Множественное количественное определение

В математике и логике переменная квантификация множественного числа — это теория, согласно которой отдельная x может принимать значения как во множественном , так и в единственном числе. Помимо замены x отдельных объектов, таких как Алиса, число 1, самое высокое здание в Лондоне и т. д., мы можем заменить Алису и Боба, или все числа от 0 до 10, или все здания в Лондоне выше 20 этажей. .

Цель теории состоит в том, чтобы придать логике первого порядка силу теории множеств , но без какой-либо « экзистенциальной приверженности » таким объектам, как множества. Классическими экспозициями являются Boolos 1984 и Lewis 1991.

История

Эту точку зрения обычно связывают с Джорджем Булосом , хотя она старше (см., в частности, Simons 1982), и связана с точкой зрения на классы, которую защищал Джон Стюарт Милль и другие философы- номиналисты . Милль утверждал, что универсалии или «классы» не являются чем-то особенным, имеющим объективное существование, отличное от отдельных объектов, подпадающих под них, но «представляют собой не больше и не меньше, чем отдельные вещи в классе». (Мельница 1904, II. ii. 2, также I. iv. 3).

Подобная позиция также обсуждалась Бертраном Расселом в главе VI книги «Рассел» (1903), но позже от нее отказались в пользу теории «отсутствия классов». См. также Gottlob Frege 1895 для критики более ранней точки зрения, защищаемой Эрнстом Шредером .

Общая идея восходит к Лейбницу . (Леви, 2011, стр. 129–133)

Интерес к множественному числу возродился благодаря работам в лингвистике в 1970-х годах Ремко Ша , Годехарда Линка , Фреда Ландмана , Фридерики Мольтманн , Роджера Шварцшильда , Питера Лазерсона и других, которые разработали идеи семантики множественного числа.

Предыстория и мотивация

Многоуровневые (вариантно-полиадические) предикаты и отношения

Предложения типа

Алиса и Боб сотрудничают.

Алиса, Боб и Кэрол сотрудничают.

Говорят, что они включают многоуровневый (также известный как переменно-полиадический , также анадический ) предикат или отношение («сотрудничать» в этом примере), что означает, что они обозначают одну и ту же концепцию, даже если они не имеют фиксированной арности (ср. Линнебо и Николас 2008). Понятие многоуровневого отношения/предиката появилось еще в 1940-х годах и особенно использовалось Куайном (см. Morton 1975). Квантификация множественного числа связана с формализацией количественной оценки аргументов переменной длины таких предикатов, например, « xx сотрудничает», где xx — переменная во множественном числе. Обратите внимание, что в этом примере семантически не имеет смысла создавать экземпляр xx с именем одного человека.

Номинализм

Вообще говоря, номинализм отрицает существование универсалий ( абстрактных сущностей ), таких как множества, классы, отношения, свойства и т. д. Таким образом, логика множественного числа была разработана как попытка формализовать рассуждения о множественном числе, например, те, которые участвуют в многоуровневых предикатах, по-видимому, без обращение к понятиям, которые отрицают номиналисты, например, к множествам.

Стандартная логика первого порядка испытывает трудности с представлением некоторых предложений во множественном числе. Наиболее известной является фраза Гича-Каплана : «Некоторые критики восхищаются только друг другом». Каплан доказал, что он непервоупорядочиваем (доказательство можно найти в этой статье). Следовательно, его перефразирование на формальный язык обязывает нас к количественному определению множеств (т.е. к существованию).

Булос утверждал, что квантификация второго порядка монадическая может быть систематически интерпретирована с точки зрения количественной оценки множественного числа, и что, следовательно, монадическая квантификация второго порядка «онтологически невинна». ^[1]

Позже Оливер и Смайли (2001), Райо (2002), Йи (2005) и Маккей (2006) утверждали, что такие предложения, как

Они товарищи по кораблю

Они встречаются вместе

Они подняли пианино

Они окружают здание

Они восхищаются только друг другом

также не могут быть интерпретированы в монадической логике второго порядка. Это связано с тем, что такие предикаты, как «соратники», «встречаются вместе», «окружают здание», не являются распределительными . Предикат F является дистрибутивным, если всякий раз, когда некоторые вещи являются F, каждая из них является F. Но в стандартной логике каждый монадический предикат является дистрибутивным . Тем не менее, такие предложения также кажутся невинными в каких-либо экзистенциальных предположениях и не предполагают количественной оценки.

Таким образом, можно предложить единое объяснение терминов множественного числа, которое допускает как распределительное, так и недистрибутивное удовлетворение предикатов, одновременно защищая эту позицию от «сингулярного» предположения, что такие предикаты являются предикатами наборов индивидов (или мереологических сумм).

Несколько писателей ^{[ ВОЗ? ]} предположили, что логика множественного числа открывает возможность упростить основы математики , избежать парадоксов теории множеств и упростить сложные и неинтуитивные наборы аксиом, необходимые для того, чтобы их избежать. ^{[ нужны разъяснения ]}

Недавно Линнебо и Николас (2008) предположили, что естественные языки часто содержат переменные в сверхмножественном числе (и связанные с ними кванторы), такие как «эти люди, те люди и эти другие люди соревнуются друг с другом» (например, как команды в онлайн-игре), в то время как Николас (2008) утверждал, что для объяснения семантики массовых существительных, таких как «вино» и «мебель», следует использовать логику множественного числа.

Формальное определение

В этом разделе представлена простая формулировка логики/квантификации множественного числа, примерно такая же, как данная Булосом в «Номиналистическом платонизме» (Boolos 1985).

Синтаксис

Подсентенциальные единицы определяются как

Символы предикатов $F$ , $G$ и т. д. (с соответствующими арностями, которые остаются неявными)
Символы сингулярных переменных $x$ , $y$ , и т. д.
Символы множественных переменных ${\bar {x}}$ , ${\bar {y}}$ , и т. д.

Полные предложения определяются как

Если $F$ является n -арным символом-предикатом, и $x_{0},\ldots ,x_{n}$ являются сингулярными переменными символами, то $F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ это приговор.
Если $P$ это предложение, то и так $\neg P$
Если $P$ и $Q$ являются предложениями, то и так $P\land Q$
Если $P$ это предложение и $x$ является сингулярным символом переменной, то $\exists x.P$ это предложение
Если $x$ является сингулярным переменным символом и ${\bar {y}}$ является символом переменной во множественном числе, тогда $x\prec {\bar {y}}$ — это предложение (где ≺ обычно интерпретируется как отношение «является одним из»)
Если $P$ это предложение и ${\bar {x}}$ является символом переменной во множественном числе, тогда $\exists {\bar {x}}.P$ это предложение

Последние две строки — единственный существенно новый компонент синтаксиса логики множественного числа. Другие логические символы, определяемые с их помощью, могут свободно использоваться в качестве сокращений обозначений.

Эта логика оказывается равноинтерпретируемой с монадической логикой второго порядка .

Теория моделей

Теория/семантика модели множественной логики — это то, где недостаток множеств в логике обналичивается. Модель определяется как кортеж $(D,V,s,R)$ где $D$ это домен, $V$ это совокупность оценок $V_{F}$ для каждого имени предиката $F$ в обычном понимании и $s$ представляет собой последовательность Тарского (присвоение значений переменным) в обычном смысле (т.е. отображение сингулярных символов переменных в элементы $D$ ). Новый компонент $R$ представляет собой бинарное отношение, связывающее значения в домене с символами множественных переменных.

Удовлетворение выражается как

$(D,V,s,R)\models F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ если только $(s_{x_{0}},\ldots ,s_{x_{n}})\in V_{F}$
$(D,V,s,R)\models \neg P$ если только $(D,V,s,R)\nvDash P$
$(D,V,s,R)\models P\land Q$ если только $(D,V,s,R)\models P$ и $(D,V,s,R)\models Q$
$(D,V,s,R)\models \exists x.P$ если есть $s'\approx _{x}s$ такой, что $(D,V,s',R)\models P$
$(D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}$ если только $s_{x}R{\bar {y}}$
$(D,V,s,R)\models \exists {\bar {x}}.P$ если есть $R'\approx _{\bar {x}}R$ такой, что $(D,V,s,R')\models P$

Где для сингулярных символов переменных, $s\approx _{x}s'$ означает, что для всех символов сингулярной переменной $y$ кроме $x$ , он утверждает, что $s_{y}=s'_{y}$ , а для символов переменных во множественном числе $R\approx _{\bar {x}}R'$ означает, что для всех переменных символов множественного числа ${\bar {y}}$ кроме ${\bar {x}}$ , и для всех объектов предметной области $d$ , он утверждает, что $dR{\bar {y}}=dR'{\bar {y}}$ .

Как и в синтаксисе, только два последних являются действительно новыми в логике множественного числа. Булос отмечает, что, используя отношения присваивания $R$ , предметная область не обязательно должна включать множества, и, следовательно, логика множественного числа достигает онтологической невиновности, сохраняя при этом способность говорить о расширениях предиката. Таким образом, схема понимания множественной логики $\exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)$ не приводит к парадоксу Рассела, поскольку количественная оценка множественных переменных не дает количественной оценки во всей области. Другой аспект логики, как ее определяет Булос, решающий для обхода парадокса Рассела, заключается в том, что предложения формы $F({\bar {x}})$ неправильно сформированы: имена предикатов могут сочетаться только с символами переменных в единственном числе, а не с символами переменных во множественном числе.

Это можно рассматривать как самый простой и очевидный аргумент в пользу того, что логика множественного числа, как ее определил Булос, онтологически невинна.

См. также

Примечания

^ Харман, Гилберт; Лепор, Эрнест (2013), Товарищ WVO Куайна , Блэквеллские компаньоны по философии, John Wiley & Sons, стр. 390, ISBN 9781118608029 .

Ссылки

Джордж Булос , 1984: «Быть — значит быть значением переменной (или быть некоторыми значениями некоторых переменных)», Journal of Philosophy 81: 430–449. В Булосе, 1998 г., 54–72.
--------, 1985, "Номиналистический платонизм". Философское обозрение 94: 327–344. В Булосе, 1998, 73–87.
--------, 1998. Логика, логика и логика . Издательство Гарвардского университета.
Берджесс, Дж. П., «От Фреге до Фридмана: мечта сбылась?»
--------, 2004, «Из многих: множественная логика и теория множеств», Mathematical Philosophy 12(3): 193–221.
Кэмерон, младший, 1999, «Множественное число», « Соотношение » .
Коккьярелла, Нино (2002). «О логике множества классов». Студия Логика . 70 (3): 303–338. дои : 10.1023/А:1015190829525 . HDL : 2022/22331 .
Де Руийан, П., 2002, «О том, что есть», Труды Аристотелевского общества : 183–200.
Готтлоб Фреге , 1895, «Критическое разъяснение некоторых моментов лекций Э. Шредера по алгебре логики », Архив систематической философии : 433–456.
Фред Ландман 2000. События и множественность . Клювер.
Лэйкок, Генри (2006), Слова без объектов , Оксфорд: Clarendon Press, doi : 10.1093/0199281718.001.0001 , ISBN 9780199281718
Дэвид К. Льюис , 1991. Части занятий . Лондон: Блэквелл.
Линнебо, Эйстейн; Николас, Дэвид (2008). «Сверхмножественное число на английском языке» (PDF) . Анализ . 68 (3): 186–97. дои : 10.1093/анализ/68.3.186 . Архивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2011 г. Проверено 29 ноября 2008 г.
Маккей, Томас Дж. (2006), Множественное предсказание , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-927814-5
Джон Стюарт Милль , 1904, Система логики , 8-е изд. Лондон: .
Мольтманн, Фридерика , 1997, Части и целое в семантике . Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк. ISBN 9780195154931
Мольтманн, Фридерика , «Множественное число и ссылка на множество». Лингвистические факты и семантический анализ». В М. Каррара, А. Арапинис и Ф. Мольтманн (ред.): Единство и множественность. Логика, философия и семантика. Oxford University Press, Оксфорд, 2016, стр. 93–120.
Николас, Дэвид (2008). «Массовые существительные и логика множественного числа» (PDF) . Языкознание и философия . 31 (2): 211–244. CiteSeerX 10.1.1.510.3305 . дои : 10.1007/s10988-008-9033-2 . Архивировано из оригинала (PDF) 19 февраля 2012 г.
Оливер, Алекс; Смайли, Тимоти (2001). «Стратегии логики множественного числа». Философский ежеквартальный журнал . 51 (204): 289–306. дои : 10.1111/j.0031-8094.2001.00231.x .
Оливер, Алекс (2004). «Множественные предикаты». Разум . 113 (452): 609–681. дои : 10.1093/mind/113.452.609 .
Райо, Агустин (2002). «Слово и предметы». Нус . 36 (3): 436–64. дои : 10.1111/1468-0068.00379 .
--------, 2006, «За пределами множественного числа», в Райо и Ускиано (2006).
--------, 2007, «Множественное число», выйдет в журнале «Philosophy Compass» .
-------- и Габриэль Узкиано, ред., 2006. Absolute Generality Oxford University Press.
Бертран Рассел , Б., 1903. Основы математики . Оксфордский университет. Нажимать.
Питер Саймонс , 1982, «Множественная ссылка и теория множеств», в издании Барри Смита , « Части и моменты: исследования в области логики и формальной онтологии ». Мюнхен: Философия Верлаг.
--------, 1987. Части . Издательство Оксфордского университета.
Ускиано, Габриэль (2003). «Множественное количественное определение и классы». Философия Математика . 11 (1): 67–81. дои : 10.1093/филмат/11.1.67 .
Йи, Бён Ук (1999). «Двое — это собственность?». Журнал философии . 95 (4): 163–190. дои : 10.2307/2564701 . JSTOR 2564701 .
--------, 2005, «Логика и значение множественного числа, часть I», Journal of Philosophical Logic 34: 459–506.
Адам Мортон . «Сложные личности и многоуровневые отношения». Ноус (1975): 309–318. JSTOR 2214634
Сэмюэл Леви (2011) «Логическая теория Лейбница» в книге Брэндона К. Лука (ред.) The Continuum Companion to Leibniz , Continuum International Publishing Group, ISBN 0826429750

Внешние ссылки

[1] Харман, Гилберт; Лепор, Эрнест (2013), Товарищ WVO Куайна , Блэквеллские компаньоны по философии, John Wiley & Sons, стр. 390, ISBN 9781118608029 .

[1]