Пиратская игра

Чтобы узнать о других значениях, см. Пират (значения) § Игры и игрушки .

Игра «Пират» — это простая математическая игра . Это многопользовательская версия игры-ультиматума .

Игра

Есть пять разумных пиратов (в строгом порядке убывания старшинства A, B, C, D и E), которые нашли 100 золотых монет. Они должны решить, как их распределить.

Правила распределения пиратского мира гласят, что самый старший пират первым предлагает план распределения. Затем пираты, включая того, кто предложил, голосуют за то, принимать ли это распространение. Если большинство принимает план, монеты выплачиваются, и игра заканчивается. В случае равенства голосов решающий голос имеет автор предложения . Если большинство отклоняет план, предлагающий выбрасывается за борт пиратского корабля и умирает, а следующий по старшинству пират делает новое предложение начать систему заново. Процесс повторяется до тех пор, пока план не будет принят или пока не останется один пират.

Пираты основывают свои решения на четырех факторах:

1. Каждый пират хочет выжить.
2. Учитывая выживание, каждый пират хочет максимизировать количество получаемых им золотых монет.
3. Каждый пират предпочел бы выбросить за борт другого, если бы все остальные результаты были равными.
4. Пираты не доверяют друг другу и не будут давать и выполнять какие-либо обещания между пиратами, кроме предлагаемого плана распределения, согласно которому каждому пирату будет предоставлено целое количество золотых монет.

Результат

Чтобы увеличить вероятность того, что их план будет принят, можно было бы ожидать, что Пирату А придется предложить другим пиратам большую часть золота. Однако это далеко от теоретического результата. Когда каждый из пиратов будет голосовать, он будет думать не только о текущем предложении, но и о других результатах в будущем. Кроме того, порядок старшинства известен заранее, поэтому каждый из них может точно предсказать, как проголосуют остальные при любом сценарии. Это станет очевидным, если мы будем действовать в обратном направлении.

В последнем возможном сценарии все пираты, кроме D и E, будут выброшены за борт. Поскольку D старше E, они имеют решающий голос ; поэтому D предложит оставить 100 себе и 0 E.

Если осталось трое (C, D и E), C знает, что D предложит E 0 в следующем раунде; следовательно, C должен предложить E одну монету в этом раунде, чтобы получить голос E. Следовательно, когда осталось только три, распределение будет следующим: C:99, D:0, E:1.

Если B, C, D и E останутся, B может предложить D 1; поскольку B имеет решающий голос, требуется только голос D. Таким образом, B предлагает B:99, C:0, D:1, E:0.

(В предыдущем раунде можно было бы рассмотреть предложение B:99, C:0, D:0, E:1, поскольку E знает, что не сможет получить больше монет, если таковые имеются, если E выбросит B за борт. Но , поскольку каждый пират жаждет выбросить остальных за борт, E предпочел бы убить B, чтобы получить такое же количество золота от C.)

Обладая этими знаниями, A может рассчитывать на поддержку C и E для следующего распределения, которое является окончательным решением:

• А: 98 монет
• Б: 0 монет
• С: 1 монета
• Д: 0 монет
• Э: 1 монета

(Примечание: A:98, B:0, C:0, D:1, E:1 или другие варианты недостаточно хороши, поскольку D предпочел бы выбросить A за борт, чтобы получить такое же количество золота от B.)

Расширение

Решение следует той же общей схеме для другого количества пиратов и/или монет. Однако характер игры меняется, когда пиратов становится в два раза больше, чем монет. Ян Стюарт написал о расширении Стивом Омохундро произвольного числа пиратов в майском выпуске журнала Scientific American за 1999 год и описал довольно сложную закономерность, возникающую в результате решения.

Предположим, что имеется всего 100 золотых монет, тогда:

• Пират № 201 в качестве капитана может остаться в живых, только отдав все золото пиратам с наименьшим нечетным номером, не оставив ни одного.
• Пират №202 в качестве капитана может остаться в живых, только не взяв золото и предложив по одному золотому каждому 100 пиратам, которые не получат золотую монету от №201. Следовательно, существует 101 возможный получатель этих взяток в одну золотую монету — это 100 пиратов с четными номерами до 200 и номером #201. Поскольку нет никаких ограничений относительно того, какие 100 из этих 101 они выберут, любой выбор одинаково хорош, и их можно рассматривать как случайный выбор. Именно так шанс начинает принимать во внимание пиратов с более высоким номером.
• У пирата №203 в качестве капитана не будет достаточно золота, чтобы подкупить большинство, и он умрет.
• Пират № 204 в качестве капитана получает голос № 203 без взяток: № 203 выживет только в том случае, если выживет и № 204. Таким образом, #204 может оставаться в безопасности, набрав 102 голоса, подкупив 100 пиратов одной золотой монетой каждый. Скорее всего, это сработает путем подкупа пиратов с нечетными номерами, включая № 202, которые ничего не получат от № 203. Однако вместо этого также можно подкупить других, поскольку у них есть только 100/101 шанс получить золотую монету от пирата № 202.
• Имея 205 пиратов, все пираты бара № 205 предпочитают убить № 205, если ему не дадут золото, поэтому № 205 обречен как капитан.
• Аналогично с 206 или 207 пиратами, только голоса от #205 до #206/7 обеспечены без золота, что недостаточно для голосов, поэтому #206 и #207 также обречены.
• Для 208 пиратов голосов самосохранения из №205, №206 и №207 без всякого золота достаточно, чтобы позволить №208 набрать 104 голоса и выжить.

В общем случае, если G — количество золотых монет, а N (> 2G) — количество пиратов, то

• Выживут все пираты, число которых меньше или равно 2G + M, где M — высшая степень 2, не превышающая N — 2G.
• Любые пираты, число которых превышает 2G+M, погибнут.
• Любой пират, чье число превышает 2G + M/2, не получит золота.
• Не существует однозначного решения относительно того, кто получит одну золотую монету, а кто нет, если количество пиратов составляет 2G+2 или больше. Простое решение дает одно золото нечетным или четным пиратам до 2G в зависимости от того, является ли M четной или нечетной степенью 2.

Другой способ увидеть это состоит в том, чтобы понять, что каждый пират M будет иметь голос всех пиратов от M/2 + 1 до M из соображений самосохранения, поскольку их выживание обеспечивается только выживанием пирата M. Поскольку самый высокий рейтинг пират может разорвать ничью, капитану нужны голоса только половины пиратов более 2G, что происходит только каждый раз, когда (2G + степень 2 достигается ). Например, при наличии 100 золотых и 500 пиратов пираты с номерами от 500 до 457 умирают, а затем выживают №456 (поскольку 456 = 200 + 2 ⁸ ), поскольку у них есть 128 гарантированных голосов самосохранения пиратов с №329 по №456, плюс 100 голосов от пиратов, которых они подкупают, что составляет 228 голосов, которые им нужны. Число пиратов после №200, которые могут гарантировать свое выживание в качестве капитана со 100 золотыми монетами, составляет №201, №202, №204, №208, №216, №232, №264, №328, №456, №712 и т. д. .: их разделяют все более длинные вереницы пиратов, которые обречены, какое бы разделение они ни предлагали.

См. также

• Креативное решение проблем
• Латеральное мышление

Ссылки

• Роберт Э. Гудин, изд. (1998). «Глава 3: Вторые лучшие теории». Теория институционального дизайна . Издательство Кембриджского университета. стр. 90–102. ISBN  978-0-521-63643-8 .