Основное выражение

В математической логике основным термином формальной системы является термин , который не содержит никаких переменных . Аналогично, основная формула — это формула , не содержащая переменных.

В логике первого порядка с тождеством с постоянными символами $a$ и $b$ , предложение $Q(a)\lor P(b)$ является основной формулой. Основное выражение — это основной термин или основная формула.

Примеры

Рассмотрим следующие выражения в логике первого порядка над сигнатурой, содержащей константные символы. $0$ и $1$ для чисел 0 и 1 соответственно унарный функциональный символ $s$ для функции-преемника и символа двоичной функции $+$ для дополнения.

$s(0),s(s(0)),s(s(s(0))),\ldots$ являются основными условиями;
$0+1,\;0+1+1,\ldots$ являются основными условиями;
$0+s(0),\;s(0)+s(0),\;s(0)+s(s(0))+0$ являются основными условиями;
$x+s(1)$ и $s(x)$ являются терминами, но не основными терминами;
$s(0)=1$ и $0+0=0$ являются основными формулами.

Формальные определения

Далее следует формальное определение языков первого порядка . Пусть дан язык первого порядка, причем $C$ набор постоянных символов, $F$ набор функциональных операторов и $P$ совокупность символов-предикатов .

Основной срок

А Основной термин – это термин , который не содержит переменных. Основные термины могут быть определены с помощью логической рекурсии (формула-рекурсия):

Элементы $C$ являются основными условиями;
Если $f\in F$ это $n$ -арный функциональный символ и $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ являются основными терминами, то $f\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)$ это основной термин.
Каждый основной термин может быть задан путем конечного применения двух вышеуказанных правил (других основных терминов нет; в частности, предикаты не могут быть основными терминами).

Грубо говоря, вселенная Эрбрана представляет собой совокупность всех основных терминов.

Основной атом

А основной предикат , основной атом или Основной литерал — это атомарная формула , все аргументы которой являются основными терминами.

Если $p\in P$ это $n$ -арный символ предиката и $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ являются основными терминами, то $p\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)$ является основным предикатом или основным атомом.

Грубо говоря, основание Эрбрана — это совокупность всех основных атомов. ^[1] в то время как интерпретация Эрбрана присваивает истинностное значение каждому основному атому основания.

Основная формула

А основная формула или Основное предложение — это формула без переменных.

Основные формулы могут быть определены с помощью синтаксической рекурсии следующим образом:

Основной атом – это основная формула.
Если $\varphi$ и $\psi$ являются основными формулами, то $\lnot \varphi$ , $\varphi \lor \psi$ , и $\varphi \land \psi$ являются основными формулами.

Основные формулы представляют собой особый вид замкнутых формул .

См. также

Открытая формула – формула, содержащая хотя бы одну свободную переменную.
Предложение (математическая логика) – в математической логике правильно сформированная формула без свободных переменных.

Ссылки

^ Алексей Сахаров. «Земляной атом» . Математический мир . Проверено 20 октября 2022 г.

Далал, М. (2000), «Парадигмы компьютерного программирования, основанные на логике», Розен, К.Х.; Майклс, Дж. Г. (ред.), Справочник по дискретной и комбинаторной математике , с. 68
Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6
Логика первого порядка: синтаксис и семантика

[1] Алексей Сахаров. «Земляной атом» . Математический мир . Проверено 20 октября 2022 г.

[1]