Парадоксы материального импликации

Парадоксы материальной импликации представляют собой группу истинных формул, включающих материальные кондиционалы , перевод которых на естественный язык интуитивно ложен, когда кондиционал переводится как «если… то…». Материальная условная формула $P\rightarrow Q$ верно, если только $P$ это правда и $Q$ является ложным. Если бы условные обозначения естественного языка понимались таким же образом, это означало бы, что предложение «Если бы нацисты выиграли Вторую мировую войну, все были бы счастливы» бессмысленно верно . Учитывая, что такие проблемные следствия вытекают из, казалось бы, правильного предположения о логике, их называют парадоксами . Они демонстрируют несоответствие между классической логикой и устойчивыми интуициями о значении и рассуждении .

Парадокс следствия

, самый известный из парадоксов и наиболее простой с формальной точки зрения, Парадокс следствия является лучшим введением.

На естественном языке возникает пример парадокса следствия:

Идет дождь

И

Это не дождь

Поэтому

Джордж Вашингтон сделан из повес.

Это вытекает из принципа взрыва , закона классической логики, гласящего, что противоречивые посылки всегда делают аргумент действительным; то есть противоречивые посылки предполагают какой-либо вывод вообще . Это кажется парадоксальным, поскольку, хотя приведенный выше аргумент является логически обоснованным, он не является обоснованным (не все его предпосылки верны).

Строительство

Валидность определяется в классической логике следующим образом:

Аргумент не (состоящий из посылок и заключения) действителен тогда и только тогда, когда существует ситуации, в которой все посылки истинны, а вывод ложен.

Например, допустимый аргумент может выглядеть следующим образом:

Если идет дождь, вода существует (1-я посылка)

Идет дождь (2-я посылка)

Вода существует (вывод)

В этом примере невозможна ситуация, в которой посылки истинны, а вывод ложен. нет Поскольку контрпримера , аргумент верен.

Но можно построить аргумент, в котором предпосылки противоречивы . Это удовлетворяло бы критерию достоверности аргумента, поскольку не было бы возможной ситуации, в которой все посылки истинны , и, следовательно, не было бы возможной ситуации, в которой все посылки истинны, а вывод ложен .

Например, аргумент с противоречивыми предпосылками может звучать так:

Определенно идет дождь (1-я посылка; правда)

Дождя нет (2-я посылка; ложь)

Джордж Вашингтон сделан из повес (Вывод)

Поскольку не существует ситуации, в которой обе посылки могли бы быть истинными, то, конечно, не существует ситуации, в которой посылки могли бы быть истинными, а вывод был бы ложным. Таким образом, аргумент действителен, каким бы ни был вывод; противоречивые посылки подразумевают все выводы.

Упрощение

Классические формулы парадокса тесно связаны с устранением конъюнкции . $$(p\land q)\to p$$которые можно вывести из парадоксальных формул, например из (1) путем импорта .Кроме того, существуют серьезные проблемы с попыткой использовать материальную импликацию для обозначения английского выражения «if… then…». Например, следующие выводы являются действительными:

1. $(p\to q)\land (r\to s)\ \vdash \ (p\to s)\lor (r\to q)$
2. $(p\land q)\to r\ \vdash \ (p\to r)\lor (q\to r)$

но сопоставление их с английскими предложениями с использованием «if» приводит к парадоксам.

Первое можно прочитать так: «Если Джон находится в Лондоне, то он в Англии, а если он в Париже, то он во Франции. Следовательно, верно, что либо (а) если Джон находится в Лондоне, то он во Франции, или (б) если он в Париже, то он в Англии». Используя материальный смысл, если Джона нет в Лондоне, то (а) верно; тогда как если он в Лондоне, то, поскольку его нет в Париже, (б) верно. В любом случае вывод о том, что хотя бы одно из (a) или (b) истинно, является действительным.

Но это не соответствует тому, как «если… то…» используется в естественном языке: наиболее вероятный сценарий, при котором можно было бы сказать: «Если Джон находится в Лондоне, то он в Англии», — это если не знать , где Джон есть, но тем не менее знает, что если он в Лондоне, то он в Англии. При такой интерпретации обе посылки истинны, но оба положения заключения ложны.

Второй пример можно прочитать так: «Если оба переключателя A и переключатель B замкнуты, то свет горит. Следовательно, либо верно, что если переключатель A замкнут, свет горит, либо что, если переключатель B замкнут, свет горит. свет горит». Здесь наиболее вероятной интерпретацией на естественном языке утверждений «если... то...» будет следующая: « каждый раз, когда переключатель А замкнут, свет горит» и « каждый раз, когда переключатель Б замкнут, свет горит». " Опять же, при такой интерпретации оба пункта заключения могут быть ложными (например, в последовательной цепи, в которой свет загорается только тогда, когда оба переключателя замкнуты).

См. также

• Связующая логика была разработана для исключения парадоксов материальной импликации.
• Корреляция не подразумевает причинно-следственную связь
• Контрфакты
• Ложная дилемма
• Импорт-Экспорт
• Список парадоксов
• Настройка настроения
• Луна сделана из зеленого сыра
• Логика релевантности возникла в результате попыток избежать этих парадоксов.
• Пустая правда

Ссылки

• Беннетт, Дж. Философское руководство по кондиционалам . Оксфорд: Кларендон Пресс. 2003.
• Условные обозначения , изд. Фрэнк Джексон . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. 1991.
• Этчеменди, Дж. Концепция логического следствия . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. 1990.
• «Строгое исчисление импликаций» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Сэнфорд, Д. Если P, то Q: Условные обозначения и основы рассуждений . Нью-Йорк: Рутледж. 1989.
• Прист, Г. Введение в неклассическую логику , издательство Кембриджского университета. 2001.