, становится $$\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{1}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{n}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)$$

или сбор коэффициентов ΔQ _J $$\delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(\sum _{1=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}.$$

Генерализованные силы

Для простоты рассмотрим траекторию твердого тела, которая определяется одной обобщенной координатой Q, такой как угол вращения, тогда формула становится $$\delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} )}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.$$

Введите результирующую силу F и крутящий момент T , чтобы это уравнение приняло форму $$\delta W=\left(\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.$$

Количество q определяется $$Q=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}},$$

известен как обобщенная сила , связанная с виртуальным смещением ΔQ. Эта формула обобщается для движения твердого тела, определяемого более чем одной обобщенной координатой, то есть $$\delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},$$ где $$Q_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$$

Полезно отметить, что консервативные силы, такие как гравитационные и пружинные силы, получены из потенциальной функции V ( Q ₁ , ..., Q _n ) , известной как потенциальная энергия . В этом случае обобщенные силы даются $$Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$$

Форма принципа виртуальной работы Д'Алберта

Уравнения движения для механической системы жестких тел могут быть определены с использованием формы Д'Алемберта принципа виртуальной работы. Принцип виртуальной работы используется для изучения статического равновесия системы жестких тел, однако путем введения терминов ускорения в законах Ньютона. Этот подход обобщен для определения динамического равновесия.

Статическое равновесие

Статическое равновесие жестких тел механической системы определяется условием, которое виртуальная работа приложенных сил составляет нулевое для любого виртуального смещения системы. Это известно как принцип виртуальной работы. Это эквивалентно требованию, чтобы обобщенные силы для любого виртуального смещения равны нулю, то есть Q _I = 0.

Пусть механическая система будет построена из n жестких тел, b _i , i = 1, ..., n , и пусть результирующие приложенные силы на каждом теле будут пары силовой суеты, f _i и t _i , i = 1, ..., н . Обратите внимание, что эти прикладные силы не включают в себя силы реакции, в которых соединены тела. Наконец, предположим, что скорость V _I и угловые скорости ω _i , i = 1, ..., n , для каждого твердого тела определяются одним обобщенной координатой q. Говорят, что такая система жестких тел имеет одну степень свободы .

сил работа _крутя и Виртуальная _​ ​ $$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=Q\delta q,$$ где $$Q=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right),$$ является обобщенной силой, действующей в эту систему одной степени свободы.

Если механическая система определяется M -обобщенными координатами, Q _J , J = 1, ..., M , то система имеет M -степень свободы, а виртуальная работа дана, $$\delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},$$ где $$Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.$$ является обобщенной силой, связанной с обобщенной Q _J. координатой Принцип виртуальной работы гласит, что статическое равновесие происходит, когда эти обобщенные силы, действующие на систему, равны нулю, то есть $$Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots ,m.$$

Эти M уравнения определяют статическое равновесие системы жестких тел.

Общие инерционные силы

Рассмотрим единое твердое тело, которое движется под действием результирующей силы F и крутящего момента , с одной степенью свободы, определенной обобщенной координатой Q. T Предположим, что эталонная точка для результирующей силы и крутящего момента является центром масс тела, тогда обобщенная сила инерции Q*, связанная с обобщенной координатой Q, задается $$Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-\left([I_{R}]{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.$$

Эта инерционная сила может быть рассчитана из кинетической энергии твердого тела, $$T={\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},$$ с помощью формулы $$Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).$$

Система жестких тел с M -обобщенными координатами имеет кинетическую энергию $$T=\sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),$$ который может быть использован для расчета генерализованных сил инерции M $$Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.$$

Динамическое равновесие

Форма принципа виртуальной работы D'Alembert гласит, что система жестких тел находится в динамическом равновесии, когда виртуальная работа суммы прикладных сил и инерционных сил составляет нулевой для любого виртуального смещения системы. Таким образом, динамическое равновесие системы с жесткими телами с M Общие координаты требует, чтобы $$\delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,$$ любого набора виртуальных смещений ΔQ _J. Для Это условие дает уравнения M , $$Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,$$ который также может быть написан как $${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.$$ Результатом является набор уравнений движений М, которые определяют динамику системы твердой тела.

Уравнения Лагранжа

Если обобщенные силы Q _J можно получить из потенциальной энергии V ( Q ₁ , ..., Q _M ) , то эти уравнения движения принимают форму $${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$$

В этом случае представьте лагранжиан , l = t - v , чтобы эти уравнения движения стали $${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.$$ Они известны как уравнения движения Лагранжа .

Линейный и угловой импульс

Система частиц

Линейный и угловой импульс жесткой системы частиц сформулируется путем измерения положения и скорости частиц относительно центра масс. Пусть система частиц p _i , i = 1, ..., n будет расположена на координатах r _i и velocities v _i . Выберите контрольную точку r и вычислить векторы относительного положения и скорости, $$\mathbf {r} _{i}=\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} .$$

Общие линейные и угловые векторы по сравнению с эталонной r точкой $$\mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,$$ и $$\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)\times \mathbf {V} .$$

Если r выбран в качестве центра масс, эти упрощения упрощают $$\mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right).$$

Жесткая система частиц

Чтобы специализировать эти формулы до твердого тела, предположим, что частицы жестко связаны друг с другом, поэтому P _i , i = 1, ..., n расположены по координатам R _I и скоростям V _i . Выберите контрольную точку r и вычислить векторы относительного положения и скорости, $$\mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}=\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,$$ где ω - угловая скорость системы.

Линейный импульс и угловой импульс этой жесткой системы, измеренный по сравнению с центром -r масс $$\mathbf {p} =\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )).$$

Эти уравнения упрощаются, чтобы стать, $$\mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,$$ где m - общая масса системы, а [i _r ] - момент инерционной матрицы, определенной $$[I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],$$ где [r _i -r]-это симметричная матрица, построенная из вектора r _i - r .

Приложения

• Для анализа роботизированных систем
• Для биомеханического анализа животных, людей или гуманоидных систем
• Для анализа космических объектов
• Для понимания странных движений жестких тел.
• Для разработки и разработки динамических датчиков, таких как гироскопические датчики.
• Для разработки и разработки различных приложений для повышения стабильности в автомобилях.
• Для улучшения графики видеоигр, которая включает в себя твердые тела

Смотрите также

• Аналитическая механика
• Аналитическая динамика
• Исчисление вариаций
• Классическая механика
• Динамика (механика)
• История классической механики
• Лагранжская механика
• Лагранжиан
• Гамильтонианская механика
• Жесткое тело
• Жесткий ротор
• Динамика мягкого тела
• Многомерная система
• Половина
• Герполход
• Прецессия
• Эллипсоид Поинсота
• Гироскоп
• Физический двигатель
• Физическая обработка блока
• Уровень абстракции физики - унифицированный многомодный симулятор
• Rigidchips -японский симулятор жесткого тела
• Уравнение Эйлера

Дальнейшее чтение

• Э. Лейманис (1965). Общая проблема движения связанных жестких тел вокруг фиксированной точки. ( Спрингер , Нью -Йорк).
• WB Heard (2006). Грезная механика тела: математика, физика и приложения. ( Wiley-VCH ).

Внешние ссылки

• Информация о динамике жесткой динамики Криса Хеккера Аархивирована 12 марта 2007 года на машине Wayback
• Физически основанное на моделировании: принципы и практика
• База знаний DigitalRune Archived 20 ноября 2008 года на машине Wayback содержит мастер -диссертация и коллекцию ресурсов о твердой динамике тела.
• Ф. Кляйн, «Примечание о связи между геометрией линии и механикой жестких тел» (английский перевод)
• Ф. Кляйн, «О теории винтов сэра Роберта Болла» (английский перевод)
• Э. Коттон, «Применение геометрии Кейли к геометрическому исследованию смещения твердого тела вокруг фиксированной точки» (английский перевод)