Определимость Бет

В математической логике определимость по Бету — это результат, который связывает неявную определимость свойства с его явной определимостью. В частности, определимость по Бету утверждает, что два смысла определимости эквивалентны.

Логика первого порядка обладает свойством определимости по Бету.

Заявление

Для логики первого порядка теорема утверждает, что для данной теории T в языке L' ⊇ L и формулы φ в L' следующие условия эквивалентны:

• для любых двух моделей A и B группы T таких, что A | Л знак равно Б | L (где A | L — приведение A L к ⊨ ), это тот случай, когда A ⊨ φ [ a ] тогда и только тогда, когда B ] φ [ a (для всех наборов a из A );
• φ эквивалентна по модулю T формуле ψ в L .

Менее формально: свойство неявно определяется в теории на языке L (через формулу φ расширенного языка L' ), только если это свойство явно определяется в этой теории (по формуле ψ в исходном языке L ).

Очевидно, справедливо и обратное, так что мы имеем эквивалентность между неявной и явной определимостью. То есть «свойство» явно определимо относительно теории тогда и только тогда, когда оно определимо неявно.

Теорема не выполняется, если условие ограничено конечными моделями. Мы можем иметь A ⊨ φ [ a ] тогда и только тогда, когда B ⊨ φ [ a ] для всех пар A , B конечных моделей без какой-либо L -формулы ψ, по φ модулю T. эквивалентной

Результат впервые доказал Эверт Виллем Бет .

См. также

• Структура (математическая логика) - преобразование математических формул в определенное значение в универсальной алгебре и теории моделей.

Источники

• Уилфрид Ходжес . Теория более коротких моделей . Издательство Кембриджского университета, 1997.