Лемма Римана – Лебега.

В математике лемма Римана-Лебега , названная в честь Римана и Анри Лебега , утверждает, что преобразование Фурье или преобразование Лапласа L Бернхарда ¹ функция исчезает на бесконечности . Это имеет важное значение в гармоническом анализе и асимптотическом анализе .

Заявление

Позволять $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ быть интегрируемой функцией, т.е. $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C}$ — измеримая функция такая, что

$\|f\|_{L^{1}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|\mathrm {d} x<\infty ,$

и пусть ${\hat {f}}$ быть преобразованием Фурье $f$, то есть

${\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ,\ \xi \mapsto \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\cdot \xi }\mathrm {d} x.$

Затем ${\hat {f}}$ исчезает в бесконечности: $|{\hat {f}}(\xi )|\to 0$ как $|\xi |\to \infty$.

Поскольку преобразование Фурье интегрируемой функции непрерывно, преобразование Фурье ${\hat {f}}$ — непрерывная функция, исчезающая на бесконечности. Если $C_{0}(\mathbb {R} ^{n})$ обозначает векторное пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности, лемму Римана – Лебега можно сформулировать следующим образом: Отображения преобразования Фурье $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ к $C_{0}(\mathbb {R} ^{n})$.

Доказательство

Мы остановимся на одномерном случае $n=1$, доказательство в более высоких размерностях аналогично. Во-первых, предположим, что $f$ непрерывна и компактно поддерживается . Для $\xi \neq 0$, замена $\textstyle x\to x+{\frac {\pi }{\xi }}$ приводит к

${\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi }\mathrm {d} x=-\int _{\mathbb {R} }f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x$.

Это дает вторую формулу для ${\hat {f}}(\xi )$. Взяв среднее значение обеих формул, мы приходим к следующей оценке:

$|{\hat {f}}(\xi )|\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left|f(x)-f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\right|\mathrm {d} x$.

Потому что $f$ является непрерывным, $\left|f(x)-f\left(x+{\tfrac {\pi }{\xi }}\right)\right|$ сходится к $0$ как $|\xi |\to \infty$ для всех $x\in \mathbb {R}$. Таким образом, $|{\hat {f}}(\xi )|$ сходится к 0 как $|\xi |\to \infty$ в силу теоремы о доминируемой сходимости .

Если $f$ — произвольная интегрируемая функция, ее можно аппроксимировать в $L^{1}$ норму непрерывной функцией с компактным носителем. Для $\varepsilon >0$, выберите компактную непрерывную функцию $g$ такой, что $\|f-g\|_{L^{1}}\leq \varepsilon$. Затем

$\limsup _{\xi \rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(\xi )|\leq \limsup _{\xi \to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\,\mathrm {d} x\right|+\limsup _{\xi \rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\,\mathrm {d} x\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon .$

Поскольку это справедливо для любого $\varepsilon >0$, отсюда следует, что $|{\hat {f}}(\xi )|\to 0$ как $|\xi |\to \infty$.

Другие версии

Лемма Римана–Лебега справедлива и во многих других ситуациях.

• Если $f\in L^{1}[0,\infty )$, то лемма Римана–Лебега справедлива и для преобразования Лапласа $f$, то есть,

$\int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-tz}\mathrm {d} t\to 0$

как $|z|\to \infty$ внутри полуплоскости $\mathrm {Re} (z)\geq 0$.

• Версия справедлива для рядов Фурье : если и $f$ — интегрируемая функция на ограниченном интервале, то коэффициенты Фурье ${\hat {f}}_{k}$ из $f$ стремятся к 0, так как $k\to \pm \infty$. Это следует за расширением $f$ на ноль вне интервала, а затем применив версию леммы Римана–Лебега ко всей вещественной прямой.

• Однако лемма Римана–Лебега не справедлива для произвольных распределений. Например, распределение дельта-функции Дирака формально имеет конечный интеграл по действительной линии, но его преобразование Фурье является константой и не обращается в нуль на бесконечности.

Приложения

Лемму Римана–Лебега можно использовать для доказательства справедливости асимптотических приближений для интегралов. Строгие трактовки метода наискорейшего спуска и метода стационарной фазы , среди прочего, основаны на лемме Римана – Лебега.

Ссылки

• Бохнер С. , Чандрасекхаран К. (1949). Преобразования Фурье . Издательство Принстонского университета.
• Вайсштейн, Эрик В. «Лемма Римана – Лебега» . Математический мир .