Ссылка Хопфа

Длина косы	2
Оплетка нет.	2
Пересечение нет.	2
Гиперболический объем	0
Ссылка нет.	1
Палка нет.	6
Развязывание нет.	1
Обозначение Конвея	[2]
Обозначение A – B	2 2 ; 1
Тистлтуэйт	Л2а1
Последний/ следующий	Л0 / Л4а1
Другой
	чередующийся , тор , расслоенный

Отношение Скейна для связи Хопфа.

В математической теории узлов связь — Хопфа это простейшая нетривиальная связь, состоящая более чем из одного компонента. ^{[ 1 ]} Он состоит из двух кругов, соединенных между собой ровно один раз, ^{[ 2 ]} и назван в честь Хайнца Хопфа . ^{[ 3 ]}

Геометрическая реализация

Конкретная модель состоит из двух единичных кругов в перпендикулярных плоскостях, каждый из которых проходит через центр другого. ^{[ 2 ]} Эта модель минимизирует длину звена, и до 2002 года звено Хопфа было единственным звеном, длина троса которого была известна. ^{[ 4 ]} Выпуклая оболочка этих двух кругов образует форму, называемую олоидом . ^{[ 5 ]}

Характеристики

В зависимости от взаимной ориентации двух компонентов число связей звена Хопфа составляет ±1. ^{[ 6 ]}

Звено Хопфа представляет собой (2,2) -торическое звено . ^{[ 7 ]} с косичкой ^{[ 8 ]}

\sigma _{1}^{2}.\,

Дополнение к узлу связи Хопфа равно R × S. ¹ × С ¹, цилиндр над тором . ^{[ 9 ]} Это пространство имеет локально евклидову геометрию , поэтому ссылка Хопфа не является гиперболической связью . Группа узлов зацепления Хопфа ( фундаментальная группа его дополнения) — это Z ² ( свободная абелева группа с двумя образующими), что отличает ее от несвязной пары петель, которой является свободная группа с двумя образующими. группой ^{[ 10 ]}

Связь Хопфа не является трехцветной : невозможно раскрасить нити ее диаграммы в три цвета так, чтобы использовались по крайней мере два цвета и чтобы в каждом пересечении присутствовал один или три цвета. Каждое звено имеет только одну нить, и если обеим нитям присвоен один и тот же цвет, то используется только один цвет, а если им присвоены разные цвета, то пересечения будут иметь два цвета.

пучок Хопфа

— Расслоение Хопфа это непрерывная функция из 3-сферы (трехмерной поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве) в более знакомую 2-сферу , обладающая тем свойством, что прообраз каждой точки на 2-сфере представляет собой круг. Таким образом, эти изображения разлагают 3-сферу на непрерывное семейство кругов, и каждые два отдельных кружка образуют ссылку Хопфа. Это было мотивацией Хопфа для изучения зацепления Хопфа: поскольку каждые два слоя связаны, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоением . С этого примера началось изучение гомотопических групп сфер . ^{[ 11 ]}

Биология

Связь Хопфа также присутствует в некоторых белках. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} Он состоит из двух ковалентных петель, образованных кусочками белкового остова , замкнутыми дисульфидными связями . Топология связей Хопфа высоко консервативна в белках и повышает их стабильность. ^{[ 12 ]}

История

Звено Хопфа названо в честь тополога Хайнца Хопфа , который рассматривал его в 1931 году как часть своего исследования расслоения Хопфа . ^{[ 14 ]} Однако в математике оно было известно Карлу Фридриху Гауссу до работ Хопфа. ^{[ 3 ]} Он также долгое время использовался за пределами математики, например, как герб Бузан-ха , японской буддийской секты, основанной в 16 веке.

См. также

Кольца Борромео , звено с тремя замкнутыми петлями.
Катенан — молекула с двумя связанными петлями.
Узел Соломона : две петли, переплетенные дважды.

Ссылки

^ Адамс, Колин Конрад (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество, стр. 151, ISBN 9780821836781 .
^ Jump up to: ^а ^б Куснер, Роберт Б.; Салливан, Джон М. (1998), «Об искажении и толщине узлов», Топология и геометрия в науке о полимерах (Миннеаполис, Миннесота, 1996) , IMA Vol. Математика. Приложение, вып. 103, Нью-Йорк: Springer, стр. 67–78, номер документа : 10.1007/978-1-4612-1712-1_7 , MR 1655037 . См., в частности, стр. 77 .
^ Jump up to: ^а ^б Прасолов В.В.; Сосинский А.Б. (1997), Узлы, связи, косы и трехмерные многообразия: Введение в новые инварианты в низкоразмерной топологии , Переводы математических монографий, том. 154, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 6, ISBN 0-8218-0588-6 , МР 1414898 .
^ Кантарелла, Джейсон; Куснер, Роберт Б.; Салливан, Джон М. (2002), «О минимальной длине узлов и звеньев», Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math/0103224 , Bibcode : 2002InMat.150..257C , doi : 10.1007/s00222-002-0234-y , MR 1933586 , S2CID 730891 .
^ Дирнбёк, Ганс; Стачел, Хельмут (1997), «Развитие олоида» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 1 (2): 105–118, MR 1622664 .
^ Адамс (2004) , с. 21 .
^ Кауфман, Луи Х. (1987), О узлах , Анналы математических исследований, том. 115, Издательство Принстонского университета, с. 373, ISBN 9780691084350 .
^ Адамс (2004) , Упражнение 5.22, с. 133 .
^ Тураев, Владимир Г. (2010), Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий , Исследования Де Грюйтера по математике, том. 18, Вальтер де Грюйтер, с. 194, ISBN 9783110221831 .
^ Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , с. 24, ISBN 9787302105886 .
^ Шастри, Анант Р. (2013), Основная алгебраическая топология , CRC Press, стр. 368, ISBN 9781466562431 .
^ Jump up to: ^а ^б Домбровский-Туманский, Павел; Сулковска, Джоанна И. (28 марта 2017 г.), «Топологические узлы и связи в белках», Proceedings of the National Academy of Sciences , 114 (13): 3415–3420, Bibcode : 2017PNAS..114.3415D , doi : 10.1073/pnas.1615862114 , ISSN 0027-8424 , PMC 5380043 , PMID 28280100
^ Домбровский-Туманский, Павел; Ярмолинская, Александра И.; Немышка, Ванда; Родон, Эрик Дж.; Миллетт, Кеннет К.; Сулковска, Джоанна И. (04 января 2017 г.), «LinkProt: база данных, собирающая информацию о биологических связях», Nucleic Acids Research , 45 (D1): D243–D249, doi : 10.1093/nar/gkw976 , ISSN 0305-1048 , ПМЦ 5210653 , ПМИД 27794552
^ Хопф, Хайнц (1931), «Об отображениях трехмерной сферы на сферическую поверхность» , Mathematical Annals , 104 (1), Берлин: Springer : 637–665, doi : 10.1007/BF01457962 , S2CID 123533891 .

Внешние ссылки

[1] Адамс, Колин Конрад (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество, стр. 151, ISBN 9780821836781 .

[ks98-2] Jump up to: ^а ^б Куснер, Роберт Б.; Салливан, Джон М. (1998), «Об искажении и толщине узлов», Топология и геометрия в науке о полимерах (Миннеаполис, Миннесота, 1996) , IMA Vol. Математика. Приложение, вып. 103, Нью-Йорк: Springer, стр. 67–78, номер документа : 10.1007/978-1-4612-1712-1_7 , MR 1655037 . См., в частности, стр. 77 .

[ps97-3] Jump up to: ^а ^б Прасолов В.В.; Сосинский А.Б. (1997), Узлы, связи, косы и трехмерные многообразия: Введение в новые инварианты в низкоразмерной топологии , Переводы математических монографий, том. 154, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 6, ISBN 0-8218-0588-6 , МР 1414898 .

[4] Кантарелла, Джейсон; Куснер, Роберт Б.; Салливан, Джон М. (2002), «О минимальной длине узлов и звеньев», Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math/0103224 , Bibcode : 2002InMat.150..257C , doi : 10.1007/s00222-002-0234-y , MR 1933586 , S2CID 730891 .

[5] Дирнбёк, Ганс; Стачел, Хельмут (1997), «Развитие олоида» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 1 (2): 105–118, MR 1622664 .

[6] Адамс (2004) , с. 21 .

[7] Кауфман, Луи Х. (1987), О узлах , Анналы математических исследований, том. 115, Издательство Принстонского университета, с. 373, ISBN 9780691084350 .

[8] Адамс (2004) , Упражнение 5.22, с. 133 .

[9] Тураев, Владимир Г. (2010), Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий , Исследования Де Грюйтера по математике, том. 18, Вальтер де Грюйтер, с. 194, ISBN 9783110221831 .

[10] Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , с. 24, ISBN 9787302105886 .

[11] Шастри, Анант Р. (2013), Основная алгебраическая топология , CRC Press, стр. 368, ISBN 9781466562431 .

[:0-12] Jump up to: ^а ^б Домбровский-Туманский, Павел; Сулковска, Джоанна И. (28 марта 2017 г.), «Топологические узлы и связи в белках», Proceedings of the National Academy of Sciences , 114 (13): 3415–3420, Bibcode : 2017PNAS..114.3415D , doi : 10.1073/pnas.1615862114 , ISSN 0027-8424 , PMC 5380043 , PMID 28280100

[13] Домбровский-Туманский, Павел; Ярмолинская, Александра И.; Немышка, Ванда; Родон, Эрик Дж.; Миллетт, Кеннет К.; Сулковска, Джоанна И. (04 января 2017 г.), «LinkProt: база данных, собирающая информацию о биологических связях», Nucleic Acids Research , 45 (D1): D243–D249, doi : 10.1093/nar/gkw976 , ISSN 0305-1048 , ПМЦ 5210653 , ПМИД 27794552

[14] Хопф, Хайнц (1931), «Об отображениях трехмерной сферы на сферическую поверхность» , Mathematical Annals , 104 (1), Берлин: Springer : 637–665, doi : 10.1007/BF01457962 , S2CID 123533891 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

v т и Теория узлов ( узлы и звенья )
Hyperbolic	Figure-eight (4₁) Three-twist (5₂) Stevedore (6₁) 6₂ 6₃ Endless (7₄) Carrick mat (8₁₈) Perko pair (10₁₆₁) Conway knot (11n34) Kinoshita–Terasaka knot (11n42) (−2,3,7) pretzel (12n242) Whitehead (5² ₁) Borromean rings (6³ ₂) L10a140
Satellite	Composite knots Granny Square Knot sum
Torus	Unknot (0₁) Trefoil (3₁) Cinquefoil (5₁) Septafoil (7₁) Unlink (0² ₁) Hopf (2² ₁) Solomon's (4² ₁)
Invariants	Alternating Arf invariant Bridge no. 2-bridge Brunnian Chirality Invertible Crosscap no. Crossing no. Finite type invariant Hyperbolic volume Khovanov homology Genus Knot group Link group Linking no. Polynomial Alexander Bracket HOMFLY Jones Kauffman Pretzel Prime list Stick no. Tricolorability Unknotting no. and problem
Notation and operations	Alexander–Briggs notation Conway notation Dowker–Thistlethwaite notation Flype Mutation Reidemeister move Skein relation Tabulation
Other	Alexander's theorem Berge Braid theory Conway sphere Complement Double torus Fibered Knot List of knots and links Ribbon Slice Sum Tait conjectures Twist Wild Writhe Surgery theory
Category Commons