Принцип единообразного ограничения

Для определения равномерно ограниченных функций см. В однородном ограничении . Для гипотезов в теории чисел и алгебраической геометрии см. Гповида единообразной границы (устранение неоднозначности) .

В математике принцип равномерного ограничения или теорема банаха -стейнхауса является одним из фундаментальных результатов в функциональном анализе . Вместе с теоремой Хан -Банаха и теоремой открытого картирования она считается одним из краеугольных камней поля. В своей основной форме он утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов (и, следовательно, ограниченных операторов ), домен которого представляет собой пространство банаха , точечная ограниченность эквивалентна равномерной ограничению в норме оператора .

Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Хьюго Стейнхаусом , но она также была доказана независимо от Ганса Хана .

Теорема

Принцип единообразной границы - пусть $X$ быть банаховым пространством , $Y$ Нормальное векторное пространство и $B(X,Y)$ пространство всех непрерывных линейных операторов из $X$ в $Y$Полем Предположим, это $F$ является коллекцией непрерывных линейных операторов из $X$ к $Y.$ Если, за каждый $x\in X$, $$\sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,$$ затем $$\sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}=\sup _{\stackrel {T\in F,}{\|x\|\leq 1}}\|T(x)\|_{Y}<\infty .$$ В случае, что $X$ не является тривиальным векторным пространством, то полуинталируемым, используемым в Supmum первого термина в этой последней цепи равенства (которая имеет $x$ -замкнутым блоком диапазон над шар ) может быть заменен правильным равенством (которое $x$ замкнутого блока Диапазон над сферой ).

Полнота $X$ Включает следующее короткое доказательство, используя теорему категории Baire .

Доказательство

Пусть x - банаховое пространство. Предположим, что для каждого $x\in X,$ $$\sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .$$

Для каждого целого числа $n\in \mathbb {N} ,$ позволять $$X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}.$$

Каждый набор $X_{n}$ это закрытый набор и по предположению, $$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .$$

По теореме категории Байра для непустых полного метрического пространства $X,$ Есть некоторые $m\in \mathbb {N}$ так что $X_{m}$ имеет непустые интерьер ; то есть существует $x_{0}\in X_{m}$ и $\varepsilon >0$ так что $${\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}~:=~\left\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \right\}~\subseteq ~X_{m}.$$

Позволять $u\in X$ с $\|u\|\leq 1$ и $T\in F.$ Затем: $${\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T\left(x_{0}\right)\right\|_{Y}&[{\text{by linearity of }}T]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{since }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}$$

Взяв Supmum $u$ в блоке $X$ и заканчивая $T\in F$ Это следует за этим $$\sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}~\leq ~2\varepsilon ^{-1}m~<~\infty .$$

Существуют также простые доказательства, не использующие теорему Baire ( Sokal 2011 ).

Следствие

Следствие - если последовательность ограниченных операторов $\left(T_{n}\right)$ сходится точечно, то есть предел $\left(T_{n}(x)\right)$ существует для всех $x\in X,$ Затем эти точечные ограничения определяют ограниченный линейный оператор $T.$

Вышеупомянутое следствие не утверждает, что $T_{n}$ сходится к $T$ В норме оператора, то есть равномерно на ограниченных наборах. Однако с тех пор $\left\{T_{n}\right\}$ ограничен в норме оператора и лимитном операторе $T$ непрерывно, стандарт " $3\varepsilon$"Оценка показывает, что $T_{n}$ сходится к $T$ равномерно на компактных наборах.

Доказательство

По сути, такая же, как и в доказательстве того, что точечная сходящаяся последовательность эквикулированных функций на компактном наборе сходится к непрерывной функции.

По принципу равномерного ограничения, пусть $M=\max\{\sup _{n}\|T_{n}\|,\|T\|\}$ быть единой верхней границей на нормах оператора.

Исправить любой компакт $K\subset X$Полем Тогда для любого $\epsilon >0$, конечно покрывать (используйте компактность) $K$ конечным набором открытых шаров $\{B(x_{i},r)\}_{i=1,...,N}$ радиуса $r={\frac {\epsilon }{M}}$

С $T_{n}\to T$ точечно на каждом $x_{1},...,x_{N}$, для всех больших $n$, $\|T_{n}(x_{i})-T(x_{i})\|\leq \epsilon$ для всех $i=1,...,N$.

Затем, по неравенству треугольника, мы находим для всех больших $n$, $\forall x\in K,\|T_{n}(x)-T(x)\|\leq 3\epsilon$.

Следствие - любое слабо ограниченное подмножество $S\subseteq Y$ в нормы $Y$ ограничен.

Действительно, элементы $S$ Определите точковое семейство непрерывных линейных форм на банаховом пространстве $X:=Y',$ что является непрерывным двойным пространством $Y.$ По принципу единообразной ограниченности нормы элементов $S,$ в качестве функционала на $X,$ то есть нормы во втором двойном $Y'',$ ограничены. Но для каждого $s\in S,$ Норма во втором двойном совпадении с нормой в $Y,$ В результате теоремы Хан -Банаха .

Позволять $L(X,Y)$ обозначают непрерывные операторы из $X$ к $Y,$ наделен нормой оператора . Если коллекция $F$ не ограничен $L(X,Y),$ Затем подразумевает принцип единого ограничения: $$R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing .$$

Фактически, $R$ плотный в $X.$ Дополнение $R$ в $X$ является исчисляемым союзом закрытых наборов ${\textstyle \bigcup X_{n}.}$ По аргументу, используемому при доказывании теоремы, каждый $X_{n}$ нигде не плотный , т.е. подмножество ${\textstyle \bigcup X_{n}}$ имеет первую категорию . Поэтому $R$ является дополнением подмножества первой категории в пространстве Байра. По определению пространства Baire такие наборы (называемые ComeAgre или остаточные наборы ) являются плотными. Такие рассуждения приводят к принципу конденсации сингулярностей , который может быть сформулирован следующим образом:

Теорема - пусть $X$ быть банаховым пространством, $\left(Y_{n}\right)$ последовательность нормированных векторных пространств и для каждого $n,$ позволять $F_{n}$ неограниченная семья в $L\left(X,Y_{n}\right).$ Тогда набор $$R:=\left\{x\in X\ :\ {\text{ for all }}n\in \mathbb {N} ,\sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}$$ является остаточным набором и, таким образом, плотным в $X.$

Доказательство

Дополнение $R$ это исчисляемый союз $$\bigcup _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}$$ наборов первой категории. Следовательно, его остаточный набор $R$ плотный.

Пример: точечная конвергенция серии Фурье

Позволять $\mathbb {T}$ быть кругом и пусть $C(\mathbb {T} )$ быть банаховым пространством непрерывных функций на $\mathbb {T} ,$ с единой нормой . Используя принцип равномерного ограничения, можно показать, что существует элемент в $C(\mathbb {T} )$ для которого серия Фурье не сходится в точке.

Для $f\in C(\mathbb {T} ),$ его серия Фурье определяется $$\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},$$ и n -одна симметричная частичная сумма $$S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,$$ где $D_{N}$ является $N$-Т -дирихлет ядра . Исправить $x\in \mathbb {T}$ и рассмотрим сходимость $\left\{S_{N}(f)(x)\right\}.$ Функциональный $\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C}$ определяется $$\varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),$$ ограничен. Норма $\varphi _{N,x},$ в двойном $C(\mathbb {T} ),$ является нормой подписанной меры $(2(2\pi )^{-1}D_{N}(x-t)dt,$ а именно $$\left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.$$

Можно подтвердить, что $${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .$$

Итак, коллекция $\left(\varphi _{N,x}\right)$ не ограничен $C(\mathbb {T} )^{\ast },$ двойной $C(\mathbb {T} ).$ Следовательно, по принципу равномерного ограничения, для любого $x\in \mathbb {T} ,$ набор непрерывных функций, чья серия Фурье расходится на $x$ плотный в $C(\mathbb {T} ).$

Больше может быть завершено путем применения принципа конденсации сингулярностей. Позволять $\left(x_{m}\right)$ быть плотной последовательности в $\mathbb {T} .$ Определять $\varphi _{N,x_{m}}$ аналогичным образом, как и выше. Принцип конденсации сингулярностей тогда говорит, что набор непрерывных функций, чья серия Фурье расходится на каждом $x_{m}$ плотный в $C(\mathbb {T} )$ (Однако серия Фурье непрерывной функции $f$ сходится к $f(x)$ Почти для каждого $x\in \mathbb {T} ,$ по теореме Карлсона ).

Обобщения

В топологическом векторном пространстве (телевизоры) $X,$ «ограниченное подмножество» относится конкретно к понятию подмножества с ограниченным фон Нейманом . Если $X$ Также является нормированным или семинормированным пространством , скажем, с (полу) нормой $\|\cdot \|,$ затем подмножество $B$ IS (von Neumann) ограничено тогда и только тогда, если он ограничен нормальным , что по определению означает ${\textstyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}$

Бортовые пространства

Основная статья: стволовое пространство

Попытки найти классы местных выпуклых топологических векторных векторных пространств , на которых сохраняется принцип равномерного ограничения, в конечном итоге привел к бортовым пространствам . То есть наименее ограничивающая настройка для принципа единой границы - это стволовое пространство, где содержит следующая обобщенная версия теоремы ( Bourbaki 1987 , теорема III.2.1):

Теорема - дана стволовое пространство $X$ и местное выпуклое пространство $Y,$ тогда любое семейство точечных непрерывных линейных отображений из $X$ к $Y$ является эквикорминедом (и даже равномерно, равномерно ).

В качестве альтернативы, заявление также выполняется всякий раз, когда $X$ это пространство Байра и $Y$ это местное выпуклое пространство.

Равномерная ограниченность в топологических векторных пространствах

Основная статья: равномерно ограниченные наборы (топологическое векторное пространство)

Семья ​ ${\mathcal {B}}$ подмножества топологического векторного пространства $Y$ Говорят, что он равномерно ограничен в $Y,$ Если существует какое -то ограниченное подмножество $D$ из $Y$ так что $$B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},$$ что происходит тогда и только тогда $$\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B$$ это ограниченное подмножество $Y$; если $Y$ это нормальное пространство , тогда это происходит тогда и только тогда, когда существует реальная $M\geq 0$ так что ${\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|\leq M.}$ В частности, если $H$ семья карт от $X$ к $Y$ и если $C\subseteq X$ Тогда семья $\{h(C):h\in H\}$ равномерно ограничен в $Y$ Если и только если существует некоторая ограниченная подмножества $D$ из $Y$ так что $h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,$ что происходит тогда и только тогда ${\textstyle H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}$ это ограниченное подмножество $Y.$

Предложение - Позволять $H\subseteq L(X,Y)$ быть набором непрерывных линейных операторов между двумя топологическими векторными пространствами $X$ и $Y$ и пусть $C\subseteq X$ быть в каком -либо ограниченном подмножестве $X.$ Тогда семья сетов $\{h(C):h\in H\}$ равномерно ограничен в $Y$ Если какое -либо из следующих условий выполнено:

1. $H$ является эквитинтером.
2. $C$ это выпуклое компактное Hausdorff подпространство ​ $X$ и для каждого $c\in C,$ орбита $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ это ограниченное подмножество $Y.$

Обобщения с участием подмножествам невыполненных подмножеств

Хотя понятие немиглетного набора используется в следующей версии принципа единого ограниченного, домен $X$ не предполагается , что это пространство Байра .

Теорема - Позволять $H\subseteq L(X,Y)$ быть набором непрерывных линейных операторов между двумя топологическими векторными пространствами $X$ и $Y$ (не обязательно хаусдорф или локально выпуклый). На каждый $x\in X,$ обозначать орбиту ​ $x$ к $$H(x):=\{h(x):h\in H\}$$ и пусть $B$ обозначить набор всех $x\in X$ чья орбита $H(x)$ это ограниченное подмножество $Y.$ Если $B$ Вторая категория (то есть неэлемент) в $X$ затем $B=X$ и $H$ является эквитинтером.

Каждый правильный векторный подпространство телевизоров $X$ имеет пустой интерьер в $X.$ Таким образом, в частности, каждое правильное векторное подпространство, которое закрыто. $X$ и, следовательно, первой категории (скудной) в $X$ (и то же самое также верно для всех его подмножеств). Следовательно, любой векторный подпространство телевизоров $X$ то есть вторая категория (неэффективная) в $X$ должно быть плотное подмножество $X$ (Поскольку в противном случае его закрытие в $X$ будет ли закрытый подходящий векторный подпространство $X$ и, таким образом, первой категории).

Доказательство

Доказательство, что $H$ это экведикопендию:

Позволять $W,V\subseteq Y$ быть сбалансированными районами происхождения в $Y$ удовлетворительный ${\overline {V}}+{\overline {V}}\subseteq W.$ Следует показать, что существует район $N\subseteq X$ происхождения в $X$ так что $h(N)\subseteq W$ на каждый $h\in H.$ Позволять $$C~:=~\bigcap _{h\in H}h^{-1}\left({\overline {V}}\right),$$ который является закрытым подмножеством $X$ (Потому что это пересечение закрытых подмножеств), которое для каждого $h\in H,$ также удовлетворяет $h(C)\subseteq {\overline {V}}$ и $$h(C-C)~=~h(C)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~=~{\overline {V}}+{\overline {V}}~\subseteq ~W$$ (Как будет показано, набор $C-C$ на самом деле является районом происхождения в $X$ Потому что топологический интерьер $C$ в $X$ не пуст). Если $b\in B$ затем $H(b)$ ограничен $Y$ подразумевает, что существует некоторое целое число $n\in \mathbb {N}$ так что $H(b)\subseteq nV$ так что если $h\in H,$ затем $b~\in ~h^{-1}\left(nV\right)~=~nh^{-1}(V).$ С $h\in H$ был произвольным, $$b~\in ~\bigcap _{h\in H}nh^{-1}(V)~=~n\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)~\subseteq ~nC.$$ Это доказывает это $$B~\subseteq ~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nC.$$ Потому что $B$ имеет вторую категорию в $X,$ То же самое должно быть верно как минимум для одного из наборов $nC$ для некоторых $n\in \mathbb {N} .$ Карта $X\to X$ определяется ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{n}}x}$ это ( сервер ) гомеоморфизм , поэтому набор ${\textstyle {\frac {1}{n}}(nC)=C}$ обязательно из второй категории в $X.$ Потому что $C$ закрыт и второй категории в $X,$ его топологический интерьер в $X$ не пуст. Выбирать $c\in \operatorname {Int} _{X}C.$ Потому что карта $X\to X$ определяется $x\mapsto c-x$ гомеоморфизм, набор $$N~:=~c-\operatorname {Int} _{X}C~=~\operatorname {Int} _{X}(c-C)$$ это окрестности $0=c-c$ в $X,$ что подразумевает, что то же самое относится и к его суперсету $C-C.$ И так для каждого $h\in H,$ $$h(N)~\subseteq ~h(c-C)~=~h(c)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~\subseteq ~W.$$ Это доказывает это $H$ является эквитинтером. QED

---

Доказательство, что $B=X$:

Потому что $H$ является эквитинтером, если $S\subseteq X$ ограничен $X$ затем $H(S)$ равномерно ограничен в $Y.$ В частности, для любого $x\in X,$ потому что $S:=\{x\}$ это ограниченное подмножество $X,$ $H(\{x\})=H(x)$ является равномерно ограниченным подмножествами $Y.$ Таким образом $B=X.$ QED

Последовательности непрерывных линейных карт

Следующая теорема устанавливает условия для точечного предела последовательности непрерывных линейных карт, чтобы сама быть непрерывными.

Теорема - Предположим, это $h_{1},h_{2},\ldots$ это последовательность непрерывных линейных карт между двумя топологическими векторными пространствами $X$ и $Y.$

1. Если набор $C$ из всех $x\in X$ для которого $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots$ это последовательность Коши в $Y$ имеет вторую категорию в $X,$ затем $C=X.$
2. Если набор $L$ из всех $x\in X$ в котором предел $h(x):=\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)$ существует в $Y$ имеет вторую категорию в $X$ и если $Y$ является полным показателем топологического векторного пространства (например, пространство Фреше или F-пространство ), затем $L=X$ и $h:X\to Y$ это непрерывная линейная карта.

Теорема - Если $h_{1},h_{2},\ldots$ это последовательность непрерывных линейных карт из F-пространства $X$ в топологическое векторное пространство Hausdorff $Y$ так что для каждого $x\in X,$ предел $$h(x)~:=~\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)$$ существует в $Y,$ затем $h:X\to Y$ непрерывная линейная карта и карты $h,h_{1},h_{2},\ldots$ являются акваминными.

Если, кроме того, домен представляет собой банаховое пространство , а кодом - это нормированное пространство , тогда $\|h\|\leq \liminf _{n\to \infty }\left\|h_{n}\right\|<\infty .$

Полный метризабельный домен

Dieudonné (1970) доказывает более слабую форму этой теоремы с пространствами Фреше, а не обычными банашскими пространствами.

Теорема - Позволять $H\subseteq L(X,Y)$ быть набором непрерывных линейных операторов из полного показателя топологического векторного пространства $X$ (например, пространство Fréchet или F-пространство ) в Hausdorff топологическое векторное пространство $Y.$ Если для каждого $x\in X,$ орбита ​ $$H(x):=\{h(x):h\in H\}$$ это ограниченное подмножество $Y$ затем $H$ является эквитинтером.

Так, в частности, если $Y$ также является нормированным пространством , и если $$\sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty \quad {\text{ for every }}x\in X,$$ затем $H$ является эквитинтером.

Смотрите также

• Блокновое пространство - тип топологического векторного пространства
• Теорема Урсеску - обобщение замкнутого графика, открытое отображение и теорема о единой границе

Библиография

• Банах, Стефан ; Steanhaus, Hugo (1927), принципе конденсации сингулярностей» PDF) , Математика , 9 : « ( о Фонд (по -французски)
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Математические монографии (по -французски). Том. 1. Варшава: субсидия Национального культурного фонда. ZBL   0005.20901 . Архивировано из оригинала (PDF) 2014-01-11 . Получено 2020-07-11 .
• Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Математика . Переводятся Eggleston, Hg; Мадан, С. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 Полем OCLC   17499190 .
• Dieudonné, Jean (1970), Трактат по анализу, том 2 , Academic Press .
• Хусейн, Такдир; Khaleelulla, SM (1978). Баррелленность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Заметки лекции по математике . Тол. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 Полем OCLC   4493665 .
• Khaleelulla, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Заметки лекции по математике . Тол. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 Полем OCLC   8588370 .
• Наричи, Лоуренс; Beckenstein, Edward (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (второе изд.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666 Полем OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1966), Реальный и сложный анализ , МакГроу-Хилл .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Тол. 8 (второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 Полем OCLC   21163277 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . Gtm . Тол. 8 (второе изд.). Нью -Йорк, Нью -Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 Полем OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основаниям . Сан -Диего, Калифорния: Академическая пресса. ISBN  978-0-12-622760-4 Полем OCLC   175294365 .
• SHERN, AI (2001) [1994], «Принцип единообразного ограничения» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Sokal, Alan (2011), «Действительно простое элементарное доказательство теоремы о единой границе», Amer. Математика Ежемесячный , 118 (5): 450–452, arxiv : 1005.1585 , doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 , s2cid   41853641 .
• Трир, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 Полем OCLC   853623322 .
• Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Mineola, Нью -Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-49353-4 Полем OCLC   849801114 .