Группа типа «Ложь»

Не путать с группой Ли .

В математике , особенно в теории групп , группа фраз лиева типа обычно относится к конечным группам , которые тесно связаны с группой точек редуктивной рациональных линейной алгебраической группы со значениями в конечном поле . Фразовая группа лиева типа не имеет общепринятого точного определения. но важная совокупность конечных простых групп лиева типа имеет точное определение, и они составляют большую часть групп в классификации конечных простых групп .

Название «группы лиева типа» связано с тесной связью с (бесконечными) группами Ли , поскольку компактную группу Ли можно рассматривать как рациональные точки редуктивной линейной алгебраической группы над полем действительных чисел . Дьедонне (1971) и Картер (1989) являются стандартными справочниками для групп лиева типа.

Классические группы

Основная статья: Классическая группа

Первоначальным подходом к этому вопросу было определение и детальное изучение так называемых классических групп над конечными и другими полями Джорданом (1870) . Эти группы изучали Л. Е. Диксон и Жан Дьедонне . Эмиль Артин исследовал приказы таких групп с целью классификации случаев совпадения.

Классическая группа — это, грубо говоря, специальная линейная , ортогональная , симплектическая или унитарная группа . Есть несколько незначительных их вариаций, определяемых взятием производных подгрупп или центральных факторов , причем последние дают проективные линейные группы . Их можно построить над конечными полями (или любым другим полем) почти так же, как они строятся над действительными числами. Они соответствуют рядам _An , _Bn , _Cn , _Dn , ² Н _​ , ² D _n групп Шевалле и Стейнберга.

Группы Шевалле

Группы Шевалле можно рассматривать как группы Ли над конечными полями. Теория была разъяснена теорией алгебраических групп и работой Шевалле ( 1955 ) по алгебрам Ли, с помощью которой группы Шевалле было выделено понятие . Шевалле построил базис Шевалле (разновидность интегральной формы, но над конечными полями) для всех сложных простых алгебр Ли (или, скорее, их универсальных обертывающих алгебр ), который можно использовать для определения соответствующих алгебраических групп над целыми числами. В частности, он мог брать их точки со значениями в любом конечном поле. Для алгебр Ли An _, Bn _, Cn _, Dn _это дало хорошо известные классические группы, но его конструкция также дала группы, ассоциированные с исключительными алгебрами Ли _E6 , _E7 , _E8 , _F4 и _G2 . Группы типа G2 ₍ иногда называемые группами Диксона ) уже были построены Диксоном (1905) , а группы типа Е6 _— Диксоном (1901) .

Группы Стейнберга

Основные статьи: ³ Д ₄ и ² E_Е6

Конструкция Шевалле не дала всех известных классических групп: она опускала унитарные группы и нерасщепляемые ортогональные группы . Стейнберг (1959) нашел модификацию конструкции Шевалле, которая дала эти группы и два новых семейства. ³ Д ₄ , ² E ₆ , второй из которых был открыт примерно в то же время с другой точки зрения Титсом (1958) . Эта конструкция обобщает обычную конструкцию унитарной группы из полной линейной группы.

возникает следующим образом: общая линейная группа над комплексными числами имеет автоморфизм диаграммы , заданный обращением диаграммы Дынкина An _{Унитарная группа} (что соответствует взятию обратного транспонирования), и автоморфизм поля, заданный комплексным сопряжением , которые коммутируют. Унитарная группа — это группа неподвижных точек произведения этих двух автоморфизмов.

Точно так же многие группы Шевалле имеют автоморфизмы диаграмм, индуцированные автоморфизмами их диаграмм Дынкина , и автоморфизмы полей, индуцированные автоморфизмами конечного поля. Аналогично унитарному случаю, Стейнберг построил семейства групп, взяв неподвижные точки произведения диаграммы и полевого автоморфизма.

Они дали:

• унитарные группы ² An _{, из} автоморфизма порядка 2 _An ;
• дальнейшие ортогональные группы ² D _n , из автоморфизма порядка 2 D _n ;
• новая серия ² E ₆ , из автоморфизма 2-го порядка E ₆ ;
• новая серия ³ D ₄ , из автоморфизма 3-го порядка D ₄ .

Группы типа ³ D ₄ не имеет аналога над действительными числами, так как комплексные числа не имеют автоморфизма порядка 3. Симметрии диаграммы D ₄ также приводят к тройственности .

-

Основные статьи: группы Suzuki и группа Ree

Судзуки ( 1960 ) нашел новую бесконечную серию групп, которые на первый взгляд казались не связанными с известными алгебраическими группами. Ри ( 1960 , 1961 ) знал, что алгебраическая группа B2 _имеет «лишний» автоморфизм в характеристике 2, квадратом которого является автоморфизм Фробениуса . Он нашел, что если конечное поле характеристики 2 также имеет автоморфизм, квадратом которого является отображение Фробениуса, то аналог конструкции Стейнберга дает группы Сузуки. Поля с таким автоморфизмом — это поля порядка 2 ^{2н 1 +} , а соответствующие группы — это группы Сузуки

² Б2 ₂ ( ^{2н 1 +} ) = Вода(2 ^{2н 1 +} ).

(Строго говоря, группа Suz(2) не считается группой Сузуки, поскольку она непроста: это группа Фробениуса порядка 20.) Ри смог найти два новых подобных семейства.

² Ф ₄ (2 ^{2н 1 +} )

и

² Г ₂ (3 ^{2н 1 +} )

простых групп, воспользовавшись тем, что F ₄ и G ₂ имеют дополнительные автоморфизмы в характеристике 2 и 3. (Грубо говоря, в характеристике p допускается не учитывать стрелку на связях кратности p в диаграмме Дынкина при взятии диаграммных автоморфизмов. ) Самая маленькая группа ² Ф ₄ (2) типа ² F ₄ не является простой, но имеет простую подгруппу индекса 2, называемую группой Титса (по имени математика Жака Титса ). Самая маленькая группа ² Г ₂ (3) типа ² G2 _{не является простой, но} имеет простую нормальную подгруппу индекса 3, изоморфную A1 ₍ 8). В классификации конечных простых групп группы Ри

² Г ₂ (3 ^{2н 1 +} )

— это те, структуру которых труднее всего определить явно. Эти группы также сыграли роль в открытии первой современной спорадической группы. Они имеют централизаторы инволюции вида Z /2 Z × PSL(2, q ) при q = 3 ^н и, исследуя группы с инволюционным централизатором аналогичного вида Z /2 Z × PSL(2, 5), Янко нашел спорадическую группу J ₁ .

Группы Сузуки — единственные конечные неабелевы простые группы с порядком, не кратным 3. Они имеют порядок 2. ^{2(2n + 1)} (2 ^{2(2n + 1)} + 1)(2 ^{(2н + 1)} − 1).

Отношения с

Конечные группы лиева типа были одними из первых групп, которые рассматривались в математике после циклических , симметричных и знакопеременных групп, с проективными специальными линейными группами над простыми конечными полями, PSL(2, p ), построенными Эваристом Галуа в 1830-х годах. Систематическое исследование конечных групп лиева типа началось с Камиллы Жордана теоремы о том, что проективная специальная линейная группа PSL(2, q ) проста при q ≠ 2, 3. Эта теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важное бесконечное семейство PSL( n , q ) конечных простых групп . Другие классические группы изучались Леонардом Диксоном в начале 20 века. В 1950-х годах Клод Шевалле понял, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростых группах Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k , что привело к построению того, что сейчас называется группами Шевалле . Более того, как и в случае с компактными простыми группами Ли, соответствующие группы оказались почти простыми как абстрактные группы ( Теорема о простоте Титса ). Хотя с 19 века было известно, что существуют и другие конечные простые группы (например, группы Матье ), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы можно объяснить с помощью соответствующих расширений конструкции Шевалле, а также циклических и знакопеременных групп. Более того, исключения — спорадические группы — обладают многими свойствами, присущими конечным группам лиева типа, и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрии в смысле Титса.

Эта вера теперь превратилась в теорему – классификацию конечных простых групп . Проверка списка конечных простых групп показывает, что группы лиева типа над конечным полем включают все конечные простые группы, кроме циклических групп, знакопеременных групп, группы Титса и 26 спорадических простых групп .

Небольшие группы типа Лия

В общем случае конечная группа, связанная с эндоморфизмом односвязной простой алгебраической группы, является универсальным центральным расширением простой группы, поэтому является совершенной и имеет тривиальный множитель Шура . Однако некоторые из самых маленьких групп в приведенных выше семействах либо не идеальны, либо имеют множитель Шура, превышающий «ожидаемый».

Случаи, когда группа не идеальна, включают:

• A ₁ (2) = SL(2, 2) Разрешимая порядка 6 (симметрическая группа в 3 точках)
• A ₁ (3) = PSL(2, 3) Решаемая порядка 12 (чередующаяся группа по 4 точкам)
• ² А ₂ (4) Решаемо
• B ₂ (2) Не совершенна, но изоморфна симметрической группе в 6 точках, поэтому ее производная подгруппа имеет индекс 2 и проста порядка 360.
• ² B ₂ (2) = Suz(2) Разрешимая порядка 20 (группа Фробениуса)
• ² F ₄ (2) Не идеально, но производная группа имеет индекс 2 и является простой группой Титса .
• G ₂ (2) Не идеально, но производная группа имеет индекс 2 и является простой порядка 6048.
• ² G ₂ (3) Не идеально, но производная группа имеет индекс 3 и является простой группой порядка 504.

Некоторые случаи, когда группа идеальна, но ее множитель Шура больше ожидаемого, включают:

• A ₁ (4) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• A ₁ (9) Множитель Шура имеет дополнительный Z /3 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 6 вместо 2.
• A ₂ (2) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• A ₂ (4) Множитель Шура имеет дополнительный Z /4 Z × Z /4 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 48 вместо 3.
• A ₃ (2) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• B ₃ (2) = C ₃ (2) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• B ₃ (3) Множитель Шура имеет дополнительный Z /3 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 6 вместо 2.
• D ₄ (2) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z × Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 4 вместо 1.
• F ₄ (2) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• G ₂ (3) Множитель Шура имеет дополнительный Z /3 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 3 вместо 1.
• G ₂ (4) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• ² A ₃ (4) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• ² A ₃ (9) Множитель Шура имеет дополнительный Z /3 Z × Z /3 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 36 вместо 4.
• ² A ₅ (4) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z × Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 12 вместо 3.
• ² E ₆ (4) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z × Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 12 вместо 3.
• ² B ₂ (8) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z × Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 4 вместо 1.

Существует ошеломляющее количество «случайных» изоморфизмов между различными малыми группами лиева типа (и знакопеременными группами). Например, группы SL(2, 4), PSL(2, 5) и знакопеременная группа на 5 точках изоморфны.

Полный список этих исключений см. в списке конечных простых групп . Многие из этих особых свойств связаны с определенными спорадическими простыми группами.

Перемежающиеся группы иногда ведут себя так, как будто это группы лиева типа над полем с одним элементом . Некоторые из небольших знакопеременных групп также обладают исключительными свойствами. Альтернирующие группы обычно имеют внешнюю группу автоморфизмов порядка 2, но знакопеременная группа на 6 точках имеет внешнюю группу автоморфизмов порядка 4 . Альтернирующие группы обычно имеют множитель Шура порядка 2, но группы с 6 или 7 точками имеют множитель Шура порядка 6 .

Проблемы с обозначениями

Стандартных обозначений для конечных групп лиева типа не существует, а в литературе встречаются десятки несовместимых и запутанных систем обозначений для них.

• Простая группа PSL( n , q ) обычно не совпадает с группой PSL( n , F _q ) F _q -значных точек алгебраической группы PSL( n ). Проблема в том, что сюръективное отображение алгебраических групп, таких как SL( n ) → PSL( n ), не обязательно индуцирует сюръективное отображение соответствующих групп со значениями в некотором (не алгебраически замкнутом) поле. Аналогичные проблемы возникают и с точками других алгебраических групп со значениями в конечных полях.
• Группы типа A _{n −1} иногда обозначаются PSL( n , q ) (проективная специальная линейная группа) или L ( n , q ).
• Группы типа C _n иногда обозначаются Sp(2 n , q ) (симплектическая группа) или (что сбивает с толку) Sp( n , q ).
• Особенно запутанными являются обозначения групп типа D _n («ортогональные» группы). Некоторые используемые символы: O( n , q ), O ⁻ ( n , q ), PSO( n , q ), Ω _n ( q ), но существует так много соглашений, что невозможно точно сказать, каким группам они соответствуют, без явного указания этого. Источник проблемы в том, что простая группа не является ни ортогональной группой O, ни проективной специальной ортогональной группой PSO, а скорее подгруппой PSO, что соответственно не имеет классических обозначений. Особенно неприятная ловушка заключается в том, что некоторые авторы, такие как ATLAS , используют O( n , q ) для группы, которая является не ортогональной группой, а соответствующей простой группой. Обозначение Ω, PΩ было введено Жаном Дьедонне , хотя его определение непросто для n ≤ 4, и, таким образом, то же обозначение можно использовать для немного другой группы, которая согласуется в n ≥ 5, но не в нижнем измерении.
• Для групп Штейнберга некоторые авторы пишут ² А _н ( q ² ) (и т. д.) для группы, которую другие авторы обозначают через ² А _н ( q ). Проблема в том, что задействованы два поля: одно порядка q. ² и его фиксированное поле порядка q , и у людей разные представления о том, что следует включить в обозначение. " ² А _н ( q ² )" соглашение более логично и последовательно, но " ² Соглашение _n ( q )" гораздо более распространено и ближе к соглашению для алгебраических групп .
• Авторы расходятся во мнениях относительно того, являются ли такие группы, как An ₍ q ) , группами точек со значениями в простой или односвязной алгебраической группе. Например, An ₍ q ) может означать либо специальную линейную группу SL( n +1, q ), либо проективную специальную линейную группу PSL( n +1, q ). Так ² 2 _{(4) может быть любой из 4} различных групп, в зависимости от автора.

См. также

• Теория Делиня – Люстига ( теория представлений конечных групп лиева типа)
• Модульная алгебра Ли

Ссылки

• Картер, Роджер В. (1989) [1972], Простые группы типа Ли , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-50683-6 , МР   0407163
• Шевалле, Клод (1955), «О некоторых простых группах», The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 7 (1–2): 14–66, doi : 10.2748/tmj/1178245104 , ISSN   0040-8735 , MR   0073602
• Диксон, Леонард Юджин (1901b), «Теория линейных групп в произвольном поле», Труды Американского математического общества , 2 (4), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 363–394, doi : 10.1090/S0002-9947 -1901-1500573-3 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1986251 , перепечатано в томе II его собрания статей.
• Диксон, Леонард Юджин (1901), «Класс групп в произвольной области, связанный с конфигурацией 27 линий на кубической поверхности» , Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 33 : 145–173, перепечатано в томе 5. из его собрания сочинений
• Диксон, Л. Е. (1905), "Новая система простых групп" , Math. Энн. , 60 : 137–150, doi : 10.1007/BF01447497 , S2CID   179178145 Леонард Э. Диксон сообщил о группах типа G _2.
• Дьедонне, Жан А. (1971) [1955], Геометрия классических групп (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-05391-2 , МР   0310083
• Джордан, Камилла (1870), Трактат о заменах и алгебраических уравнениях , Париж: Готье-Вилларс
• Ри, Римхак (1960), «Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (G ₂ )», Бюллетень Американского математического общества , 66 (6): 508–510, doi : 10.1090/S0002-9904 -1960-10523-X , ISSN   0002-9904 , MR   0125155
• Ри, Римхак (1961), «Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (F ₄ )», Бюллетень Американского математического общества , 67 : 115–116, doi : 10.1090/S0002-9904-1961- 10527-2 , ISSN   0002-9904 , МР   0125155
• Стейнберг, Роберт (1959), «Вариации на тему Шевалле» , Pacific Journal of Mathematics , 9 (3): 875–891, doi : 10.2140/pjm.1959.9.875 , ISSN   0030-8730 , MR   0109191
• Стейнберг, Роберт (1968), Лекции о группах Шевалле , Йельский университет, Нью-Хейвен, Коннектикут, MR   0466335 , заархивировано из оригинала 10 сентября 2012 г.
• Судзуки, Мичио (1960), «Новый тип простых групп конечного порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 46 (6): 868–870, Бибкод : 1960PNAS... 46. .868S , doi : 10.1073/pnas.46.6.868 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   70960 , MR   0120283 , PMC   222949 , PMID   16590684
• Титс, Жак (1958), «Реальные формы» групп типа E ₆ , Семинар Бурбаки; 10 класс: 1957/1958 гг. тексты конференций; Презентации 152–168; 2-е изд. исправлено, Лекция 162, т. 15, Париж: Секретариат математики, MR   0106247