Размерный анализ

В технике и науке . анализ размеров — это анализ взаимосвязей между различными физическими величинами путем определения их основных величин (таких как длина , масса , время и электрический ток ) и единиц измерения (таких как метры и граммы) и отслеживания этих размеров по мере выполнения расчетов или сравнений. Термин размерный анализ также используется для обозначения преобразования единиц измерения из одной размерной единицы в другую, что можно использовать для оценки научных формул.

Соизмеримые физические величины однородны и имеют одинаковую размерность и могут непосредственно сравниваться друг с другом, даже если они выражены в разных единицах измерения; например, метры и футы, граммы и фунты, секунды и годы. Несоизмеримые физические величины бывают разных видов и имеют разные размерности, и их нельзя напрямую сравнивать друг с другом, независимо от того, в каких единицах они выражаются, например, метры и граммы, секунды и граммы, метры и секунды. Например, бессмысленно спрашивать, больше ли грамм часа.

Любое физически значимое уравнение или неравенство иметь одинаковые размерности в левой и правой частях — должно свойство, известное как размерная однородность . Проверка размерной однородности — это распространенное применение анализа размерностей, служащее проверкой достоверности полученных уравнений и вычислений . Он также служит руководством и ограничением при выводе уравнений, которые могут описывать физическую систему в отсутствие более строгого вывода.

Понятие физической размерности и размерного анализа было введено Жозефом Фурье в 1822 году.

Формулировка

«Измерение (физика)» перенаправляется сюда. Физические размеры см. в разделе Размер .

Теорема Букингема о π описывает, как каждое физически значимое уравнение с участием n переменных может быть эквивалентно переписано как уравнение с n - m безразмерными параметрами, где m - ранг размерной матрицы . Кроме того, что наиболее важно, он предоставляет метод вычисления этих безразмерных параметров по заданным переменным.

Уравнение размерностей может уменьшить или исключить размерности посредством обезразмеривания , которое начинается с анализа размерностей и включает масштабирование величин по характерным единицам системы или физическим константам природы. Это может дать представление о фундаментальных свойствах системы, как показано в примерах ниже.

Размерность физической величины может быть выражена как произведение основных физических измерений, таких как длина, масса и время, каждое из которых возведено в целую (а иногда и рациональную ) степень . Размерность шкала физической величины более фундаментальна, чем некоторая или единица измерения, используемая для выражения величины этой физической величины. Например, масса — это измерение, а килограмм — это определенная эталонная величина, выбранная для выражения количества массы. Выбор единицы произволен, и его выбор часто основан на историческом прецеденте. Естественные единицы , основанные только на универсальных константах, можно считать «менее произвольными».

Существует множество возможных вариантов базовых физических размеров. Стандарт SI выбирает следующие размеры и соответствующие символы размеров :

время (Т), длина (L), масса (М), электрический ток (I), абсолютная температура (Θ), количество вещества (N) и сила света (Дж).

Символы обычно пишутся римским шрифтом без засечек . Математически размерность величины Q определяется выражением

$\operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}^{a}{\mathsf {L}}^{b}{\mathsf {M}}^{c}{\mathsf {I}}^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}$

где a , b , c , d , e , f , g — показатели размерности. Другие физические величины могут быть определены как базовые величины, если они образуют линейно независимый базис – например, можно заменить размерность (I) электрического тока в базисе СИ размерностью (Q) электрического заряда , поскольку Q = ТИ .

Величина, у которой есть только b ≠ 0 (при всех остальных показателях равных нулю), называется геометрической величиной . Величина, у которой есть только a ≠ 0 и b ≠ 0, называется кинематической величиной . Величина, у которой есть только все a ≠ 0 , b ≠ 0 и c ≠ 0, называется динамической величиной . Говорят, что величина, все показатели которой равны нулю, имеет размерность один .

Единица измерения физической величины и ее размерность — родственные, но не тождественные понятия. Единицы физической величины определяются соглашением и связаны с каким-то стандартом; например, длина может иметь единицы измерения: метры, футы, дюймы, мили или микрометры; но любая длина всегда имеет размерность L, независимо от того, какие единицы длины выбраны для ее выражения. Две разные единицы одной и той же физической величины имеют коэффициенты пересчета , которые их связывают. Например, 1 дюйм = 2,54 см ; в данном случае 2,54 см/дюйм — это коэффициент преобразования, который сам по себе безразмерен. Следовательно, умножение на этот коэффициент преобразования не меняет размеров физической величины.

Есть также физики, которые поставили под сомнение само существование несовместимых фундаментальных измерений физических величин. хотя это не умаляет полезности анализа размерностей.

Простые случаи

размерность физической величины скорости v В качестве примера можно привести :

$\operatorname {dim} v={\frac {\text{length}}{\text{time}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}.$

Размерность физической величины ускорения а равна

$\operatorname {dim} a={\frac {\text{speed}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}.$

Размерность физической величины силы F равна

$\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\mathsf {M}}\times {\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}.$

Размерность физической величины давления P равна

$\operatorname {dim} P={\frac {\text{force}}{\text{area}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {L}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}.$

Размерность физической величины энергии E равна

$\operatorname {dim} E={\text{force}}\times {\text{displacement}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}\times {\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.$

Размерность физической величины мощности P равна

$\operatorname {dim} P={\frac {\text{energy}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.$

Размерность физической величины электрического заряда Q равна

$\operatorname {dim} Q={\text{current}}\times {\text{time}}={\mathsf {T}}{\mathsf {I}}.$

Размерность физической величины напряжения V равна

$\operatorname {dim} V={\frac {\text{power}}{\text{current}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {I}}}={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}.$

Размерность физической величины емкости C равна

$\operatorname {dim} C={\frac {\text{electric charge}}{\text{electric potential difference}}}={\frac {{\mathsf {T}}{\mathsf {I}}}{{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}}}={\mathsf {T^{4}}}{\mathsf {L^{-2}}}{\mathsf {M^{-1}}}{\mathsf {I^{2}}}.$

метод Рэлея

В анализе размерностей метод Рэлея является концептуальным инструментом, используемым в физике , химии и технике . Он выражает функциональную связь некоторых переменных в виде показательного уравнения . Он был назван в честь лорда Рэлея .

Метод включает в себя следующие этапы:

1. Соберите все независимые переменные , которые могут повлиять на зависимую переменную .
2. Если R переменная, зависящая от независимых переменных R3 _{уравнение} , ... _R1 , Rn _R , функциональное _, можно записать как F = ( R1 то _— , R2 _, , R3 _R2 ,... , Р _н ) .
3. Запишите приведенное выше уравнение в виде R = C R ₁ ^а Р ₂ ^б Р ₃ ^с ... Р _н ^м , где C — безразмерная константа , а a , b , c , ..., m — произвольные показатели степени.
4. Выразите каждую из величин уравнения в некоторых базовых единицах , в которых требуется решение.
5. Используя размерную однородность , получите набор , одновременных уравнений включающих показатели a , b , c ,..., m .
6. Решите эти уравнения, чтобы получить значения показателей a , b , c ,..., m .
7. Подставьте значения показателей степени в основное уравнение и сформируйте безразмерные параметры, переменные сгруппировав с одинаковыми показателями.

Недостатком является то, что метод Рэлея не дает никакой информации о количестве безразмерных групп, которые должны быть получены в результате анализа размерностей.

Конкретные цифры и базовые единицы

Многие параметры и измерения в физических науках и технике выражаются конкретным числом — числовой величиной и соответствующей единицей измерения. Часто количество выражается через несколько других величин; например, скорость представляет собой комбинацию длины и времени, например 60 километров в час или 1,4 километра в секунду. Сложные отношения с "per" выражаются делением , например 60 км/ч. Другие отношения могут включать в себя умножение (часто показано точкой в ​​центре или сопоставлением ), степени (например, m ² за квадратный метр) или их комбинации.

Набор основных единиц системы измерения — это условно выбранный набор единиц, ни одна из которых не может быть выражена как комбинация других и через которую могут быть выражены все остальные единицы системы. Например, единицы длины в качестве базовых единиц обычно выбираются и времени. Однако единицы объема можно отнести к базовым единицам длины (м ³ ), таким образом, они считаются производными или составными единицами.

Иногда названия единиц скрывают тот факт, что они являются производными единицами. Например, ньютон (Н) — это единица силы , которую можно выразить как произведение массы (в единицах кг) и ускорения (в единицах м⋅с). ⁻² ). Ньютон определяется как 1 Н = 1 кг⋅м⋅с. ⁻² .

Проценты, производные и интегралы

Проценты являются безразмерными величинами, поскольку представляют собой отношения двух величин одинаковой размерности. Другими словами, знак % можно читать как «сотые», поскольку 1% = 1/100 .

Взятие производной по величине делит размерность на размерность переменной, по которой дифференцируется. Таким образом:

• позиция ( x ) имеет размерность L (длина);
• производная положения по времени ( dx / dt , скорость ) имеет размерность T ⁻¹ L — длина от позиции, время из-за градиента;
• вторая производная ( d ² х / дт ² = d ( dx / dt )/ dt , ускорение ) имеет размерность T ⁻² Л. ​

Аналогично, взятие интеграла добавляет размерность интегрируемой переменной, но в числителе.

• сила имеет размерность T ⁻² L M (масса, умноженная на ускорение);
• интеграл силы по расстоянию ( s ), которое прошел объект ( ⁠ $\textstyle \int F\ ds$⁠ , работа ) имеет размерность T ⁻² л ² М. ​

В экономике различают акции и потоки : запас имеет единицу (скажем, виджеты или доллары), тогда как поток является производной от запаса и имеет единицу в форме этой единицы, разделенной на единицу времени (скажем, , долларов/год).

В некоторых контекстах размерные величины выражаются в виде безразмерных величин или процентов путем опускания некоторых измерений. Например, отношение долга к ВВП обычно выражается в процентах: общая непогашенная задолженность (размер валюты) делится на годовой ВВП (размер валюты) – но можно утверждать, что при сравнении запаса с потоком годовой ВВП должен имеют измерения валюта/время (например, доллары/год), и поэтому отношение долга к ВВП должно иметь единицу года, что указывает на то, что отношение долга к ВВП — это количество лет, необходимых для постоянного ВВП для выплаты долга, если весь ВВП тратится на долг, а в остальном долг не меняется.

Размерная однородность (соизмеримость)

См. Также: Яблоки и апельсины.

Дополнительная информация: Вид количества.

Самым основным правилом размерного анализа является правило размерной однородности.

можно только соизмеримые величины (физические величины, имеющие одинаковую размерность) Сравнивать , приравнивать , складывать или вычитать .

размеры образуют абелеву группу Однако при умножении , поэтому:

Можно взять отношения величин несоизмеримых (количеств разных размерностей) и умножить или разделить их.

Например, нет смысла спрашивать, является ли 1 час большим, равным или меньшим 1 километру, поскольку они имеют разные размеры, а также не имеет смысла прибавлять 1 час к 1 километру. Однако имеет смысл задаться вопросом, является ли 1 миля больше, такой же или меньше 1 километра, поскольку это одно и то же измерение физической величины, даже если единицы измерения разные. С другой стороны, если объект проходит 100 км за 2 часа, можно разделить их и прийти к выводу, что средняя скорость объекта составила 50 км/ч.

Правило подразумевает, что в физически значимом выражении можно складывать, вычитать или сравнивать только величины одинаковой размерности. Например, если m _man , m _rat и L _man обозначают соответственно массу какого-то человека, массу крысы и длину этого человека, то размерно-однородное выражение m _man + m _rat имеет смысл, а гетерогенное выражение М _ман + Л _ман бессмысленно. Однако м _чел / л ² _{человек} в порядке. Таким образом, анализ размерностей можно использовать для проверки правильности физических уравнений: две части любого уравнения должны быть соизмеримы или иметь одинаковые размеры.

Даже если две физические величины имеют одинаковые размеры, их сравнение или сложение, тем не менее, может быть бессмысленным. Например, хотя крутящий момент и энергия имеют общую размерность T ⁻² л ² M , это принципиально разные физические величины.

Чтобы сравнить, сложить или вычесть количества одинаковых размеров, но выраженные в разных единицах, стандартная процедура заключается в том, чтобы сначала преобразовать их все в одну и ту же единицу. Например, чтобы сравнить 32 метра с 35 ярдами, используйте 1 ярд = 0,9144 м , чтобы преобразовать 35 ярдов в 32,004 м.

Связанный с этим принцип заключается в том, что любой физический закон, который точно описывает реальный мир, должен быть независимым от единиц, используемых для измерения физических переменных. Например, законы движения Ньютона должны оставаться верными независимо от того, измеряется ли расстояние в милях или километрах. Этот принцип приводит к тому, что коэффициент преобразования между двумя единицами измерения одного и того же измерения должен умножаться на простую константу. Это также обеспечивает эквивалентность; например, если два здания имеют одинаковую высоту в футах, то они должны быть одинаковой высоты в метрах.

Коэффициент пересчета

Основная статья: Коэффициент пересчета

В анализе размерностей коэффициент, который преобразует одну единицу измерения в другую без изменения количества, называется коэффициентом преобразования . Например, кПа и бар являются единицами измерения давления, а 100 кПа = 1 бар . Правила алгебры позволяют разделить обе части уравнения на одно и то же выражение, поэтому это эквивалентно 100 кПа / 1 бар = 1 . Поскольку любую величину можно умножить на 1, не меняя ее, выражение « 100 кПа / 1 бар » можно использовать для преобразования баров в кПа путем умножения его на преобразуемую величину, включая единицы измерения. Например, 5 бар × 100 кПа / 1 бар = 500 кПа , поскольку 5 × 100 / 1 = 500 , а бар/бар сокращается, поэтому 5 бар = 500 кПа .

Приложения

Анализ размерностей чаще всего используется в физике и химии, а также в их математике, но находит некоторые применения и за пределами этих областей.

Математика

Простое применение анализа размерностей в математике заключается в вычислении формы объема n - шара (сплошного шара в n измерениях) или площади его поверхности, n -сферы : будучи n -мерной фигурой, объем масштабируется как x ^н , а площадь поверхности, будучи ( n − 1) -мерной, масштабируется как x ^{п -1} . Таким образом, объем n -шара, выраженный в радиусе, равен C _n r ^н , для некоторой постоянной C _n . Определение константы требует более сложной математики, но форму можно вывести и проверить только с помощью анализа размерностей.

Финансы, экономика и бухгалтерский учет

В финансах, экономике и бухгалтерском учете размерный анализ чаще всего упоминается с точки зрения различия между запасами и потоками . В более общем смысле, размерный анализ используется для интерпретации различных финансовых коэффициентов , экономических коэффициентов и коэффициентов бухгалтерского учета.

• Например, коэффициент P/E имеет временные измерения (единица измерения: год) и может интерпретироваться как «годы заработка, необходимые для получения уплаченной цены».
• В экономике соотношение долга к ВВП также имеет единицу года (долг имеет единицу валюты, ВВП имеет единицу валюты/год).
• Скорость обращения денег имеет единицу измерения 1/год (ВВП/денежная масса имеет единицу валюты/год, а не валюту): как часто единица валюты обращается в год.
• Годовые непрерывно начисляемые процентные ставки и простые процентные ставки часто выражаются в процентах (безразмерная величина), а время выражается как безразмерная величина, состоящая из количества лет. Однако если в качестве единицы измерения время включает год, размерность ставки равна 1/год. Конечно, нет ничего особенного (кроме обычного соглашения) в использовании года как единицы времени: можно использовать любую другую единицу времени. Более того, если скорость и время включают свои единицы измерения, использование разных единиц для каждой из них не является проблематичным. Напротив, скорость и время должны относиться к общему периоду, если они аразмерны. (Обратите внимание, что эффективные процентные ставки могут быть определены только как аразмерные величины.)
• В финансовом анализе дюрация облигации может быть определена как ( dV / dr )/ V , где V — стоимость облигации (или портфеля), r — постоянно начисляемая процентная ставка, а dV / dr — производный инструмент. Из предыдущего пункта размерность r равна 1/время. Следовательно, измерением продолжительности является время (обычно выражаемое в годах), поскольку dr находится в «знаменателе» производной.

Гидравлическая механика

В механике жидкости анализ размерностей выполняется для получения безразмерных числа Пи членов или групп . Согласно принципам размерного анализа, любой прототип можно описать серией этих терминов или групп, описывающих поведение системы. Используя подходящие термины или группы Пи, можно разработать аналогичный набор терминов Пи для модели, имеющей те же размерные отношения. Другими словами, термины числа Пи позволяют упростить разработку модели, представляющей определенный прототип. К общим безразмерным группам в механике жидкости относятся:

• Число Рейнольдса ( Re ), обычно важное для всех типов проблем с жидкостью: $$\mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}.$$
• Число Фруда ( Fr ), моделирующее течение со свободной поверхностью: $$\mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.$$
• Число Эйлера ( Eu ), используемое в задачах, в которых представляет интерес давление: $$\mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.$$
• Число Маха ( Ма ), важное для высокоскоростных потоков, где скорость приближается к местной скорости звука или превышает ее: $$\mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},$$ где c — местная скорость звука.

История

Истоки размерного анализа оспариваются историками. Первое письменное применение анализа размерностей было приписано Франсуа Давье , ученику Лагранжа , в статье 1799 года в Туринской академии наук.

Это привело к выводу, что значимые законы должны быть однородными уравнениями в различных единицах измерения, и этот результат позже был формализован в π-теореме Букингема . Симеон Пуассон также рассмотрел ту же проблему закона параллелограмма Давиета в своих трактатах 1811 и 1833 годов (том I, стр. 39). Во втором издании 1833 года Пуассон явно вводит термин размерность вместо однородности Давье .

В 1822 году выдающийся наполеоновский учёный Жозеф Фурье сделал первый заслуженный важный вклад. основано на идее о том, что физические законы, такие как F = ma, должны быть независимы от единиц, используемых для измерения физических переменных.

Джеймс Клерк Максвелл сыграл важную роль в установлении современного использования анализа размерностей, выделив массу, длину и время как фундаментальные единицы, а другие единицы назвал производными. Хотя Максвелл определил длину, время и массу как «три фундаментальные единицы», он также отметил, что гравитационную массу можно получить из длины и времени, приняв форму закона всемирного тяготения Ньютона , в которой гравитационная постоянная G принимается за единицу. , тем самым определяя M = T ⁻² л ³ . Приняв форму закона Кулона , в которой постоянная Кулона k _e принимается за единицу, Максвелл затем определил, что размеры электростатической единицы заряда равны Q = T. ⁻¹ л ^3/2 М ^1/2 , который после подстановки его M = T ⁻² л ³ уравнение для массы приводит к тому, что заряд имеет те же размеры, что и масса, а именно. К = Т ⁻² л ³ .

Анализ размерностей также используется для установления взаимосвязей между физическими величинами, участвующими в конкретном явлении, которое хочется понять и охарактеризовать. Впервые его таким образом применил в 1872 году лорд Рэлей , который пытался понять, почему небо голубое. Рэлей впервые опубликовал эту технику в своей книге «Теория звука» 1877 года .

Первоначальное значение слова «размерность » Фурье » в «Теории де ла Шалёра заключалось в числовом значении показателей основных единиц. Например, считалось, что ускорение имеет размерность 1 по отношению к единице длины и размерность -2 по отношению к единице времени. Это положение было немного изменено Максвеллом, который сказал, что размеры ускорения равны T. ⁻² L, а не только показатели.

Примеры

Простой пример: период гармонического осциллятора.

Каков период колебаний Т массы m, прикрепленной к идеальной линейной пружине с коэффициентом жесткости k, подвешенной под действием силы тяжести g ? Этот период является решением для T некоторого безразмерного уравнения в переменных T , m , k и g .Четыре величины имеют следующие размерности: T [T]; м [М]; к [М/Т ² ]; и г [L/T ² ]. Из них мы можем составить только одно безразмерное произведение степеней выбранных нами переменных, G ₁ = T ² к / м [Т ² · М/Т ² / M = 1] и полагая G ₁ = C для некоторой безразмерной константы C, получаем искомое безразмерное уравнение. Безразмерное произведение степеней переменных иногда называют безразмерной группой переменных; здесь термин «группа» означает «совокупность», а не математическую группу . Их часто называют безразмерными числами еще .

Переменная g не встречается в группе. Легко видеть, что невозможно сформировать безразмерное произведение степеней, которое объединяет g с k , m и T , поскольку g — единственная величина, включающая размерность L. Это означает, что в этой задаче g не имеет значения. Анализ размерностей иногда может привести к убедительным заявлениям о неуместности некоторых величин в задаче или о необходимости дополнительных параметров. Если мы выбрали достаточно переменных, чтобы правильно описать проблему, то из этого аргумента мы можем заключить, что период массы на пружине не зависит от g : он одинаков на Земле или на Луне. Уравнение, демонстрирующее существование произведения степеней для нашей задачи, можно записать совершенно эквивалентным образом: ⁠ $T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}$⁠ , для некоторой безразмерной постоянной κ (равной ${\sqrt {C}}$ из исходного безразмерного уравнения).

Когда мы сталкиваемся со случаем, когда анализ размерностей отвергает переменную ( здесь g ), которую интуитивно можно ожидать в физическом описании ситуации, другая возможность заключается в том, что отвергнутая переменная на самом деле релевантна, но какая-то другая релевантная переменная была опущено, что может в сочетании с отклоненной переменной образовать безразмерную величину. Однако здесь дело обстоит не так.

Когда анализ размерностей дает только одну безразмерную группу, как здесь, неизвестных функций нет, и решение считается «полным», хотя оно все еще может включать неизвестные безразмерные константы, такие как κ .

Более сложный пример: энергия вибрирующей проволоки.

Рассмотрим случай, когда провод длиной ℓ (L) колеблется с амплитудой A (L). Проволока имеет линейную плотность ρ (M/L) и находится под напряжением s (LM/T ² ), и мы хотим знать энергию E (L ² М/Т ² ) в проводе. Пусть π ₁ и π ₂ — два безразмерных произведения степеней выбранных переменных, заданные формулой

${\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}$

Линейная плотность проволоки не учитывается. Две найденные группы можно объединить в эквивалентную форму в виде уравнения

$F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,$

где F — некоторая неизвестная функция, или, что то же самое, как

$E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),$

где f — некоторая другая неизвестная функция. Здесь неизвестная функция подразумевает, что наше решение теперь неполное, но анализ размерностей дал нам то, что, возможно, не было очевидным: энергия пропорциональна первой степени напряжения. Оставив дальнейший аналитический анализ, мы могли бы перейти к экспериментам по обнаружению формы неизвестной функции f . Но наши эксперименты проще, чем при отсутствии анализа размерностей. Мы не будем ничего предпринимать, чтобы убедиться, что энергия пропорциональна напряжению. Или, возможно, мы могли бы догадаться, что энергия пропорциональна ℓ , и сделать вывод, что E = ℓs . Становится очевидной сила размерного анализа как помощника в экспериментировании и формировании гипотез.

Сила анализа размерностей действительно становится очевидной, когда он применяется к ситуациям, в отличие от приведенных выше, которые более сложны, набор задействованных переменных не очевиден, а основные уравнения безнадежно сложны. Рассмотрим, например, небольшой камешек, лежащий на русле реки. Если река течет достаточно быстро, она фактически поднимет гальку и заставит ее течь вместе с водой. При какой критической скорости это произойдет? Разобрать угаданные переменные уже не так просто, как раньше. Но анализ размерностей может оказаться мощным подспорьем в понимании подобных проблем и обычно является самым первым инструментом, применяемым к сложным задачам, в которых основные уравнения и ограничения плохо понятны. В таких случаях ответ может зависеть от безразмерного числа , такого как число Рейнольдса , которое можно интерпретировать с помощью анализа размерностей.

Третий пример: спрос и мощность вращающегося диска.

Размерный анализ и численные эксперименты для вращающегося диска

Рассмотрим случай тонкого твердого вращающегося диска с параллельными сторонами осевой толщины t (L) и радиуса R (L). Диск имеет плотность ρ (M/L ³ ), вращается с угловой скоростью ω (T ⁻¹ ), а это приводит к напряжению S (T ⁻² л ⁻¹ М) в материале. Существует теоретическое линейно-упругое решение этой проблемы, данное Ламе, когда диск тонкий по сравнению с его радиусом, грани диска могут свободно перемещаться в осевом направлении, и можно предположить, что определяющие соотношения плоского напряжения действительны. Поскольку диск становится толще относительно радиуса, решение о плоском напряжении нарушается. Если диск закреплен в осевом направлении на своих свободных поверхностях, то возникнет состояние плоской деформации. Однако если это не так, то напряженное состояние можно определить только с учетом трехмерной упругости, и для этого случая не существует известного теоретического решения. Поэтому инженер может быть заинтересован в установлении взаимосвязи между пятью переменными. Анализ размерностей в этом случае приводит к следующим ( 5 − 3 = 2 ) безразмерным группам:

спрос/мощность = ρR ² ой ² / С

толщина/радиус или соотношение сторон = t / R

С помощью численных экспериментов с использованием, например, метода конечных элементов , характер связи между двумя безразмерными группами можно получить, как показано на рисунке. Поскольку эта проблема затрагивает только две безразмерные группы, полная картина представлена ​​на одном графике, который можно использовать в качестве схемы проектирования/оценки вращающихся дисков.

Характеристики

Математические свойства

Дополнительная информация: теорема Букингема о π.

Измерения, которые могут быть сформированы из заданного набора основных физических измерений, таких как T, L и M, образуют абелеву группу : тождество записывается как 1; л ⁰ = 1 , а инверсия L равна 1/L или L ⁻¹ . L, возведенная в любую целую степень p, является членом группы, имеющей обратную L ^{− п} или 1/л ^п . Операция группы — умножение, имеющая обычные правила обращения с показателями степени ( L ^н × Л ^м = Л ^{п + м} ). Физически 1/L можно интерпретировать как обратную длину , а 1/T как обратное время (см. обратную секунду ).

Абелева группа эквивалентна модулю над целыми числами с размерным символом T ^я л ^дж М ^к соответствующий кортежу ( i , j , k ) . Когда физические измеряемые величины (будь то одноразмерные или разноразмерные) умножаются или делятся друг на друга, их размерные единицы также умножаются или делятся; это соответствует сложению или вычитанию в модуле. Когда измеримые величины возводятся в целую степень, то же самое происходит с размерными символами, прикрепленными к этим величинам; это соответствует скалярному умножению в модуле.

Базис такого модуля размерных символов называется набором базовых величин , а все остальные векторы — производными единицами. Как и в любом модуле, можно выбрать разные базы , что дает разные системы единиц (например, выбрать, является ли единица заряда производной от единицы тока или наоборот).

Групповое тождество, размерность безразмерных величин, соответствует началу координат в этом модуле (0, 0, 0) .

В некоторых случаях можно определить дробные размерности, в частности, формально определив дробные степени одномерных векторных пространств, таких как V ^{л 1/2} . Однако невозможно взять произвольные дробные степени единиц из-за препятствий теории представлений .

Можно работать с векторными пространствами заданных размерностей без использования единиц измерения (соответствующих системам координат векторных пространств). Например, для данных размерностей M и L существуют векторные пространства V ^М и В. ^л и может определить V ^МЛ  := V ^М ⊗ V ^л как тензорное произведение . Точно так же двойственное пространство можно интерпретировать как имеющее «отрицательные» измерения. Это соответствует тому факту, что при естественном спаривании векторного пространства и его двойника размеры сокращаются, оставляя безразмерный скаляр.

Набор единиц физических величин, участвующих в задаче, соответствует набору векторов (или матрице). Нульность m описывает некоторое количество (например, ) способов, которыми эти векторы могут быть объединены для получения нулевого вектора. Они соответствуют получению (на основе измерений) ряда безразмерных величин {π ₁ , ..., π _m } . (Фактически эти способы полностью охватывают нулевое подпространство другого другого пространства степеней измерений.) Любой возможный способ умножения (и возведения в степень ) вместе измеренных величин, чтобы получить что-то с той же единицей измерения, что и некоторая производная величина X, может быть выражена в общем виде

$X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.$

Следовательно, всякое возможное соизмеримое уравнение физики системы можно переписать в виде

$f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.$

Знание этого ограничения может стать мощным инструментом для получения нового понимания системы.

Механика

Размерность физических величин, представляющих интерес в механике, может быть выражена через базовые размеры T, L и M – они образуют трехмерное векторное пространство. Это не единственный допустимый выбор базовых размеров, но он используется чаще всего. Например, можно выбрать силу, длину и массу в качестве базовых размеров (как это сделали некоторые) с соответствующими размерами F, L, M; это соответствует другому базису, и можно переходить между этими представлениями, меняя базис . Таким образом, выбор базового набора измерений является соглашением, имеющим большую полезность и узнаваемость. Выбор базовых размеров не является полностью произвольным, поскольку они должны составлять основу : они должны охватывать пространство и быть линейно независимыми .

Например, F, L, M образуют набор фундаментальных измерений, поскольку они образуют основу, эквивалентную T, L, M: первое можно выразить как [F = LM/T ² ], L, M, причем последнее можно выразить как [T = (LM/F) ^1/2 ], Л, М.

С другой стороны, длина, скорость и время (T, L, V) не образуют набор основных размеров для механики по двум причинам:

• Невозможно получить массу – или что-либо производное от нее, например, силу – без введения другого базового измерения (таким образом, они не охватывают пространство ).
• Скорость, выражаемая через длину и время ( V = L/T ), является избыточной (множество не является линейно независимым ).

Другие области физики и химии

В зависимости от области физики может быть выгодно выбрать тот или иной расширенный набор размерных символов. Например, в электромагнетизме может быть полезно использовать размеры T, L, M и Q, где Q представляет собой размерность электрического заряда . В термодинамике базовый набор измерений часто расширяется за счет включения измерения температуры Θ. В химии количество вещества (число молекул, деленное на константу Авогадро , ≈ 6,02 × 10 ²³ моль ⁻¹ ) также определяется как базовый размер N.При взаимодействии релятивистской плазмы безразмерный параметр релятивистского подобия , связанный со свойствами симметрии бесстолкновительного уравнения Власова с сильными лазерными импульсами, помимо электромагнитного векторного потенциала, из плазменной, электронной и критической плотностей строится . Выбор измерений или даже количества измерений, которые будут использоваться в различных областях физики, в некоторой степени произволен, но последовательность в использовании и простота общения являются общими и необходимыми характеристиками.

Полиномы и трансцендентные функции

Теорема Бриджмена ограничивает тип функции, которая может использоваться для определения физической величины, от общих (размерно составных) величин до произведений только степеней величин, если только некоторые из независимых величин не объединяются алгебраически для получения безразмерных групп, функции которых сгруппированы. вместе в безразмерном числовом множителе. Это исключает полиномы, состоящие из более чем одного члена, или трансцендентные функции другой формы.

Скалярные аргументы трансцендентных функций, таких как экспоненциальные , тригонометрические и логарифмические функции, или неоднородных полиномов , должны быть безразмерными величинами . (Примечание: это требование несколько смягчено в ориентационном анализе Сиано, описанном ниже, в котором квадраты определенных размерных величин безразмерны.)

Хотя большинство математических тождеств, касающихся безразмерных чисел, легко переводятся в размерные величины, необходимо проявлять осторожность с логарифмами отношений: тождество log( a / b ) = log a − log b , где логарифм берется в любом основании, имеет место. для безразмерных чисел a и b , но это неверно , если a и b размерны, потому что в этом случае левая часть четко определена, а правая — нет.

Аналогично, хотя можно оценить мономы ( x ^н ) размерных величин нельзя оценивать полиномы смешанной степени с безразмерными коэффициентами при размерных величинах: при x ² , выражение (3 м) ² = 9 м ² имеет смысл (как площадь), а для x ² + x , выражение (3 м) ² + 3 м = 9 м ² +3 м нет смысла.

Однако полиномы смешанной степени могут иметь смысл, если коэффициенты представляют собой правильно выбранные физические величины, которые не являются безразмерными. Например,

${\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot t^{2}+(\mathrm {500~m/s} )\cdot t.$

Это высота, на которую поднимется объект за время t , если ускорение свободного падения равно 9,8 метра в секунду и начальная скорость подъема 500 метров в секунду . не обязательно t должно быть в секундах . Например, предположим, что t = 0,01 минуты. Тогда первый член будет

${\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot (\mathrm {0.01~min} )^{2}\\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)(\mathrm {min/s} )^{2}\cdot \mathrm {m} \\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot \mathrm {m} .\end{aligned}}$

Объединение единиц измерения и числовых значений

Основная статья: Физическая величина § Компоненты

Значение размерной физической величины Z записывается как произведение единицы [ Z ] внутри измерения и безразмерного числового значения или числового коэффициента n .

$Z=n\times [Z]=n[Z]$

Когда величины одинаковой величины складывают, вычитают или сравнивают, удобно выражать их в одной и той же единице измерения, чтобы числовые значения этих величин можно было непосредственно складывать или вычитать. Но теоретически не возникает проблем с добавлением величин одного и того же измерения, выраженных в разных единицах. Например, 1 метр, добавленный к 1 футу, является длиной, но невозможно получить эту длину, просто сложив 1 и 1. Необходим коэффициент пересчета , который представляет собой отношение одноименных величин и равен безразмерной единице:

$\mathrm {1\,ft} =\mathrm {0.3048\,m}$ идентичен $1={\frac {\mathrm {0.3048\,m} }{\mathrm {1\,ft} }}.$

Коэффициент 0,3048 м/фут идентичен безразмерному 1, поэтому умножение на этот коэффициент преобразования ничего не меняет. Затем при сложении двух величин одинакового размера, но выраженных в разных единицах, соответствующий коэффициент преобразования, который по сути представляет собой безразмерную 1, используется для преобразования величин в одну и ту же единицу измерения, чтобы их числовые значения можно было складывать или вычитать.

Только в этом случае имеет смысл говорить о сложении одинаковых количеств различных единиц.

Количественные уравнения

Не путать с количественной теорией денег .

Количественное уравнение , также иногда называемое полным уравнением , представляет собой уравнение, которое остается действительным независимо от единицы измерения, используемой при выражении физических величин .

Напротив, в уравнении с числовыми значениями встречаются только числовые значения величин без единиц измерения. Следовательно, это действительно только тогда, когда каждое числовое значение относится к определенной единице измерения.

Например, количественное уравнение для перемещения d как скорости s, умноженной на разницу во времени t, будет иметь вид:

д = с т

для s = 5 м/с, где t и d могут быть выражены в любых единицах, конвертируемых при необходимости.Напротив, соответствующее уравнение с числовым значением будет иметь вид:

Д = 5 Т

где T — числовое значение t , выраженное в секундах, а D — числовое значение d , выраженное в метрах.

Как правило, использование уравнений с числовыми значениями не рекомендуется.

Безразмерные концепции

Константы

Основная статья: Безразмерная величина

Безразмерные константы, которые возникают в полученных результатах, такие как C в задаче о законе Пуазейля и κ в проблемах с пружиной, обсуждавшихся выше, возникают в результате более детального анализа основной физики и часто возникают в результате интегрирования какого-либо дифференциального уравнения. Сам анализ размерностей мало что может сказать об этих константах, но полезно знать, что они очень часто имеют величину порядка единицы. Это наблюдение может позволить иногда делать « закрытые » расчеты интересующего явления и, следовательно, иметь возможность более эффективно планировать эксперименты для его измерения или суждения о том, важно ли это и т. д.

Формализмы

Как ни парадоксально, анализ размерностей может быть полезным инструментом, даже если все параметры базовой теории безразмерны, например, решеточные модели, такие как модель Изинга, могут использоваться для изучения фазовых переходов и критических явлений. Такие модели могут быть сформулированы чисто безразмерным образом. По мере того, как мы приближаемся к критической точке все ближе и ближе, расстояние, на котором переменные в решеточной модели коррелируют (так называемая корреляционная длина, χ ), становится все больше и больше. Теперь корреляционная длина является соответствующим масштабом длины, связанным с критическими явлениями, поэтому можно, например, предположить на «размерных основаниях», что неаналитическая часть свободной энергии на узел решетки должна составлять ~ 1/ χ ^д , где d — размер решетки.

Это утверждали некоторые физики, например, Майкл Дж. Дафф . что законы физики по своей сути безразмерны. Тот факт, что мы присвоили несовместимые измерения длине, времени и массе, согласно этой точке зрения, является всего лишь вопросом условности, основанным на том факте, что до появления современной физики не было способа связать массу с массой. длина и время друг к другу. Тогда три независимые размерные константы: c , ħ и G в фундаментальных уравнениях физики следует рассматривать как простые коэффициенты преобразования для преобразования массы, времени и длины друг в друга.

Как и в случае с критическими свойствами решетчатых моделей, результаты анализа размерностей можно восстановить в соответствующем пределе масштабирования; например, анализ размерностей в механике можно получить, повторно вставив константы ħ , c и G (но теперь мы можем считать их безразмерными) и потребовав, чтобы несингулярное соотношение между величинами существовало в пределе c → ∞ , ħ → 0 и Г → 0 . В задачах, связанных с гравитационным полем, следует выбирать последний предел так, чтобы поле оставалось конечным.

Размерные эквиваленты

Ниже приведены таблицы часто встречающихся в физике выражений, связанных с размерностями энергии, импульса и силы.

единицы СИ

Основная статья: Международная система единиц

Энергия, Э Т −2 л 2 М	Выражение	Номенклатура
Механический	$Fd$	F = сила , d = расстояние
	$S/t\equiv Pt$	S = действие , t = время, P = мощность
	$mv^{2}\equiv pv\equiv p^{2}/m$	m = масса , v = скорость , p = импульс
	$I\omega ^{2}\equiv L\omega \equiv L^{2}/I$	L = угловой момент , I = момент инерции , ω = угловая скорость
Идеальные газы	$pV\equiv NT$	p = давление, V = объем, T = температура, N = количество вещества
Волны	$AIt\equiv ASt$	A = площадь волнового фронта , I волны = интенсивность , t = время , S = вектор Пойнтинга
Электромагнитный	$q\phi$	q = электрический заряд , φ = электрический потенциал (для изменений это напряжение )
	$\varepsilon E^{2}V\equiv B^{2}V/\mu$	E = электрическое поле , B = магнитное поле , ε = диэлектрическая проницаемость , µ = проницаемость , V = 3d volume
	$pE\equiv mB\equiv IAB$	p = электрический дипольный момент , m = магнитный момент, A = площадь (ограниченная токовой петлей), I = электрический ток в петле

Импульс, п Т −1 ЛМ	Выражение	Номенклатура
Механический	$mv\equiv Ft$	m = масса, v = скорость, F = сила, t = время
	$S/r\equiv L/r$	S = действие, L = угловой момент, r = смещение
Термальный	$m{\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}$	${\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}$ = среднеквадратическая скорость , м = масса (молекулы)
Волны	$\rho Vv$	ρ = density , V = volume , v = phase velocity
Электромагнитный	$qA$	A = магнитный векторный потенциал

Сила, Ф Т −2 ЛМ	Выражение	Номенклатура
Механический	$ma\equiv p/t$	м = масса, а = ускорение
Термальный	$T\delta S/\delta r$	S = энтропия, T = температура, r = смещение (см. энтропийную силу )
Электромагнитный	$Eq\equiv Bqv$	E = электрическое поле, B = магнитное поле, v = скорость, q = заряд

Языки программирования

Правильность размеров как часть проверки типа изучается с 1977 года. Реализации для Ады и С++ были описаны в 1985 и 1988 гг.Диссертация Кеннеди 1996 года описывает реализацию в Standard ML , и позже в F# . Есть реализации для Haskell , ОКамл , и Ржавчина , Питон, и программа проверки кода для Фортрана .
Диссертация Гриффиона 2019 года расширила систему типов Кеннеди Хиндли-Милнера для поддержки матриц Харта. Макбрайд и Нордвалл-Форсберг показывают, как использовать зависимые типы для расширения систем типов для единиц измерения.

В системе Mathematica 13.2 есть функция для преобразований величин под названием NondimensionizationTransform, которая применяет к уравнению преобразование обезразмеривания. В системе Mathematica также имеется функция UnitDimensions для определения размеров такой единицы, как 1 Дж. В Mathematica также есть функция, которая находит размерно эквивалентные комбинации подмножества физических величин, называемая DimensionalCombations. Mathematica также может выделить определенное измерение с помощью UnitDimensions, указав аргумент функции UnityDimensions. Например, вы можете использовать UnityDimensions для исключения углов. В дополнение к UnitDimensions Mathematica может найти размеры QuantityVariable с помощью функции QuantityVariableDimensions.

Геометрия: положение против смещения

Аффинные величины

Дополнительная информация: Аффинное пространство.

Некоторые обсуждения анализа размерностей неявно описывают все величины как математические векторы. В математике скаляры считаются частным случаем векторов; векторы можно добавлять к другим векторам или вычитать из них и, среди прочего, умножать или делить на скаляры. Если вектор используется для определения позиции, это предполагает неявную точку отсчета: начало координат . Хотя это полезно и часто совершенно адекватно, позволяя обнаружить многие важные ошибки, оно может не смоделировать определенные аспекты физики. Более строгий подход требует различать положение и перемещение (или момент времени и продолжительность, или абсолютную температуру и изменение температуры).

Рассмотрим точки на линии, каждая из которых имеет положение относительно заданного начала координат, а также расстояния между ними. Позиции и перемещения имеют единицы длины, но их значения не взаимозаменяемы:

• добавление двух смещений должно дать новое перемещение (пройдя десять шагов, а затем двадцать шагов, вы сделаете тридцать шагов вперед),
• добавление смещения к позиции должно привести к созданию новой позиции (пройдя один квартал по улице от перекрестка, вы доберетесь до следующего перекрестка),
• вычитание двух позиций должно дать смещение,
• но нельзя добавлять две позиции.

Это иллюстрирует тонкое различие между аффинными величинами (моделируемыми аффинным пространством , такими как положение) и векторными величинами (моделируемыми векторным пространством , такими как смещение).

• Векторные величины могут быть добавлены друг к другу, давая новую векторную величину, а векторная величина может быть добавлена ​​к подходящей аффинной величине (векторное пространство действует на аффинное пространство), давая новую аффинную величину.
• Аффинные величины нельзя складывать, но можно вычитать, получая относительные величины, которые являются векторами, и эти относительные разности затем можно складывать друг с другом или с аффинной величиной.

Тогда позиции имеют размерность аффинной длины, а смещения имеют размерность векторной длины. Чтобы присвоить число аффинной единице, необходимо не только выбрать единицу измерения, но и точку отсчета , тогда как для присвоения числа векторной единице требуется только единица измерения.

Таким образом, некоторые физические величины лучше моделируются векторными величинами, в то время как другие, как правило, требуют аффинного представления, и это различие отражается в их размерном анализе.

Это различие особенно важно в случае температуры, для которой числовое значение абсолютного нуля не является началом нуля в некоторых шкалах. Для абсолютного нуля,

−273,15 °C ≘ 0 K = 0 °R ≘ −459,67 °F,

где символ ≘ означает , что , хотя эти значения на соответствующих температурных шкалах совпадают, они представляют собой разные величины точно так же, как расстояния от разных начальных точек до одной и той же конечной точки являются разными величинами и, как правило, не могут быть приравнены.

По разнице температур,

1 К = 1 °С ≠ 1 °F = 1 °R.

(Здесь °R относится к шкале Рэнкина , а не к шкале Реомюра ).Преобразование единиц измерения разницы температур заключается в простом умножении, например, на 1 °F / 1 K (хотя это соотношение не является постоянной величиной). Но поскольку начало некоторых из этих шкал не соответствует абсолютному нулю, переход из одной температурной шкалы в другую требует учета этого. В результате простой размерный анализ может привести к ошибкам, если неясно, означает ли 1 К абсолютную температуру, равную -272,15 °С, или разницу температур, равную 1 °С.

Ориентация и система отсчета

С проблемой точки отсчета связана проблема ориентации: смещение в 2 или 3 измерениях — это не просто длина, а длина вместе с направлением . (В одномерном измерении эта проблема эквивалентна различению положительного и отрицательного.) Таким образом, чтобы сравнить или объединить двухмерные величины в многомерном евклидовом пространстве, также необходим ориентир: их необходимо сравнить с системой отсчета. .

Это приводит к расширениям, обсуждаемым ниже, а именно к направленным измерениям Хантли и ориентационному анализу Сиано.

Расширения Хантли

Хантли отметил, что анализ размерностей может стать более эффективным, если открыть новые независимые измерения в рассматриваемых величинах, тем самым повысив ранг $m$ размерной матрицы.

Он представил два подхода:

• Величины компонентов вектора следует считать размерно независимыми. Например, вместо недифференцированного измерения длины L мы можем использовать L _x, представляющее измерение в направлении x и так далее. Это требование в конечном итоге вытекает из требования, чтобы каждый компонент физически значимого уравнения (скаляр, вектор или тензор) был согласован по размеру.
• Массу как меру количества материи следует считать размерно независимой от массы как меры инерции.

Направленные размеры

В качестве примера полезности первого подхода предположим, что мы хотим вычислить расстояние, которое проходит пушечное ядро ​​при выстреле с вертикальной составляющей скорости. $v_{\text{y}}$ и горизонтальная составляющая скорости ⁠ $v_{\text{x}}$⁠ , при условии, что стрельба ведется по плоской поверхности. Если предположить, что направленные длины не используются, тогда интересующими величинами будут R , пройденное расстояние с размером L, ⁠. $v_{\text{x}}$⁠ , ⁠ $v_{\text{y}}$⁠ , оба имеют размер T ⁻¹ L и g - ускорение силы тяжести, направленное вниз, с размером T. ⁻² Л.

Учитывая эти четыре величины, мы можем заключить, что уравнение для диапазона R можно записать:

$R\propto v_{\text{x}}^{a}\,v_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.$

Или размерно

${\mathsf {L}}=\left({\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}\right)^{a+b}\left({\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}\right)^{c}$

из чего мы можем сделать вывод, что $a+b+c=1$ и ⁠ $a+b+2c=0$⁠ , что оставляет один показатель степени неопределенным. Этого и следовало ожидать, поскольку у нас есть два фундаментальных измерения T и L и четыре параметра с одним уравнением.

Однако если мы используем направленные размеры длины, то $v_{\mathrm {x} }$ будет иметь размер T ⁻¹ Л _х , $v_{\mathrm {y} }$ как Т ⁻¹ L _y , R как L _x и g как T ⁻² Л _й . Уравнение размеров становится:

${\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}\right)^{a}\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{b}\left({{\mathsf {T}}^{-2}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{c}$

и мы можем полностью решить как a = 1 , b = 1 и c = −1 . Очевидно увеличение дедуктивной мощности, получаемой за счет использования направленных размеров длины.

Однако концепция Хантли о направленных размерах длины имеет некоторые серьезные ограничения:

• Он плохо справляется с векторными уравнениями, включающими векторное произведение ,
• он также плохо справляется с использованием углов в качестве физических переменных.

Также часто бывает довольно сложно присвоить символы L, Lx _, Ly _, Lz _{физическим} переменным, участвующим в интересующей задаче. Он вызывает процедуру, которая включает в себя «симметрию» физической проблемы. Зачастую это очень сложно применить надежно: неясно, к каким частям проблемы применяется понятие «симметрии». Силы действуют на физическое тело или на точки, линии или области, к которым применяются силы? Что, если задействовано более одного тела с разной симметрией?

Рассмотрим сферический пузырек, прикрепленный к цилиндрической трубке, где скорость потока воздуха зависит от разницы давлений в двух частях. Каковы расширенные размеры Хантли вязкости воздуха, содержащегося в соединяемых деталях? Каковы расширенные размеры давления двух частей? Они одинаковые или разные? Эти трудности являются причиной ограниченного применения размерностей направленной длины Хантли к реальным задачам.

Количество материи

Во втором подходе Хантли он считает, что иногда полезно (например, в механике жидкости и термодинамике) различать массу как меру инерции ( инертную массу ) и массу как меру количества материи. Количество материи определяется Хантли как количество, пропорциональное только инертной массе, не предполагающее при этом инерционных свойств. К его определению не добавляется никаких дополнительных ограничений.

Например, рассмотрим вывод закона Пуазейля . Мы хотим найти скорость массового расхода вязкой жидкости через круглую трубу. Не проводя различий между инертной и вещественной массой, мы можем выбрать в качестве соответствующих переменных:

Символ	Переменная	Измерение
${\dot {m}}$	массовый расход	Т −1 М
$p_{\text{x}}$	градиент давления вдоль трубы	Т −2 л −2 М
р	плотность	л −3 М
или	динамическая вязкость жидкости	Т −1 л −1 М
р	радиус трубы	л

Существует три фундаментальные переменные, поэтому приведенные выше пять уравнений дадут две независимые безразмерные переменные:

$\pi _{1}={\frac {\dot {m}}{\eta r}}$

$\pi _{2}={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}$

Если мы различаем инертную массу размером $M_{\text{i}}$ и количество материи с размерностью $M_{\text{m}}$, тогда массовый расход и плотность будут использовать количество вещества в качестве массового параметра, а градиент давления и коэффициент вязкости будут использовать инерционную массу. Теперь у нас есть четыре фундаментальных параметра и одна безразмерная константа, так что можно записать размерное уравнение:

$C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}$

где теперь только C является неопределенной константой (которая оказывается равной $\pi /8$ методами, не относящимися к анализу размерностей). Это уравнение можно решить для массового расхода, чтобы получить закон Пуазейля .

Признание Хантли количества материи как независимого количественного измерения, очевидно, успешно в тех проблемах, где оно применимо, но его определение количества материи открыто для интерпретации, поскольку ему не хватает специфичности, помимо двух требований, которые он для него постулировал. Для данного вещества размерность СИ количество вещества с единицей моля действительно удовлетворяет двум требованиям Хантли как мера количества материи и может использоваться в качестве количества материи в любой задаче анализа размерностей, где применима концепция Хантли.

Расширение Сиано: ориентационный анализ

См. Также: Угол § Анализ размеров.

Углы по соглашению считаются безразмерными величинами (хотя разумность этого оспаривается). ) . В качестве примера снова рассмотрим задачу о снаряде, в которой точечная масса запускается из начала координат ( x , y ) = (0, 0) со скоростью v и углом θ над осью x , при этом сила тяжести направлена ​​вдоль отрицательная Y. ось Требуется найти диапазон R , в котором масса возвращается к оси x . Традиционный анализ даст безразмерную переменную π = R g / v. ² , но не дает понимания взаимосвязи между R и θ .

Сиано предложил заменить направленные измерения Хантли использованием ориентационных символов 1 _x 1 _y 1 _z для обозначения направлений векторов и неориентированного символа 1 ₀ . Хантли _{Таким образом, L x} становится L1 _x , где L определяет размерность длины, а 1 _x определяет ориентацию. Сиано далее показывает, что ориентационные символы имеют собственную алгебру. Наряду с требованием, чтобы 1 _i ⁻¹ = 1 _i , получается следующая таблица умножения для символов ориентации:

	$\mathbf {1_{0}}$	$\mathbf {1_{\text{x}}}$	$\mathbf {1_{\text{y}}}$	$\mathbf {1_{\text{z}}}$
$\mathbf {1_{0}}$	$1_{0}$	$1_{\text{x}}$	$1_{\text{y}}$	$1_{\text{z}}$
$\mathbf {1_{\text{x}}}$	$1_{\text{x}}$	$1_{0}$	$1_{\text{z}}$	$1_{\text{y}}$
$\mathbf {1_{\text{y}}}$	$1_{\text{y}}$	$1_{\text{z}}$	$1_{0}$	$1_{\text{x}}$
$\mathbf {1_{\text{z}}}$	$1_{\text{z}}$	$1_{\text{y}}$	$1_{\text{x}}$	$1_{0}$

Ориентационные символы образуют группу ( четыре группы Клейна или «Viergruppe»). В этой системе скаляры всегда имеют ту же ориентацию, что и единичный элемент, независимо от «симметрии задачи». Физические величины, являющиеся векторами, имеют ожидаемую ориентацию: сила или скорость в направлении z имеет ориентацию 1 _z . В качестве углов рассмотрим угол θ , лежащий в плоскости z. Образуйте прямоугольный треугольник в плоскости z, где θ является одним из острых углов. Тогда сторона прямоугольного треугольника, примыкающая к углу, имеет ориентацию 1 _x , а противоположная сторона имеет ориентацию 1 _y . Поскольку (используя ~ для обозначения ориентационной эквивалентности) tan( θ ) = θ + ... ~ 1 _y /1 _x, мы заключаем, что угол в плоскости xy должен иметь ориентацию 1 _y /1 _x = 1 _z , что не является необоснованным. Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что sin( θ ) имеет ориентацию 1 _z , тогда как cos( θ ) имеет ориентацию 1 ₀ . Они различны, поэтому можно заключить (правильно), например, что не существует решений физических уравнений вида a cos( θ ) + b sin( θ ) , где a и b — действительные скаляры. Такое выражение, как $\sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )$ не является противоречивым по размеру, поскольку это частный случай формулы суммы углов и его следует правильно записать:

$\sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),$

для чего $a=\theta$ и $b=\pi /2$ дает ⁠ $\sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})$⁠ . Сиано различает геометрические углы, которые имеют ориентацию в трехмерном пространстве, и фазовые углы, связанные с колебаниями, основанными на времени, которые не имеют пространственной ориентации, т.е. ориентация фазового угла равна ⁠ $1_{0}$⁠ .

Присвоение ориентационных символов физическим величинам и требование, чтобы физические уравнения были ориентационно однородными, на самом деле могут использоваться способом, аналогичным анализу размерностей, для получения дополнительной информации о приемлемых решениях физических проблем. В этом подходе каждый решает размерное уравнение, насколько это возможно. Если наименьшая степень физической переменной дробная, обе части решения возводятся в такую ​​степень, что все степени являются целыми, что приводит его к нормальной форме . Затем решается уравнение ориентации, чтобы задать более ограничительные условия для неизвестных степеней ориентационных символов. Тогда решение будет более полным, чем то, которое дает только анализ размерностей. Часто дополнительная информация заключается в том, что одна из степеней определенной переменной является четной или нечетной.

Например, для задачи о снаряде с использованием ориентационных символов θ , находящийся в плоскости xy, будет иметь размерность 1 _z , а дальность полета снаряда R будет иметь вид:

$R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,$

Размерная однородность теперь будет правильно давать a = −1 и b = 2 , а ориентационная однородность требует, чтобы ⁠ $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$⁠ . Другими словами, c должно быть нечетным целым числом. Фактически, искомой функцией теты будет sin( θ )cos( θ ) , которая представляет собой ряд, состоящий из нечетных степеней θ .

Видно, что ряды Тейлора sin( θ ) и cos( θ ) ориентационно однородны с использованием приведенной выше таблицы умножения, в то время как такие выражения, как cos( θ ) + sin( θ ) и exp( θ ) , не являются и являются (правильно ) считается нефизическим.

Ориентационный анализ Сиано совместим с общепринятой концепцией безразмерных угловых величин, и в рамках ориентационного анализа радиан по-прежнему можно считать безразмерной единицей. Ориентационный анализ количественного уравнения проводится отдельно от обычного анализа размерностей, что дает информацию, дополняющую анализ размерностей.

См. также

• Теорема Букингема о π
• Безразмерные числа в механике жидкости.
• Оценка Ферми - используется для обучения анализу размерностей.
• Числовое уравнение
• Метод размерного анализа Рэлея
• Сходство - применение размерного анализа
• Система измерения

Связанные области математики

• Ковариантность и контравариантность векторов
• Внешняя алгебра
• Геометрическая алгебра
• Количественное исчисление

Ссылки

• Баренблатт, Дж.И. (1996), Масштабирование, самоподобие и промежуточная асимптотика , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-43522-2
• Бхаскар, Р.; Нигам, Анил (1990), «Качественная физика с использованием размерного анализа», Искусственный интеллект , 45 (1–2): 73–111, doi : 10.1016/0004-3702(90)90038-2
• Бхаскар, Р.; Нигам, Анил (1991), «Качественные объяснения образования красных гигантов», The Astrophysical Journal , 372 : 592–6, Бибкод : 1991ApJ...372..592B , doi : 10.1086/170003
• Буше; Алвес (1960), «Безразмерные числа», «Прогресс химической инженерии» , 55 : 55–64.
• Бриджмен, PW (1922), Размерный анализ , издательство Йельского университета, ISBN  978-0-548-91029-0
• Бэкингем, Эдгар (1914), «О физически подобных системах: иллюстрации использования анализа размерностей» , Physical Review , 4 (4): 345–376, Бибкод : 1914PhRv....4..345B , doi : 10.1103/ PhysRev.4.345 , hdl : 10338.dmlcz/101743
• Дробот, С. (1953–1954), «Об основах анализа размерностей» (PDF) , Studia Mathematica , 14 : 84–99, doi : 10.4064/sm-14-1-84-99 , в архиве (PDF) с сайта оригинал от 16 января 2004 г.
• Фурье, Жозеф (1822), Аналитическая теория тепла (на французском языке), Париж: Фирмин Дидо
• Гиббингс, Дж. К. (2011), Анализ размерностей , Springer, ISBN  978-1-84996-316-9
• Харт, Джордж В. (1994), «Теория размерных матриц» , Льюис, Джон Г. (ред.), Труды пятой конференции SIAM по прикладной линейной алгебре , SIAM, стр. 186–190, ISBN  978-0-89871-336-7 Как постскриптум
• Харт, Джордж В. (1995), Многомерный анализ: алгебры и системы для науки и техники , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94417-3
• Хантли, HE (1967), Анализ размеров , Дувр, OCLC   682090763 , OL   6128830M , LOC 67-17978
• Клинкенберг, А. (1955), «Произвольные системы и системы единиц в физике с особым акцентом на химическую технологию: Часть I. Принципы, согласно которым строятся размерные системы и системы единиц», Chemical Engineering Science , 4 (3) : 130–140, 167–177, Номер : 1955ЧЭнС...4..130К , номер индекса : 10.1016/0009-2509(55)80004-8
• Лангхаар, Генри Л. (1951), Размерный анализ и теория моделей , Wiley, ISBN  978-0-88275-682-0
• Мендес, ПФ; Ордоньес, Ф. (сентябрь 2005 г.), «Законы масштабирования на основе статистических данных и размерного анализа», Журнал прикладной механики , 72 (5): 648–657, Бибкод : 2005JAM....72..648M , CiteSeerX   10.1.1.422 .610 , дои : 10.1115/1.1943434
• Муди, LF (1944), «Факторы трения для потока в трубах», Труды Американского общества инженеров-механиков , 66 (671): 671–678, doi : 10.1115/1.4018140
• Мерфи, Н.Ф. (1949), «Анализ размерностей», Бюллетень Политехнического института Вирджинии , 42 (6)
• Перри, Дж. Х.; и др. (1944), «Стандартная система номенклатуры для операций химических технологических подразделений», Труды Американского института инженеров-химиков , 40 (251)
• Пешич, Питер (2005), Небо в бутылке , MIT Press, стр. 227–8 , ISBN  978-0-262-16234-0
• Петти, Г.В. (2001), «Автоматические вычисления и проверка согласованности физических размеров и единиц измерения в научных программах», Software: Practice and Experience , 31 (11): 1067–76, doi : 10.1002/spe.401 , S2CID   206506776
• Портер, Альфред В. (1933), Метод размерностей (3-е изд.), Метуэн
• Дж. В. Стратт (третий барон Рэлей) (1915), «Принцип подобия», Nature , 95 (2368): 66–8, Бибкод : 1915Natur..95...66R , doi : 10.1038/095066c0
• Сиано, Дональд (1985), «Ориентационный анализ – дополнение к размерному анализу – I», Журнал Института Франклина , 320 (6): 267–283, doi : 10.1016/0016-0032(85)90031-6
• Сиано, Дональд (1985), «Ориентационный анализ, тензорный анализ и групповые свойства дополнительных единиц СИ – II», Журнал Института Франклина , 320 (6): 285–302, doi : 10.1016/0016-0032(85) )90032-8
• Зильберберг, Айдахо; МакКетта, Джей-Джей-младший (1953), «Учимся использовать размерный анализ», Petroleum Refiner , 32 (4): 5 , (5): 147, (6): 101, (7): 129
• Тао, Теренс (2012). «Математическая формализация размерного анализа» .
• Ван Драйст, ER (март 1946 г.), «Об анализе размеров и представлении данных в задачах потока жидкости», Журнал прикладной механики , 68 (A–34)
• Уитни, Х. (1968), «Математика физических величин, части I и II», American Mathematical Monthly , 75 (2): 115–138, 227–256, doi : 10.2307/2315883 , JSTOR   2315883
• Уилсон, Эдвин Б. (1920) «Теория размерностей» , глава XI аэронавтики , через Интернет-архив.
• Виньо, Джорджия (1992), «Размерный анализ в моделировании данных», Эриксон, Гэри Дж.; Нойдорфер, Пол О. (ред.), Максимальная энтропия и байесовские методы: материалы Одиннадцатого международного семинара по максимальной энтропии и байесовским методам статистического анализа, Сиэтл, 1991 , Kluwer Academic, ISBN  978-0-7923-2031-9
• Каспржак, Вацлав; Лысик, Бертольд; Рыбачук, Марек (1990), Анализ размерностей при идентификации математических моделей , World Scientific, ISBN  978-981-02-0304-7

Дальнейшее чтение

• Джанколи, Дуглас К. (2014). «1. Введение, измерение, оценка §1.8 Размеры и анализ размеров». Физика: принципы с приложениями (7-е изд.). Пирсон. ISBN  978-0-321-62592-2 . OCLC   853154197 .

Внешние ссылки

• Список размерностей различных физических величин
• Веб-калькулятор Unicalc Live выполняет преобразование единиц путем анализа размеров
• Реализация C++ размерного анализа во время компиляции в библиотеках с открытым исходным кодом Boost.
• Пи-теорема Бэкингема
• Калькулятор количественной системы для преобразования единиц на основе размерного подхода. Архивировано 24 декабря 2017 г. на Wayback Machine.
• Единицы измерения, количества и фундаментальные константы проецируют карты анализа размерностей
• Боули, Роджер (2009). «Пространственный анализ» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .
• Дюрейсе, Дэвид (2019). Введение в размерный анализ (лекция). ИНСА Лион.