Мультифрактальная система

Странный аттрактор , демонстрирующий мультифрактальное масштабирование

Пример собственного мультифрактального электронного состояния при локализационном переходе Андерсона в системе с 1367631 атомом.

Мультифрактальная система — это обобщение фрактальной системы, в которой одного показателя ( фрактальной размерности ) недостаточно для описания ее динамики; непрерывный спектр показателей (так называемый спектр особенностей ). вместо этого необходим

Мультифрактальные системы широко распространены в природе. К ним относятся длина береговой линии , горный рельеф, полностью проработанная турбулентность , реальные сцены, сердцебиения , динамика человеческая походка и активность, деятельность мозга человека , и временные ряды естественной светимости. Модели предлагались в различных контекстах: от турбулентности в гидродинамике до интернет-трафика, финансов, моделирования изображений, синтеза текстур, метеорологии, геофизики и многого другого. Происхождение мультифрактальности в последовательных данных (временных рядах) объясняется математическими эффектами конвергенции, связанными с центральной предельной теоремой , в которых в качестве фокусов конвергенции используется семейство статистических распределений, известных как модели экспоненциальной дисперсии Твиди . а также геометрические модели Твиди. Первый эффект конвергенции приводит к образованию монофрактальных последовательностей, а второй эффект конвергенции отвечает за изменение фрактальной размерности монофрактальных последовательностей.

Мультифрактальный анализ используется для исследования наборов данных, часто в сочетании с другими методами фрактального анализа и анализа лакунарности . Этот метод предполагает искажение наборов данных, извлеченных из шаблонов, для создания мультифрактальных спектров, которые иллюстрируют, как масштабирование варьируется в наборе данных. Мультифрактальный анализ использовался для расшифровки правил генерации и функций сложных сетей. Методы мультифрактального анализа применялись в различных практических ситуациях, таких как прогнозирование землетрясений и интерпретация медицинских изображений.

Определение

В мультифрактальной системе $s$, поведение вокруг любой точки описывается локальным степенным законом :

$s({\vec {x}}+{\vec {a}})-s({\vec {x}})\sim a^{h({\vec {x}})}.$

Экспонента $h({\vec {x}})$ называется показателем сингулярности , поскольку он описывает локальную степень сингулярности или регулярности вокруг точки ${\vec {x}}$.

Ансамбль, образованный всеми точками, имеющими один и тот же показатель сингулярности, называется многообразием особенностей показателя h и представляет собой фрактальное множество фрактальной размерности. $D(h):$ спектр сингулярностей. Кривая $D(h)$ против $h$ называется спектром сингулярностей и полностью описывает статистическое распределение переменной $s$.

На практике мультифрактальное поведение физической системы $X$ не характеризуется напрямую своим спектром сингулярностей $D(h)$. Скорее, анализ данных дает доступ к показателям мультимасштабирования. $\zeta (q),\ q\in {\mathbb {R} }$. Действительно, мультифрактальные сигналы обычно подчиняются свойству масштабной инвариантности , которое приводит к степенному поведению для величин мультиразрешения в зависимости от их масштаба. $a$. В зависимости от исследуемого объекта эти кратные величины, обозначаемые $T_{X}(a)$, могут быть местными средними значениями в ячейках размером $a$, градиенты на расстоянии $a$, вейвлет-коэффициенты в масштабе $a$и т. д. Для мультифрактальных объектов обычно наблюдается глобальное степенное масштабирование вида:

$\langle T_{X}(a)^{q}\rangle \sim a^{\zeta (q)}\$

по крайней мере, в некотором диапазоне масштабов и для некоторого диапазона порядков $q$. Когда такое поведение наблюдается, говорят о масштабной инвариантности, самоподобии или мультимасштабировании.

Оценка

Используя так называемый мультифрактальный формализм , можно показать, что при некоторых подходящих предположениях существует соответствие между спектром особенностей $D(h)$ и показатели мультимасштабирования $\zeta (q)$ с помощью преобразования Лежандра . В то время как определение $D(h)$ требует проведения исчерпывающего локального анализа данных, что приведет к сложным и численно нестабильным расчетам, оценке $\zeta (q)$ основан на использовании статистических средних значений и линейных регрессий в логарифмических диаграммах. Как только $\zeta (q)$ известны, можно вывести оценку $D(h),$ благодаря простому преобразованию Лежандра.

Мультифрактальные системы часто моделируются случайными процессами, такими как мультипликативные каскады . $\zeta (q)$ статистически интерпретируются, так как характеризуют эволюцию распределений $T_{X}(a)$ как $a$ идет от больших масштабов к меньшим. Эту эволюцию часто называют статистической прерывистостью , и она указывает на отход от гауссовских моделей.

Моделирование в виде мультипликативного каскада также приводит к оценке мультифрактальных свойств. Roberts & Cronin 1996 Этот метод работает достаточно хорошо даже для относительно небольших наборов данных. Максимально вероятное соответствие мультипликативного каскада набору данных не только оценивает полный спектр, но также дает разумные оценки ошибок.

Оценка мультифрактального масштабирования на основе подсчета ящиков

Мультифрактальные спектры можно определить путем подсчета ячеек на цифровых изображениях. Сначала выполняется сканирование с подсчетом ячеек, чтобы определить, как распределены пиксели; затем это «распределение массы» становится основой для ряда расчетов. Основная идея состоит в том, что для мультифракталов вероятность $P$ из нескольких пикселей $m$, появляющийся в коробке $i$, зависит от размера коробки $\epsilon$, в некоторой степени $\alpha$, который изменяется по изображению, как в уравнении 0.0 ( Примечание : для монофракталов, напротив, показатель степени не меняется значимо по множеству). $P$ рассчитывается на основе распределения пикселей при подсчете блоков, как в уравнении 2.0 .

$P_{[i,\epsilon ]}\varpropto \epsilon ^{-\alpha _{i}}\therefore \alpha _{i}\varpropto {\frac {\log {P_{[i,\epsilon ]}}}{\log {\epsilon ^{-1}}}}$ ( Уравнение 0.0 )

$\epsilon$ = произвольный масштаб ( размер коробки при подсчете коробок), в котором исследуется набор

$i$ = индекс каждой коробки, лежащей в наборе для $\epsilon$

$m_{[i,\epsilon ]}$ = количество пикселей или масса в любом поле, $i$, по размеру $\epsilon$

$N_{\epsilon }$ = общее количество блоков, содержащих более 0 пикселей, для каждого $\epsilon$

$M_{\epsilon }=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}m_{[i,\epsilon ]}=$ общая масса или сумма пикселей во всех полях для этого $\epsilon$ ( Уравнение 1.0 )

$P_{[i,\epsilon ]}={\frac {m_{[i,\epsilon ]}}{M_{\epsilon }}}=$ вероятность появления этой массы в $i$ относительно общей массы для размера коробки ( Уравнение 2.0 )

$P$ используется для наблюдения за тем, как ведет себя распределение пикселей при определенных искажениях, как в уравнениях 3.0 и 3.1 :

$Q$ = произвольный диапазон значений, который можно использовать в качестве показателей степени для искажения набора данных

$I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}{P_{[i,\epsilon ]}^{Q}}=$ сумма всех массовых вероятностей, искаженная возведением до этого Q, для этого размера коробки ( Уравнение 3.0 )

• Когда $Q=1$, уравнение 3.0 равно 1, обычной сумме всех вероятностей, и когда $Q=0$, каждый член равен 1, поэтому сумма равна количеству подсчитанных ящиков, $N_{\epsilon }$.

$\mu _{{(Q)}_{[i,\epsilon ]}}={\frac {P_{[i,\epsilon ]}^{Q}}{I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}}=$ как искаженная массовая вероятность в ящике сравнивается с искаженной суммой по всем ящикам этого размера ящика ( Уравнение 3.1 )

Эти искажающие уравнения в дальнейшем используются для определения того, как набор ведет себя при масштабировании, разрешении или разрезании на ряд $\epsilon$-размерных частей и искаженных на Q, чтобы найти разные значения размерности набора, как показано ниже:

• Важной особенностью уравнения 3.0 является то, что оно также может меняться в зависимости от масштаба, возведенного в показатель степени. $\tau$ в уравнении 4.0 :

$I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}\varpropto \epsilon ^{\tau _{(Q)}}$ ( Уравнение 4.0 )

Таким образом, ряд значений для $\tau _{(Q)}$ можно найти по наклонам линии регрессии для журнала уравнения 3.0 по сравнению с журналом $\epsilon$ для каждого $Q$, на основе уравнения 4.1 :

$\tau _{(Q)}={\lim _{\epsilon \to 0}{\left[{\frac {\log {I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}}{\log {\epsilon }}}\right]}}$ ( Уравнение 4.1 )

• Для обобщенного измерения:

$D_{(Q)}={\lim _{\epsilon \to 0}{\left[{\frac {\log {I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}}{\log {\epsilon ^{-1}}}}\right]}}{(1-Q)^{-1}}$ ( Уравнение 5.0 )

$D_{(Q)}={\frac {\tau _{(Q)}}{Q-1}}$ ( Уравнение 5.1 )

$\tau _{{(Q)}_{}}=D_{(Q)}\left(Q-1\right)$ ( Уравнение 5.2 )

$\tau _{(Q)}=\alpha _{(Q)}Q-f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}$ ( Уравнение 5.3 )

• $\alpha _{(Q)}$ оценивается как наклон линии регрессии для log A _$\epsilon$,Q в сравнении с журналом $\epsilon$ где:

$A_{\epsilon ,Q}=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}{\mu _{{i,\epsilon }_{Q}}{P_{{i,\epsilon }_{Q}}}}$ ( Уравнение 6.0 )

• Затем $f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}$ находится из уравнения 5.3 .

• Среднее $\tau _{(Q)}$ оценивается как наклон линии логарифмической регрессии для $\tau _{{(Q)}_{[\epsilon ]}}$ против $\epsilon$, где:

$\tau _{(Q)_{[\epsilon ]}}={\frac {\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}{P_{[i,\epsilon ]}^{Q-1}}}{N_{\epsilon }}}$ ( Уравнение 6.1 )

На практике распределение вероятностей зависит от того, как осуществляется выборка набора данных, поэтому были разработаны алгоритмы оптимизации, обеспечивающие адекватную выборку.

Приложения

Мультифрактальный анализ успешно применяется во многих областях, в том числе в физической, информация и биологические науки. Например, количественная оценка остаточных трещин на поверхности железобетонных стен, подвергающихся сдвигу.

Анализ искажений набора данных

Мультифрактальный анализ аналогичен просмотру набора данных через ряд искажающих линз, чтобы выявить различия в масштабировании. Показанный образец представляет собой карту Энона .

Мультифрактальный анализ использовался в нескольких научных областях для характеристики различных типов наборов данных. По сути, мультифрактальный анализ применяет искажающий фактор к наборам данных, извлеченным из закономерностей, чтобы сравнить, как данные ведут себя при каждом искажении. Это делается с помощью графиков, известных как мультифрактальные спектры , аналогичных просмотру набора данных через «искажающую линзу», как показано на иллюстрации . На практике используются несколько типов мультифрактальных спектров.

D _Q против Q

Спектры D _Q и Q для нефрактального круга (размерность подсчета эмпирических ящиков = 1,0), монофрактального квадричного креста (размерность подсчета эмпирических ящиков = 1,49) и мультифрактальной карты Энона (размерность подсчета эмпирических ящиков = 1,29).

Одним из практических мультифрактальных спектров является график зависимости D _Q от Q, где D _Q — обобщенная размерность набора данных, а Q — произвольный набор показателей. Таким образом, выражение «обобщенное измерение» относится к набору измерений набора данных (подробные расчеты для определения обобщенного измерения с использованием подсчета ячеек описаны ниже ).

Размерный заказ

Общий образец графика зависимости D _Q от Q можно использовать для оценки масштабирования шаблона. График обычно убывающий, сигмоидальный вокруг Q=0, где D _(Q=0) ≥ D _(Q=1) ≥ D _(Q=2) . Как показано на рисунке , вариации этого графического спектра могут помочь различить закономерности. На изображении показаны спектры D _(Q) мультифрактального анализа бинарных изображений не-, моно- и мультифрактальных множеств. Как и в случае с образцами изображений, не- и монофракталы имеют тенденцию иметь более плоские спектры D _(Q), чем мультифракталы.

Обобщенное измерение также дает важную конкретную информацию. D _(Q=0) равен размеру вместимости , который – в анализе, показанном на рисунках здесь – является размером подсчета ящиков . D _(Q=1) соответствует информационному измерению , а D _(Q=2) — корреляционному измерению . Это относится к «мульти» в мультифрактале, где мультифракталы имеют несколько измерений в спектрах D _(Q) и Q, но монофракталы остаются довольно плоскими в этой области.

f(a) против α

Еще один полезный мультифрактальный спектр — это график $f(\alpha )$ против $\alpha$ (см . расчеты ). Эти графики обычно поднимаются до максимума, приближающегося к фрактальной размерности при Q=0, а затем падают. Подобно спектрам D _Q и Q, они также демонстрируют типичные закономерности, полезные для сравнения не-, моно- и мультифрактальных паттернов. В частности, для этих спектров не- и монофракталы сходятся на определенных значениях, тогда как спектры мультифрактальных структур обычно образуют горбы на более широкой площади.

Обобщенные аспекты распределения численности видов в космосе

Одним из применений D _q по сравнению с Q в экологии является характеристика распределения видов. Традиционно относительная численность видов рассчитывается для территории без учета местонахождения особей. Эквивалентным представлением относительной численности видов являются ранги видов, используемые для создания поверхности, называемой поверхностью ранга видов. которые можно анализировать с использованием обобщенных измерений для обнаружения различных экологических механизмов, подобных тем, которые наблюдаются в нейтральной теории биоразнообразия , динамике метасообщества или теории ниш .

См. также

• Кривая де Рама – непрерывная фрактальная кривая, полученная как образ пространства Кантора.
• Дробное броуновское движение - концепция теории вероятностей
• Анализ колебаний без тренда - Статистический термин
• Распределения Твиди — семейство вероятностных распределений. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Мультифрактал переключения Маркова - модель доходности активов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Взвешенная плоская стохастическая решетка - математическая структура, разделяющая некоторые свойства как решеток, так и графов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Дальнейшее чтение

• Фальконер, Кеннет Дж. (2014). «17. Мультифрактальные меры». Фрактальная геометрия: математические основы и приложения (3-е изд., 1-е изд.). Чичестер: Уайли. ISBN  978-1-119-94239-9 .
• Барабаши, А.-Л.; Стэнли, HE, ред. (1995), «Мультиаффинные поверхности» , Фрактальные концепции в поверхностном росте , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 262–268, doi : 10.1017/CBO9780511599798.026 , ISBN  978-0-521-48318-6 , получено 5 июня 2024 г.
• Г, Эвертс CJ; Мандельброт, Бенуа Б. (1992). «Мультифрактальные меры» (PDF) . Хаос и фракталы. Новые рубежи науки : 922–953. Архивировано из оригинала (PDF) 13 июля 2023 г.
• Мандельброт, Бенуа Б. (1997). Фракталы и масштабирование в финансах: разрыв, концентрация, риск . Селекта. Нью-Йорк, Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг: Springer. ISBN  978-0-387-98363-9 .
• Харт, Дэвид (26 июня 2001 г.). Мультифракталы . Чепмен и Холл/CRC. дои : 10.1201/9781420036008 . ISBN  978-0-429-12366-5 .
• Стэнли Х.Э., Микин П. (1988). «Мультифрактальные явления в физике и химии» (Рецензия) . Природа . 335 (6189): 405–9. Бибкод : 1988Natur.335..405S . дои : 10.1038/335405a0 . S2CID   4318433 .
• Арнеодо, Ален; Аудит, Бенджамин; Кестенер, Пьер; Ру, Стефан (2008). «Мультифрактальный анализ на основе вейвлетов» . Схоларпедия . 3 (3): 4103. Бибкод : 2008SchpJ...3.4103A . doi : 10.4249/scholarpedia.4103 . ISSN   1941-6016 .

Внешние ссылки

• Венециано, Даниэле; Эссиам, Альберт К. (1 июня 2003 г.). «Течение в пористых средах с мультифрактальной гидравлической проводимостью» . Исследования водных ресурсов . 39 (6): 1166. Бибкод : 2003WRR....39.1166V . дои : 10.1029/2001WR001018 . ISSN   1944-7973 .
• Фильмы визуализаций мультифракталов