Полупрямой продукт

В математике , особенно в теории групп , понятие полупрямого произведения является обобщением прямого произведения . Обычно он обозначается символом $⋉$ . Существуют две тесно связанные концепции полупрямого продукта:

Внутреннее нормальной полупрямое произведение — это особый способ группы составления из двух подгрупп , одна из которых является подгруппой .
внешнее декартово полупрямое произведение — это способ построить новую группу из двух заданных групп, используя произведение в качестве множества и определенную операцию умножения.

Как и в случае с прямыми продуктами, существует естественная эквивалентность между внутренними и внешними полупрямыми продуктами, и оба обычно называются просто полупрямыми продуктами .

Для конечных групп теорема Шура – Зассенхауза обеспечивает достаточное условие существования разложения в виде полупрямого произведения (также известного как расширение расщепления ).

Определения внутреннего полупрямого продукта

Для группы $G$ с единичным элементом $e$ , подгруппы $H$ и нормальной подгруппы $N ◁ G$ следующие утверждения эквивалентны:

$G$ — произведение подгрупп , $G = NH$ , и эти подгруппы имеют тривиальное пересечение: $N \cap H = {e}$ .
Для каждого $g G G$ существуют единственные $n G N$ и $h G H$ такие, что $g = nh$ .
Композиция с $π \circ i$ естественного вложения $i : H \to G$ естественной проекцией $π : G \to G / N$ является изоморфизмом между $H$ и факторгруппой $G / N$ .
Существует гомоморфизм $G \to H$ , который является тождественным на $H$ и ядром которого является $N$ . Другими словами, существует расщепленная точная последовательность

1\to N\to G\to H\to 1

групп (которое также известно как групповое расширение

H

к

N

).

Если любое из этих утверждений верно (и, следовательно, все они верны в силу их эквивалентности), мы говорим, что $G$ является полупрямым произведением N $и$ H $,$ записанным

G=N\rtimes H

или

G=H\ltimes N,

или что $G$ распадается над $N$ ; также говорят, что $G$ является полупрямым произведением $H,$ на $N$ , или даже полупрямым произведением $H$ и $N.$ действующим Во избежание двусмысленности желательно указать, какая подгруппа является нормальной.

Если $G=N\rtimes H$ , то существует групповой гомоморфизм $\varphi \colon H\rightarrow \mathrm {Aut} (N)$ данный $\varphi _{h}(n)=hnh^{-1}$ и для $g=nh,g'=n'h'$ , у нас есть $gg'=nhn'h'=nhn'h^{-1}hh'=n\varphi _{h}(n')hh'=n^{*}h^{*}$ .

Внутренние и внешние полупрямые продукты

Давайте сначала рассмотрим внутренний полупрямой продукт. В этом случае для группы $G$ , рассмотрим нормальную подгруппу $N$ и другую подгруппу $H$ (не обязательно нормальную). Предположим, что условия из приведенного выше списка остаются в силе. Позволять $\operatorname {Aut} (N)$ обозначают группу всех автоморфизмов N $,$ которая является группой композиции. Построить групповой гомоморфизм $\varphi \colon H\to \operatorname {Aut} (N)$ определяется спряжением,

\varphi _{h}(n)=hnh^{-1}

для всех

h

в

H

и

n

в

N.

,

Таким образом, мы можем построить группу $G'=(N,H)$ с групповой операцией, определенной как

(n_{1},h_{1})\cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})

для

n 1, n 2

в

N

и

h 1, h 2

в

H

.

Подгруппы $N$ и $H$ определяют $G$ с точностью до изоморфизма, как мы покажем позже. Таким образом, мы можем построить группу $G$ из ее подгрупп. Такая конструкция называется внутренним полупрямым произведением (также известным как внутреннее полупрямое произведение). ^{[ 1 ]}).

Давайте теперь рассмотрим внешний полупрямой продукт. Учитывая любые две группы $N$ и $H$ и групповой гомоморфизм $φ : H \to Aut(N)$ , мы можем построить новую группу $N ⋊ φ H$ , называемую внешним полупрямым произведением N $и$ H $относительно$ φ $,$ определяемую следующим образом: ^{[ 2 ]}

Базовый набор — это произведение $N \times H.$ декартово
Групповая операция $\bullet$ определяется гомоморфизмом $φ$ :
${\begin{aligned}\bullet :(N\rtimes _{\varphi }H)\times (N\rtimes _{\varphi }H)&\to N\rtimes _{\varphi }H\\(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})&=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})\end{aligned}}$
для $n 1, n 2$ в $N$ и $h 1, h 2$ в $H$ .

Это определяет группу, в которой единичным элементом является $(e N, e H)$ , а обратным элементу $(n, h)$ является $(φ h -1 (н -1), ч -1)$ . Пары $(n, eH изоморфную)$ изоморфную $N$ , а пары $eN, образуют нормальную подгруппу , h) образуют$ подгруппу, $H.$ ( Полная группа является полупрямым произведением этих двух подгрупп в указанном ранее смысле.

Обратно, предположим, что нам дана группа $G$ с нормальной подгруппой $N$ и подгруппой $H$ , такая, что каждый элемент $g$ из $G$ можно однозначно записать в виде $g = nh,$ n $лежит$ в $N$ , а $h$ лежит в $H.$ где Пусть $φ : H \to Aut(N)$ — гомоморфизм (обозначенный $φ (h) = φ h$ ), заданный формулой

\varphi _{h}(n)=hnh^{-1}

для $n \in N, h \in H.$ всех

Тогда $G$ изоморфна полупрямому произведению $N ⋊ φ H$ . Изоморфизм $λ : G \to N ⋊ φ H$ корректно определен. на $λ (a) = λ (nh) = (n, h)$ в силу единственности разложения $a = nh$ .

В $G$ у нас есть

(n_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}(h_{1}^{-1}h_{1})h_{2}=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}))(h_{1}h_{2})

Таким образом, для $a = n 1 h 1$ и $b = n 2 h 2$ получаем

{\begin{aligned}\lambda (ab)&=\lambda (n_{1}h_{1}n_{2}h_{2})=\lambda (n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2})h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})=(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})\\[5pt]&=\lambda (n_{1}h_{1})\bullet \lambda (n_{2}h_{2})=\lambda (a)\bullet \lambda (b),\end{aligned}}

что доказывает , что $λ$ — гомоморфизм. Поскольку $λ,$ очевидно, является эпиморфизмом и мономорфизмом, то он действительно является изоморфизмом. Это также объясняет определение правила умножения в $N ⋊ φ H$ .

Прямое произведение является частным случаем полупрямого произведения. Чтобы убедиться в этом, пусть $φ$ — тривиальный гомоморфизм (т. е. переводящий каждый элемент $в$ тождественный автоморфизм $N$ ), тогда $N ⋊ φ H$ — прямое произведение $N \times H.$ H

Версия леммы о расщеплении групп утверждает, что группа $G$ изоморфна полупрямому произведению двух групп $N$ и $H$ тогда и только тогда, когда существует короткая точная последовательность

1\longrightarrow N\,{\overset {\beta }{\longrightarrow }}\,G\,{\overset {\alpha }{\longrightarrow }}\,H\longrightarrow 1

и групповой гомоморфизм $γ : H \to G$ такой, что $α \circ γ = id H$ , тождественное отображение на $H$ . В этом случае $φ : H \to Aut(N)$ задается формулой $φ (h) = φ h$ , где

\varphi _{h}(n)=\beta ^{-1}(\gamma (h)\beta (n)\gamma (h^{-1})).

Примеры

Группа диэдра

Группа диэдра $D 2 n$ с $2 n$ элементами изоморфна полупрямому произведению циклических групп $C n$ и $C 2$ . ^{[ 3 ]} Здесь неединичный элемент $C 2$ действует на $C n,$ инвертируя элементы; это автоморфизм, $Cn так$ абелева как . Презентация для этой группы :

\langle a,\;b\mid a^{2}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{-1}\rangle .

Циклические группы

В более общем смысле, полупрямое произведение любых двух циклических групп $Cm a$ с генератором $и$ Cn $с,$ генератором $b$ задается одним дополнительным соотношением $aba -1 = б к$ , где $k$ и $n$ взаимно простые , и $k^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$ ; ^{[ 3 ]} то есть презентация: ^{[ 3 ]}

\langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k}\rangle .

Если $r$ и $m$ взаимно просты, $a р$ является генератором $C m$ и $a р нет -r = б к р$ , отсюда и представление:

\langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k^{r}}\rangle

дает группу, изоморфную предыдущей.

Голоморф группы

Одним из канонических примеров группы, выраженной как полупрямое произведение, является голоморф группы. Это определяется как

$\operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)$

где ${\text{Aut}}(G)$ является группой автоморфизмов группы $G$ и структурная карта $\varphi$ происходит от правильных действий ${\text{Aut}}(G)$ на $G$ . С точки зрения умножения элементов это дает структуру группы

$(g,\alpha )(h,\beta )=(g(\varphi (\alpha )\cdot h),\alpha \beta ).$

Основная группа бутылки Клейна.

Фундаментальную группу бутылки Клейна можно представить в виде

\langle a,\;b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle .

и, следовательно, является полупрямым произведением группы целых чисел, $\mathbb {Z}$ , с $\mathbb {Z}$ . Соответствующий гомоморфизм $\mathbb {Z}$ определяется выражением $φ (час)(n) = (-1) час н$ .

Верхнетреугольные матрицы

Группа $\mathbb {T} _{n}$ верхнетреугольных матриц с ненулевым определителем в произвольном поле, то есть с ненулевыми элементами на диагонали , имеет разложение в полупрямое произведение $\mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}$ ^{[ 4 ]} где $\mathbb {U} _{n}$ является подгруппой матриц только с $1$ находится на диагонали, которая называется верхней унитреугольной матричной группой, и $\mathbb {D} _{n}$ — подгруппа диагональных матриц .
Групповое действие $\mathbb {D} _{n}$ на $\mathbb {U} _{n}$ индуцируется умножением матриц. Если мы установим

$A={\begin{bmatrix}x_{1}&0&\cdots &0\\0&x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$ и $B={\begin{bmatrix}1&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

тогда их матричное произведение равно

AB={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&x_{2}&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.

Это дает индуцированное групповое действие $m:\mathbb {D} _{n}\times \mathbb {U} _{n}\to \mathbb {U} _{n}$

m(A,B)={\begin{bmatrix}1&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&1&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.

Матрица в $\mathbb {T} _{n}$ могут быть представлены матрицами в $\mathbb {U} _{n}$ и $\mathbb {D} _{n}$ . Следовательно $\mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}$ .

Группа изометрий на плоскости

Евклидова группа всех жестких движений ( изометрий ) плоскости (отображения $\mathbb {R}$ такое, что евклидово расстояние между $x$ и $y$ равняется расстоянию между $f (x)$ и $f (y)$ для всех $x$ и $y$ в $\mathbb {R} ^{2}$ ) изоморфно полупрямому произведению абелевой группы $\mathbb {R} ^{2}$ (которая описывает сдвиги) и группу $O(2)$ ортогональных (которая описывает вращения и отражения , $матриц 2 \times 2$ которые сохраняют начало координат фиксированным). Применение перевода, а затем вращения или отражения имеет тот же эффект, что и применение сначала вращения или отражения, а затем перевода с помощью повернутого или отраженного вектора перемещения (т. е. применение сопряжения исходного перевода). Это показывает, что группа сдвигов является нормальной подгруппой евклидовой группы, что евклидова группа является полупрямым произведением группы сдвигов и $O(2)$ и что соответствующий гомоморфизм $\mathbb {R}$ задается матричным умножением : $φ (час)(n) = hn$ .

Ортогональная группа O (n)

Ортогональная группа $O(n)$ всех ортогональных действительных $матриц размера n \times n$ (интуитивно совокупность всех вращений и отражений $n$ -мерного пространства, сохраняющих начало координат фиксированным) изоморфна полупрямому произведению группы $SO(n)$ (состоящему из всех ортогональных матриц с определителем $1$ (интуитивно повороты $n$ -мерного пространства) и $C 2$ . Если мы представим $C 2$ как мультипликативную группу матриц ${I, R}$ , где $R$ — отражение $n$ -мерного пространства, которое сохраняет начало координат фиксированным (т. е. ортогональная матрица с определителем $-1,$ представляющим инволюцию ), то $φ : C 2 \to Aut(SO(n))$ задается формулой $φ (H)(N) = HNH -1$ для всех H в $C 2$ и $N$ в $SO(n)$ . В нетривиальном случае ( $H$ не тождественно) это означает, что $φ (H)$ есть сопряжение операций отражением (в 3-мерном пространстве ось вращения и направление вращения заменяются своим «зеркальным отображением») .

Полулинейные преобразования

Группа полулинейных преобразований в векторном пространстве $V$ над полем $\mathbb {K}$ , часто обозначаемый $ΓL(V)$ , изоморфен полупрямому произведению линейной группы $GL(V)$ ( нормальной подгруппы ΓL $(V)$ ) и автоморфизмов группы $\mathbb {K}$ .

Кристаллографические группы

В кристаллографии пространственная группа кристалла распадается как полупрямое произведение точечной группы и группы трансляции тогда и только тогда, когда пространственная группа симморфна . Несимморфные пространственные группы имеют точечные группы, которые даже не содержатся в качестве подмножества пространственной группы, что и является причиной большей сложности их анализа. ^{[ 5 ]}

Непримеры

Конечно, ни одна простая группа не может быть выражена как полупрямое произведение (поскольку у них нет нетривиальных нормальных подгрупп), но существует несколько распространенных контрпримеров групп, содержащих нетривиальную нормальную подгруппу, которую, тем не менее, нельзя выразить как полупрямое произведение. -прямой продукт. Обратите внимание: хотя не каждая группа $G$ может быть выражено как разделенное расширение $H$ к $A$ , оказывается, такую группу можно вложить в сплетение $A\wr H$ по универсальной теореме вложения .

З ₄

Циклическая группа $\mathbb {Z} _{4}$ не является простой группой, так как имеет подгруппу порядка 2, а именно $\{0,2\}\cong \mathbb {Z} _{2}$ является подгруппой и их частное равно $\mathbb {Z} _{2}$ , поэтому есть расширение

$0\to \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0$

Если расширение было разделено , то группа $G$ в

$0\to \mathbb {Z} _{2}\to G\to \mathbb {Z} _{2}\to 0$

был бы изоморфен $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ .

Q_Q8

Группа восьми кватернионов $\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ где $ijk=-1$ и $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$ , является еще одним примером группы ^{[ 6 ]} которая имеет нетривиальные нормальные подгруппы, но все еще не расщеплена. Например, подгруппа, созданная $i$ изоморфен $\mathbb {Z} _{4}$ и это нормально. Он также имеет подгруппу порядка $2$ созданный $-1$ . Это будет означать $Q_{8}$ должно было бы быть расщепленным расширением в следующей гипотетической точной последовательности групп:

$0\to \mathbb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0$ ,

но такой точной последовательности не существует. Это можно показать, вычислив первую группу когомологий группы $\mathbb {Z} _{2}$ с коэффициентами в $\mathbb {Z} _{4}$ , так $H^{1}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2$ и отметив, что две группы в этих расширениях: $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ и группа диэдра $D_{8}$ . Но поскольку ни одна из этих групп не изоморфна $Q_{8}$ , группа кватернионов не расщепляется. Отсутствие изоморфизмов можно проверить, заметив, что тривиальное расширение является абелевым, а $Q_{8}$ неабелева, и, отметив, что единственными нормальными подгруппами являются $\mathbb {Z} _{2}$ и $\mathbb {Z} _{4}$ , но $Q_{8}$ имеет три подгруппы, изоморфные $\mathbb {Z} _{4}$ .

Характеристики

Если $G$ — полупрямое произведение нормальной подгруппы $и$ подгруппы $H$ , и обе $и$ H $конечны$ , то порядок G $N$ равен произведению порядков $N$ и $H.$ N Это следует из того факта, что $G$ имеет тот же порядок, что и внешнее полупрямое произведение $и$ H $,$ базовым множеством которого является декартово произведение $N \times H.$ N

Отношение к прямым продуктам

Предположим, что $G$ — полупрямое произведение нормальной подгруппы $N$ и подгруппы $H$ . Если $H$ также нормален в $G$ существует гомоморфизм $G \to N$ , который является тождеством на $N$ с ядром $H$ , то $G$ является прямым произведением N $или, что то же самое, если$ и $H$ .

Прямое произведение двух групп $N$ и $H$ можно рассматривать как полупрямое произведение $и$ H $относительно$ φ $(h) = id N$ для всех $h$ в $H.$ N

Обратите внимание, что в прямом произведении порядок множителей неважен, поскольку $N \times H$ изоморфно $H \times N$ . Это не относится к полупрямым продуктам, поскольку эти два фактора играют разные роли.

Более того, результат (собственного) полупрямого произведения посредством нетривиального гомоморфизма никогда не будет абелевой группой , даже если фактор-группы абелевы.

Неединственность полупрямых произведений (и дальнейшие примеры)

В отличие от случая с прямым произведением , полупрямое произведение двух групп, вообще говоря, не является единственным; если $G$ и $G'$ — две группы, которые обе содержат изоморфные копии $N$ как нормальной подгруппы и $H$ как подгруппы, и обе являются полупрямым произведением $N$ и $H$ , то из этого не следует, что $G$ и $G'$ изоморфны , потому что зависит от выбора действия $H$ на $N.$ полупрямое произведение также

Например, существуют четыре неизоморфные группы порядка 16, которые являются полупрямыми произведениями $C 8$ и $C 2$ ; в этом случае $C8 обязательно является нормальной подгруппой ,$ поскольку она имеет индекс 2. Одно из этих четырех полупрямых произведений является прямым произведением, а остальные три — неабелевыми группами:

группа диэдра порядка 16
группа квазидиэдра порядка 16
группа Ивасава 16-го порядка

Если данная группа является полупрямым произведением, то нет гарантии, что это разложение единственно. Например, существует группа порядка 24 (единственная, содержащая шесть элементов порядка 4 и шесть элементов порядка 6), которую можно выразить как полупрямое произведение следующими способами: $(D 8 ⋉ C 3) ≅ (C 2 ⋉ Q 12) ≅ ( C 2 ⋉ D 12) ≅ (D 6 ⋉ V)$ . ^{[ 7 ]}

Существование

В общем, не существует известной характеризации (т. е. необходимого и достаточного условия) существования полупрямых произведений в группах. Однако известны некоторые достаточные условия, гарантирующие существование в определенных случаях. Для конечных групп теорема Шура–Цассенхауза гарантирует существование полупрямого произведения, когда порядок нормальной подгруппы взаимно прост с порядком факторгруппы .

Например, теорема Шура – Цассенхауза предполагает существование полупрямого произведения среди групп порядка 6; таких произведений два, одно из которых — прямое произведение, а другое — группа диэдра. Напротив, теорема Шура – Цассенхауза ничего не говорит, например, о группах 4-го порядка или группах 8-го порядка.

Обобщения

В рамках теории групп построение полупрямых произведений можно продвинуть гораздо дальше. Произведение групп Заппы – Сепа представляет собой обобщение, которое в своей внутренней версии не предполагает, что какая-либо подгруппа нормальна.

есть также конструкция В теории колец — скрещенное произведение колец . Оно строится естественным образом из группового кольца полупрямого произведения групп. Теоретико-кольцевой подход можно далее обобщить на полупрямую сумму алгебр Ли .

Для геометрии существует также скрещенное произведение групповых действий в топологическом пространстве ; к сожалению, она, вообще говоря, некоммутативна, даже если группа абелева. В этом контексте полупрямое произведение представляет собой пространство орбит действия группы. Последний подход был предложен Аленом Конном как замена подходам, основанным на традиционных топологических методах; см. некоммутативную геометрию .

Полупрямое произведение представляет собой частный случай конструкции Гротендика в теории категорий . В частности, действие $H$ на $N$ (с учетом группы или даже просто структуры моноида) — это то же самое, что функтор

F:BH\to Cat

из группоида $BH$ связанный с H (имеющий единственный объект *, чьи эндоморфизмы равны H ) с категорией категорий таких, что уникальный объект в $BH$ отображается на $BN$ . Конструкция Гротендика этого функтора эквивалентна $B(H\rtimes N)$ , (группоид, связанный с) полупрямым произведением. ^{[ 8 ]}

Группоиды

Другое обобщение касается группоидов. Это происходит в топологии, потому что если группа $G$ действует в пространстве $X,$ она также действует и на фундаментальном группоиде $π 1 (X)$ этого пространства. Полупрямое произведение $π 1 (X) ⋊ G$ тогда имеет отношение к нахождению фундаментального группоида пространства орбит $X/G$ . Полную информацию см. в главе 11 книги, указанной ниже, а также некоторые подробности полупрямого произведения. ^{[ 9 ]} в нкатлабе .

Абелевы категории

Нетривиальные полупрямые произведения не возникают в абелевых категориях , таких как категория модулей . В этом случае лемма о расщеплении показывает, что каждый полупрямой продукт является прямым продуктом. Таким образом, существование полупрямых произведений отражает неспособность категории быть абелевой.

Обозначения

Обычно полупрямое произведение группы $H,$ действующей на группу $N$ обозначается $N ⋊ H$ или $H ⋉ N.$ (в большинстве случаев сопряжением в виде подгрупп общей группы) , Однако некоторые источники ^{[ 10 ]} может использовать этот символ в противоположном значении. В случае, если действие $φ : H \to Aut(N)$ должно быть явным, пишут также $N ⋊ φ H$ . можно рассматривать $Символ N ⋊ H$ как комбинацию символа нормальной подгруппы ( $◁$ ) и символа произведения ( $\times$ ). Барри Саймон в своей книге по теории представления групп ^{[ 11 ]} использует необычное обозначение $N\mathbin {\circledS _{\varphi }} H$ для полупрямого продукта.

Юникод перечисляет четыре варианта: ^{[ 12 ]}

	Ценить	МатематикаML	Описание в Юникоде
⋉	U + 22C9	lраз	ЛЕВЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ ФАКТОР ПОЛУПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
⋊	U + 22CA	время	ПРАВИЛЬНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ ФАКТОР ПОЛУПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
⋋	U + 22CB	три	ЛЕВОЕ ПОЛУПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
⋌	U + 22CC	три	ПРАВИЛЬНЫЙ ПОЛУПРЯМОЙ ПРОДУКТ

Здесь в описании символа rtimes в Юникоде говорится «правый нормальный коэффициент», в отличие от его обычного значения в математической практике.

В LaTeX команды \rtimes и \ltimes создают соответствующие символы. При загруженном пакете символов AMS \leftthreetimes выдаёт ⋋, а \rightthreetimes выдаёт ⋌.

См. также

Аффинная алгебра Ли
Конструкция Гротендика — категорическая конструкция, обобщающая полупрямое произведение.
голоморф
Полупрямая сумма алгебры Ли
Субдирект-продукт
Венок изделие
Заппа – Хороший продукт
Скрещенное произведение

Примечания

^ Д.С. Даммит и Р.М. Фут (1991), Абстрактная алгебра , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл , 142.
^ Робинсон, Дерек Джон Скотт (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грюйтер . стр. 75–76. ISBN 9783110175448 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. стр. 414–415. ISBN 0-8218-1646-2 .
^ Милн. Алгебраические группы (PDF) . стр. 45, полупрямые продукты. Архивировано (PDF) из оригинала 7 марта 2016 г.
^ Томпсон, Ник. «Неприводимые зоны Бриллюэна и зональные структуры» . BandGap.io . Проверено 13 декабря 2017 г.
^ "абстрактная алгебра. Можно ли каждую непростую группу $G$ записать как полупрямое произведение?" . Математический обмен стеками . Проверено 29 октября 2020 г.
^ ОН Роуз (2009). Курс конечных групп . Springer Science & Business Media. п. 183. ИСБН 978-1-84882-889-6 . Обратите внимание, что Роуз использует соглашение об обозначениях, противоположное тому, которое принято на этой странице (стр. 152).
^ Барр и Уэллс (2012 , §12.2)
^ «Ncatlab.org» .
^ например Э.Б. Винберг (2003). Курс алгебры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 389. ИСБН 0-8218-3413-4 .
^ Б. Саймон (1996). Представления конечных и компактных групп . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 6. ISBN 0-8218-0453-7 .
^ См . unicode.org.

Ссылки

Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (2012), Теория категорий для информатики , Отпечатки в теории и приложениях категорий, том. 2012, с. 558, Збл 1253.18001
Браун, Р. (2006), Топология и группоиды , Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8

[1] Д.С. Даммит и Р.М. Фут (1991), Абстрактная алгебра , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл , 142.

[2] Робинсон, Дерек Джон Скотт (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грюйтер . стр. 75–76. ISBN 9783110175448 .

[mac-lane-3] Jump up to: ^а ^б ^с Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. стр. 414–415. ISBN 0-8218-1646-2 .

[4] Милн. Алгебраические группы (PDF) . стр. 45, полупрямые продукты. Архивировано (PDF) из оригинала 7 марта 2016 г.

[5] Томпсон, Ник. «Неприводимые зоны Бриллюэна и зональные структуры» . BandGap.io . Проверено 13 декабря 2017 г.

[6] "абстрактная алгебра. Можно ли каждую непростую группу $G$ записать как полупрямое произведение?" . Математический обмен стеками . Проверено 29 октября 2020 г.

[Rose2009-7] ОН Роуз (2009). Курс конечных групп . Springer Science & Business Media. п. 183. ИСБН 978-1-84882-889-6 . Обратите внимание, что Роуз использует соглашение об обозначениях, противоположное тому, которое принято на этой странице (стр. 152).

[8] Барр и Уэллс (2012 , §12.2)

[9] «Ncatlab.org» .

[Vinberg(2003)-10] например Э.Б. Винберг (2003). Курс алгебры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 389. ИСБН 0-8218-3413-4 .

[Simon1996-11] Б. Саймон (1996). Представления конечных и компактных групп . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 6. ISBN 0-8218-0453-7 .

[12] См . unicode.org.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]