Представление осциллятора

В математике является представление осциллятора проективным унитарным представлением симплектической группы , впервые исследованным Ирвингом Сигалом , Дэвидом Шейлом и Андре Вейлем . Естественное расширение представления приводит к полугруппе операторов сжатия , введенной Роджером Хоу в 1988 году как . полугруппа осциллятора Полугруппа ранее изучалась другими математиками и физиками, в первую очередь Феликсом Березиным в 1960-х годах. Самый простой пример в одном измерении дается SU(1,1) . Он действует как преобразование Мёбиуса на расширенной комплексной плоскости , оставляя единичный круг инвариантным. В этом случае представление осциллятора является унитарным представлением двойного накрытия SU(1,1), а полугруппа осциллятора соответствует представлению с помощью операторов сжатия полугруппы в SL(2, C ), соответствующему преобразованиям Мёбиуса , принимающим единицу диск в себя.

Операторы сжатия, определенные только с точностью до знака, имеют ядра , являющиеся функциями Гаусса . На инфинитезимальном уровне полугруппа описывается конусом в алгебре Ли группы SU(1,1), который можно отождествить со световым конусом . Та же основа распространяется на симплектическую группу в более высоких измерениях, включая ее аналог в бесконечных измерениях. В этой статье подробно объясняется теория SU(1,1) и резюмируется, как теория может быть расширена.

Исторический обзор

Математическая формулировка квантовой механики Вернером Гейзенбергом и Эрвином Шредингером изначально была в терминах неограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве . Фундаментальные операторы, соответствующие положению и импульсу, удовлетворяют коммутационным соотношениям Гейзенберга . Квадратичные многочлены от этих операторов, в состав которых входит гармонический осциллятор , также замкнуты относительно взятия коммутаторов.

В 1920-х и 1930-х годах была разработана большая часть теории операторов, призванная обеспечить строгую основу квантовой механики. Часть теории была сформулирована в терминах унитарных групп операторов, в основном благодаря вкладам Германа Вейля , Маршалла Стоуна и Джона фон Неймана . В свою очередь, эти результаты в математической физике были включены в математический анализ, начиная с конспектов лекций Норберта Винера 1933 года , который использовал тепловое ядро ​​гармонического осциллятора для вывода свойств преобразования Фурье .

Единственность коммутационных соотношений Гейзенберга, сформулированная в теореме Стоуна-фон Неймана , позже была интерпретирована в рамках теории представлений групп , в частности теории индуцированных представлений, инициированной Джорджем Макки . Квадратичные операторы понимались в терминах проективного унитарного представления группы SU(1,1) и ее алгебры Ли . Ирвинг Сигал и Дэвид Шейл обобщили эту конструкцию на симплектическую группу в конечных и бесконечных измерениях — в физике это часто называют бозонным квантованием : она построена как симметрическая алгебра бесконечномерного пространства. Сигал и Шейл также рассмотрели случай фермионного квантования , которое строится как внешняя алгебра бесконечномерного гильбертова пространства. В частном случае конформной теории поля в измерениях 1+1 обе версии становятся эквивалентными посредством так называемого «бозонно-фермионного соответствия». Это применимо не только к анализу, где существуют унитарные операторы между бозонными и фермионными гильбертовыми пространствами, но и к математической теории алгебры вершинных операторов . Сами вершинные операторы первоначально возникли в конце 1960-х годов в теоретической физике , особенно в теории струн .

Позже Андре Вейль распространил эту конструкцию на p-адические группы Ли , показав, как эти идеи могут быть применены в теории чисел , в частности, чтобы дать теоретико-групповое объяснение тэта-функций и квадратичной взаимности . Несколько физиков и математиков заметили, что операторы теплового ядра, соответствующие гармоническому осциллятору, были связаны с комплексификацией SU(1,1): это была не вся SL(2, C ), а комплексная полугруппа, определяемая естественным геометрическим состояние. Теория представлений этой полугруппы и ее обобщения в конечных и бесконечных измерениях имеют приложения как в математике, так и в теоретической физике.

Полугруппы в SL(2,C)

Группа:

$G=\operatorname {SU} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\right||\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\},$

является подгруппой G _c = SL(2, C ), группы комплексных матриц размера 2 × 2 с определителем 1. Если G ₁ = SL(2, R ), то

$G=CG_{1}C^{-1},\qquad C={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.$

Это следует из того, что соответствующее преобразование Мёбиуса представляет собой преобразование Кэли , которое переносит верхнюю полуплоскость на единичный круг, а вещественную линию на единичный круг.

Группа SL(2, R ) генерируется как абстрактная группа с помощью

$J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

и подгруппа нижних треугольных матриц

$\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbf {R} ,a>0\right\}.$

Действительно, орбита вектора

$v={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

подгруппой, порожденной этими матрицами, как легко видеть, является все R ² и стабилизатор v G в лежит ₁ внутри этой подгруппы.

Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ SU(1,1) состоит из матриц

${\begin{pmatrix}ix&w\\{\overline {w}}&-ix\end{pmatrix}},\quad x\in \mathbf {R} .$

периода 2 Автоморфизм σ группы G _c

$\sigma (g)=M{\overline {g}}M^{-1},$

с

$M={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},$

имеет подгруппу G с неподвижной точкой, поскольку

$\sigma {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overline {d}}&{\overline {c}}\\{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}.$

Аналогично эта же формула определяет автоморфизм σ периода два алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}_{c}$ G — _c комплексные матрицы с нулевым следом. Стандартная основа ${\mathfrak {g}}_{c}$ над C определяется выражением

$L_{0}={\begin{pmatrix}{1 \over 2}&0\\0&-{1 \over 2}\end{pmatrix}},\quad L_{-1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad L_{1}={\begin{pmatrix}0&0\\-1&0\end{pmatrix}}.$

Таким образом, для −1 ≤ m , n ≤ 1

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}.$

Существует в прямую сумму разложение

${\mathfrak {g}}_{c}={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}},$

где ${\mathfrak {g}}$ является +1 собственным пространством σ и $i{\mathfrak {g}}$ собственное пространство –1.

Матрицы X в $i{\mathfrak {g}}$ иметь форму

$X={\begin{pmatrix}x&w\\-{\overline {w}}&-x\end{pmatrix}}.$

Обратите внимание, что

$-\det X=x^{2}-|w|^{2}.$

Конус С в $i{\mathfrak {g}}$ определяется двумя условиями. Первое - это $\det X<0.$ По определению это условие сохраняется при сопряжении с помощью G . Поскольку G связен, он оставляет два компонента с x > 0 и x < 0 неизменными. Второе условие $x<0.$

Группа Г ^с действует преобразованиями Мёбиуса на расширенной комплексной плоскости. Подгруппа G действует как автоморфизмы единичного круга D . Полугруппа H группы G ^с , впервые рассмотренный Ольшанским (1981) , может быть определен геометрическим условием:

$g({\overline {D}})\subset D.$

Полугруппу можно явно описать в терминах конуса C :

$H=G\cdot \exp(C)=\exp(C)\cdot G.$

Фактически матрица X может быть сопряжена элементом G с матрицей

$Y={\begin{pmatrix}-y&0\\0&y\end{pmatrix}}$

с

$y={\sqrt {x^{2}-|w|^{2}}}>0.$

Поскольку преобразование Мёбиуса, соответствующее exp Y, переводит z в e ^{−2 года} z , то правая часть лежит в полугруппе. И наоборот, если g лежит в H, он переносит замкнутый единичный диск на меньший закрытый диск внутри него. Сопряжая элементом G , можно считать, что меньший диск имеет центр 0. Но тогда для подходящего y элемент $e^{-Y}g$ переносит D поэтому лежит в G. на себя ,

Аналогичный аргумент показывает, что замыкание H , также полугруппы, определяется выражением

${\overline {H}}=\{g\in \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )|gD\subseteq D\}=G\cdot \exp {\overline {C}}=\exp {\overline {C}}\cdot G.$

Из приведенного выше утверждения о сопряженности следует, что

$H=GA_{+}G,$

где

$A_{+}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{-y}&0\\0&e^{y}\end{pmatrix}}\right|y>0\right\}.$

Если

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in H$

затем

${\begin{pmatrix}{\overline {a}}&{\overline {b}}\\{\overline {c}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&-c\\-b&d\end{pmatrix}}\in H,$

поскольку последнее получается путем транспонирования и сопряжения диагональной матрицей с элементами ±1. Следовательно, H также содержит

${\begin{pmatrix}{\overline {a}}&-{\overline {c}}\\-{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}.$

что дает обратную матрицу, если исходная матрица лежит в SU(1,1).

Дальнейший результат о сопряженности следует, если отметить, что каждый элемент H должен фиксировать точку в D , которую путем сопряжения с элементом G можно принять равной 0. Тогда элемент H имеет вид

$M={\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}},\qquad |a|<1\quad {\text{and}}\quad |b|<|a|^{-1}-|a|.$

Множество таких нижнетреугольных матриц образует подполугруппу H ₀ группы H .

С

$M{\begin{pmatrix}x&0\\0&x^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x&0\\ba^{-1}(x-x^{-1})&x^{-1}\end{pmatrix}}M,$

каждая матрица из H ₀ сопряжена диагональной матрице с матрицей M из H ₀ .

Аналогично каждая однопараметрическая полугруппа S ( t ) в H фиксирует одну и ту же точку в D, поэтому сопряжена элементом из G с однопараметрической полугруппой в H ₀ .

Отсюда следует, что существует матрица M в H ₀ такая, что

$MS(t)=S_{0}(t)M,$

с диагональю S ₀ ( t ). Аналогично существует матрица N в H0 _что такая,

$S(t)N=NS_{0}(t),$

Полугруппа H ₀ порождает подгруппу L комплексных нижне-треугольных матриц с определителем 1 (задаваемую приведенной выше формулой при a ≠ 0). Его алгебра Ли состоит из матриц вида

$Z={\begin{pmatrix}z&0\\w&-z\end{pmatrix}}.$

В частности, однопараметрическая полугруппа exp tZ лежит в H ₀ для всех t > 0 тогда и только тогда, когда $\Re z<0$ и $|\Re z|>{\tfrac {1}{2}}|w|.$

Это следует из критерия для H или непосредственно из формулы

$\exp Z={\begin{pmatrix}e^{z}&0\\f(z)w&e^{-z}\end{pmatrix}},\qquad f(z)={\sinh z \over z}.$

Известно, что экспоненциальное отображение в этом случае не сюръективно , хотя оно сюръективно на всей группе L . Это следует из того, что операция возведения в квадрат не сюръективна в H . Действительно, поскольку квадрат элемента фиксирует 0 только в том случае, если исходный элемент фиксирует 0, достаточно доказать это в H ₀ . Возьмем α с |α| < 1 и

$\left|\alpha +\alpha ^{-1}\right|<|\alpha |+|\alpha ^{-1}|.$

Если а = а ² и

$b=(1-\delta )(|a|^{-1}-|a|),$

с

$(1-\delta )^{2}={|\alpha +\alpha ^{-1}| \over |\alpha |+|\alpha ^{-1}|},$

тогда матрица

${\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}$

не имеет квадратного корня из H ₀ . Ибо квадратный корень будет иметь вид

${\begin{pmatrix}\alpha &0\\\beta &\alpha ^{-1}\end{pmatrix}}.$

С другой стороны,

$|\beta |={b \over |\alpha +\alpha ^{-1}|}={|\alpha |^{-1}-|\alpha | \over 1-\delta }>|\alpha |^{-1}-|\alpha |.$

Закрытая полугруппа ${\overline {H}}$ максимальна C в SL(2, C ): любая большая полугруппа должна быть всей SL(2, ) .

Используя вычисления, основанные на теоретической физике, Феррара и др. (1973) ввели полугруппу $H$, определяемый через набор неравенств. Без идентификации $H$ как полугруппа сжатия, они установили максимальность ${\overline {H}}$. Используя определение как полугруппу сжатия, максимальность сводится к проверке того, что происходит при добавлении нового дробного преобразования. $g$ к ${\overline {H}}$. Идея доказательства зависит от рассмотрения положения двух дисков. $g(D)$ и $D$. В ключевых случаях либо один диск содержит другой, либо они не пересекаются. В самых простых случаях $g$ является обратным преобразованию масштабирования или $g(z)=-1/z$. В любом случае $g$ и $H$ создать открытую окрестность точки 1 и, следовательно, всю SL(2,C)

Позже Лоусон (1998) предложил еще один, более прямой способ доказать максимальность, сначала показав, что есть g в S , отправляющий D на диск D. ^с , | г | > 1. В самом деле, если $x\in S\setminus {\overline {H}},$ тогда существует небольшой диск D1 _что в D такой, лежит _xD1 в D ^с . для h из H некоторого D1 _hD = . Тогда Аналогично yxD ₁ = D ^с для некоторого y в H . Итак, g = yxh лежит в S и отправляет D на D. ^с . Отсюда следует, что г ² фиксирует единичный круг D, так что он лежит в SU(1,1). Итак , г ⁻¹ в С. лежит Если t лежит в H , то tgD содержит gD . Следовательно $g^{-1}t^{-1}g\in {\overline {H}}.$ Так что т ⁻¹ лежит в S и, следовательно, S содержит открытую окрестность точки 1. Следовательно, S = SL(2, C ).

Точно такой же аргумент работает и для преобразований Мёбиуса на R ^н и открытая полугруппа, принимающая замкнутую единичную сферу || х || ≤ 1 в открытую единичную сферу || х || < 1. Замыкание является максимальной собственной полугруппой в группе всех преобразований Мёбиуса. При n = 1 замыкание соответствует преобразованиям Мёбиуса вещественной прямой, переводящим отрезок [–1,1] в себя.

Полугруппа H и ее замыкание имеют еще одну часть структуры, унаследованную от G инверсия на G продолжается до антиавтоморфизма H , а именно , и ее замыкания, который фиксирует элементы в exp C и его замыкании. Для

$g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$

антиавтоморфизм задается формулой

$g^{+}={\begin{pmatrix}{\overline {a}}&-{\overline {c}}\\-{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}$

и продолжается до антиавтоморфизма SL(2, C ).

Аналогично антиавтоморфизм

$g^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\overline {d}}&-{\overline {b}}\\-{\overline {c}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}$

оставляет G ₁ инвариантом и фиксирует элементы в exp C ₁ и его замыкании, поэтому он обладает аналогичными свойствами для полугруппы в G ₁ .

Коммутационные соотношения Гейзенберга и Вейля

Позволять ${\mathcal {S}}$ — пространство функций Шварца на R . Оно плотно в гильбертовом пространстве L ² ( R ) функций, интегрируемых с квадратом на R . Следуя терминологии квантовой механики , оператор «импульса» P и оператор «положения» Q определяются на ${\mathcal {S}}$ к

$Pf(x)=if'(x),\qquad Qf(x)=xf(x).$

Там операторы удовлетворяют коммутационному соотношению Гейзенберга

$PQ-QP=iI.$

И P , и Q самосопряжены для скалярного произведения на ${\mathcal {S}}$ унаследовано от Л ² ( Р ).

Две однопараметрические унитарные группы U ( s ) и V ( t ) могут быть определены на ${\mathcal {S}}$ и Л ² ( р ) по

$U(s)f(x)=f(x-s),\qquad V(t)f(x)=e^{ixt}f(x).$

По определению

${d \over ds}U(s)f=iPU(s)f,\qquad {d \over dt}V(t)f=iQV(t)f$

для $f\in {\mathcal {S}}$, так что формально

$U(s)=e^{iPs},\qquad V(t)=e^{iQt}.$

Из определения сразу следует, что однопараметрические группы U и V удовлетворяют коммутационному соотношению Вейля

$U(s)V(t)=e^{-ist}V(t)U(s).$

Реализация U и V на L ² ( R ) называется представлением Шредингера .

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье определено на ${\mathcal {S}}$ к

${\widehat {f}}(\xi )={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }\,dx.$

Он определяет непрерывное отображение ${\mathcal {S}}$ в себя для своей естественной топологии.

Контурное интегрирование показывает, что функция

$H_{0}(x)={e^{-x^{2}/2} \over {\sqrt {2\pi }}}$

является собственным преобразованием Фурье.

С другой стороны, интегрируя по частям или дифференцируя под интегралом,

${\widehat {Pf}}=-Q{\widehat {f}},\qquad {\widehat {Qf}}=P{\widehat {f}}.$

Отсюда следует, что оператор на ${\mathcal {S}}$ определяется

$Tf(x)={\widehat {\widehat {f}}}(-x)$

коммутирует как с Q (и P ). С другой стороны,

$TH_{0}=H_{0}$

и поскольку

$g(x)={f(x)-f(a)H_{0}(x)/H_{0}(a) \over x-a}$

лежит в ${\mathcal {S}}$, отсюда следует, что

$T(x-a)g|_{x=a}=(x-a)Tg|_{x=a}=0$

и, следовательно,

$Tf(a)=f(a).$

Отсюда следует формула обращения Фурье :

$f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{ix\xi }\,d\xi$

и показывает, что преобразование Фурье является изоморфизмом ${\mathcal {S}}$ на себя.

По теории Фубини

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\widehat {g}}(x)\,dx={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\iint f(x)g(\xi )e^{-ix\xi }\,dxd\xi =\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )g(\xi )\,d\xi .$

В сочетании с формулой обращения это означает, что преобразование Фурье сохраняет внутренний продукт

$\left({\widehat {f}},{\widehat {g}}\right)=(f,g)$

так определяет изометрию ${\mathcal {S}}$ на себя.

По плотности он продолжается до унитарного оператора на L ² ( R ), как утверждает теорема Планшереля .

Теорема Стоуна – фон Неймана

См. Также: теорема Стоуна – фон Неймана.

Предположим, что U ( s ) и V ( t ) — однопараметрические унитарные группы в гильбертовом пространстве. ${\mathcal {H}}$ удовлетворяющие коммутационным соотношениям Вейля

$U(s)V(t)=e^{-ist}V(t)U(s).$

Для $F(s,t)\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} \times \mathbf {R} ),$ позволять

$F^{\vee }(x,y)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(t,y)e^{-itx}\,dt$

и определим ограниченный оператор на ${\mathcal {H}}$ к

$T(F)=\iint F^{\vee }(x,x+y)U(x)V(y)\,dxdy.$

Затем

${\begin{aligned}T(F)T(G)&=T(F\star G)\\T(F)^{*}&=T(F^{*})\end{aligned}}$

где

${\begin{aligned}(F\star G)(x,y)&=\int F(x,z)G(z,y)\,dz\\F^{*}(x,y)&={\overline {F(y,x)}}\end{aligned}}$

Операторы T ( F ) обладают важным свойством невырожденности : линейная оболочка всех векторов T ( F )ξ плотна в ${\mathcal {H}}$.

Действительно, если fds и gdt определяют вероятностные меры с компактным носителем, то размазанные операторы

$U(f)=\int U(s)f(s)\,ds,\qquad V(g)=\int V(t)g(t)\,dt$

удовлетворить

$\|U(f)\|,\|V(g)\|\leq 1$

и сходятся в сильной операторной топологии к тождественному оператору, если носители меры уменьшаются до 0.

Поскольку U ( f ) V ( g ) имеет вид T ( F ), отсюда следует невырожденность.

Когда ${\mathcal {H}}$ — представление Шредингера на L ² ( R ), оператор T ( F ) задается формулой

$T(F)f(x)=\int F(x,y)f(y)\,dy.$

Из этой формулы следует, что U и V совместно действуют неприводимо на представлении Шредингера, поскольку это справедливо для операторов, заданных ядрами, являющимися функциями Шварца. Конкретное описание дают линейные канонические преобразования .

Обратно, учитывая представление коммутационных соотношений Вейля на ${\mathcal {H}}$, оно порождает невырожденное представление *-алгебры операторов ядра. Но все такие представления находятся в ортогональной прямой сумме копий L ² ( R ) с действием над каждой копией, как указано выше. Это прямое обобщение элементарного факта, что представления матриц размера N × N являются прямыми суммами стандартного представления на C. ^Н . Доказательство с использованием матричных единиц одинаково хорошо работает и в бесконечных измерениях.

Однопараметрические унитарные группы U и V оставляют каждый компонент инвариантным, вызывая стандартное действие на представление Шредингера.

В частности, из этого следует теорема Стоуна-фон Неймана : представление Шредингера является уникальным неприводимым представлением коммутационных соотношений Вейля в гильбертовом пространстве.

Осцилляторное представление SL(2,R)

Учитывая, что U и V удовлетворяют коммутационным соотношениям Вейля, определим

$W(x,y)=e^{\frac {ixy}{2}}U(x)V(y).$

Затем

$W(x_{1},y_{1})W(x_{2},y_{2})=e^{i(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}W(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),$

так что W определяет проективное унитарное представление R ² с коциклом, заданным формулой

$\omega (z_{1},z_{2})=e^{iB(z_{1},z_{2})},$

где $z=x+iy=(x,y)$ и B — симплектическая форма на R ² данный

$B(z_{1},z_{2})=x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}=\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}.$

По теореме Стоуна–фон Неймана этому коциклу соответствует единственное неприводимое представление.

Отсюда следует, что если g — автоморфизм R ² сохраняя форму B , т.е. элемент из SL(2, R ), то существует унитарный π( g ) на L ² ( R ), удовлетворяющий ковариационному соотношению

$\pi (g)W(z)\pi (g)^{*}=W(g(z)).$

По лемме Шура унитарная π( g ) единственна с точностью до умножения на скаляр ζ с |ζ| = 1, так что π определяет проективное унитарное представление SL(2, R ).

Это можно установить непосредственно, используя только неприводимость представления Шрёдингера. Неприводимость была прямым следствием того, что операторы

$\iint K(x,y)U(x)V(y)\,dxdy,$

с K функция Шварца точно соответствует операторам, заданным ядрами с функциями Шварца.

Они плотны в пространстве операторов Гильберта–Шмидта , которое, поскольку оно содержит операторы конечного ранга, действует неприводимо.

Существование π можно доказать, используя только неприводимость представления Шредингера. Операторы уникальны с точностью до знака

$\pi (gh)=\pm \pi (g)\pi (h),$

так что 2-коцикл проективного представления SL(2, R ) принимает значения ±1.

Фактически группа SL(2, R ) порождается матрицами вида

$g_{1}={\begin{pmatrix}a&0\\0&a^{-1}\end{pmatrix}},\,\,g_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}},\,\,g_{3}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},$

и можно непосредственно проверить, что следующие операторы удовлетворяют приведенным выше ковариационным соотношениям:

$\pi (g_{1})f(x)=\pm a^{-{\frac {1}{2}}}f(a^{-1}x),\,\,\pi (g_{2})f(x)=\pm e^{-ibx^{2}}f(x),\,\,\pi (g_{3})f(x)=\pm e^{\frac {i\pi }{8}}{\widehat {f}}(x).$

Генераторы g _i удовлетворяют следующим соотношениям Брюа , которые однозначно определяют группу SL(2, R ):

$g_{3}^{2}=g_{1}(-1),\,\,g_{3}g_{1}(a)g_{3}^{-1}=g_{1}(a^{-1}),\,\,g_{1}(a)g_{2}(b)g_{1}(a)^{-1}=g_{2}(a^{-2}b),\,\,g_{1}(a)=g_{3}g_{2}(a^{-1})g_{3}g_{2}(a)g_{3}g_{2}(a^{-1}).$

Непосредственным вычислением можно проверить, что эти соотношения выполняются с точностью до знака соответствующими операторами, что устанавливает, что коцикл принимает значения ±1.

Существует более концептуальное объяснение, использующее явную конструкцию метаплектической группы как двойного накрытия SL(2, R ). SL(2, R ) действует преобразованиями Мёбиуса в верхней полуплоскости H . Более того, если

$g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$

затем

${dg(z) \over dz}={1 \over (cz+d)^{2}}.$

Функция

$m(g,z)=cz+d$

удовлетворяет соотношению 1-коцикла

$m(gh,z)=m(g,hz)m(h,z).$

Для каждого g функция m ( g , z ) не обращается в нуль на H и поэтому имеет два возможных голоморфных квадратных корня. Метаплектическая группа определяется как группа

$\operatorname {Mp} (2,\mathbf {R} )=\{(g,G)|G(z)^{2}=m(g,z)\}.$

По определению оно является двойным накрытием SL(2, R ) и связно. Умножение определяется выражением

$(g,G)\cdot (h,H)=(gh,K),$

где

$K(z)=G(hz)H(z).$

Таким образом, для элемента g метаплектической группы существует однозначно определенная функция m ( g , z ) ^1/2 удовлетворяющее соотношению 1-коцикла.

Если $\Im z>0$, затем

$f_{z}(x)=e^{izx^{2}/2}$

лежит в Л ² и называется когерентным состоянием .

Эти функции лежат на одной орбите SL(2, R ), порожденной

$f_{i}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},$

поскольку для g в SL(2, R )

$\pi ((g^{t})^{-1})f_{z}(x)=\pm m(g,z)^{-1/2}f_{gz}(x).$

Более конкретно, если g лежит в Mp(2, R ), то

$\pi ((g^{t})^{-1})f_{z}(x)=m(g,z)^{-1/2}f_{gz}(x).$

Действительно, если это справедливо для g и h , то это справедливо и для их произведения. С другой стороны, формула легко проверяется, если g ^т имеет вид g _i и это генераторы.

Это определяет обычное унитарное представление метаплектической группы.

Элемент (1,–1) действует как умножение на –1 на L ² ( R ), откуда следует, что коцикл на SL(2, R ) принимает только значения ±1.

Индекс Маслова

Как поясняется в Lion & Vergne (1980) , 2-коцикл на SL(2, R ), связанный с метаплектическим представлением, принимающий значения ±1, определяется индексом Маслова .

Учитывая три ненулевых вектора u , v , w в плоскости, их индекс Маслова $\tau (u,v,w)$ определяется как сигнатура квадратичной формы на R ³ определяется

$Q(a,b,c)=abB(u,v)+bcB(v,w)+caB(w,u).$

Свойства индекса Маслова :

• это зависит от одномерных подпространств, натянутых векторами
• он инвариантен относительно SL(2, R )
• его аргументы чередуются, т. е. его знак меняется, если поменять местами два аргумента.
• оно исчезает, если два подпространства совпадают
• он принимает значения –1, 0 и +1: если u и v удовлетворяют условиям B ( u , v ) = 1 и w = au + bv , то индекс Маслова равен нулю, если ab = 0, а в противном случае равен минус знак АБ
• $\displaystyle {\tau (v,w,z)-\tau (u,w,z)+\tau (u,v,z)-\tau (u,v,w)=0}$

Выбирая ненулевой вектор u ₀ , следует, что функция

$\Omega (g,h)=\exp -{\pi i \over 4}\tau (u_{0},gu_{0},ghu_{0})$

определяет 2-коцикл на SL(2, R ) со значениями в корнях восьмой степени из единицы.

Модификацию 2-коцикла можно использовать для определения 2-коцикла со значениями ±1, связанного с метаплектическим коциклом.

Фактически, учитывая ненулевые векторы u , v в плоскости, определите f ( u , v ) как

• я умножить на знак B ( u , v ), если u и v не пропорциональны
• знак λ, если u знак равно λ v .

Если

$b(g)=f(u_{0},gu_{0}),$

затем

$\Omega (g,h)^{2}=b(gh)b(g)^{-1}b(h)^{-1}.$

Представители π( g ) в метаплектическом представлении можно выбрать так, чтобы

$\pi (gh)=\omega (g,h)\pi (g)\pi (h)$

где 2-коцикл ω имеет вид

$\omega (g,h)=\Omega (g,h)\beta (gh)^{-1}\beta (g)\beta (h),$

с

$\beta (g)^{2}=b(g).$

Голоморфное пространство Фока

Основная статья: пространство Сигала – Баргмана

Голоморфное пространство Фока (также известное как пространство Сигала – Баргмана ) определяется как векторное пространство ${\mathcal {F}}$ голоморфных функций f ( z ) на C с

${1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }|f(z)|^{2}e^{-|z|^{2}}\,dxdy$

конечно. Имеет внутренний продукт

$(f_{1},f_{2})={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }f_{1}(z){\overline {f_{2}(z)}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy.$

${\mathcal {F}}$ является гильбертовым пространством с ортонормированным базисом

$e_{n}(z)={z^{n} \over {\sqrt {n!}}},\quad n\geq 0.$

Более того, разложение в степенной ряд голоморфной функции по ${\mathcal {F}}$ дает свое разложение по этому базису. Таким образом, для z в C

$|f(z)|=\left|\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\right|\leq \|f\|e^{|z|^{2}/2},$

так что оценка в точке z дает непрерывный линейный функционал от ${\mathcal {F}}.$ Фактически

$f(a)=(f,E_{a})$

где

$E_{a}(z)=\sum _{n\geq 0}{(E_{a},e_{n})z^{n} \over {\sqrt {n!}}}=\sum _{n\geq 0}{z^{n}{\overline {a}}^{n} \over n!}=e^{z{\overline {a}}}.$

Таким образом, в частности ${\mathcal {F}}$ является воспроизводящим ядром гильбертова пространства .

Для f в ${\mathcal {F}}$ и z в C определяют

$W_{\mathcal {F}}(z)f(w)=e^{-|z|^{2}/2}e^{w{\overline {z}}}f(w-z).$

Затем

$W_{\mathcal {F}}(z_{1})W_{\mathcal {F}}(z_{2})=e^{-i\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}}W_{\mathcal {F}}(z_{1}+z_{2}),$

так что это дает унитарное представление коммутационных соотношений Вейля. Сейчас

$W_{\mathcal {F}}(a)E_{0}=e^{-|a|^{2}/2}E_{a}.$

Отсюда следует, что представление $W_{\mathcal {F}}$ является нередуцируемым.

Действительно, любая функция, ортогональная всем E _a, должна обращаться в нуль, так что их линейная оболочка плотна в ${\mathcal {F}}$.

Если P — ортогональный проектор, коммутирующий с W ( z ), пусть f = PE ₀ . Затем

$f(z)=(PE_{0},E_{z})=e^{|z|^{2}}(PE_{0},W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})=(PE_{-z},E_{0})={\overline {f(-z)}}.$

Единственная голоморфная функция, удовлетворяющая этому условию, — это постоянная функция. Так

$PE_{0}=\lambda E_{0},$

с λ = 0 или 1. Поскольку E ₀ циклический, отсюда следует, что P = 0 или I .

По теореме Стоуна–фон Неймана существует унитарный оператор ${\mathcal {U}}$ от Л ² ( R ) на ${\mathcal {F}}$, уникальный с точностью до умножения на скаляр, переплетающий два представления коммутационных соотношений Вейля. По лемме Шура и конструкции Гельфанда – Наймарка матричный коэффициент любого вектора определяет вектор с точностью до скалярного кратного. Поскольку матричные коэффициенты матриц F = E ₀ и f = H ₀ равны, отсюда следует, что унитарная ${\mathcal {U}}$ однозначно определяется свойствами

$W_{\mathcal {F}}(a){\mathcal {U}}={\mathcal {U}}W(a)$

и

${\mathcal {U}}H_{0}=E_{0}.$

Следовательно, для f в L ² ( Р )

${\mathcal {U}}f(z)=({\mathcal {U}}f,E_{z})=(f,{\mathcal {U}}^{*}E_{z})=e^{-|z|^{2}}(f,{\mathcal {U}}^{*}W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})=e^{-|z|^{2}}(W(-z)f,H_{0}),$

так что

${\mathcal {U}}f(z)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}e^{-2ixy}f(t+x)e^{-t^{2}/2}\,dt={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }B(z,t)f(t)\,dt,$

где

$B(z,t)=\exp[-z^{2}-t^{2}/2+zt].$

Оператор ${\mathcal {U}}$ называется преобразованием Сигала – Баргмана. и B называется ядром Баргмана .

Сопряжение ${\mathcal {U}}$ определяется формулой:

${\mathcal {U}}^{*}F(t)={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }B({\overline {z}},t)F(z)\,dxdy.$

Джок модель

Действие SU(1,1) на голоморфное пространство Фока было описано Баргманном (1970) и Ицыксоном (1967) .

Метаплектическое двойное накрытие SU(1,1) можно построить явно как пары ( g , γ) с

$g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}$

и

$\gamma ^{2}=\alpha .$

Если г = г ₁ г ₂ , то

$\gamma =\gamma _{1}\gamma _{2}\left(1+{\beta _{1}{\overline {\beta _{2}}} \over \alpha _{1}\alpha _{2}}\right)^{1/2},$

используя разложение в степенной ряд (1 + z ) ^1/2 для | г | < 1.

Метаплектическое представление — это унитарное представление π( g , γ) этой группы, удовлетворяющее ковариационным соотношениям

$\pi (g,\gamma )W_{\mathcal {F}}(z)\pi (g,\gamma )^{*}=W_{\mathcal {F}}(g\cdot z),$

где

$g\cdot z=\alpha z+\beta {\overline {z}}.$

С ${\mathcal {F}}$ — гильбертово пространство с воспроизводящим ядром , любой ограниченный оператор Т на нем соответствует ядру, заданному степенным рядом двух его аргументов. На самом деле, если

$K_{T}(a,b)=(TE_{\overline {b}},E_{a}),$

и F в ${\mathcal {F}}$, затем

$TF(a)=(TF,E_{a})=(F,T^{*}E_{a})={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z){\overline {(T^{*}E_{a},E_{z})}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }K_{T}(a,{\overline {z}})F(z)e^{-|z|^{2}}\,dxdy.$

Из ковариационных соотношений и аналитичности ядра следует, что для S = π( g , γ)

$K_{S}(a,z)=C\cdot \exp \,{1 \over 2\alpha }({\overline {\beta }}z^{2}+2az-\beta a^{2})$

для некоторой постоянной C . Непосредственный расчет показывает, что

$C=\gamma ^{-1}$

приводит к обычному представлению двойного накрытия.

Когерентные состояния снова можно определить как орбиту E ₀ под метаплектической группой.

Для комплекса w установите

$F_{w}(z)=e^{wz^{2}/2}.$

Затем $F_{w}\in {\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда | ш | < 1. В частности, F ₀ = 1 = E ₀ . Более того,

$\pi (g,\gamma )F_{w}=({\overline {\alpha }}+{\overline {\beta }}w)^{-{\frac {1}{2}}}F_{gw}={\frac {1}{\overline {\gamma }}}\left(1+{{\overline {\beta }} \over {\overline {\alpha }}}w\right)^{-1/2}F_{gw},$

где

$gw={\alpha w+\beta \over {\overline {\beta }}w+{\overline {\alpha }}}.$

Аналогично функции zF _w лежат в ${\mathcal {F}}$ и образуют орбиту метаплектической группы:

$\pi (g,\gamma )[zF_{w}](z)=({\overline {\alpha }}+{\overline {\beta }}w)^{-3/2}zF_{gw}(z).$

Поскольку ( F _w , E ₀ ) = 1, матричный коэффициент функции E ₀ = 1 определяется выражением

$(\pi (g,\gamma )1,1)=\gamma ^{-1}.$

Модель диска

Проективное представление SL(2, R ) на L ² ( R ) или на ${\mathcal {F}}$ распадаются как прямая сумма двух неприводимых представлений, соответствующих четным и нечетным функциям x или z . Два представления могут быть реализованы в гильбертовых пространствах голоморфных функций на единичном круге; или, используя преобразование Кэли, в верхней полуплоскости.

Чётным функциям соответствуют голоморфные функции F _+, для которых

${1 \over 2\pi }\iint |F_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{-1/2}\,dxdy+{2 \over \pi }\iint |F'_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{\frac {1}{2}}\,dxdy$

конечен; а нечетные функции — голоморфным функциям F _, для которых

${1 \over 2\pi }\iint |F_{-}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{-1/2}\,dxdy$

конечно. Поляризованные формы этих выражений определяют внутренние продукты.

Действие метаплектической группы определяется выражением

${\begin{aligned}\pi _{\pm }(g^{-1})F_{\pm }(z)&=\left({\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}\right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }(gz)\\&=\left(-{\overline {\beta }}z+\alpha \right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }\left({{\overline {\alpha }}z-\beta \over -{\overline {\beta }}z+\alpha }\right)&&g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Неприводимость этих представлений устанавливается стандартным образом. Каждое представление распадается как прямая сумма одномерных собственных пространств группы вращения, каждое из которых порождается C ^∞ вектор для всей группы. Отсюда следует, что любое замкнутое инвариантное подпространство порождается прямой алгебраической суммой содержащихся в нем собственных пространств и что эта сумма инвариантна относительно инфинитезимального действия алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$. С другой стороны, это действие нередуцируемо.

Изоморфизм четных и нечетных функций в ${\mathcal {F}}$ можно доказать с помощью конструкции Гельфанда–Наймарка, поскольку матричные коэффициенты, связанные с 1 и z в соответствующих представлениях, пропорциональны. Ицыксон (1967) предложил другой метод, основанный на картах.

$U_{+}(F)(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z)e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,$

$U_{-}(F)(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z){\overline {z}}e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,$

от четной и нечетной частей к функциям на единичном диске. Эти карты переплетают приведенные выше действия метаплектической группы и посылают z ^н кратному w ^н . Условие, что U _± должно быть унитарным, определяет скалярные произведения функций на диске, которые можно выразить в приведенной выше форме.

Хотя в этих представлениях оператор L0 _{представления} имеет положительный спектр — особенность, отличающая голоморфные дискретной серии SU(1,1), — эти представления не лежат в дискретной серии метаплектической группы. Действительно, Кашивара и Вернь (1978) отметили, что матричные коэффициенты не интегрируются с квадратом, хотя их третья степень интегрируется.

Гармонический осциллятор и функции Эрмита

Рассмотрим следующее подпространство в L ² ( Р ):

${\mathcal {H}}=\left\{f\in L^{2}(\mathbf {R} )\left|f(x)=p(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},p(x)\in \mathbf {R} [x]\right.\right\}.$

Операторы

${\begin{aligned}X&=Q-iP={d \over dx}+x\\Y&=Q+iP=-{d \over dx}+x\end{aligned}}$

действовать дальше ${\mathcal {H}}.$ X называется оператором уничтожения , а Y — оператором создания . Они удовлетворяют

${\begin{aligned}X&=Y^{*}\\XY&=D+I&&D=-{d^{2} \over dx^{2}}+x^{2}\\XY-YX&=2I\\XY^{n}-Y^{n}X&=2nY^{n-1}&&{\text{by induction}}\end{aligned}}$

Определите функции

$F_{n}(x)=Y^{n}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

Мы утверждаем, что они являются собственными функциями гармонического осциллятора D . Чтобы доказать это, мы используем приведенные выше коммутационные соотношения:

${\begin{aligned}DF_{n}&=DY^{n}F_{0}\\&=(XY-I)Y^{n}F_{0}\\&=\left(XY^{n+1}-Y^{n}\right)F_{0}\\&=\left(\left((2n+2)Y^{n}+Y^{n+1}X\right)-Y^{n}\right)F_{0}\\&=\left((2n+1)Y^{n}+Y^{n+1}X\right)F_{0}\\&=(2n+1)Y^{n}F_{0}+Y^{n+1}XF_{0}\\&=(2n+1)F_{n}&&XF_{0}=0\end{aligned}}$

Дальше у нас есть:

$\|F_{n}\|_{2}^{2}=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}.$

Это известно для n = 0, и приведенное выше коммутационное соотношение дает

$(F_{n},F_{n})=\left(XY^{n}F_{0},Y^{n-1}F_{0}\right)=2n(F_{n-1},F_{n-1}).$

функция n -я Эрмита определяется выражением

$H_{n}(x)=\|F_{n}\|^{-1}F_{n}(x)=p_{n}(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}.$

p _n называется n- м полиномом Эрмита .

Позволять

${\begin{aligned}A&={1 \over {\sqrt {2}}}Y={1 \over {\sqrt {2}}}\left(-{d \over dx}+x\right)\\A^{*}&={1 \over {\sqrt {2}}}X={1 \over {\sqrt {2}}}\left({d \over dx}+x\right)\end{aligned}}$

Таким образом

$AA^{*}-A^{*}A=I.$

Операторы P , Q или, что то же самое , A , A * действуют неприводимо на ${\mathcal {H}}$ стандартным аргументом.

Действительно, при унитарном изоморфизме с голоморфным пространством Фока ${\mathcal {H}}$ можно отождествить с C [ z ], пространством многочленов от z , с

$A={\frac {\partial }{\partial z}},\qquad A^{*}=z.$

Если подпространство, инвариантное относительно A и A*, содержит ненулевой многочлен p ( z ), то, применяя степень A *, оно содержит ненулевую константу; применяя затем степень A , она содержит все z ^н .

При изоморфизме F _n превращается в кратное z ^н а оператор D имеет вид

$D=2A^{*}A+I.$

Позволять

$L_{0}={1 \over 2}(A^{*}A+{1 \over 2})={1 \over 2}(z{\partial \over \partial z}+{1 \over 2})$

так что

$L_{0}z^{n}={1 \over 2}(n+{1 \over 2})z^{n}.$

В терминологии физики A , A * дают одиночный бозон, а — _L0 оператор энергии. Он диагонализируем с собственными значениями 1/2, 1, 3/2, ...., каждое из которых кратно единице. Такое представление называется представлением положительной энергии .

Более того,

$[L_{0},A]=-{1 \over 2}A,[L_{0},A^{*}]={1 \over 2}A^{*},$

так что скобка Ли с L ₀ определяет дифференцирование алгебры Ли, натянутой на A , A * и I . Присоединение L ₀ дает полупрямое произведение . Инфинитезимальная версия теоремы Стоуна-фон Неймана утверждает, что приведенное выше представление на C [ z ] является уникальным неприводимым представлением положительной энергии этой алгебры Ли с L ₀ = A * A + 1/2. Ибо А снижает энергию, а А * повышает энергию. Таким образом, любой вектор v с наименьшей энергией аннулируется A , и модуль исчерпывается степенями A *, примененными к v . Таким образом, это ненулевое частное C [ z ] и, следовательно, может быть отождествлено с ним по неприводимости.

Позволять

$L_{-1}={1 \over 2}A^{2},L_{1}={1 \over 2}A^{*2},$

так что

$[L_{-1},A]=0,\,\,\,[L_{-1},A^{*}]=A,\,\,\,[L_{1},A]=-A^{*},\,\,\,[L_{1},A^{*}]=0.$

Эти операторы удовлетворяют:

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}$

и действовать посредством дифференцирований на алгебре Ли, натянутой на , A * и I. A

Это инфинитезимальные операторы, соответствующие метаплектическому представлению SU(1,1).

Функции F _n определяются формулами

$F_{n}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)^{n}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x^{2}}\right)=\left(2^{n}x^{n}+\cdots \right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}.$

Отсюда следует, что функции Эрмита представляют собой ортонормированный базис, полученный применением процесса ортонормировки Грамма-Шмидта к базису x. ^н опыт - х ² /2 из ${\mathcal {H}}$.

Полнота функций Эрмита следует из того, что преобразование Баргмана унитарно и переносит ортонормированный базис ( _en z ) голоморфного пространства Фока на H _n ( x ).

Оператор тепла для гармонического осциллятора — это оператор на L ² ( R ) определяется как диагональный оператор

$e^{-Dt}H_{n}=e^{-(2n+1)t}H_{n}.$

Это соответствует тепловому ядру, заданному формулой Мелера :

$K_{t}(x,y)\equiv \sum _{n\geq 0}e^{-(2n+1)t}H_{n}(x)H_{n}(y)=(4\pi t)^{-{1 \over 2}}\left({2t \over \sinh 2t}\right)^{1 \over 2}\exp \left(-{1 \over 4t}\left[{2t \over \tanh 2t}(x^{2}+y^{2})-{2t \over \sinh 2t}(2xy)\right]\right).$

Это следует из формулы

$\sum _{n\geq 0}s^{n}H_{n}(x)H_{n}(y)={1 \over {\sqrt {\pi (1-s^{2})}}}\exp {4xys-(1+s^{2})(x^{2}+y^{2}) \over 2(1-s^{2})}.$

Для доказательства этой формулы заметим, что если s = σ ² , то по формуле Тейлора

$F_{\sigma ,x}(z)\equiv \sum _{n\geq 0}\sigma ^{n}e_{n}(z)H_{n}(x)=\pi ^{-{1 \over 4}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\sum _{n\geq 0}{(-z)^{n}\sigma ^{n} \over 2^{n}n!}{d^{n}e^{x^{2}} \over dx^{n}}=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left(-{x^{2} \over 2}+{\sqrt {2}}xz\sigma -{z^{2}\sigma ^{2} \over 2}\right).$

Таким образом, F _{σ, x} лежит в голоморфном пространстве Фока и

$\sum _{n\geq 0}s^{n}H_{n}(x)H_{n}(y)=(F_{\sigma ,x},F_{\sigma ,y})_{\mathcal {F}},$

внутренний продукт, который можно вычислить напрямую.

Винер (1933 , стр. 51–67) непосредственно устанавливает формулу Мелера и использует классический аргумент, чтобы доказать, что

$\int K_{t}(x,y)f(y)\,dy$

стремится к f в L ² ( R ) при уменьшении t до 0. Это показывает полноту функций Эрмита, а также, поскольку

${\widehat {H_{n}}}=(-i)^{n}H_{n},$

может использоваться для получения свойств преобразования Фурье.

Существуют и другие элементарные методы доказательства полноты функций Эрмита, например с помощью рядов Фурье .

Sobolev spaces

Пространства Соболева H _s , иногда называемые пространствами Эрмита-Соболева , определяются как пополнения ${\mathcal {S}}$ относительно норм

$\|f\|_{(s)}^{2}=\sum _{n\geq 0}|a_{n}|^{2}(1+2n)^{s},$

где

$f=\sum a_{n}H_{n}$

— разложение f по функциям Эрмита.

Таким образом

$\|f\|_{(s)}^{2}=(D^{s}f,f),\qquad (f_{1},f_{2})_{(s)}=(D^{s}f_{1},f_{2}).$

Пространства Соболева являются гильбертовыми пространствами. При этом H _s и H _{– s} находятся в двойственности при спаривании

$\langle f_{1},f_{2}\rangle =\int f_{1}f_{2}\,dx.$

При s ≥ 0

$\|(aP+bQ)f\|_{(s)}\leq (|a|+|b|)C_{s}\|f\|_{\left(s+{1 \over 2}\right)}$

для некоторой положительной константы C _s .

Действительно, такое неравенство можно проверить на операторах рождения и уничтожения, действующих на функции Эрмита H _n, и отсюда следует общее неравенство.

Для произвольных s это следует по двойственности.

Следовательно, для квадратичного многочлена R от P и Q

$\|Rf\|_{(s)}\leq C'_{s}\|f\|_{(s+1)}.$

Неравенство Соболева справедливо для f в H _s с s > 1/2:

$|f(x)|\leq C_{s,k}\|f\|_{(s+k)}(1+x^{2})^{-k}$

для любого k ≥ 0.

Действительно, результат для общего k следует из случая k = 0, примененного к Q ^к ф .

При k = 0 формула обращения Фурье

$f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(t)e^{itx}\,dt$

подразумевает

$|f(x)|\leq C\left(\int \left|{\widehat {f}}(t)\right|^{2}(1+t^{2})^{s}\,dt\right)^{1 \over 2}=C\left(\left(I+Q^{2}\right)^{s}{\widehat {f}},{\widehat {f}}\right)^{1 \over 2}\leq C'\left\|{\widehat {f}}\right\|_{(s)}=C'\|f\|_{(s)}.$

Если s < t , диагональная форма D показывает, что включение H _t в H _s компактно (лемма Реллиха).

Из неравенства Соболева следует, что пересечение пространств H _s есть ${\mathcal {S}}$. Функции в ${\mathcal {S}}$ характеризуются быстрым спадом коэффициентов n _Эрмита .

Стандартные рассуждения показывают, что каждое пространство Соболева инвариантно относительно операторов W ( z ) и метаплектической группы. Действительно, достаточно проверить инвариантность, когда g достаточно близко к единице. В этом случае

$gDg^{-1}=D+A$

где D + A — изоморфизм из $H_{t+2}$ к $H_{t}.$

Отсюда следует, что

$\|\pi (g)f\|_{(s)}^{2}=\left|((D+A)^{s}f,f)\right|\leq \left\|(D+A)^{s}f\right\|_{(-s)}\cdot \|f\|_{(s)}\leq C\|f\|_{(s)}^{2}.$

Если $f\in H_{s},$ затем

${d \over ds}U(s)f=iPU(s)f,\qquad {d \over dt}V(t)f=iQV(t)f,$

где производные лежат в $H_{s-1/2}.$

Аналогично частные производные полной степени k от U ( s ) V ( t ) f лежат в пространствах Соболева порядка s – k /2.

Следовательно, моном от P и Q порядка 2k, примененный к f, лежит в H _{s – k} и может быть выражен как линейная комбинация частных производных от U(s)V(t)f степени ≤ 2k , оцененных в 0.

Гладкие векторы

Гладкими векторами коммутационных соотношений Вейля являются векторы u в L ² ( R ) такой, что отображение

$\Phi (z)=W(z)u$

гладкий. По теореме о равномерной ограниченности это эквивалентно требованию, чтобы каждый матричный коэффициент (W(z)u,v) был гладким.

Вектор является гладким тогда и только тогда, когда он принадлежит ${\mathcal {S}}$. Достаточность очевидна. По необходимости гладкость означает, что частные производные W(z)u лежат в L ² ( R ) и, следовательно, также D ^к u для всех положительных k . Следовательно, u лежит в пересечении Hk _{, поэтому} в ${\mathcal {S}}$.

Отсюда следует, что гладкие векторы являются гладкими и для метаплектической группы.

Более того, вектор находится в ${\mathcal {S}}$ тогда и только тогда, когда это гладкий вектор для подгруппы вращений SU(1,1).

Аналитические векторы

Если Π( t ) — однопараметрическая унитарная группа и для f в ${\mathcal {S}}$

$\Pi (f)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\Pi (t)\,dt,$

тогда векторы Π( f )ξ образуют плотное множество гладких векторов для Π.

Фактически, принимая

$f_{\varepsilon }(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-x^{2}/2\varepsilon }$

векторы v = Π( f _ε )ξ сходятся к ξ при уменьшении ε до 0 и

$\Phi (t)=\Pi (t)v$

— аналитическая функция от t которая продолжается до целой функции на C. ,

Вектор называется целым вектором для Π.

Волновой оператор, связанный с гармоническим осциллятором, определяется выражением

$\Pi (t)=e^{it{\sqrt {D}}}.$

Оператор диагональный, в качестве собственных функций используются функции Эрмита H _n :

$\Pi (t)H_{n}=e^{i(2n+1)^{1 \over 2}t}H_{n}.$

Поскольку он коммутирует с D , он сохраняет пространства Соболева.

Построенные выше аналитические векторы можно переписать в терминах полугруппы Эрмита как

$v=e^{-\varepsilon D}\xi .$

Тот факт, что v — целый вектор для Π, эквивалентен условию суммируемости

$\sum _{n\geq 0}{r^{n}\|D^{n \over 2}v\| \over n!}<\infty$

для всех г > 0.

Любой такой вектор также является целым вектором для U(s)V(t) , то есть отображением

$F(s,t)=U(s)V(t)v$

определенное на R ² продолжается до аналитического отображения на C ² .

Это сводится к оценке степенного ряда

$\left\|\sum _{m,n\geq 0}{1 \over m!n!}z^{m}w^{n}P^{m}Q^{n}v\right\|\leq C\sum _{k\geq 0}{(|z|+|w|)^{k} \over k!}\|D^{k \over 2}v\|<\infty .$

Таким образом, они образуют плотный набор целых векторов для U(s)V(t) ; это также можно проверить непосредственно по формуле Мелера.

Пространства гладких и целых векторов для U(s)V(t) по определению инвариантны относительно действия метаплектической группы, а также полугруппы Эрмита.

Позволять

$W(z,w)=e^{-izw/2}U(z)V(w)$

— аналитическое продолжение операторов W ( x , y ) из R ² до С ² такой, что

$e^{-izw/2}F(z,w)=W(z,w)v.$

Тогда W оставляет пространство целых векторов инвариантным и удовлетворяет условию

$W(z_{1},w_{1})W(z_{2},w_{2})=e^{i(z_{1}w_{2}-w_{1}z_{2})}W(z_{1}+z_{2},w_{1}+w_{2}).$

Более того, для g из SL(2, R )

$\pi (g)W(u)\pi (g)^{*}=W(gu),$

используя естественное действие SL(2, R ) на C ² .

Формально

$W(z,w)^{*}=W(-{\overline {z}},-{\overline {w}}).$

Полугруппа осциллятора

Полугруппа Ольшанского H имеет естественное двойное накрытие и его замыкание ${\overline {H}}$ расширяющее двойное накрытие SU(1,1), соответствующее метаплектической группе. Он задается парами ( g , γ), где g — элемент H или его замыкание.

$g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

и γ — квадратный корень из a .

Такой выбор определяет уникальную ветвь

$\left(-{\overline {b}}z+{\overline {d}}\right)^{1 \over 2}$

для | г | < 1.

Унитарные операторы π( g ) для g в SL(2, R ) удовлетворяют

$\pi (g)W(u)=W(g\cdot u)\pi (g),\,\,\,\pi (g)^{*}W(u)=W(g^{-1}\cdot u)\pi (g)^{*}$

для тебя в C ² .

Элемент g комплексификации SL(2, C ) называется реализуемым, если существует ограниченный оператор T такой, что он и сопряженный к нему оставляют инвариантным пространство целых векторов для W , оба имеют плотные образы и удовлетворяют ковариационным соотношениям

$TW(u)=W(g\cdot u)T,\,\,\,T^{*}W(u)=W(g^{\dagger }\cdot u)T^{*}$

для тебя в C ² . Реализующий оператор T однозначно определяется с точностью до умножения на ненулевой скаляр.

Реализуемые элементы образуют полугруппу, содержащую SL(2, R ). Поскольку представление имеет положительную энергию, ограниченные компактные самосопряженные операторы

$S_{0}(t)=e^{-tL_{0}}$

для t > 0 реализуйте элементы группы в exp C ₁ .

Отсюда следует, что все элементы полугруппы Ольшанского и ее замыкания реализованы.

Максимальность полугруппы Ольшанки означает, что никакие другие элементы SL(2, C ) не реализуются. Действительно, в противном случае каждый элемент SL(2, C ) был бы реализован ограниченным оператором, что противоречило бы необратимости операторов ( _S0 t ) при t > 0.

В представлении Шрёдингера операторы ( _S0 t ) при t > 0 задаются формулой Мелера. Это операторы сжатия , положительные и в каждом классе Шаттена . Более того, они оставляют инвариантным каждое из пространств Соболева. Эта же формула справедлива для $\Re \,t>0$ аналитическим продолжением.

Непосредственно в модели Фока видно, что реализующие операторы можно выбрать так, чтобы они определяли обычное представление двойного покрытия H. построенного выше Соответствующая полугруппа операторов сжатия называется полугруппой осциллятора . Расширенная полугруппа осцилляторов получается полупрямым произведением с операторами W ( u ). Эти операторы лежат в каждом классе Шаттена и оставляют инвариантными пространства Соболева и пространство целых векторов для W .

Разложение

${\overline {H}}=G\cdot \exp {\overline {C}}$

на операторном уровне соответствует полярному разложению ограниченных операторов .

Более того, поскольку любая матрица из H сопряжена диагональной матрице элементами из H или H ⁻¹ , каждый оператор полугруппы осцилляторов квазиподобен оператору S ₀ ( t ) с $\Re t>0$. В частности, он имеет тот же спектр, состоящий из простых собственных значений.

В модели Фока, если элемент g полугруппы Ольшанки H соответствует матрице

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$

соответствующий оператор имеет вид

$\pi (g,\gamma )f(w)={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }K(w,{\overline {z}})f(z)e^{-|z|^{2}}\,dxdy,$

где

$K(w,z)=\gamma ^{-1}\cdot \exp \,{1 \over 2a}(cz^{2}+2wz-bw^{2})$

и γ — квадратный корень из a . Операторы π( g ,γ) для g в полугруппе H — это в точности те, которые являются операторами Гильберта–Шмидта и соответствуют ядрам вида

$K(w,z)=C\cdot \exp \,{1 \over 2}(pz^{2}+2qwz+rw^{2})$

для которого комплексная симметричная матрица

${\begin{pmatrix}p&q\\q&r\end{pmatrix}}$

имеет операторную норму строго меньше единицы.

Операторы в расширенной полугруппе осцилляторов задаются аналогичными выражениями с дополнительными линейными членами по z и w, появляющимися в экспоненте.

В дисковой модели для двух неприводимых компонент метаплектического представления соответствующие операторы имеют вид

$\pi _{\pm }(g)F_{\pm }(z)=(-{\overline {b}}z+{\overline {d}})^{-1\pm 1/2}F_{\pm }\left({{\overline {a}}z-{\overline {c}} \over -{\overline {b}}z+{\overline {d}}}\right).$

Также возможно дать явную формулу для операторов сжатия, соответствующих g в H в представлении Шредингера. Именно с помощью этой формулы Хоу (1988) ввел полугруппу осцилляторов как явное семейство операторов в L ² ( Р ).

Фактически рассмотрим верхнюю полуплоскость Зигеля , состоящую из симметричных комплексных матриц 2x2 с положительно определенной вещественной частью:

$Z={\begin{pmatrix}A&B\\B&D\end{pmatrix}}$

и определить ядро

$K_{Z}(x,y)=e^{-(Ax^{2}+2Bxy+Dy^{2})}.$

с соответствующим оператором

$T_{Z}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }K_{Z}(x,y)f(y)\,dy$

для f в L ² ( Р ).

Тогда прямое вычисление дает

$T_{Z_{1}}T_{Z_{2}}=(D_{1}+A_{2})^{-1/2}T_{Z_{3}}$

где

$Z_{3}={\begin{pmatrix}A_{1}-B_{1}^{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}&-B_{1}B_{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}\\-B_{1}B_{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}&D_{2}-B_{2}^{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}\end{pmatrix}}.$

Более того,

$T_{Z}^{*}=T_{Z^{+}}$

где

$Z^{+}={\begin{pmatrix}{\overline {D}}&{\overline {B}}\\{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}.$

По формуле Мелера для $\Re \,t>0$

$e^{-t(P^{2}+Q^{2})}=(\mathrm {cosech} \,2t)^{1 \over 2}\cdot T_{Z(t)}$

с

$Z(t)={\begin{pmatrix}\coth 2t&-\mathrm {cosech} \,2t\\-\mathrm {cosech} \,2t&\coth 2t\end{pmatrix}}.$

Полугруппа осциллятора получается путем взятия только матриц с B ≠ 0. Из вышесказанного следует, что это условие замкнуто относительно композиции.

Нормализованный оператор может быть определен как

$S_{Z}=B^{1 \over 2}\cdot T_{Z}.$

Выбор квадратного корня определяет двойное покрытие.

В этом случае S _Z соответствует элементу

$g={\begin{pmatrix}-DB^{-1}&DAB^{-1}-B\\B^{-1}&-AB^{-1}\end{pmatrix}}$

полугруппы Ольшанского H .

Более того, S _Z является строгим сокращением:

$\|S_{Z}\|<1.$

Из этого следует также, что

$S_{Z_{1}}S_{Z_{2}}=\pm S_{Z_{3}}.$

Исчисление Вейля

Для функции a ( x , y ) на R ² = C , пусть

$\psi (a)={1 \over 2\pi }\int {\widehat {a}}(x,y)W(x,y)\,dxdy.$

Так

$\psi (a)f(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,$

где

$K(x,y)=\int a(t,{x+y \over 2})e^{i(x-y)t}\,dt.$

Определение в целом

$W(F)={1 \over 2\pi }\int F(z)W(z)\,dxdy,$

произведение двух таких операторов определяется формулой

$W(F)W(G)=W(F\star G),$

где скрученная свертка или произведение Мойала определяется выражением

$F\star G(z)={1 \over 2\pi }\int F(z_{1})G(z_{2}-z_{1})e^{i(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}\,dx_{1}dy_{1}.$

Операторы сглаживания соответствуют W ( F ) или ψ( a ) с F или функциями Шварца на R ² . Соответствующие операторы T имеют ядра, являющиеся функциями Шварца. Они переводят каждое пространство Соболева в функции Шварца. Более того, каждый ограниченный оператор в L ² ( R ), обладающий этим свойством, имеет такой вид.

Для операторов ψ( a ) произведение Мойала переводится в символическое исчисление Вейля . Действительно, если преобразования Фурье a и b имеют компактный носитель, чем

$\psi (a)\psi (b)=\psi (a\circ b),$

где

$a\circ b=\sum _{n\geq 0}{i^{n} \over n!}\left({\partial ^{2} \over \partial x_{1}\partial y_{2}}-{\partial ^{2} \over \partial y_{1}\partial x_{2}}\right)^{n}a\otimes b|_{\mathrm {diagonal} }.$

Это следует из того, что в этом случае b должна расширяться до целой функции на C ² по теореме Пэли-Винера .

Это исчисление можно распространить на широкий класс символов, но самый простой соответствует свертке с помощью класса функций или распределений, которые все имеют вид T + S , где T — компактное распределение с сингулярным носителем, сосредоточенным в точке 0, и где S — функция Шварца. Этот класс содержит операторы P , Q, а также D ^1/2 и Д ^−1/2 где D — гармонический осциллятор.

Символы m -го порядка S ^м задаются гладкими функциями удовлетворяющими ,

$|\partial ^{\alpha }a(z)|\leq C_{\alpha }(1+|z|)^{m-|\alpha |}$

для всех α и Ψ ^м состоит из всех операторов ψ( ) для такого . a

Если а находится в S ^м и χ — гладкая функция компактного носителя, равная 1 вблизи 0, то

${\widehat {a}}=\chi {\widehat {a}}+(1-\chi ){\widehat {a}}=T+S,$

с T и S, как указано выше.

Эти операторы сохраняют функции Шварца и удовлетворяют;

$\Psi ^{m}\cdot \Psi ^{m}\subseteq \Psi ^{m+n},\,\,\,\,[\Psi ^{m},\Psi ^{n}]\subseteq \Psi ^{m+n-2}.$

Операторы P и Q лежат в Ψ ¹ и D лежит в Ψ ² .

Характеристики:

• Символ нулевого порядка определяет ограниченный оператор на L ² ( Р ).
• Д ⁻¹ читать в Ψ ⁻²
• Если R = R * является сглаживающим, то D + R имеет полный набор собственных векторов f _n в ${\mathcal {S}}$ с ( D + R ) f _n = λ _n f _n и λ _n стремится к ≈, когда n стремится к ≈.
• Д ^1/2 читать в Ψ ¹ и, следовательно, Д ^−1/2 читать в Ψ ⁻¹ , поскольку Д ^−1/2 = Д ^1/2 · Д ⁻¹
• P.S. ⁻¹ состоит из компактных операторов Ψ ^{− с} состоит из ядерных операторов при s > 1 и Ψ ^к переносит H _m в H _{m – k} .
• $\mathrm {Tr} \,\psi (a)=\int a$

Доказательство ограниченности Хоу (1980) особенно просто: если

$T_{a,b}v=(v,b)a,$

затем

$T_{W(z)a,b}=e^{|z|^{2}/2}[W(z)T_{a,E_{0}}W(z)^{-1}T_{E_{0},b}],$

где оператор в скобках имеет норму меньше $\|a\|\cdot \|b\|$. Итак, если F поддерживается в | г | ≤ R , тогда

$\|W(F)\|\leq e^{R^{2}/2}\|{\widehat {F}}\|_{\infty }.$

Собственность Д. ⁻¹ доказывается взятием

$S=\psi (a)$

с

$a(z)={1 \over |z|^{2}+1}.$

Тогда R = I – DS лежит в Ψ ⁻¹ , так что

$A\sim S+SR+SR^{2}+\cdots$

читать в Ψ ⁻² и T = DA – I – сглаживание. Следовательно

$D^{-1}=A-D^{-1}T$

читать в Ψ ⁻² поскольку Д ⁻¹ Т – сглаживание.

Недвижимость для Д ^1/2 устанавливается аналогично построением B в Ψ ^1/2 с действительным символом таким, что D – B ⁴ является сглаживающим оператором. Используя голоморфное функциональное исчисление, можно проверить, что D ^1/2 – Б ² является сглаживающим оператором.

Приведенный выше результат об ограниченности был использован Хоу (1980) для установления более общего неравенства Альберто Кальдерона и Реми Вайланкура для псевдодифференциальных операторов . Альтернативное доказательство, которое в более общем смысле применимо к интегральным операторам Фурье, было дано Хоу (1988) . Он показал, что такие операторы можно выразить в виде интегралов по полугруппе осцилляторов, а затем оценить с помощью леммы Котлара-Стейна .

Приложения и обобщения

Теория конечных абелевых групп

Вейль (1964) отметил, что формализм теоремы Стоуна – фон Неймана и осцилляторного представления симплектической группы распространяется от действительных чисел R до любой локально компактной абелевой группы . Особенно простой пример дают конечные абелевы группы либо являются упрощениями доказательств для R. , где доказательства либо элементарны ,

Пусть A — конечная абелева группа, записанная аддитивно, и пусть Q — невырожденная квадратичная форма на A со значениями в T . Таким образом

$(a,b)=Q(a)Q(b)Q(a+b)^{-1}$

является симметричной билинейной формой на A , которая невырождена, поэтому допускает отождествление между A и его двойственной группой A * = Hom ( A , T ).

Позволять $V=\ell ^{2}(A)$ — пространство комплекснозначных функций на A со скалярным произведением

$(f,g)=\sum _{x\in A}f(x){\overline {g(x)}}.$

Определим операторы на V с помощью

$U(x)f(t)=f(t-x),\,\,\,V(y)f(t)=(y,t)f(t)$

для x , y в A. ​Тогда U ( x ) и V ( y ) — унитарные представления A на V, удовлетворяющие коммутационным соотношениям

$U(x)V(y)=(x,y)V(y)U(x).$

Это действие неприводимо и является единственным таким неприводимым представлением этих отношений.

Пусть G = A × A и для z = ( x , y ) в G положим

$W(z)=U(x)V(y).$

Затем

$W(z_{1})W(z_{2})=B(z_{1},z_{2})W(z_{2})W(z_{1}),$

где

$B(z_{1},z_{2})=(x_{1},y_{2})(x_{2},y_{1})^{-1},$

невырожденная знакопеременная билинейная форма на G . Из приведенного выше результата о единственности следует, что если W' ( z ) — другое семейство унитарных элементов, дающее проективное представление G такое, что

$W'(z_{1})W'(z_{2})=B(z_{1},z_{2})W'(z_{2})W'(z_{1}),$

тогда существует унитарное U , единственное с точностью до фазы такое, что

$W'(z)=\lambda (z)UW(z)U^{*},$

для некоторого λ( z ) в T .

В частности, если g — автоморфизм группы G , сохраняющий B , то существует существенно единственный унитарный π( g ) такой, что

$W(gz)=\lambda _{g}(z)\pi (g)W(z)\pi (g)^{*}.$

Группа всех таких автоморфизмов называется симплектической группой для B , а π дает проективное представление G на V .

Группа SL(2.Z ) естественным образом действует на G = AxA автоморфизмами симплектическими . Он генерируется матрицами

$S={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\qquad R={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}.$

Если Z = – I , то Z центральный и

${S^{2}=Z,\,\,\,(SR)^{3}=Z,\,\,\,Z^{2}=I.}$

Эти автоморфизмы G реализуются на V с помощью следующих операторов:

${\begin{aligned}\pi (S)f(t)&=|A|^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{x\in A}(-x,t)f(x)&&{\text{the Fourier transform for }}A\\\pi (Z)f(t)&=f(-t)\\\pi (R)f(t)&=Q(t)^{-1}f(t)\\\end{aligned}}$

Отсюда следует, что

$(\pi (S)\pi (R))^{3}=\mu \pi (Z),$

где µ лежит в T . Непосредственный расчет показывает, что µ определяется суммой Гаусса

$\mu =|A|^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{x\in A}Q(x).$

Законы преобразования тэта-функций

Смотрите также: Тета-представление

Метаплектическая группа была определена как группа

$\operatorname {Mp} (2,\mathbf {R} )=\left\{\left(\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},G\right)\right|G(\tau )^{2}=c\tau +d,\tau \in \mathbf {H} \right\},$

Согласованное государство

$f_{\tau }(x)=e^{{\frac {1}{2}}i\tau x^{2}}$

определяет голоморфное отображение H в L ² ( R ) удовлетворение

$\pi ((g^{t})^{-1})f_{\tau }=(c\tau +d)^{-{\frac {1}{2}}}f_{g\tau }.$

Фактически это голоморфное отображение в каждое пространство Соболева Hk _также и, следовательно, $H_{\approx }={\mathcal {S}}$.

С другой стороны, в $H_{-\approx }={\mathcal {S}}'$ (фактически в H _–1 ) существует конечномерное пространство распределений, инвариантное относительно SL(2, Z ) и изоморфное N -мерному представлению осциллятора на $\ell ^{2}(A)$ где А знак равно Z / N Z .

Действительно, пусть m > 0 и положим N = 2 m . Позволять

$M={\sqrt {2\pi m}}\cdot \mathbf {Z} .$

Все операторы U ( x ), V ( y ) с x и y в M коммутируют и имеют конечномерное подпространство фиксированных векторов, образованное распределениями

$\Psi _{b}=\sum _{x\in M}\delta _{x+b}$

с b в M ₁ , где

$M_{1}={1 \over 2m}M\supset M.$

Сумма, определяющая Ψ _b, сходится в $H_{-1}\subset {\mathcal {S}}'$ от класса b в M1 _{и зависит только} / M . С другой стороны, операторы U ( x ) и V ( y ) с ' x , y в M1 _{коммутируют} со всеми соответствующими операторами M. для Таким образом, M ₁ покидает подпространство V ₀ , натянутое на инвариант Ψ _b . группа A = M1 _, действует на V0 _. Следовательно Это действие можно сразу отождествить с действием на V для N -мерного представления осциллятора, связанного с A , поскольку

$U(b)\Psi _{b'}=\Psi _{b+b'},\qquad V(b)\Psi _{b'}=e^{-imbb'}\Psi _{b'}.$

Поскольку операторы π( R ) и π( S ) нормализуют два набора операторов U и V, соответствующие M и M ₁ , отсюда следует, что они оставляют V ₀ инвариантным и на V ₀ должны быть постоянными кратными операторам, связанным с представление осциллятора A . На самом деле они совпадают. Из R это следует непосредственно из определений, которые показывают, что

$R(\Psi _{b})=e^{\pi imb^{2}}\Psi _{b}.$

Для S это следует из формулы суммирования Пуассона и свойств коммутации с операторами U ) x ) и V ( y ). Суммирование Пуассона доказывается классически следующим образом.

Для a > 0 и f в ${\mathcal {S}}$ позволять

$F(t)=\sum _{x\in M}f(x+t).$

F — гладкая функция на R с периодом a :

$F(t+a)=F(t).$

Теория рядов Фурье показывает, что

$F(0)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }c_{n}$

с абсолютно сходящейся суммой и коэффициентами Фурье, заданными формулами

$c_{n}=a^{-1}\int _{0}^{a}F(t)e^{-{\frac {2\pi int}{a}}}\,dt=a^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-{\frac {2\pi int}{a}}}\,dt={{\sqrt {2\pi }} \over a}{\widehat {f}}\left({\tfrac {2\pi n}{a}}\right).$

Следовательно

$\sum _{n\in \mathbf {Z} }f(na)={\frac {\sqrt {2\pi }}{a}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\widehat {f}}\left({\tfrac {2\pi n}{a}}\right),$

обычная формула суммирования Пуассона.

Эта формула показывает, что S действует следующим образом

$S(\Psi _{b})=(2m)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{b'\in M_{1}/M}e^{-imbb'}\Psi _{b'},$

и поэтому точно согласуется с формулой для представления осциллятора на A .

Отождествление А с Z /2 m Z , с

$b(n)={\frac {{\sqrt {2\pi }}n}{2m}}$

присвоено целому числу n по модулю 2 m , тэта-функции могут быть определены непосредственно как матричные коэффициенты:

$\Theta _{m,n}(\tau ,z)=(W(z)f_{\tau },\Psi _{b(n)}).$

Для τ в H и z в C положим

$q=e^{2\pi i\tau },\qquad u=e^{\pi iz}$

так что | д | < 1. Тета-функции согласуются со стандартными классическими формулами для тета-функций Якоби-Римана:

$\Theta _{n,m}(\tau ,z)=\sum _{k\in {\frac {n}{2m}}+\mathbf {Z} }q^{mk^{2}}u^{2mk}.$

По определению они определяют голоморфные функции на H × C . Ковариационные свойства функции f _τ и распределения Ψ _b сразу приводят к следующим законам преобразования:

${\begin{aligned}\Theta _{n,m}(\tau ,z+a)&=\Theta _{n,m}(\tau ,z)&&a\in \mathbf {Z} \\\Theta _{n,m}(\tau ,z+b\tau )&=q^{-b^{2}}u^{-b}\Theta _{n,m}(\tau ,z)&&b\in \mathbf {Z} \\\Theta _{n,m}(\tau +1,z)&=e^{\frac {\pi in^{2}}{m}}\Theta _{n,m}(\tau ,z)\\\Theta _{n,m}(-{\tfrac {1}{\tau }},{\tfrac {z}{\tau }})&=\tau ^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {i\pi }{8}}}(2m)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n'\in \mathbf {Z} /2m\mathbf {Z} }e^{-{\frac {\pi inn'}{m}}}\Theta _{n',m}(\tau ,z)\end{aligned}}$

Вывод закона квадратичной взаимности

Поскольку операторы π( S ), π ( R ) и π( J ) на L ² ( R ) ограничиваются соответствующими операторами на V ₀ для любого выбора m , знаки коциклов можно определить, взяв m = 1. В этом случае представление является 2-мерным и соотношение

${(\pi (S)\pi (R))^{3}=\pi (J)}$

on L ² ( R ) можно проверить непосредственно на V ₀ .

Но в этом случае

$\mu ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{\frac {i\pi }{4}}+e^{-{\frac {i\pi }{4}}}\right)=1.$

Соотношение можно также проверить непосредственно, применив обе части к основному состоянию exp - x. ² /2.

Следовательно, отсюда следует, что при m ≥ 1 сумму Гаусса можно вычислить:

$\sum _{x\in \mathbf {Z} /2m\mathbf {Z} }e^{\pi ix^{2}/2m}={\sqrt {m}}(1+i).$

Для m нечетного определим

${G(c,m)=\sum _{x\in \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} }e^{2\pi icx^{2}/m}.}$

Если m нечетно, то, разбив предыдущую сумму на две части, получим, что G (1, m ) равна m ^1/2 если m конгруэнтно 1 по модулю 4 и равно i m ^1/2 в противном случае. Если p — нечетное простое число и c не делится на p , это означает, что

${G(c,p)=\left({c \over p}\right)G(1,p)}$

где $\left({c \over p}\right)$ — символ Лежандра равен 1, если c — квадрат по модулю p, и –1 в противном случае. Более того, если p и q — различные нечетные простые числа, то

${G(1,pq)/G(1,p)G(1,q)=\left({p \over q}\right)\left({q \over p}\right)}.$

Из формулы для G (1, p ) и этого соотношения следует закон квадратичной взаимности:

${\left({p \over q}\right)\left({q \over p}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}.}$

Теория в высших измерениях

Теорию представления осциллятора можно расширить от R до R. ^н с заменой группы SL(2, R ) на симплектическую группу Sp(2n, R ). Результаты могут быть доказаны либо путем прямых обобщений одномерного случая, как у Фолланда (1989) , либо с использованием того факта, что n -мерный случай является тензорным произведением n одномерных случаев, отражающим разложение:

$L^{2}({\mathbf {R} }^{n})=L^{2}({\mathbf {R} })^{\otimes n}.$

Позволять ${\mathcal {S}}$ – пространство функций Шварца на R ^н , плотное подпространство в L ² ( Р ^н ). Для s , t в R ^н , определим U ( s ) и V ( t ) на ${\mathcal {S}}$ и Л ² ( р ) по

$U(s)f(x)=f(x-s),\qquad V(t)f(tx)=e^{ix\cdot t}f(x).$

По определению U и V удовлетворяют коммутационному соотношению Вейля

$U(s)V(t)=e^{-is\cdot t}V(t)U(s).$

Как и прежде, это называется представлением Шрёдингера.

Преобразование Фурье определено на ${\mathcal {S}}$ к

${{\widehat {f}}(t)={1 \over (2\pi )^{n/2}}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e^{-ix\cdot t}\,dx.}$

Формула обращения Фурье

${f(x)={1 \over (2\pi )^{n/2}}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}{\widehat {f}}(t)e^{ix\cdot t}\,dt}$

показывает, что преобразование Фурье является изоморфизмом ${\mathcal {S}}$ на себя, продолжая до унитарного отображения L ² ( Р ^н ) на себя ( теорема Планшереля ).

Теорема Стоуна-фон Неймана утверждает, что представление Шрёдингера неприводимо и является единственным неприводимым представлением коммутационных отношений: любое другое представление является прямой суммой копий этого представления.

Если U и V удовлетворяют коммутационным соотношениям Вейля, определите

${W(x,y)=e^{ix\cdot y/2}U(x)V(y).}$

Затем

${W(x_{1},y_{1})W(x_{2},y_{2})=e^{i(x_{1}\cdot y_{2}-y_{1}\cdot x_{2})}W(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),}$

так что W определяет проективное унитарное представление R ^22н с коциклом, заданным формулой

$\omega (z_{1},z_{2})=e^{iB(z_{1},z_{2})},$

где $z=x+iy=(x,y)$ и B — симплектическая форма на R ^22н данный

$B(z_{1},z_{2})=x_{1}\cdot y_{2}-y_{1}\cdot x_{2}=\Im \,z_{1}\cdot {\overline {z_{2}}}.$

Симплектическая группа Sp (2 n , R ) определяется как группа автоморфизмов g группы R ^22н форму Б. сохраняя Из теоремы Стоуна–фон Неймана следует, что для каждого такого g существует унитарная π( g ) на L ² ( R ), удовлетворяющий ковариационному соотношению

$\pi (g)W(z)\pi (g)^{*}=W(g(z)).$

По лемме Шура унитарная π( g ) единственна с точностью до умножения на скаляр ζ с |ζ| = 1, так что π определяет проективное унитарное представление Sp( n ). ) можно выбрать представителей Для π( g , единственных с точностью до знака, которые показывают, что 2-коцикл проективного представления Sp(2 n , R ) принимает значения ±1. Фактически элементы группы Sp( n , R ) задаются размера 2 n × 2 n, вещественными матрицами g удовлетворяющими условиям

${gJg^{t}=J,}$

где

${J={\begin{pmatrix}0&-I\\I&0\end{pmatrix}}.}$

Sp(2 n , R ) порождается матрицами вида

$g_{1}={\begin{pmatrix}A&0\\0&(A^{t})^{-1}\end{pmatrix}},\,\,g_{2}={\begin{pmatrix}I&0\\B&I\end{pmatrix}},\,\,g_{3}={\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}},$

и операторы

${\pi (g_{1})f(x)=\pm \det(A)^{-{\frac {1}{2}}}f(A^{-1}x),\,\,\pi (g_{2})f(x)=\pm e^{-ix^{t}Bx}f(x),\,\,\pi (g_{3})f(x)=\pm e^{in\pi /8}{\widehat {f}}(x)}$

удовлетворяют ковариационным соотношениям, указанным выше. Это дает обычное унитарное представление метаплектической группы — двойное накрытие Sp(2n , R ) . Действительно, Sp( n , R ) действует посредством преобразований Мёбиуса на обобщенной верхней полуплоскости Зигеля H _n, состоящей из симметричных комплексных размера n × n матриц Z со строго мнимой частью по формуле

${gZ=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}}$

если

${g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

Функция

${m(g,z)=\det(CZ+D)}$

удовлетворяет соотношению 1-коцикла

${m(gh,Z)=m(g,hZ)m(h,Z).}$

Метаплектическая группа Mp(2 n , R ) определяется как группа

${Mp(2,\mathbf {R} )=\{(g,G):\,G(Z)^{2}=m(g,Z)\}}$

и является связной двойной накрывающей группой Sp(2 n , R ).

Если $\Im Z>0$, то он определяет когерентное состояние

${f_{z}(x)=e^{ix^{t}Zx/2}}$

в Л ² , лежащий на единственной орбите Sp(2 n ), порожденной

${f_{iI}(x)=e^{-x\cdot x/2}.}$

Если g лежит в Mp(2n, R ), то

${\pi ((g^{t})^{-1})f_{Z}(x)=m(g,Z)^{-1/2}f_{gZ}(x)}$

определяет обычное унитарное представление метаплектической группы, из которого следует, что коцикл на Sp(2 n , R ) принимает только значения ±1.

Голоморфное пространство Фока — это гильбертово пространство. ${\mathcal {F}}_{n}$ голоморфных функций f ( z ) на C _n с конечной нормой

${{1 \over \pi ^{n}}\int _{{\mathbf {C} }^{n}}|f(z)|^{2}e^{-|z|^{2}}\,dx\cdot dy}$

внутренний продукт

${(f_{1},f_{2})={1 \over \pi ^{n}}\int _{{\mathbf {C} }^{n}}f_{1}(z){\overline {f_{2}(z)}}e^{-|z|^{2}}\,dx\cdot dy.}$

и ортонормированный базис

${e_{\alpha }(z)={z^{\alpha } \over {\sqrt {\alpha !}}}}$

для α многочлен . Для f в ${\mathcal {F}}_{n}$ и z в C ^н , операторы

${W_{{\mathcal {F}}_{n}}(z)f(w)=e^{-|z|^{2}}e^{w{\overline {z}}}f(w-z).}$

определяют неприводимое унитарное представление коммутационных соотношений Вейля. По теореме Стоуна–фон Неймана существует унитарный оператор ${\mathcal {U}}$ от Л ² ( Р ^н ) на ${\mathcal {F}}_{n}$ переплетение двух представлений. Оно дается преобразованием Баргмана

${{\mathcal {U}}f(z)={1 \over (2\pi )^{n/2}}\int B(z,t)f(t)\,dt,}$

где

$B(z,t)=\exp[-z\cdot z-t\cdot t/2+z\cdot t].$

Его сопряженный ${\mathcal {U}}^{*}$ определяется формулой:

${{\mathcal {U}}^{*}F(t)={1 \over \pi ^{n}}\int _{{\mathbf {C} }^{n}}B({\overline {z}},t)F(z)\,dx\cdot dy.}$

Пространства Соболева, гладкие и аналитические векторы можно определить, как и в одномерном случае, используя сумму n копий гармонического осциллятора.

$\Delta _{n}=\sum _{i=1}^{n}-{\partial ^{2} \over \partial x_{i}^{2}}+x_{i}^{2}.$

Исчисление Вейля аналогичным образом распространяется на n -мерный случай.

Комплексификация Sp(2 n , C ) симплектической группы определяется тем же соотношением, но позволяет матрицам A , B , C и D быть комплексными. Подполугруппа элементов группы, переводящая в себя верхнюю полуплоскость Зигеля, имеет естественное двойное накрытие. Представления Mp(2 n , R ) на L ² ( Р ^н ) и ${\mathcal {F}}_{n}$ естественным образом распространяются на представление этой полугруппы с помощью операторов сжатия, определяемых ядрами, обобщающими одномерный случай (при необходимости с использованием определителей). Действие Mp(2 n , R ) на когерентные состояния одинаково хорошо применимо и к операторам этой большей полугруппы.

Как и в одномерном случае, когда группа SL(2, R ) имеет аналог SU(1,1) посредством преобразования Кэли с заменой верхней полуплоскости единичным кругом, симплектическая группа имеет комплексный аналог. Действительно, если C — унитарная матрица

${C={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}I&iI\\I&-iI\end{pmatrix}}}$

тогда C Sp(2n) C ⁻¹ это группа всех матриц

${g={\begin{pmatrix}A&B\\{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}}$

такой, что

${AA^{*}-BB^{*}=I,\,\,\,AB^{t}=BA^{t};}$

или эквивалентно

$gKg^{*}=K,$

где

${K={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}.}$

Обобщенный круг Зигеля D _n определяется как набор комплексных симметричных n x n матриц W с операторной нормой меньше 1.

Он состоит именно из преобразований Кэли точек Z в обобщенной верхней полуплоскости Зигеля:

${W=(Z-iI)(Z+iI)^{-1}.}$

Элементы g действуют на D _n

${gW=(AW+B)({\overline {B}}W+{\overline {A}})^{-1}}$

и, как и в одномерном случае, это действие транзитивно. Подгруппа стабилизатора 0 состоит из матриц с унитарным A и B = 0.

Для W в D _n метаплектические когерентные состояния в голоморфном пространстве Фока определяются формулой

${f_{W}(z)=e^{z^{t}Wz/2}.}$

Внутренний продукт двух таких состояний определяется выражением

${(f_{W_{1}},f_{W_{2}})=\det(1-W_{1}{\overline {W_{2}}})^{-1/2}.}$

Более того, метаплектическое представление π удовлетворяет условию

${\pi (g)f_{W}=\det({\overline {A}}+{\overline {B}}W)^{-1/2}f_{gW}.}$

Замкнутая линейная оболочка этих состояний дает четную часть голоморфного пространства Фока ${\mathcal {F}}_{n}^{+}$. Вложение Sp(2 n ) в Sp(2( n +1)) и совместимое отождествление

${\mathcal {F}}_{n+1}^{+}={\mathcal {F}}_{n}^{+}\oplus {\mathcal {F}}_{n}^{-}$

привести к действию в целом ${\mathcal {F}}_{n}$. Непосредственно проверяется его совместимость с действием операторов W ( z ).

Поскольку комплексная полугруппа имеет в качестве границы Шилова симплектическую группу, тот факт, что это представление имеет корректное сжимающее расширение на полугруппу, следует из принципа максимума модуля и того факта, что операторы полугруппы замкнуты относительно присоединенных. достаточно проверить Действительно, для двух таких операторов S , T и векторов vi _, пропорциональных метаплектическим когерентным состояниям, , что

$\left|\sum _{i,j}(STv_{i},v_{j})\right|\leq \|\sum _{i}v_{i}\|^{2},$

что следует из того, что сумма голоморфно зависит от S и T , унитарных на границе.

Теоремы об индексах для операторов Теплица

Обозначим через S единичную сферу в C ^н и определим пространство Харди H ² ( S ) — замыкание в L ² ( S ) ограничения многочленов в координатах z ₁ , ..., z _n . Пусть P — проекция на пространство Харди. Известно, что если m ( f ) обозначает умножение на непрерывную функцию f на S , то коммутатор [P, m ( f )] компактен. Следовательно, определяя оператор Теплица формулой

${T(f)=Pm(f)P}$

в пространстве Харди отсюда следует, что T ( fg ) – T ( f ) T ( g ) компактно для непрерывных f и g . То же самое верно, если f и g — матричные функции (так что соответствующие операторы Теплица являются матрицами операторов на H ² ( С )). В частности, если f — функция на S, принимающая значения в обратимых матрицах, то

${T(f)T(f^{-1})-I,\qquad T(f^{-1})T(f)-I}$

компактны и, следовательно, T ( f ) является оператором Фредгольма с индексом, определяемым как

$\operatorname {ind} T(f)=\dim \ker T(f)-\dim \ker T(f)^{*}.$

Индекс вычислен методами К-теории Кобурном (1973) точностью до знака совпадает со степенью f S как непрерывного отображения и с в общую линейную группу.

Хелтон и Хоу (1975) предложили аналитический способ установления этой теоремы об индексе, упрощенный позже Хоу. Их доказательство основано на том факте, что если f гладкая, то индекс задается формулой МакКина и Сингера :

$\operatorname {ind} T(f)=\operatorname {Tr} (I-T(f^{-1})T(f))^{n}-\operatorname {Tr} (I-T(f)T(f^{-1}))^{n}.$

Хоу (1980) заметил, что существует естественный унитарный изоморфизм между H ² ( С ) и Л ² ( Р ^н ), несущий операторы Теплица

${T_{j}=T(z_{j})}$

на операторов

${(P_{j}+iQ_{j})\Delta ^{-1/2}.}$

Это примеры операторов нулевого порядка, построенных в рамках исчисления Вейля. Следы в формуле Маккина-Зингера можно вычислить непосредственно с помощью исчисления Вейля, что приводит к еще одному доказательству теоремы об индексе. Этот метод доказательства теорем об индексе был обобщен Аленом Конном в рамках циклических когомологий .

Теория в бесконечных измерениях

Теория представления осциллятора в бесконечных измерениях принадлежит Ирвингу Сигалу и Дэвиду Шейлу. Грэм Сигал использовал его, чтобы дать математически строгую конструкцию проективных представлений групп петель и группы диффеоморфизмов окружности. На бесконечно малом уровне конструкция представлений алгебр Ли, в данном случае аффинной алгебры Каца – Муди и алгебры Вирасоро , уже была известна физикам через теорию двойного резонанса , а затем и теорию струн . Здесь будет рассмотрен только простейший случай, включающий группу петель LU(1) гладких отображений окружности в U(1) T. = Полугруппа осцилляторов, независимо разработанная Неретиным и Сигалом, позволяет определить операторы сжатия для полугруппы однолистных голоморфных отображений единичного круга в себя, расширяя унитарные операторы, соответствующие диффеоморфизмам окружности. Применительно к подгруппе SU(1,1) группы диффеоморфизмов это дает обобщение представления осциллятора на L ² ( R ) и его расширение на полугруппу Ольшанского.

Представление коммутации в пространстве Фока обобщается на бесконечные измерения путем замены C ^н (или его сопряженное пространство) произвольным комплексным гильбертовым пространством H . Симметрическая группа Sk _H действует на ^{⊗ k} . С ^к ( H ) определяется как подпространство неподвижной точки в SK _, а симметрическая алгебра - это алгебраическая прямая сумма

${\bigoplus _{k\geq 0}S^{k}(H).}$

Он имеет естественный внутренний продукт, унаследованный от H. ^{⊗ k} :

${(x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{k},y_{1}\otimes \cdots \otimes y_{k})=k!\cdot \prod _{i=1}^{k}(x_{i},y_{i}).}$

Взяв компоненты S ^к ( H ) взаимно ортогональны, симметрическое пространство Фока S ( H ) определяется как пополнение гильбертова пространства этой прямой суммы.

Для ξ в H определим когерентное состояние e ^х к

${e^{\xi }=\sum _{k\geq 0}(k!)^{-1}\xi ^{\otimes k}.}$

Отсюда следует, что их линейная оболочка плотна в S ( H ), что когерентные состояния, соответствующие n различным векторам, линейно независимы и что

${(e^{\xi },e^{\eta })=e^{(\xi ,\eta )}.}$

Когда H конечномерно, S ( H ) естественным образом можно отождествить с голоморфным пространством Фока для H *, поскольку стандартным образом S ^к ( H ) — это просто однородные полиномы степени k на H *, и скалярные произведения совпадают. Более того, S ( H ) обладает функториальными свойствами. Самое главное

$S(H_{1}\oplus H_{2})=S(H_{1})\otimes S(H_{2}),\qquad e^{x_{1}\oplus x_{2}}=e^{x_{1}}\otimes e^{x_{2}}.$

Аналогичный результат верен для конечных ортогональных прямых сумм и распространяется на бесконечные ортогональные прямые суммы, используя определение фон Неймана бесконечного тензорного произведения с 1 — эталонным единичным вектором в S. ⁰ ( Привет ₎ . Любой оператор сжатия между гильбертовыми пространствами индуцирует оператор сжатия между соответствующими симметричными пространствами Фока функториальным образом.

Унитарный оператор на S ( H ) однозначно определяется своими значениями на когерентных состояниях. Более того, для любого назначения v _ξ такого, что

${(v_{\xi },v_{\eta })=e^{(\xi ,\eta )}}$

существует единственный унитарный оператор U на S ( H ) такой, что

${v_{\xi }=U(e^{\xi }).}$

Как и в конечномерном случае, это позволяет унитарные операторы W ( x определить ) для x в H :

${W(x)e^{y}=e^{-\|x\|^{2}/2}e^{-(x,y)}e^{x+y}.}$

Из конечномерного случая непосредственно следует, что эти операторы унитарные и удовлетворяют условиям

${W(x)W(y)=e^{-{i \over 2}\Im (x,y)}W(x+y).}$

В частности, выполняются коммутационные соотношения Вейля:

${W(x)W(y)=e^{-i\Im (x,y)}W(y)W(x).}$

Взяв ортонормированный базис H _, en ) S ( H можно записать как бесконечное тензорное произведение S ( C e n ₎ . Неприводимость W в каждом из этих пространств влечет неприводимость W во всем S ( H ). W называется комплексным волновым представлением .

Чтобы определить симплектическую группу в бесконечных измерениях, пусть будет _HR основным вещественным векторным пространством H с симплектической формой

${B(x,y)=-\Im (x,y)}$

и реальный внутренний продукт

${(x,y)_{\mathbf {R} }=\Re (x,y).}$

Тогда комплексная структура определяется ортогональным оператором

${J(x)=ix}$

так что

${B(x,y)=-(Jx,y)_{\mathbf {R} }.}$

Ограниченный обратимый вещественный линейный оператор T на HR _{сохраняют} лежит в симплектической группе, если он и его обратный B . Это эквивалентно условиям:

${TJT^{t}=J=T^{t}JT.}$

Говорят, что оператор T реализуем на S ( H ), если существует унитарный π( T ) такой, что

$\pi (T)W(x)\pi (T)^{*}=W(Tx).$

Реализуемые операторы образуют подгруппу симплектической группы, ограниченную симплектическую группу . По лемме Шура π( T ) определяется однозначно с точностью до скаляра в T , поэтому π дает проективное унитарное представление этой подгруппы.

Критерий квантования Сигала-Шейла утверждает, что T реализуемо, т. е. лежит в ограниченной симплектической группе, тогда и только тогда, когда коммутатор TJ – JT является оператором Гильберта – Шмидта .

В отличие от конечномерного случая, когда подъем π можно было выбрать так, чтобы он был мультипликативным с точностью до знака, в бесконечномерном случае это невозможно. (В этом можно убедиться непосредственно на примере построенного ниже проективного представления группы диффеоморфизмов окружности.)

Проективное представление ограниченной симплектической группы может быть построено непосредственно на когерентных состояниях, как и в конечномерном случае.

Фактически, выбирая вещественное гильбертово подпространство H, которого является H комплексификацией , для любого оператора T в H комплексно-сопряженный оператор T. также определяется Тогда бесконечномерный аналог SU(1,1) состоит из обратимых ограниченных операторов

${g={\begin{pmatrix}A&B\\{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}}$

удовлетворяющие gKg * = K (или, что то же самое, тем же соотношениям, что и в конечномерном случае). Они принадлежат ограниченной симплектической группе тогда и только тогда, когда B — оператор Гильберта–Шмидта. Эта группа действует транзитивно на бесконечномерном аналоге D _≈ обобщенного единичного круга Зейгела, состоящего из операторов Гильберта–Шмидта W , симметричных с операторной нормой меньше 1, по формуле

${gZ=(AW+B)({\overline {B}}W+{\overline {A}})^{-1}.}$

Опять же, подгруппа стабилизатора 0 состоит из g с унитарным A и B = 0. Метаплектические когерентные состояния f _W могут быть определены, как и раньше, а их внутренний продукт определяется по той же формуле с использованием определителя Фредгольма :

${(f_{W_{1}},f_{W_{2}})=\det(I-W_{2}^{*}W_{1})^{-{\frac {1}{2}}}.}$

Определите единичные векторы по

${e_{W}=\det(I-W^{*}W)^{1/4}f_{W}}$

и установить

${\pi (g)e_{W}=\mu (\det(I+{\overline {A}}^{-1}{\overline {B}}W)^{-{\frac {1}{2}}})e_{gW},}$

где µ(ζ) = ζ/|ζ|. Как и раньше, это определяет проективное представление, и, если g ₃ = g ₁ g ₂ , коцикл задается формулой

${\omega (g_{1},g_{2})=\mu [\det(A_{3}(A_{1}A_{2})^{-1})^{-{\frac {1}{2}}}].}$

Это представление расширяется путем аналитического продолжения для определения операторов сжатия комплексной полугруппы с помощью того же аргумента аналитического продолжения, что и в конечномерном случае. Можно также показать, что это строгие сокращения.

Пример. Пусть HR _— вещественное гильбертово пространство, состоящее из вещественных функций на окружности со средним значением 0.

$f(\theta )=\sum _{n\neq 0}a_{n}e^{in\theta }$

и для чего

${\sum _{n\neq 0}|n||a_{n}|^{2}<\infty .}$

Внутренний продукт определяется выражением

$\left(\sum a_{n}e^{in\theta },\sum b_{m}e^{im\theta }\right)=\sum _{n\neq 0}|n|a_{n}{\overline {b_{n}}}.$

Ортогональный базис задается функциями sin( n θ) и cos( n θ) для n > 0. Преобразование Гильберта на окружности определяется формулой

$J\sin(n\theta )=\cos(n\theta ),\qquad J\cos(n\theta )=-\sin(n\theta )$

определяет комплексную структуру на H _R . J также можно написать

$J\sum _{n\neq 0}a_{n}e^{in\theta }=\sum _{n\neq 0}i\operatorname {sign} (n)a_{n}e^{in\theta },$

где знак n = ±1 обозначает знак n . Соответствующая симплектическая форма пропорциональна

$B(f,g)=\int _{S^{1}}fdg.$

В частности, если φ — сохраняющий ориентацию диффеоморфизм окружности и

${T_{\varphi }f(\theta )=f(\varphi ^{-1}(\theta ))-{1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(\varphi ^{-1}(\theta ))\,d\theta ,}$

тогда T _φ реализуема.

Операторы W ( f ) с f гладкими соответствуют подгруппе группы петель L T, инвариантной относительно группы диффеоморфизмов окружности. Инфинитезимальные операторы, соответствующие векторным полям

${L_{n}=-\pi \left(ie^{in\theta }{d \over d\theta }\right)}$

можно вычислить явно. Они удовлетворяют отношениям Вирасоро.

${[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{m^{3}-m \over 12}\delta _{m+n,0}.}$

В частности, их нельзя скорректировать добавлением скалярных операторов для удаления второго члена в правой части. Это показывает, что коцикл на ограниченной симплектической группе не эквивалентен коциклу, принимающему только значения ±1.

См. также

• Метаплектическая группа
• Инвариантный выпуклый конус

Ссылки

• Баэз, Дж.К.; Сигал, IE; Чжоу, З.-Ф.; Кон, Марк А. (1992), «Введение в алгебраическую и конструктивную квантовую теорию поля», Physics Today , 46 (12), Princeton University Press: 43, Bibcode : 1993PhT....46l..43B , doi : 10.1063/ 1.2809125 , ISBN  0-691-08546-3 , S2CID   120693408
• Баргманн, В. (1970), Представления групп в гильбертовых пространствах аналитических функций , Аналитические методы в математической физике, Гордон и Брич, стр. 27–63.
• Берг, MC (2000), Фурье-аналитическое доказательство квадратичной взаимности , Чистая и прикладная математика, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-35830-4
• Брюне, М.; Крамер, П. (1980), «Комплексное расширение представления симплектической группы, связанное с каноническими коммутационными соотношениями», Reports on Mathematical Physics , 17 (2): 205–215, Bibcode : 1980RpMP...17..205B , дои : 10.1016/0034-4877(80)90063-4
• Джокович, ДЗ; Хофманн, К.-Х. (1997), «Вопрос сюръективности экспоненциальной функции реальных групп Ли: отчет о состоянии», Journal of Lie Theory , 7 : 171–199.
• Коберн, Луизиана (1973), «Сингулярные интегральные операторы и операторы Теплица на нечетных сферах», Журнал математики Университета Индианы , 23 (5): 433–439, doi : 10.1512/iumj.1974.23.23036
• Конн, А. (1990), Некоммутативная геометрия , InterEditions, ISBN  2-7296-0284-4
• Феррара, С.; Маттиолия, Г.; Россич, Г.; Толлер, М. (1973), «Полугрупповой подход к мультипериферической динамике» , Nuclear Physics B , 53 (2): 366–394, Бибкод : 1973NuPhB..53..366F , doi : 10.1016/0550-3213(73) )90451-3
• Фолланд, ГБ (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Анналы математических исследований, том. 122, Издательство Принстонского университета, ISBN  9780691085289
• Годдард, Питер ; Олив, Дэвид (1988), Алгебры Кац-Муди и Вирасоро: переиздание для физиков , Расширенная серия по математической физике, том. 3, Всемирный научный журнал , ISBN  9789971504205
• Гудман, Р. (1969), «Аналитические и целые векторы для представлений групп Ли», Труды Американского математического общества , 143 : 55–76, doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0248285-6
• Гудман, Р.; Уоллах, Н. Р. (1984), «Структура и унитарные коциклические представления групп петель и группы диффеоморфизмов окружности», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 347 : 69–133
• Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Springer
• Он, Х. (2007), «Функции в симметричных пространствах и представление осцилляторов», Журнал функционального анализа , 244 (2): 536–564, doi : 10.1016/j.jfa.2006.11.008
• Хелтон, JW; Хоу, Р.Э. (1975), «Следы коммутаторов интегральных операторов», Acta Mathematica , 135 : 271–305, doi : 10.1007/bf02392022
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN  978-0-8218-2848-9
• Хильгерт, Дж.; Нееб, К.-Х. (1993), Полугруппы Ли и их приложения , Конспекты лекций по математике, вып. 1552, Springer Verlag, ISBN  0387569545
• Хилле, Э. (1940), «Вклад в теорию эрмитовых рядов. II. Проблема представления», Труды Американского математического общества , 47 : 80–94, doi : 10.1090/s0002-9947-1940-0000871-3
• Хёрмандер, Ларс (1983), Анализ операторов в частных производных I , Springer-Verlag, ISBN  3-540-12104-8
• Хёрмандер, Ларс (1985), Анализ операторов в частных производных III , Springer-Verlag, ISBN  3-540-13828-5
• Хоу, Р. (1980), «Квантовая механика и уравнения в частных производных», Журнал функционального анализа , 38 (2): 188–254, doi : 10.1016/0022-1236(80)90064-6
• Хоу, Р. (1988), «Полугруппа осцилляторов» , Proceedings of Symposium in Pure Mathematics , 48 , Американское математическое общество: 61–132 , doi : 10.1090/pspum/048/974332 , ISBN  9780821814826
• Хау, Р.; Тан, Энг-Чай (1992), Неабелев гармонический анализ: приложения SL(2,R) , Universitext, Springer-Verlag, ISBN  0387977686
• Игуса, Дж. (1972), Тета-функции , Основные положения математических наук, том. 194, Шпрингер Верлаг
• Ицыксон, К. (1967), «Замечания о правилах коммутации бозонов» , Communications in Mathematical Physics , 4 (2): 92–122, Бибкод : 1967CMaPh...4...92I , doi : 10.1007/bf01645755 , S2CID   121928828
• Кашивара, М.; Вернь, М. (1978), «О представлениях Сигала-Шейла-Вейля и гармонических полиномах», Inventiones Mathematicae , 44 : 1–47, Bibcode : 1978InMat..44....1K , doi : 10.1007/bf01389900 , S2CID   121545402
• Кац, В.Г.; Райна, AK (1987), Бомбейские лекции о представлениях высшего веса , World Scientific, ISBN  9971503956
• Кац, В.Г. (1990), Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  0521466938
• Крамер, П.; Мошинский, М.; Селигман, TH (1975), Комплексные расширения канонических преобразований и квантовой механики , Теория групп и ее приложения, том. 3, Академическая пресса
• Ланг, С. (1985), SL ₂ (R) , Тексты для выпускников по математике, том. 105, Шпрингер-Верлаг, ISBN  0-387-96198-4
• Лоусон, доктор медицинских наук (1998), «Полугруппы в геометрии Мёбиуса и лоренцевой геометрии», Geometriae Dedicata , 70 (2): 139–180, doi : 10.1023/a:1004906126006 , S2CID   116687780
• Лоусон, JD (2011), «Полугруппы типа Ольшанского», Хофманн, К.Х.; Лоусон, доктор юридических наук; Винберг, Э.Б. (ред.), Полугруппы в алгебре, геометрии и анализе , Уолтер де Грюйтер, стр. 121–158, ISBN  9783110885583
• Лев, Г.; Вернь, М. (1980), Представление Вейля, индекс Маслова и тета-ряд , Progress in Mathematics, vol. 6, Биркхойзер, ISBN  3-7643-3007-4
• Макки, GW (1989), Представления унитарных групп в физике, вероятности и теории чисел (2-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN  0-201-51009-Х
• Мамфорд, Д .; Нори, М.; Норман, П. (2006), Тата-лекции по Тета III , Прогресс в математике, Springer, ISBN  0817645705
• Неретин, Ю.А. (1996), Категории симметрий и бесконечномерные группы , Монографии Лондонского математического общества, т. 1, с. 16, Издательство Оксфордского университета, ISBN  0-19-851186-8
• фон Нейман, Дж. (1932), «К теореме г-на М. Х. Стоуна», Annals of Mathematics , 33 (3): 567–573, doi : 10.2307/1968535 , JSTOR   1968535
• Ольшанский, Г.И. (1981), «Инвариантные конусы в алгебрах Ли, полугруппах Ли и голоморфных дискретных рядах», Функциональный анализ и его приложения , 15 (4): 275–285, doi : 10.1007/bf01106156 , S2CID   121254166
• Прессли, А.; Сигал, Великобритания (1986), Группы циклов , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN  0-19-853535-Х
• Сигал, ГБ (1981), «Унитарные представления некоторых бесконечномерных групп» , Communications in Mathematical Physics , 80 (3): 301–342, Бибкод : 1981CMaPh..80..301S , doi : 10.1007/bf01208274 , S2CID   121367853
• Сохраб, Х.Х. (1981), «C∗-алгебра n-мерного гармонического осциллятора», Manuscripta Mathematica , 34 : 45–70, doi : 10.1007/bf01168709 , S2CID   119837229
• Тангавелу, С. (1993), Лекции по расширениям Эрмита и Лагерра , Математические заметки, том. 42, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-00048-4
• Вейль, А. (1964), «О некоторых группах унитарных операторов», Acta Mathematica , 111 : 143–211, doi : 10.1007/BF02391012
• Винер, Н. (1933), Интеграл Фурье и некоторые его приложения (перепечатка издания 1933 года, 1988 г.) , Cambridge University Press, ISBN  0-521-35884-1
• Ёсида, Х. (1992), «Замечания о метаплектических представлениях SL (2)», Журнал Математического общества Японии , 44 (3): 351–373, doi : 10.2969/jmsj/04430351