Принцип Гамильтона

По мере развития системы q прослеживает путь через конфигурационное пространство (показаны только некоторые). Путь, по которому проходит система (красный цвет), имеет стационарное действие (δ S = 0) при небольших изменениях конфигурации системы (δ q ).

В физике представляет принцип Гамильтона собой Уильямом Роуэном Гамильтоном формулировку принципа стационарного действия . В нем говорится, что динамика физической системы определяется вариационной задачей для функционала , основанного на единственной функции, лагранжиане , которая может содержать всю физическую информацию, касающуюся системы и сил, действующих на нее. Вариационная задача эквивалентна дифференциальным уравнениям движения физической системы и позволяет их вывести. первоначально был сформулирован для классической механики Хотя принцип Гамильтона , он также применим к классическим полям, таким как электромагнитное и гравитационное поля , и играет важную роль в квантовой механике , квантовой теории поля и теориях критичности.

Математическая формулировка

Принцип Гамильтона утверждает, что истинная эволюция t ) системы , описываемой обобщенными координатами q ( q1 _N , q2 _q ..., qN ₎ t1 двумя заданными состояниями q1 ₌ q ( = ) ₍ между и q2 _, = q ( t ₂ ) в два заданных момента времени t ₁ и t ₂ является стационарной точкой (точкой, где вариация равна нулю) действия функционала $${\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt$$ где $L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$ – Лагранжа функция системы. Другими словами, любое возмущение первого порядка истинной эволюции приводит (в лучшем случае) к изменениям второго порядка в ${\mathcal {S}}$. Действие ${\mathcal {S}}$ — это функционал , то есть нечто, что принимает на вход функцию и возвращает одно число, скаляр . С точки зрения функционального анализа принцип Гамильтона гласит, что истинная эволюция физической системы является решением функционального уравнения.

Принцип Гамильтона

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0.$

То есть система выбирает путь в конфигурационном пространстве, для которого действие стационарно, с фиксированными граничными условиями в начале и конце пути.

Уравнения Эйлера–Лагранжа, полученные из интеграла действия

Основная статья: уравнение Эйлера – Лагранжа

Требование, чтобы истинная траектория q ( t ) была стационарной точкой функционала действия ${\mathcal {S}}$ эквивалентен набору дифференциальных уравнений для q ( t ) ( уравнения Эйлера – Лагранжа ), которые можно вывести следующим образом.

Пусть q ( t ) эволюцию системы между двумя заданными состояниями q1 _q = и ( t1 ₎ в и q2 ₌ времени q ( t2 ₎ ε два заданных t1 _{представляет истинную} и t2 _пусть , t ( момента ) будет небольшое возмущение, равное нулю на концах траектории $${\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0$$

В первом порядке по возмущению ε ( t ) изменение функционала действия $\delta {\mathcal {S}}$ было бы $$\delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},{\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt$$ где мы разложили лагранжиан L до первого порядка по возмущению ε ( t ) .

Применение интегрирования по частям к последнему члену приводит к $$\delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt$$

Граничные условия ${\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0$ приводит к исчезновению первого члена $$\delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt$$

Принцип Гамильтона требует, чтобы это изменение первого порядка $\delta {\mathcal {S}}$ равен нулю для всех возможных возмущений ε ( t ) , т. е. истинный путь является стационарной точкой функционала действия ${\mathcal {S}}$ (минимум, максимум или седловая точка). Это требование может быть удовлетворено тогда и только тогда, когда

Уравнения Эйлера–Лагранжа.

${\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=0$

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера–Лагранжа вариационной задачи.

Канонические импульсы и константы движения

Сопряженный импульс p _k для обобщенной координаты q _k определяется уравнением $$p_{k}\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}.$$

Важный частный случай уравнения Эйлера–Лагранжа возникает, когда L не содержит обобщенной координаты q _k явно : $${\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dp_{k}}{dt}}=0\,,$$ то есть сопряженный импульс является константой движения .

В таких случаях координата q _k называется циклической координатой . Например, если мы используем полярные координаты t , r , θ для описания плоского движения частицы, и если L не зависит от θ , сопряженный импульс представляет собой сохраняющийся угловой момент.

Пример: Свободная частица в полярных координатах.

Тривиальные примеры помогают оценить использование принципа действия через уравнения Эйлера – Лагранжа. Свободная частица (масса m и скорость v ) в евклидовом пространстве движется прямолинейно. Используя уравнения Эйлера – Лагранжа, это можно показать в полярных координатах следующим образом. В отсутствие потенциала лагранжиан просто равен кинетической энергии $$L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)$$ в ортонормированных координатах ( x , y ), где точка представляет дифференцирование по параметру кривой (обычно времени t ). Следовательно, применив уравнения Эйлера–Лагранжа, $${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0\qquad \Rightarrow \qquad m{\ddot {x}}=0$$

И то же самое для y . Таким образом, формулировку Эйлера-Лагранжа можно использовать для вывода законов Ньютона.

В полярных координатах ( r , φ ) кинетическая энергия и, следовательно, лагранжиан становятся $$L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right).$$

Радиальные компоненты r и φ уравнений Эйлера–Лагранжа становятся соответственно $${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r}}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0$$ $${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}=0.$$

помня, что r также зависит от времени, и правило произведения необходимо для вычисления полной производной по времени ${\textstyle {\frac {d}{dt}}mr^{2}{\dot {\varphi }}}$.

Решение этих двух уравнений имеет вид $$r={\sqrt {(at+b)^{2}+c^{2}}}$$ $$\varphi =\tan ^{-1}\left({\frac {at+b}{c}}\right)+d$$ для набора констант a , b , c , d, определяемых начальными условиями. Таким образом, действительно, решение представляет собой прямую, заданную в полярных координатах: а — скорость, с — расстояние наибольшего сближения с началом координат, d — угол движения.

Применяется к деформируемым телам

Принцип Гамильтона — важный вариационный принцип в эластодинамике . В отличие от системы, состоящей из твердых тел, деформируемые тела имеют бесконечное число степеней свободы и занимают непрерывные области пространства; следовательно, состояние системы описывается с помощью непрерывных функций пространства и времени. Расширенный принцип Гамильтона для таких тел имеет вид $$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\delta W_{e}+\delta T-\delta U\right]dt=0$$ где Т – кинетическая энергия, U – упругая энергия, W _э – работа, совершаемая внешними нагрузками на тело, а t ₁ , t ₂ – начальное и конечное время. Если система консервативна, работа внешних сил может быть получена из скалярного V. потенциала В этом случае, $$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[T-(U+V)\right]dt=0.$$ Это называется принципом Гамильтона и он инвариантен относительно преобразований координат.

Сравнение с принципом Мопертюи

Принцип Гамильтона и принцип Мопертюи иногда путают, и оба они называются принципом наименьшего действия . Они различаются по трем важным признакам:

• их определение действия ...
  Принцип Мопертюи использует интеграл по обобщенным координатам, известный как сокращенное действие или приведенное действие. $${\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q}$$ где p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _N ) — сопряженные импульсы, определенные выше. Напротив, принцип Гамильтона использует ${\mathcal {S}}$, интеграл лагранжиана по времени.
• решение, которое они определяют...
  Принцип Гамильтона определяет траекторию q ( t ) как функцию времени, тогда как принцип Мопертюи определяет только форму траектории в обобщенных координатах. Например, принцип Мопертюи определяет форму эллипса, по которому частица движется под действием центральной силы, обратно квадратичной, такой как гравитация , но не описывает как таковую, как частица движется по этой траектории. (Однако эта временная параметризация может быть определена из самой траектории в последующих расчетах с использованием закона сохранения энергии ). Напротив, принцип Гамильтона прямо определяет движение по эллипсу как функцию времени.
• ...и ограничения на вариации.
  Принцип Мопертюи требует, чтобы были заданы два состояния конечной точки q ₁ и q ₂ и чтобы энергия сохранялась вдоль каждой траектории (одна и та же энергия для каждой траектории). Это также приводит к изменению времени конечной точки. Напротив, принцип Гамильтона не требует сохранения энергии, но требует, чтобы были указаны моменты времени t ₁ и t ₂ конечной точки , а также состояния конечной точки q ₁ и q ₂ .

Принцип действия для полей

Классическая теория поля

Основная статья: Классическая теория поля

Принцип действия быть расширен для получения уравнений движения полей может , таких как электромагнитное поле или гравитация .

Уравнение Эйнштейна использует действие Эйнштейна-Гильберта , ограниченное вариационным принципом .

Путь тела в гравитационном поле (т.е. свободное падение в пространстве-времени, так называемая геодезическая) можно найти, используя принцип действия.

Квантовая механика и квантовая теория поля

Основная статья: Квантовая теория поля

В квантовой механике система не следует единственному пути, действие которого стационарно, а поведение системы зависит от всех мыслимых путей и величины их действия. Действие, соответствующее различным путям, используется для вычисления интеграла по пути , который дает амплитуды вероятности различных результатов.

эквивалентен законам Ньютона , Хотя в классической механике принцип действия он лучше подходит для обобщений и играет важную роль в современной физике. Действительно, этот принцип является одним из величайших обобщений в физической науке. В частности, это полностью осознается и лучше всего понимается в рамках квантовой механики . Формулировка квантовой механики Ричарда Фейнмана с интегралом по путям основана на принципе стационарного действия с использованием интегралов по путям. Уравнения Максвелла можно вывести как условия стационарного действия.

См. также

• Аналитическая механика
• Конфигурационное пространство
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Фазовое пространство
• Геодезические как гамильтоновы потоки

Ссылки

• У. Р. Гамильтон, «Об общем методе в динамике», «Философские труды Королевского общества , часть II» (1834), стр. 247–308 ; Часть I (1835), стр. 95–144 . ( Из сборника сэра Уильяма Роуэна Гамильтона (1805–1865): Математические статьи под редакцией Дэвида Р. Уилкинса, Школа математики, Тринити-колледж, Дублин 2, Ирландия (2000); также рассмотрено как « Об общем методе в динамике »).
• Гольдштейн Х. (1980) Классическая механика , 2-е изд., Аддисон Уэсли, стр. 35–69.
• Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. (1976) Механика , 3-е. изд., Пергамон Пресс. ISBN   0-08-021022-8 (твердый переплет) и ISBN   0-08-029141-4 (мягкая обложка), стр. 2–4.
• Арнольд VI. (1989) Математические методы классической механики , 2-е изд., Springer Verlag, стр. 59–61.
• Кассель, Кевин В.: Вариационные методы с применением в науке и технике, Cambridge University Press, 2013.
• Бедфорд А.: Принцип Гамильтона в механике сплошных сред. Питман, 1985. Springer 2001, ISBN 978-3-030-90305-3 ISBN 978-3-030-90306-0 (электронная книга), https://doi.org/10.1007/978-3-030-90306-0