Предложение (математическая логика)

В математической логике — предложение (или замкнутая формула ). ^[1] логики предикатов представляет собой с логическим значением правильно построенную формулу и без свободных переменных . Предложение можно рассматривать как выражение суждения , которое должно быть истинным или ложным. Ограничение на отсутствие свободных переменных необходимо, чтобы гарантировать, что предложения могут иметь конкретные, фиксированные значения истинности : поскольку свободные переменные (общей) формулы могут варьироваться в пределах нескольких значений, значение истинности такой формулы может варьироваться.

Предложения без каких-либо логических связок или кванторов в них известны как атомарные предложения ; по аналогии с атомной формулой . Затем предложения строятся из атомарных предложений путем применения связок и кванторов.

Набор предложений называется теорией ; таким образом, отдельные предложения можно назвать теоремами . Чтобы правильно оценить истинность (или ложность) предложения, необходимо обратиться к интерпретации теории. Для теорий первого порядка интерпретации обычно называют структурами . Учитывая структуру или интерпретацию, предложение будет иметь фиксированное истинностное значение. Теория является выполнимой , когда можно представить интерпретацию, в которой все ее предложения истинны. Исследование алгоритмов автоматического обнаружения интерпретаций теорий, которые делают все предложения истинными, известно как проблема выполнимости теорий по модулю .

Пример

Для интерпретации формул рассмотрите следующие структуры: положительные действительные числа , действительные числа и комплексные числа . Следующий пример в логике первого порядка

\forall y\ \exists x\ (y=x^{2})

это приговор. Это предложение означает, что для каждого y существует такой x, что ${\textstyle y=x^{2}.}$ Это предложение истинно для положительных действительных чисел, ложно для действительных чисел и истинно для комплексных чисел.

Однако формула

\exists x\ (y=x^{2})

является не предложением из-за наличия свободной переменной y . Для действительных чисел эта формула верна, если мы заменим (произвольно) ${\textstyle y=2,}$ но неверно, если ${\textstyle y=-2.}$

Важно наличие свободной переменной, а не непостоянного значения истинности; например, даже для комплексных чисел, где формула всегда верна, она все равно не считается предложением. Вместо этого такую формулу можно назвать предикатом .

См. также

Ссылки

^ Эдгар Моршер, «Логическая истина и логическая форма», Grazer Philosophische Studien 82 (1), стр. 77–90.

Хинман, П. (2005). Основы математической логики . АК Петерс. ISBN 1-56881-262-0 .
Раутенберг, Вольфганг (2010), Краткое введение в математическую логику (3-е изд.), Нью-Йорк : Springer Science+Business Media , doi : 10.1007/978-1-4419-1221-3 , ISBN 978-1-4419-1220-6 .

Эта логике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Эдгар Моршер, «Логическая истина и логическая форма», Grazer Philosophische Studien 82 (1), стр. 77–90.

[1]