Эрмитово симметричное пространство

В математике эрмитово симметричное пространство — это эрмитово многообразие , которое в каждой точке имеет инверсионную симметрию, сохраняющую эрмитову структуру. Впервые изученные Эли Картаном , они образуют естественное обобщение понятия риманова симметрического пространства с вещественных многообразий на комплексные многообразия .

Каждое эрмитово симметрическое пространство является однородным пространством для своей группы изометрий и имеет единственное разложение в произведение неприводимых пространств и евклидова пространства. Неприводимые пространства возникают парами как некомпактное пространство, которое, как показал Борель , может быть вложено как открытое подпространство своего компактного двойственного пространства. Хариш Чандра показал, что каждое некомпактное пространство может быть реализовано как ограниченная симметричная область в комплексном векторном пространстве. В простейшем случае речь идет о группах SU(2), SU(1,1) и их общей комплексификации SL(2, C ). В этом случае некомпактным пространством является единичный круг , однородное пространство для SU(1,1). Это ограниченная область в комплексной плоскости C . Одноточечная компактификация C , сфера Римана , представляет собой двойственное пространство, однородное пространство для SU(2) и SL(2, C ).

Неприводимые компактные эрмитовые симметрические пространства — это в точности однородные пространства простых компактных групп Ли с максимальными замкнутыми связными подгруппами, содержащими максимальный тор и имеющими центр, изоморфный группе окружностей. Существует полная классификация неприводимых пространств с четырьмя классическими сериями, изученными Картаном, и двумя исключительными случаями; классификацию можно вывести из теории Бореля – де Зибенталя , которая классифицирует замкнутые связные подгруппы, содержащие максимальный тор. Эрмитовые симметрические пространства появляются в теории систем троек Йордана , нескольких комплексных переменных , комплексной геометрии , автоморфных форм и групповых представлений , в частности позволяющих строить голоморфные дискретные серийные представления полупростых групп Ли.

Эрмитовые симметрические пространства компактного типа

Определение

Пусть H — связная компактная полупростая группа Ли, σ — автоморфизм H порядка 2 и H ^п подгруппа неподвижных точек группы σ. Пусть K — замкнутая подгруппа группы H, лежащая между H ^п и его идентификационный компонент . Компактное однородное пространство H / K называется симметрическим пространством компактного типа . Алгебра Ли ${\mathfrak {h}}$ допускает разложение

$\displaystyle {{\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}},}$

где ${\mathfrak {k}}$, алгебра Ли K , является +1 собственным пространством σ и ${\mathfrak {m}}$ собственное пространство –1. Если ${\mathfrak {k}}$ не содержит простого слагаемого ${\mathfrak {h}}$, пара ( ${\mathfrak {h}}$, σ) называется ортогональной симметрической алгеброй Ли типа компактного .

Любой внутренний продукт на ${\mathfrak {h}}$, инвариантный относительно присоединенного представления и σ, индуцирует риманову структуру на H / K , где H действует изометрически. Канонический пример даёт форма Киллинга минус . При таком внутреннем продукте ${\mathfrak {k}}$ и ${\mathfrak {m}}$ ортогональны. H / K тогда является римановым симметрическим пространством компактного типа.

Симметрическое пространство H / K называется эрмитовым симметрическим пространством, если оно имеет почти комплексную структуру, сохраняющую риманову метрику. Это эквивалентно существованию линейного отображения J с J ² = − Я на ${\mathfrak {m}}$ который сохраняет скалярное произведение и коммутирует с действием K .

Симметрия и центр подгруппы изотропии

Если ( ${\mathfrak {h}}$,σ) эрмитово, K имеет нетривиальный центр и симметрия σ внутренняя, реализуемая элементом центра K .

На самом деле J лежит в ${\mathfrak {k}}$ и exp tJ образует однопараметрическую группу в центре K . Это следует из того, что если A , B , C , D лежат в ${\mathfrak {m}}$, то в силу инвариантности скалярного произведения на ${\mathfrak {h}}$

$\displaystyle {([[A,B],C],D)=([A,B],[C,D])=([[C,D],B],A).}$

Заменив A и B на JA и JB , получим, что

$\displaystyle {[JA,JB]=[A,B].}$

Определим линейное отображение δ на ${\mathfrak {h}}$ расширив J до 0 на ${\mathfrak {k}}$. Последнее соотношение показывает, что δ является производным ${\mathfrak {h}}$. С ${\mathfrak {h}}$ является полупростым, δ должно быть внутренним выводом, так что

$\displaystyle {\delta (X)=[T+A,X],}$

с Т в ${\mathfrak {k}}$ и А в ${\mathfrak {m}}$. Принимая Х ​ ${\mathfrak {k}}$, то A = 0 и T лежит в центре ${\mathfrak {k}}$ и, следовательно, K неполупрост. Симметрия σ реализуется посредством z = exp π T , а почти комплексная структура — посредством exp π/2 T .

Внутренность σ означает, что K содержит максимальный тор H , поэтому имеет максимальный ранг. С другой стороны, централизатор подгруппы, порожденной тором S элементов exp tT, связен, так как если x — любой элемент из K, то существует максимальный тор, содержащий x и S , лежащий в централизаторе. С другой стороны, он содержит K , поскольку S является центральным в K и содержится в K, поскольку z лежит в S. , Итак, K является централизатором S и, следовательно, связен. В частности, K содержит центр H .

Неприводимое разложение

Симметричное пространство или пара ( ${\mathfrak {h}}$, σ) называется неприводимым, если присоединенное действие ${\mathfrak {k}}$ (или, что то же самое, тождественный компонент H ^п или K ) неприводим на ${\mathfrak {m}}$. Это эквивалентно максимальности ${\mathfrak {k}}$ как подалгебра.

На самом деле между промежуточными подалгебрами существует однозначное соответствие. ${\mathfrak {l}}$ и K -инвариантные подпространства ${\mathfrak {m}}_{1}$ из ${\mathfrak {m}}$ данный

$\displaystyle {{\mathfrak {l}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}}_{1},\,\,\,\ {\mathfrak {m}}_{1}={\mathfrak {l}}\cap {\mathfrak {m}}.}$

Любая ортогональная симметрическая алгебра ( ${\mathfrak {g}}$, σ) эрмитова типа можно разложить в (ортогональную) прямую сумму неприводимых ортогональных симметрических алгебр эрмитова типа.

Фактически ${\mathfrak {h}}$ можно записать в виде прямой суммы простых алгебр

$\displaystyle {{\mathfrak {h}}=\oplus _{i=1}^{N}{\mathfrak {h}}_{i},}$

каждый из которых инвариантен слева относительно автоморфизма σ и комплексной структуры J , поскольку оба они внутренние. Разложение по собственному пространству ${\mathfrak {h}}_{1}$ совпадает с его пересечениями с ${\mathfrak {k}}$ и ${\mathfrak {m}}$. Таким образом, ограничение σ на ${\mathfrak {h}}_{1}$ является нередуцируемым.

Это разложение ортогональной симметрической алгебры Ли дает прямое разложение на произведение соответствующего компактного симметрического пространства H / K , когда H односвязно. В этом случае подгруппа неподвижных точек H ^п подключается автоматически. Для односвязного H симметрическое пространство H / K является прямым произведением H _i / K _i с H _i односвязным и простым. В неприводимом случае K — максимальная связная подгруппа в H . Поскольку K действует неприводимо на ${\mathfrak {m}}$ (рассматриваемый как комплексное пространство для комплексной структуры, определяемой J ), центр K представляет собой одномерный тор T , заданный операторами exp tT . Поскольку каждое H односвязно, а K связно, фактор H / K односвязен.

Сложная структура

Основная статья: Сложные структуры на однородных пространствах

если H / K неприводима, а K неполупроста, то компактная группа H должна быть простой и K максимального ранга. Из теории Бореля-де Зибенталя инволюция σ является внутренней, а K — централизатор ее центра, изоморфного T . В частности, K связен. Отсюда следует, что H / K односвязна и существует параболическая подгруппа P в комплексификации G группы H такая, что H / K = G / P . существует комплексная структура В частности, на H / K и действие H голоморфно. Поскольку любое эрмитово симметрическое пространство является произведением неприводимых пространств, то, вообще говоря, то же самое верно.

На уровне алгебры Ли существует симметричное разложение

${\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}},$

где $({\mathfrak {m}},J)$ — вещественное векторное пространство комплексной структуры J , комплексная размерность которого указана в таблице. Соответственно, существует алгебры Ли градуированное разложение

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}_{+}\oplus {\mathfrak {l}}\oplus {\mathfrak {m}}_{-}$

где ${\mathfrak {m}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {m}}_{-}\oplus {\mathfrak {m}}_{+}$ — это разложение на + i и − i собственные пространства J и ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {k}}\otimes \mathbb {C}$. Алгебра Ли P — это полупрямое произведение ${\mathfrak {m}}^{+}\oplus {\mathfrak {l}}$. Комплексные алгебры Ли ${\mathfrak {m}}_{\pm }$ являются абелевыми. Действительно, если U и V лежат в ${\mathfrak {m}}_{\pm }$, [ U , V ] = J [ U , V ] = [ JU , JV ] = [± iU ,± iV ] = –[ U , V ], поэтому скобка Ли должна исчезнуть.

Комплексные подпространства ${\mathfrak {m}}_{\pm }$ из ${\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }$ неприводимы для действия K , поскольку J коммутирует с K так, что каждый изоморфен ${\mathfrak {m}}$ со сложной структурой ± Дж . Эквивалентно центр T группы K действует на ${\mathfrak {m}}_{+}$ посредством представления идентичности и на ${\mathfrak {m}}_{-}$ по его сопряжению.

Реализация H / K как обобщенного многообразия флагов G / P получается, если взять G, как в таблице ( комплексификация H с ), а P — параболическую подгруппу, равную полупрямому произведению L , комплексификации K , комплексная абелева подгруппа exp ${\mathfrak {m}}_{+}$. (На языке групп алгебраических L — фактор Леви группы P. )

Классификация

Любое эрмитово симметрическое пространство компактного типа односвязно и может быть записано как прямое произведение неприводимых эрмитовых симметрических пространств H _i / K _i с Hi _{простыми} , K _i связными максимального ранга с центром T . Таким образом, неприводимые - это в точности неполупростые случаи, классифицированные теорией Бореля – де Зибенталя .

Соответственно, неприводимые компакты эрмитовых симметрических пространств H / K классифицируются следующим образом.

Г	ЧАС	К	комплексное измерение	классифицировать	геометрическая интерпретация
$\mathrm {SL} (p+q,\mathbb {C} )$	$\mathrm {SU} (p+q)\,$	$\mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))$	ПК	мин( п , q )	Грассманиан комплексных p -мерных подпространств $\mathbb {C} ^{p+q}$
$\mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )$	$\mathrm {SO} (2n)\,$	$\mathrm {U} (n)\,$	${\tfrac {1}{2}}n(n-1)$	$[{\tfrac {1}{2}}n]$	Пространство ортогональных комплексных структур на $\mathbb {R} ^{2n}$
$\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )\,$	$\mathrm {Sp} (n)\,$	$\mathrm {U} (n)\,$	${\tfrac {1}{2}}n(n+1)$	н	Пространство сложных структур на $\mathbb {H} ^{n}$ совместим с внутренним продуктом
$\mathrm {SO} (n+2,\mathbb {C} )$	$\mathrm {SO} (n+2)\,$	$\mathrm {SO} (n)\times \mathrm {SO} (2)$	н	2	Грассманиан ориентированных вещественных 2 -мерных подпространств $\mathbb {R} ^{n+2}$
$E_{6}^{\mathbb {C} }\,$	$E_{6}\,$	$\mathrm {SO} (10)\times \mathrm {SO} (2)$	16	2	Комплексификация $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ проективной плоскости Кэли $\mathbb {O} P^{2}$
$E_{7}^{\mathbb {C} }$	$E_{7}\,$	$E_{6}\times \mathrm {SO} (2)$	27	3	Пространство симметричных подмногообразий проективной плоскости Розенфельда $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ которые изоморфны $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$

С точки зрения классификации компактных римановых симметричных пространств, эрмитовыми симметричными пространствами являются четыре бесконечные серии AIII, DIII, CI и BDI с p = 2 или q = 2, а также два исключительных пространства, а именно EIII и EVII.

Классические примеры

Все неприводимые эрмитовы симметрические пространства компактного типа односвязны. Соответствующая симметрия σ односвязной простой компактной группы Ли является внутренней, задаваемой сопряжением единственным элементом S в Z ( K )/ Z ( H ) периода 2. Для классических групп, как и в таблице выше, эти симметрии следующие:

• III: $S={\begin{pmatrix}-\alpha I_{p}&0\\0&\alpha I_{q}\end{pmatrix}}$ в S(U( p )×U( q )), где α ^{п + д} =(−1) ^п .
• DIII: S = iI в U( n ) ⊂ SO(2 n ); этот выбор эквивалентен $J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}$.
• CI: S = iI в U( n ) ⊂ Sp( n ) = Sp( n , C ) ∩ U(2 n ); этот выбор эквивалентен J _n .
• БДИ: $S={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}$ в SO( p )×SO(2).

В этих классических случаях максимальная параболическая подгруппа P может быть описана явно. Для АIII

$\displaystyle {P(p,q)={\begin{pmatrix}A_{pp}&B_{pq}\\0&D_{qq}\end{pmatrix}}}$

в SL( p + q , C ). P ( p , q ) — стабилизатор подпространства размерности p в C ^{п + д} .

Остальные группы возникают как неподвижные точки инволюций. Пусть J — матрица размера n × n с единицами на антидиагонали и нулями в других местах, и положим

$\displaystyle {A={\begin{pmatrix}0&J\\-J&0\end{pmatrix}}.}$

Тогда Sp( n , C ) — подгруппа неподвижных точек инволюции θ( g ) = A ( g ^т ) ⁻¹ А ⁻¹ SL(2 n , C ). SO( n , C ) можно реализовать как неподвижные точки ψ( g ) = B ( g ^т ) ⁻¹ Б ⁻¹ в SL( n , C ), где B = J . Эти инволюции оставляют инвариант P ( n , n ) в случаях DIII и CI и P ( p ,2) в случае BDI. Соответствующие параболические подгруппы P получаются взятием неподвижных точек. Компактная группа H действует транзитивно на G / P , так что G / P = H / K .

Эрмитовые симметрические пространства некомпактного типа

Определение

Как и в случае с симметричными пространствами в целом, каждое компактное эрмитово симметрическое пространство H / K имеет некомпактное двойственное H ^* / K, полученный заменой H на замкнутую вещественную подгруппу Ли H ^* комплексной группы Ли G с алгеброй Ли

${\mathfrak {h}}^{*}={\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {m}}\subset {\mathfrak {g}}.$

Борелевское вложение

В то время как естественное отображение из H / K в G / P является изоморфизмом, естественное отображение из H ^* / K в G / P — это всего лишь включение в открытое подмножество. Это включение называется вложением Бореля в честь Армана Бореля . Фактически P ∩ H = K = P ∩ H *. Изображения H и H * имеют одинаковый размер, поэтому являются открытыми. Поскольку образ H компактен и замкнут, отсюда следует, что H / K = G / P .

Разложение Картана

Из полярного разложения в комплексной линейной группе G следует разложение Картана H * = K ⋅ exp $i{\mathfrak {m}}$ в Х *.

Более того, если задана максимальная абелева подалгебра ${\mathfrak {a}}$ в t, A = exp ${\mathfrak {a}}$ — торическая подгруппа такая, что σ( a ) = a ⁻¹ на А ; и любые два таких ${\mathfrak {a}}$сопряжены элементом K. из Аналогичное утверждение справедливо и для ${\mathfrak {a}}^{*}=i{\mathfrak {a}}$. Более того, если A * = exp ${\mathfrak {a}}^{*}$, затем

$\displaystyle {H^{*}=KA^{*}K.}$

Эти результаты представляют собой частные случаи разложения Картана в любом римановом симметрическом пространстве и его двойственном пространстве. Геодезические, исходящие из начала координат в однородных пространствах, можно отождествить с однопараметрическими группами с образующими в $i{\mathfrak {m}}$ или ${\mathfrak {m}}$. Аналогичные результаты справедливы и для компактного случая: H = K ⋅ exp $i{\mathfrak {m}}$ and H = KAK .

Свойства вполне геодезического подпространства A можно показать непосредственно. A замкнута, поскольку замыкание A является торической подгруппой, удовлетворяющей σ( a ) = a ⁻¹ , поэтому его алгебра Ли лежит в ${\mathfrak {m}}$ и, следовательно, равен ${\mathfrak {a}}$ по максимальности. A может быть сгенерирован топологически одним элементом exp X , поэтому ${\mathfrak {a}}$ является централизатором X в ${\mathfrak {m}}$. На K -орбите любого элемента ${\mathfrak {m}}$ существует элемент Y такой, что (X,Ad k Y) минимизируется при k = 1. Полагая k = exp tT с T в ${\mathfrak {k}}$, отсюда следует, что ( X ,[ T , Y ]) = 0 и, следовательно, [ X , Y ] = 0, так что Y должен лежать в ${\mathfrak {a}}$. Таким образом ${\mathfrak {m}}$ представляет собой объединение сопряженных ${\mathfrak {a}}$. В частности, некоторое сопряжение X лежит в любом другом выборе ${\mathfrak {a}}$, который централизует это сопряжение; поэтому по максимальности единственные возможности - это сопряжения ${\mathfrak {a}}$.

Разложения

$\displaystyle {H=KAK,\,\,\,H=K\cdot \exp {\mathfrak {m}}}$

можно доказать непосредственно, применив теорему о срезах для компактных групп преобразований к действию K на H / K . Фактически пространство H / K можно отождествить с

$\displaystyle {M=\{\sigma (g)g^{-1}:g\in H\},}$

замкнутое подмногообразие H , и разложение Картана следует, показывая, что M является объединением kAk ⁻¹ для k в K . Поскольку это объединение является непрерывным образом K × A , оно компактно и связно. Поэтому достаточно показать, что объединение открыто в М , а для этого достаточно показать, что каждое а из А имеет открытую окрестность в этом объединении. Теперь, вычислив производные в 0, объединение содержит открытую окрестность 1. Если a является центральным, объединение инвариантно относительно умножения на a , поэтому содержит открытую окрестность a . Если a не является центральным, напишите a = b ² с b в A. ​Тогда τ = Ad b − Ad b ⁻¹ является кососопряженным оператором на ${\mathfrak {h}}$ антикоммутирующий с σ, который можно рассматривать как Z ₂ -градуирующий оператор σ на ${\mathfrak {h}}$. Из характеристического аргумента Эйлера–Пуанкаре следует, что суперразмерность ${\mathfrak {h}}$ совпадает с суперразмерностью ядра τ. Другими словами,

$\displaystyle {\mathrm {dim} \,{\mathfrak {k}}-\mathrm {dim} \,{\mathfrak {k}}_{a}=\mathrm {dim} \,{\mathfrak {m}}-\mathrm {dim} \,{\mathfrak {m}}_{a},}$

где ${\mathfrak {k}}_{a}$ и ${\mathfrak {m}}_{a}$ — подпространства, фиксированные Ad a . Пусть ортогональное дополнение ${\mathfrak {k}}_{a}$ в ${\mathfrak {k}}$ быть ${\mathfrak {k}}_{a}^{\perp }$. Вычисляя производные, следует, что Ad e ^Х ( что, если ^И ), где X лежит в ${\mathfrak {k}}_{a}^{\perp }$ и Y в ${\mathfrak {m}}_{a}$, является открытой окрестностью a в объединении. Здесь термины a e ^И лежат в объединении по аргументу центрального a : действительно, находится в центре единичного компонента централизатора a, который инвариантен относительно σ и содержит A. a

Размерность ${\mathfrak {a}}$ называется рангом эрмитова симметрического пространства.

Сильно ортогональные корни

В случае эрмитовых симметричных пространств Хариш-Чандра дал канонический выбор для ${\mathfrak {a}}$. Этот выбор ${\mathfrak {a}}$ определяется путем взятия максимального тора T группы H в K с алгеброй Ли ${\mathfrak {t}}$. Поскольку симметрия σ реализуется элементом T, лежащим в центре H , корневые пространства ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ в ${\mathfrak {g}}$ остаются инвариантными относительно σ. Он действует как идентификатор тех, кто содержится в ${\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }$ и минус идентичность на тех, кто в ${\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }$.

Корни с корневыми пространствами в ${\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }$ называются компактными корнями , а корни с корневыми пространствами в ${\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }$ называются некомпактными корнями . (Эта терминология происходит из симметричного пространства некомпактного типа.) Если H проста, генератор Z центра K можно использовать для определения набора положительных корней в соответствии со знаком α( Z ). При таком выборе корней ${\mathfrak {m}}_{+}$ и ${\mathfrak {m}}_{-}$ являются прямой суммой корневых пространств ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ над положительными и отрицательными некомпактными корнями α. Корневые векторы E _α можно выбрать так, чтобы

$\displaystyle {X_{\alpha }=E_{\alpha }+E_{-\alpha },\,\,\,Y_{\alpha }=i(E_{\alpha }-E_{-\alpha })}$

роды ${\mathfrak {h}}$. Простые корни α ₁ , ...., α _n являются неразложимыми положительными корнями. Их можно пронумеровать так, чтобы α _i обращался в нуль в центре ${\mathfrak {h}}$ для i , тогда как α ₁ этого не делает. Таким образом, α ₁ — единственный некомпактный простой корень, а остальные простые корни компактны. Любой положительный некомпактный корень тогда имеет вид β = α ₁ + c ₂ α ₂ + ⋅⋅⋅ + c _n α _n с неотрицательными коэффициентами c _i . Эти коэффициенты приводят к лексикографическому порядку положительных корней. Коэффициент при α ₁ всегда равен единице, поскольку ${\mathfrak {m}}_{-}$ неприводимо для K, поэтому натянуто на векторы, полученные последовательным применением операторов опускания E _–α для простых компактных корней α.

Два корня α и β называются сильно ортогональными , если ±α ±β не являются корнями или нулем (обозначается α ≐ β). Старший положительный корень ψ ₁ некомпактен. В качестве ψ ₂ возьмем старший некомпактный положительный корень, сильно ортогональный ψ ₁ (для лексикографического порядка). Затем продолжайте таким же образом, принимая ψ _{i + 1} в качестве старшего некомпактного положительного корня, сильно ортогонального ψ ₁ , ..., ψ _i, пока процесс не завершится. Соответствующие векторы

$\displaystyle {X_{i}=E_{\psi _{i}}+E_{-\psi _{i}}}$

роды ${\mathfrak {m}}$ и коммутируют по сильной ортогональности. Их пролет ${\mathfrak {a}}$ — каноническая максимальная абелева подалгебра Хариш-Чандры. (Как позже показал Сугиура, при фиксированном T множество сильно ортогональных корней определяется однозначно с точностью до применения элемента из группы K. Вейля )

Максимальность можно проверить, показав, что если

$\displaystyle {[\sum c_{\alpha }E_{\alpha }+{\overline {c_{\alpha }}}E_{-\alpha },E_{\psi _{i}}+E_{-\psi _{i}}]=0}$

для всех i , то c _α = 0 для всех положительных некомпактных корней α, отличных от корней ψ _j . Это следует из того, что индуктивно показано, что если c _α ≠ 0, то α сильно ортогонально ψ ₁ , ψ ₂ , ... противоречие. Действительно, приведенное выше соотношение показывает, что ψ _i + α не может быть корнем; и что если ψ _i – α является корнем, то он обязательно будет иметь вид β – ψ _i . Если бы ψ _i – α были отрицательными, то α был бы более высоким положительным корнем, чем ψ _i , сильно ортогональным ψ _j с j < i , что невозможно; аналогично, если бы β – ψ _i было положительным.

Теорема о полисфере и полидиске

Канонический выбор Хариш-Чандры ${\mathfrak {a}}$ приводит к теореме о полидиске и полисфере в H */ K и H / K . Этот результат сводит геометрию к продуктам прототипного примера, включающего SL(2, C ), SU(1,1) и SU(2), а именно к единичному диску внутри сферы Римана.

В случае H = SU(2) симметрия σ задается сопряжением диагональной матрицей с элементами ± i, так что

$\displaystyle {\sigma {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha &-\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}$

Подгруппа неподвижных точек — это максимальный тор T , диагональные матрицы с элементами e ^{± it} . SU(2) действует на сфере Римана. $\mathbf {CP} ^{1}$ транзитивно преобразованиями Мёбиуса, а T является стабилизатором 0. SL(2, C ), комплексификация SU(2), также действует преобразованиями Мёбиуса, а стабилизатором 0 является подгруппа B нижнетреугольных матриц. Некомпактная подгруппа SU(1,1) действует ровно тремя орбитами: открытый единичный круг | г | < 1; единичная окружность z = 1; и его внешний вид | г | > 1. Таким образом

$\displaystyle {\mathrm {SU} (1,1)/\mathbf {T} =\{z:|z|<1\}\,\,\,\subset \,\,\,B_{+}/\mathbf {T} _{\mathbb {C} }=\mathbb {C} \,\,\,\subset \,\,\,\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )/B=\mathbb {C} \cup \{\infty \},}$

где B ₊ и TC _C обозначают подгруппы верхнетреугольных и диагональных матриц в SL(2, ) . Средний член — это орбита нуля под верхними унитреугольными матрицами.

$\displaystyle {{\begin{pmatrix}1&z\\0&1\end{pmatrix}}=\exp {\begin{pmatrix}0&z\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Теперь для каждого корня ψ _i существует гомоморфизм π _i группы SU(2) в H , согласованный с симметриями. Оно единственным образом продолжается до гомоморфизма SL(2, C ) в G . Образы алгебр Ли для разных ψ _i коммутируют, поскольку они сильно ортогональны. Таким образом, существует гомоморфизм π прямого произведения SU(2) ^р в H, совместимую с симметриями. Он продолжается до гомоморфизма SL(2, C ) ^р в Г. ​Ядро π содержится в центре (±1) ^р из СУ(2) ^р которая поточечно фиксируется симметрией. Значит, образ центра под π лежит в K . Таким образом, имеет место вложение полисферы (SU(2)/T) ^р в H / K = G / P и полисфера содержит полидиск (SU(1,1)/T) ^р . Полисфера и полидиск являются прямым продуктом r копий сферы Римана и единичного диска. Согласно разложениям Картана в SU(2) и SU(1,1), орбита Tr _A полисфера — это в H / K а полидиск — это орбита Tr _A * , где Tr _, = π( T ^р ) ⊆ К . С другой стороны, H = KAK и H * = K A * K .

Следовательно, каждый элемент в компактном эрмитовом симметрическом пространстве H / K находится на K -орбите точки полисферы; и каждый элемент образа при борелевском вложении некомпактного эрмитова симметрического пространства H * / K находится на K -орбите точки полидиска.

Вложение Хариш-Чандры

H * / K — эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа, лежит в образе $\exp {\mathfrak {m}}_{+}$, плотное открытое подмножество H / K, биголоморфное ${\mathfrak {m}}_{+}$. Соответствующий домен в ${\mathfrak {m}}_{+}$ ограничен. Это вложение Хариш-Чандры, названное в честь Хариш-Чандры .

Фактически Хариш-Чандра показал следующие свойства пространства $\mathbf {X} =\exp({\mathfrak {m}}_{+})\cdot K_{\mathbb {C} }\cdot \exp({\mathfrak {m}}_{-})=\exp({\mathfrak {m}}_{+})\cdot P$:

1. Как пространство, X является прямым продуктом трех факторов.
2. X открыт G. в
3. X плотно G. в
4. X содержит H *.
5. Замыкание H */ K в X / P = $\exp {\mathfrak {m}}_{+}$ компактен.

Фактически $M_{\pm }=\exp {\mathfrak {m}}_{\pm }$ — комплексные абелевы группы, нормированные K _C . Более того, $[{\mathfrak {m}}_{+},{\mathfrak {m}}_{-}]\subset {\mathfrak {k}}_{\mathfrak {C}}$ с $[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {k}}$.

Отсюда следует P ∩ M ₊ = {1}. Ибо если x = e ^Х с X в ${\mathfrak {m}}_{+}$ лежит в P , он должен нормализовать M ₋ и, следовательно, ${\mathfrak {m}}_{-}$. Но если Y лежит в ${\mathfrak {m}}_{-}$, затем

$\displaystyle {Y=\mathrm {Ad} (X)\cdot Y=Y+[X,Y]+{1 \over 2}[X,[X,Y]]\in {\mathfrak {m}}_{+}\oplus {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak {m}}_{-},}$

так что X коммутирует с ${\mathfrak {m}}_{-}$. Но если X коммутирует с каждым некомпактным корневым пространством, оно должно быть равно 0, поэтому x = 1. Отсюда следует, что отображение умножения µ на ​​M ₊ × P инъективно, поэтому следует (1). Аналогично, производная µ в ( x , p ) равна

$\displaystyle {\mu ^{\prime }(X,Y)=\mathrm {Ad} (p^{-1})X+Y=\mathrm {Ad} (p^{-1})(X\oplus \mathrm {Ad} (p)Y),}$

которое инъективно, поэтому следует (2). Для частного случая H = SU(2), H * = SU(1,1) и G = SL(2, C ) остальные утверждения являются следствиями отождествления со сферой Римана, C и единичным кругом. Их можно применять к группам, определенным для каждого корня ψ _i . По теореме о полисфере и полидиске H */ K , X / P и H / K являются объединением K -транслятов полидиска, C ^р и полисфера. Итак, H * лежит в X , замыкание H */ K компактно в X / P , которое, в свою очередь, плотно в H / K .

что (2) и (3) также являются следствием того факта, что образ X в G / P является образом большой ячейки B ₊ B в разложении Гаусса G . Обратите внимание ,

Используя результаты об ограниченной системе корней симметрических пространств H / K и H */ K , Герман показал, что образ H */ K в ${\mathfrak {m}}_{+}$ представляет собой обобщенный единичный диск. Фактически это выпуклое множество X , для которого операторная норма ad Im X меньше единицы.

Ограниченные симметричные области

Ограниченная область Ω в комплексном векторном пространстве называется ограниченной симметричной областью , если для каждого x в Ω существует инволютивный биголоморфизм σ _x пространства Ω, для которого x является изолированной неподвижной точкой. Вложение Хариш-Чандры показывает каждое эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа H * / K как ограниченную симметрическую область. Группа биголоморфизмов H ^* / K равна своей группе изометрий H ^* .

И наоборот, таким образом возникает любая ограниченная симметричная область. Действительно, для ограниченной симметричной области Ω ядро ​​Бергмана определяет метрику на Ω , метрику Бергмана , для которой каждый биголоморфизм является изометрией. Это реализует Ω как эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа.

Классификация

Неприводимые ограниченные симметричные области называются областями Картана и классифицируются следующим образом.

Тип	комплексное измерение	геометрическая интерпретация
я потому что	ПК	Комплексные матрицы p × q с операторной нормой меньше 1
II n ( n > 4)	п ( п - 1)/2	Комплексные антисимметричные матрицы размера n × n с операторной нормой меньше 1
III n ( n > 1)	п ( п + 1)/2	Комплексные симметричные матрицы размера n × n с операторной нормой меньше 1
IV н	н	Лиж-сфера: $|z|^{2}<{1 \over 2}(1+(z\cdot z)^{2})<1$
V	16	Матрицы 2 × 2 над алгеброй Кэли с операторной нормой меньше 1
МЫ	27	Эрмитовы матрицы размера 3 × 3 над алгеброй Кэли с операторной нормой меньше 1

Классические домены

В классических случаях (I–IV) некомпактная группа может быть реализована блочными матрицами размера 2 × 2.

$\displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

действуя посредством обобщенных преобразований Мёбиуса

$\displaystyle {g(Z)=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}.}$

Теорема о полидиске в классических случаях принимает следующий конкретный вид:

• Тип I _pq ( p ≤ q ): для каждой p × q матрицы M размера существуют унитарные матрицы такие, что UMV диагональен. Фактически это следует из полярного разложения матриц размера p × p .
• Тип III _n : для каждой комплексной симметричной размера n × n матрицы M существует унитарная матрица U такая, что UMU ^т является диагональным. Это доказывается классическим аргументом Зигеля . Возьмем V унитарным, чтобы V * M * MV было диагональным. Тогда В ^т MV симметричен, его действительная и мнимая части коммутируют. Поскольку они являются действительными симметричными матрицами, они могут быть одновременно диагонализированы вещественной ортогональной матрицей W . Итак, УМУ ^т диагональна, если U = WV ^т .
• Тип II _n : для каждой комплексной кососимметричной n × n матрицы M размера существует унитарная матрица такая, что UMU ^т состоит из диагональных блоков ${\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}$ и один ноль, если n нечетное. Как и в аргументе Сигела, это можно свести к случаю, когда действительная и мнимая части M коммутируют. Любую действительную кососимметричную матрицу можно привести к заданному каноническому виду ортогональной матрицей, причем одновременно для коммутирующих матриц это можно сделать.
• Тип IV _n : преобразованием SO( n ) × SO(2) любой вектор можно преобразовать так, что все координаты, кроме первых двух, будут отличны от нуля.

Граничные компоненты

Некомпактная группа H * действует на комплексном эрмитовом симметрическом пространстве H / K = G / P лишь с конечным числом орбит. Структура орбиты подробно описана у Вольфа (1972) . В частности, замыкание ограниченной области H */ K имеет единственную замкнутую орбиту, которая является шиловской границей области. В общем случае орбиты представляют собой объединения эрмитовых симметрических пространств меньшей размерности. Теория комплексных функций областей, в частности аналог интегральных формул Коши , описана для областей Картана в Хуа (1979) . Замыкание ограниченной области представляет собой компактификацию Бейли–Бореля H * / K .

Граничную структуру можно описать с помощью преобразований Кэли . Для каждой копии SU(2), определенной одним из некомпактных корней ψ _i , существует преобразование Кэли c _i , которое как преобразование Мёбиуса отображает единичный круг на верхнюю полуплоскость. Учитывая подмножество I индексов сильно ортогонального семейства ψ ₁ , ..., ψ _r , частичное преобразование Кэли c _I определяется как произведение c i _с i в I в произведении групп π _i . Пусть G ( I ) — централизатор этого произведения в G и H *( I ) = H * ∩ G ( I ). Поскольку σ оставляет H *( I ) инвариантом, существует соответствующее эрмитово симметрическое пространство M _I H *( I )/ H *( I )∩ K ⊂ H */ K = M . Граничный компонент для подмножества I представляет собой объединение K -переносов c _I M _I . Когда I — набор всех индексов, M _I — одна точка, а граничный компонент — граница Шилова. Более того, M _I находится в замыкании M _J тогда и только тогда, когда I ⊇ J .

Геометрические свойства

Каждое эрмитово симметрическое пространство является кэлеровым многообразием . Их можно эквивалентно определить как римановы симметрические пространства с параллельной комплексной структурой, по отношению к которым риманова метрика является эрмитовой . Комплексная структура автоматически сохраняется группой изометрий H метрики, поэтому любое эрмитово симметрическое пространство M является однородным комплексным многообразием. Некоторыми примерами являются комплексные векторные пространства и комплексные проективные пространства с их обычными эрмитовыми метриками и метриками Фубини–Студи , а также комплексные единичные шары с подходящими метриками, так что они становятся полными и риманово симметричными. Компактные обобщенными многообразиями эрмитовые симметрические пространства являются проективными многообразиями и допускают строго большую группу Ли G биголоморфизмов , относительно которой они однородны: фактически они являются флагов , т. е. G полупроста , а стабилизатор точки является параболическим подгруппа P группы G. ​Среди (комплексных) многообразий обобщенных флагов G / P характеризуются те, для которых нильрадикал алгебры Ли P абелева. Таким образом, они содержатся в семействе симметричных R-пространств, которое, наоборот, включает эрмитовые симметрические пространства и их вещественные формы. Некомпактные эрмитовые симметрические пространства могут быть реализованы как ограниченные области в комплексных векторных пространствах.

Жордановые алгебры

См. также: Мутация (йордановая алгебра) , симметричный конус и квадратичная йордановая алгебра.

Хотя классические эрмитовые симметрические пространства могут быть построены специальными методами, жордановые системы троек или, что то же самое, йордановые пары обеспечивают единые алгебраические средства описания всех основных свойств, связанных с эрмитовым симметричным пространством компактного типа и его некомпактным двойственным пространством. Эта теория подробно описана в Koecher (1969) и Loos (1977) и обобщена в Satake (1981) . Развитие происходит в порядке, обратном тому, который применялся при использовании структурной теории компактных групп Ли. Его отправной точкой является эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа, реализуемое как ограниченная симметрическая область. Ее можно описать с помощью жордановой пары или эрмитовой жордановой тройной системы . Эту структуру йордановой алгебры можно использовать для восстановления двойственного эрмитова симметрического пространства компактного типа, включая, в частности, все связанные с ним алгебры Ли и группы Ли.

Теорию легче всего описать, когда неприводимое компактное эрмитово симметрическое пространство имеет трубчатый тип. В этом случае пространство определяется простой вещественной алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$с отрицательно определенной формой Киллинга. Он должен допускать действие SU(2), которое действует только через тривиальное и присоединенное представление, оба типа имеют место. С ${\mathfrak {g}}$ просто, это действие является внутренним, поэтому реализуется включением алгебры Ли SU (2) в ${\mathfrak {g}}$. Комплексификация ${\mathfrak {g}}$ разлагается в прямую сумму трех собственных пространств диагональных матриц из SU(2). Это трехградуированная комплексная алгебра Ли, в которой элемент группы Вейля SU (2) обеспечивает инволюцию. Каждое из собственных пространств ±1 имеет структуру комплексной йордановой алгебры с единицей, явно возникающей как комплексификация евклидовой йордановой алгебры. Его можно отождествить с пространством кратностей присоединенного представления SU(2) в ${\mathfrak {g}}$.

Описание неприводимых эрмитовых симметрических пространств трубчатого типа начинается с простой евклидовой йордановой E. алгебры Он допускает жордановые рамки т.е. наборы ортогональных минимальных идемпотентов e ₁ , ..., em _, . Любые два связаны автоморфизмом E , так что целое число является инвариантом, рангом E. называемым m Более того, если A является комплексификацией E , оно имеет унитарную структурную группу . Это подгруппа GL( A ), сохраняющая натуральный комплексный скалярный продукт на A . Любой элемент a в A имеет полярное разложение a = u Σ α _i a _i с α _i ≥ 0 . Спектральная норма определяется формулой ||a|| знак равно суп α _я . Соответствующая ограниченная симметричная область это просто открытый единичный шар D в A. — существует биголоморфизм Между D и трубчатой ​​областью T = E + iC , где C — открытый самодвойственный выпуклый конус элементов из E вида a = u Σ α _i a _i, где u — автоморфизм E и α _i > 0. Это дает два описания эрмитова симметрического пространства некомпактного типа. Существует естественный способ использования мутаций йордановой алгебры A для компактификации пространства. А. ​Компактификация X — комплексное многообразие, а конечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ голоморфных векторных полей на X можно определить явно. Однопараметрические группы биголоморфизмов могут быть определены так, что соответствующие голоморфные векторные поля охватывают ${\mathfrak {g}}$. Сюда входит группа всех комплексных преобразований Мёбиуса, соответствующих матрицам из SL(2, C ). Подгруппа SU(1,1) оставляет инвариантом единичный шар и его замыкание. Подгруппа SL(2, R ) оставляет инвариантной трубчатую область и ее замыкание. Обычное преобразование Кэли и его обратное, отображающее единичный круг в C в верхнюю полуплоскость, устанавливают аналогичные отображения между D и T . Полидиск соответствует вещественным и комплексным йордановым подалгебрам, порожденным фиксированным йордановым репером. Он допускает транзитивное действие SU(2) ^м это действие распространяется на X. и Группа G, порожденная однопараметрическими группами биголоморфизмов, действует точно на ${\mathfrak {g}}$. Подгруппа, порожденная единичным компонентом K группы с унитарной структурой и операторами из SU(2) ^м . Он определяет компактную группу Ли H , действующую транзитивно на X . Таким образом, H / K — соответствующее эрмитово симметрическое пространство компактного типа. Группу G отождествить комплексификацией H. с можно Подгруппа H *, оставляющая D инвариантной, является некомпактной вещественной формой G. группы Оно действует транзитивно на D, так что H */ K — двойственное эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа. Включения D ⊂ A ⊂ X воспроизводят вложения Бореля и Хариш-Чандры. Классификация эрмитовых симметрических пространств трубчатого типа сводится к классификации простых евклидовых йордановых алгебр. Они были классифицированы Джорданом, фон Нейманом и Вигнером (1934) в терминах евклидовых алгебр Гурвица , особого типа композиционной алгебры .

В общем случае эрмитово симметрическое пространство порождает 3-градуированную алгебру Ли с сопряженным линейным автоморфизмом периода 2, переключающим части степени ±1 и сохраняющим часть степени 0. Это приводит к образованию структуры йордановой пары или эрмитовой жордановой тройной системы , на которую Лоос (1977) распространил теорию йордановых алгебр. Все неприводимые эрмитовы симметрические пространства могут быть построены равномерно в рамках этой структуры. Кехер (1969) построил неприводимое эрмитово симметрическое пространство нетрубчатого типа из простой евклидовой йордановой алгебры вместе с автоморфизмом периода 2. Собственное пространство -1 автоморфизма имеет структуру йордановой пары, которую можно вывести из структуры большей йордановой алгебры. В случае нетрубчатого типа, соответствующем области Зигеля типа II, не существует выделенной подгруппы вещественных или комплексных преобразований Мёбиуса. Для неприводимых эрмитовых симметрических пространств трубчатый тип характеризуется тем, что действительная размерность шиловской границы S равна комплексной размерности Д. ​

См. также

• Инвариантный выпуклый конус

Ссылки

• Агаока, Ёсио; Канеда, Эйдзи (2002), «Сильно ортогональные подмножества в корневых системах», Hokkaido Math. Дж. , 31 : 107–136, doi : 10.14492/hokmj/1350911773
• Арази, Джонатан (1995), «Обзор инвариантных гильбертовых пространств аналитических функций в ограниченных симметричных областях», Теория многомерных операторов (Сиэтл, Вашингтон, 1993) , Contemporary Mathematics, vol. 185, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 7–65, doi : 10.1090/conm/185/02147 , ISBN.  9780821802984 , МР   1332053
• Борель, Арманд (1952), Симметричные эрмитовы пространства, Лекция № 62 , Семинар Бурбаки, том. 2, заархивировано из оригинала 4 марта 2016 г.
• Борель, Арманд; Цзи, Лижен (2006), Компактификации симметричных и локально симметричных пространств , Springer, ISBN  978-0817632472
• Бурбаки, Н. (1981), Группы Ли и алгебры (главы 7–8) , Элементы математики, Массон, ISBN  978-3540339397
• Бурбаки, Н. (1982), Группы и алгебры Ли (глава 9) , Элементы математики, Массон, ISBN  978-3540343929
• Картан, Эли (1935), «Об однородных ограниченных областях пространства комплексных переменных», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 11 : 116–162, doi : 10.1007/bf02940719
• Чу, Ч. (2020), Ограниченные симметричные области в банаховых пространствах , World Scientific, ISBN  9789811214103
• Дьедонне, Ж. (1977), Компактные группы Ли и полупростые группы Ли, Глава XXI , Трактат об анализе, том. 5, Академическое издательство, ISBN  978-0122155055
• Дуйстермаат, Джей-Джей; Колк, А. (2000), Группы Ли , Universitext, Springer, ISBN  978-3540152934
• Гилмор, Роберт (1994), Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения , Кригер, ISBN  978-0-89464-759-8
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN  978-0-8218-2848-9 Стандартная книга по римановым симметрическим пространствам.
• Хельгасон, Сигурдур (1994), Геометрический анализ симметричных пространств , Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1538-0
• Хуа, Л.К. (1979), Гармонический анализ функций нескольких комплексных переменных в классических областях , Переводы математических монографий, том. 6, Американское математическое общество, Провиденс, ISBN.  978-0-8218-1556-4
• Джордан, П.; фон Нейман, Дж.; Вигнер, Э. (1934), «Об алгебраическом обобщении квантовомеханического формализма», Ann. математики. , 35 (1): 29–64, номер документа : 10.2307/1968117 , JSTOR   1968117.
• Кнапп, Энтони В. (1972), «Ограниченные симметричные области и голоморфные дискретные серии», Бутби, Уильям; Вайс, Гвидо (ред.), Симметрические пространства (Краткие курсы, Вашингтонский университет) , Чистая и прикладная математика, том. 8, Деккер, стр. 211–246.
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 2, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-15732-8
• Кечер, Макс (1969), Элементарный подход к ограниченным симметричным областям , Конспекты лекций по математике, Университет Райса
• Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметричные области и жордановые пары (PDF) , Математические лекции, Калифорнийский университет, Ирвин, заархивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г. , получено 18 марта 2013 г.
• Мок, Нгайминг (1989), Теоремы метрической жесткости для эрмитовых локально симметричных многообразий , World Scientific, ISBN  978-9971-5-0802-9
• Сатаке, Ичиро (1981), Алгебраические структуры симметричных областей , Princeton University Press, ISBN  9780691082714
• Сигел, Карл Людвиг (1943), «Симплектическая геометрия», Американский журнал математики , 65 (1): 1–86, doi : 10.2307/2371774 , JSTOR   2371774
• Вольф, Джозеф А. (1964), «Классификация эрмитовых симметричных пространств» , Университет Индианы. Математика. J. , 13 (3): 489–495, номер документа : 10.1512/iumj.1964.13.13028.
• Вольф, Джозеф А. (2010), Пространства постоянной кривизны , AMS Chelsea Publishing (6-е изд.), Американское математическое общество, ISBN  978-0821852828 . Глава 8 содержит самостоятельное описание эрмитовых симметрических пространств компактного типа.
• Вольф, Джозеф А. (1972), «Тонкая структура эрмитовых симметричных пространств», Бутби, Уильям; Вайс, Гвидо (ред.), Симметрические пространства (Краткие курсы, Вашингтонский университет) , Чистая и прикладная математика, том. 8, Деккер, стр. 271–357 . Здесь содержится подробное описание эрмитовых симметрических пространств некомпактного типа.