Продолжительность (финансы)

В финансах продолжительность средневзвешенное финансового актива , состоящего из фиксированных денежных потоков , такого как облигация , представляет собой время до получения этих фиксированных денежных потоков.Когда цена актива рассматривается как функция доходности , дюрация также измеряет чувствительность цены к доходности, скорость изменения цены по отношению к доходности или процентное изменение цены при параллельном сдвиге доходности.

Двойное использование слова «длительность» как средневзвешенного времени до погашения и процентного изменения цены часто вызывает путаницу. Строго говоря, дюрация Маколея — это название средневзвешенного времени до получения денежных потоков, которое измеряется в годах. Модифицированная дюрация — это название ценовой чувствительности. Это (-1) раз скорость изменения цены облигации в зависимости от изменения ее доходности.

Обе меры называются «длительностью» и имеют одинаковое (или близкое к одинаковому) числовое значение, но важно помнить о концептуальных различиях между ними. Дюрация Маколея — это мера времени, измеряемая в годах, и она действительно имеет смысл только для инструмента с фиксированными денежными потоками. Для стандартной облигации дюрация Маколея будет находиться в диапазоне от 0 до срока погашения облигации. Он равен сроку погашения тогда и только тогда, когда облигация является бескупонной .

С другой стороны, модифицированная дюрация представляет собой математическую производную (скорость изменения) цены и измеряет процентную скорость изменения цены по отношению к доходности. (Чувствительность цены к доходности также может быть измерена в абсолютном выражении ( в долларах или евро и т. д.), и абсолютную чувствительность часто называют дюрацией в долларах (евро) , DV01, BPV или дельта-риском (δ или Δ). ). Концепция модифицированной дюрации может применяться к чувствительным к процентным ставкам инструментам с нефиксированными денежными потоками и, таким образом, может применяться к более широкому спектру инструментов, чем дюрация Маколея. Модифицированная дюрация используется чаще, чем дюрация Маколея в современных финансах.

В повседневном использовании равенство (или почти равенство) значений Маколея и модифицированной продолжительности может оказаться полезным подспорьем для интуиции. Например, стандартная десятилетняя купонная облигация будет иметь дюрацию Маколея несколько, но не значительно, менее 10 лет, и из этого мы можем сделать вывод, что модифицированная дюрация (чувствительность к цене) также будет несколько, но не значительно, меньше 10%. . Аналогично, двухлетняя купонная облигация будет иметь дюрацию Маколея чуть ниже 2 лет и модифицированную дюрацию чуть ниже 2%.

Продолжительность Маколея

Дюрация Маколея , названная в честь Фредерика Маколея , который представил эту концепцию, представляет собой средневзвешенный срок погашения денежных потоков , в котором время получения каждого платежа взвешивается по приведенной стоимости этого платежа. Знаменатель представляет собой сумму весов, которая и есть цена облигации. Рассмотрим некоторый набор фиксированных денежных потоков. этих Текущая стоимость денежных потоков равна:

$V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}$

Продолжительность Маколея определяется как:

(1)      ${\text{Macaulay duration}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}$

где:

• $i$ индексирует денежные потоки,
• $PV_{i}$ представляет собой текущую стоимость $i$денежный платеж из актива ,
• $t_{i}$ это время в годах, пока $i$будет получен платеж,
• $V$ представляет собой текущую стоимость всех будущих денежных выплат от актива.

Во втором выражении дробным членом является отношение денежного потока $PV_{i}$ к общему PV. Эти члены добавляются к 1,0 и служат весами для средневзвешенного значения. Таким образом, общее выражение представляет собой средневзвешенное время до момента выплаты денежного потока с весом ${\frac {PV_{i}}{V}}$ представляет собой долю приведенной стоимости актива, обусловленную денежным потоком $i$.

Для набора всех положительных фиксированных денежных потоков средневзвешенное значение будет находиться в диапазоне 0 (минимальное время) или, точнее, $t_{1}$ (время до первого платежа) и время окончательного поступления денежных средств. Дюрация Маколея будет равна окончательному сроку погашения тогда и только тогда, когда при наступлении срока погашения будет произведен только один платеж. В символах, если денежные потоки расположены по порядку: $(t_{1},...,t_{n})$, затем:

$t_{1}\leq {\text{Macaulay duration}}\leq t_{n},$

при этом неравенства являются строгими, если только у него нет единого денежного потока. С точки зрения стандартных облигаций (для которых денежные потоки фиксированы и положительны) это означает, что дюрация Маколея будет равна сроку погашения только для облигаций с нулевым купоном.

Дюрация Маколея имеет схематическую интерпретацию, показанную на рисунке 1.

Рис. 1: Длительность Маколея

Это облигация, рассмотренная в примере ниже, со сроком погашения два года, купоном 20% и непрерывно начисляемой доходностью 3,9605%. Кружочки представляют текущую стоимость выплат, причем купонные выплаты становятся меньше по мере их дальнейшего продвижения в будущем, а последний крупный платеж включает как купонный платеж, так и окончательное погашение основной суммы долга. Если бы эти круги были помещены на балансир, точка опоры (сбалансированный центр) бревна представляла бы средневзвешенное расстояние (время до оплаты), которое в данном случае составляет 1,78 года.

Для большинства практических расчетов дюрация Маколея рассчитывается с использованием доходности к погашению для расчета $PV(i)$:

(2)      $V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}$

(3)      ${\text{Macaulay duration}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}$

где:

• $i$ индексирует денежные потоки,
• $PV_{i}$ представляет собой текущую стоимость $i$денежный платеж от актива,
• $CF_{i}$ это поток денежный $i$платеж из актива,
• $y$ - это доходность к погашению (постоянно начисляемая) по активу,
• $t_{i}$ это время в годах, пока $i$будет получен платеж,
• $V$ представляет собой приведенную стоимость всех денежных выплат от актива до момента погашения.

Маколей предложил две альтернативные меры:

• Выражение (1) представляет собой дюрацию Фишера-Вейля , в которой в качестве коэффициентов дисконтирования используются цены облигаций с нулевым купоном, а
• Выражение (3), которое использует доходность облигации к погашению для расчета коэффициентов дисконтирования.

Ключевое различие между двумя дюрациями заключается в том, что дюрация Фишера-Вейля допускает возможность наклонной кривой доходности, тогда как вторая форма основана на постоянном значении доходности. $y$, не варьируется по сроку до оплаты. С использованием компьютеров можно рассчитать обе формы, но выражение (3), предполагающее постоянную доходность, используется более широко из-за применения к модифицированной дюрации.

Продолжительность и средневзвешенный срок службы

Сходство как в значениях, так и в определениях продолжительности Маколея и средневзвешенной продолжительности жизни может привести к путанице в целях и расчете этих двух показателей. Например, пятилетняя облигация с фиксированной процентной ставкой будет иметь средневзвешенный срок жизни 5 и дюрацию Маколея, которая должна быть очень близкой. Ипотечные кредиты ведут себя аналогично. Различия между ними заключаются в следующем:

1. Дюрация Маколея измеряет только денежные потоки с фиксированным периодом, а также факторы взвешенного среднего срока службы во всех основных денежных потоках, независимо от того, являются ли они фиксированными или плавающими. Таким образом, для ипотечных кредитов Hybrid ARM с фиксированным периодом в целях моделирования весь фиксированный период заканчивается в дату последнего фиксированного платежа или за месяц до обнуления.
2. Дюрация Маколея дисконтирует все денежные потоки по соответствующей стоимости капитала. Средневзвешенная жизнь не учитывает скидки.
3. Дюрация Маколея использует как основную сумму долга, так и проценты при взвешивании денежных потоков. Взвешенный средний срок службы использует только основную сумму.

Измененная продолжительность

В отличие от дюрации Маколея, модифицированная дюрация (иногда сокращенно MD) представляет собой меру чувствительности цены, определяемую как процентная производная цены по доходности (логарифмическая производная цены облигации по доходности). Модифицированная дюрация применяется, когда облигация или другой актив рассматривается как функция доходности. В этом случае можно измерить логарифмическую производную по доходности:

$ModD(y)\equiv -{\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}=-{\frac {\partial \ln(V)}{\partial y}}$

Когда доходность выражается непрерывно, дюрация Маколея и модифицированная дюрация численно равны. Чтобы убедиться в этом, если мы возьмем производную цены или приведенной стоимости, выражение (2), относительно непрерывно начисляемой доходности. $y$ мы видим это:

${\frac {\partial V}{\partial y}}=-\sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}=-MacD\cdot V,$

Другими словами, для доходности, выраженной непрерывно начисляемой процентной ставкой,

$ModD=MacD$.

где:

• $i$ индексирует денежные потоки,
• $t_{i}$ это время в годах, пока $i$будет получен платеж,
• $V$ представляет собой текущую стоимость всех денежных выплат от актива.

Периодически усугубляется

На финансовых рынках доходность обычно выражается периодически (скажем, ежегодно или раз в полгода), а не непрерывно. Тогда выражение (2) примет вид:

$V(y_{k})=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}$

$MacD=\sum _{i=1}^{n}{\frac {t_{i}}{V(y_{k})}}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}$

Чтобы найти модифицированную продолжительность, когда мы берем производную значения $V$ относительно периодически начисляемой доходности мы находим

${\frac {\partial V}{\partial y_{k}}}=-{\frac {1}{(1+y_{k}/k)}}\cdot \sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}=-{\frac {MacD\cdot V(y_{k})}{(1+y_{k}/k)}}$

Перестановка (деление обеих частей на -V ) дает:

${\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}=-{\frac {1}{V(y_{k})}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y_{k}}}\equiv ModD$

это хорошо известная связь между модифицированной длительностью и длительностью Маколея:

$ModD={\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}$

где:

• $i$ индексирует денежные потоки,
• $k$ — частота начисления процентов в год (1 — годовой, 2 — полугодовой, 12 — ежемесячный, 52 — еженедельный и т. д.),
• $CF_{i}$ это денежный поток $i$платеж из актива,
• $t_{i}$ это время в годах, пока $i$будет получен (например, двухлетний полугодовой платеж будет представлен $t_{i}$ индекс 0,5, 1,0, 1,5 и 2,0),
• $y_{k}$ доходность к погашению актива, периодически начисляемая
• $V$ представляет собой текущую стоимость всех денежных выплат от актива.

Это дает хорошо известную связь между длительностью Маколея и модифицированной длительностью, указанной выше. Следует помнить, что, хотя длительность Маколея и модифицированная длительность тесно связаны, концептуально они различны. Дюрация Маколея — это средневзвешенное время до погашения (измеряется в единицах времени, таких как годы), тогда как модифицированная дюрация — это мера чувствительности к цене, когда цена рассматривается как функция доходности, процентного изменения цены по отношению к доходности.

Единицы

Продолжительность Маколея измеряется годами.

Модифицированная дюрация измеряется как процентное изменение цены на одну единицу (процентный пункт ) изменения доходности за год (например, доходность увеличивается с 8% в год (y = 0,08) до 9% в год (y = 0,09)). Это придаст модифицированной дюрации числовое значение, близкое к дюрации Маколея (и равное, когда ставки непрерывно начисляются).

Формально модифицированная продолжительность — это , полуэластичность процентное изменение цены на единицу изменения доходности, а не эластичность , которая представляет собой процентное изменение выпуска при процентном изменении затрат. Модифицированная дюрация — это скорость изменения, процентное изменение цены на изменение доходности.

Нефиксированные денежные потоки

Модифицированная дюрация может быть распространена на инструменты с нефиксированными денежными потоками, тогда как дюрация Маколея применяется только к инструментам с фиксированным денежным потоком. Модифицированная дюрация определяется как логарифмическая производная цены по доходности, и такое определение будет применяться к инструментам, которые зависят от доходности, независимо от того, фиксированы денежные потоки или нет.

Конечные изменения доходности

Модифицированная продолжительность определяется выше как производная (поскольку этот термин относится к исчислению) и поэтому основана на бесконечно малых изменениях. Модифицированная дюрация также полезна как мера чувствительности рыночной цены облигации к изменениям конечной процентной ставки (т. е. доходности). При небольшом изменении урожайности $\Delta y$,

$ModD\approx -{\frac {1}{V}}{\frac {\Delta V}{\Delta y}}\Rightarrow \Delta V\approx -V\cdot ModD\cdot \Delta y$

Таким образом, модифицированная дюрация примерно равна процентному изменению цены при данном конечном изменении доходности. Таким образом, 15-летняя облигация с дюрацией Маколея в 7 лет будет иметь модифицированную дюрацию примерно в 7 лет и упадет в стоимости примерно на 7%, если процентная ставка увеличится на один процентный пункт (скажем, с 7% до 8%).

Продолжительность Фишера – Вейля

Дюрация Фишера-Вейля представляет собой уточненную версию дюрации Маколея, которая учитывает временную структуру процентных ставок. Дюрация Фишера-Вейля рассчитывает приведенную стоимость соответствующих денежных потоков (более строго) с использованием нулевой купонной доходности для каждого соответствующего срока погашения.

Длительность ключевой ставки

Дюрации ключевой ставки (также называемые частичными DV01 или частичными дюрациями) являются естественным расширением общей модифицированной дюрации для измерения чувствительности к сдвигам различных частей кривой доходности. Дюрация ключевой ставки может быть определена, например, в отношении бескупонных ставок со сроком погашения «1M», «3M», «6M», «1Y», «2Y», «3Y», «5Y», «7Y». , «10лет», «15лет», «20лет», «25лет», «30лет». Томас Хо (1992) ввел термин «дюрация ключевой ставки». Рейтано рассмотрел многофакторные модели кривой доходности еще в 1991 году. и вернулся к этой теме в недавнем обзоре.

Дюрация ключевой ставки требует, чтобы мы оценивали инструмент по кривой доходности, и требует построения кривой доходности. Первоначальная методология Хо была основана на оценке инструментов по нулевой или спотовой кривой доходности и использовала линейную интерполяцию между «ключевыми ставками», но эта идея применима и к кривым доходности, основанным на форвардных ставках, номинальных ставках и т. д. Многие технические проблемы возникают в отношении дюрации ключевой ставки (частичные DV01), которые не возникают для стандартной общей модифицированной дюрации из-за зависимости дюрации ключевой ставки от конкретного типа кривой доходности, используемой для оценки инструментов (см. Coleman, 2011). ).

Формулы облигаций

Для стандартной облигации с фиксированными полугодовыми выплатами формула закрытой формы дюрации облигации выглядит следующим образом:

${\text{Dur}}={\frac {1}{P}}\left(C{\frac {(1+ai)(1+i)^{m}-(1+i)-(m-1+a)i}{i^{2}(1+i)^{(m-1+a)}}}+{\frac {FV(m-1+a)}{(1+i)^{(m-1+a)}}}\right)$

• БС = по стоимости
• C = купонная выплата за период (полугодие)
• i = ставка дисконтирования за период (полугодие)
• a = доля периода, оставшаяся до следующей выплаты купона
• m = количество полных купонных периодов до погашения
• P = цена облигации (приведенная стоимость денежных потоков, дисконтированных по ставке i )

Для облигации с частотой купона $k$ но целое число периодов (чтобы не было дробного периода оплаты), формула упрощается до:

$MacD=\left[{\frac {(1+y/k)}{y/k}}-{\frac {100(1+y/k)+m(c/k-100y/k)}{(c/k)[(1+y/k)^{m}-1]+100y/k}}\right]/k$

где

• y = Доходность (в год, в процентах),
• c = купон (в год, в десятичной форме),
• m = количество купонных периодов.

Пример 1

Рассмотрим двухлетнюю облигацию с номинальной стоимостью 100 долларов, полугодовым купоном 20% и полугодовой сложной доходностью 4%. Общий PV составит:

$V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+y/k)^{k\cdot t_{i}}}}=\sum _{i=1}^{4}{\frac {10}{(1+.04/2)^{i}}}+{\frac {100}{(1+.04/2)^{4}}}$

$=9.804+9.612+9.423+9.238+92.385=130.462$

Тогда продолжительность Маколея равна

${\text{MacD}}=0.5\cdot {\frac {9.804}{130.462}}+1.0\cdot {\frac {9.612}{130.462}}+1.5\cdot {\frac {9.423}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {9.238}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {92.385}{130.462}}=1.777\,{\text{years}}$.

Простая формула, приведенная выше, дает (y/k = 0,04/2 = 0,02, c/k = 20/2 = 10):

${\text{MacD}}=\left[{\frac {(1.02)}{0.02}}-{\frac {100(1.02)+4(10-2)}{10[(1.02)^{4}-1]+2}}\right]/2=1.777\,{\text{years}}$

Модифицированная дюрация, измеряемая как процентное изменение цены на изменение доходности на один процентный пункт, составляет:

${\text{ModD}}={\frac {\text{MacD}}{(1+y/k)}}={\frac {1.777}{(1+.04/2)}}=1.742$ (% изменения цены на 1 процентный пункт изменения доходности)

DV01, измеряемый как долларовое изменение цены облигации с номиналом в 100 долларов США при изменении доходности на один процентный пункт, равен

${\text{DV01}}={\frac {{\text{ModD}}\cdot 130.462}{100}}=2.27$ ($ на 1 процентный пункт изменения доходности)

где деление на 100 связано с тем, что измененная продолжительность представляет собой процентное изменение.

Пример 2

Рассмотрим облигацию номинальной стоимостью 1000 долларов США, купонной ставкой 5% и годовой доходностью 6,5% со сроком погашения через 5 лет. Шаги для расчета продолжительности следующие:

1. Оцените стоимость облигацииКупоны составят 50 долларов США в годы 1, 2, 3 и 4. Затем, в год 5, по облигации будут выплачиваться купон и основная сумма долга на общую сумму 1050 долларов США. При дисконтировании текущей стоимости в 6,5% стоимость облигации составит $937,66. Деталь следующая:

Год 1: 50 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 1 = 46,95.

Год 2: 50 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 2 = 44,08.

Год 3: 50 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 3 = 41,39.

Год 4: 50 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 4 = 38,87.

Год 5: 1050 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 5 = 766,37.

2. Умножьте время получения каждого денежного потока на его текущую стоимость.

Год 1: 1 * 46,95 доллара США = 46,95 доллара США.

Год 2: 2 * 44,08 доллара США = 88,17.

Год 3: 3 * 41,39 доллара США = 124,18.

Год 4: 4 * 38,87 долларов США = 155,46.

Год 5: 5 * 766,37 = 3831,87

ИТОГО: 4246,63

3. Сравните сумму из шага 2 со стоимостью облигации (шаг 1).

Продолжительность Маколея: 4246,63 / 937,66 = 4,53

Продолжительность денег

The продолжительность денег , или стоимость базисного пункта или Bloomberg Риск , также называемый долларовая продолжительность или DV01 в США определяется как отрицательная производная стоимости по доходности:

$D_{\$}=DV01=-{\frac {\partial V}{\partial y}}.$

так что это произведение измененной продолжительности и цены (стоимости):

$D_{\$}=DV01=BPV=V\cdot ModD/100$ ($ на 1 процентный пункт изменения доходности)

или

$D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000$ ($ за изменение доходности на 1 базисный пункт)

DV01 аналогичен дельте ценообразования деривативов (одна из «греческих» ) – это отношение изменения цены выпуска (в долларах) к изменению цены на единицу ресурсов (базисный пункт доходности). Долларовая дюрация или DV01 — это изменение цены в долларах, а не в процентах. Он дает долларовое изменение стоимости облигации на единицу изменения доходности. Он часто измеряется за 1 базисный пункт - DV01 является сокращением от «долларовой стоимости 01» (или 1 базисного пункта). Также используется название BPV ( стоимость базисного пункта ) или Bloomberg «Риск», часто применяемое к изменению доллара за условное изменение доходности на 100 б.п., что дает те же единицы, что и дюрация. Иногда используется PV01 (приведенная стоимость 01), хотя PV01 более точно относится к стоимости аннуитета в один доллар или один базисный пункт. (Для номинальной облигации и плоской кривой доходности DV01, производная от цены по доходности, и PV01, стоимость однодолларового аннуитета, фактически будут иметь одно и то же значение. )DV01 или долларовая дюрация может использоваться для инструментов с нулевой первоначальной стоимостью, таких как процентные свопы , где процентные изменения и модифицированная дюрация менее полезны.

Применение к стоимости, подверженной риску (VaR)

Длительность в долларах $D_{\$}$ обычно используется для расчета стоимости под риском (VaR). Чтобы проиллюстрировать применение управления рисками портфеля, рассмотрим портфель ценных бумаг, зависящий от процентных ставок. $r_{1},\ldots ,r_{n}$ как факторы риска, и пусть

$V=V(r_{1},\ldots ,r_{n})\,$

обозначают стоимость такого портфеля. Тогда вектор воздействия ${\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})$ имеет компоненты

$\omega _{i}=-D_{\$,i}:={\frac {\partial V}{\partial r_{i}}}.$

Соответственно, изменение стоимости портфеля можно аппроксимировать как

$\Delta V=\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\,\Delta r_{i}+\sum _{1\leq i,j\leq n}O(\Delta r_{i}\,\Delta r_{j}),$

то есть компонент, линейный по изменению процентной ставки, плюс погрешность, которая является, по меньшей мере, квадратичной. Эту формулу можно использовать для расчета VaR портфеля, игнорируя условия более высокого порядка. Обычно кубические или более высокие термины усекаются. Квадратичные члены, если они включены, могут быть выражены через (многомерную) выпуклость связи. Можно сделать предположения о совместном распределении процентных ставок, а затем рассчитать VaR с помощью моделирования Монте-Карло или, в некоторых особых случаях (например, гауссово распределение, предполагающее линейное приближение), даже аналитически. Формулу также можно использовать для расчета DV01 портфеля (см. ниже), а также ее можно обобщить, включив в нее факторы риска, помимо процентных ставок.

Риск – дюрация как чувствительность процентной ставки

Дюрация (модифицированная дюрация) в основном используется для измерения чувствительности или подверженности процентным ставкам. Думать о риске с точки зрения процентных ставок или доходности очень полезно, поскольку это помогает нормализовать различные в остальном инструменты. Рассмотрим, например, следующие четыре инструмента, каждый из которых имеет окончательный срок погашения 10 лет:

Описание	Купон ($ в год)	Начальная цена (условно за 100 долларов США)	Окончательное погашение основной суммы долга	Урожай	Маколей Продолжительность (лет)	Модифицированная дюрация (% на 100 б.п. yld ch)	BPV или DV01 ($ за 100 б.п. yld ch)
Полугодовая купонная облигация со ставкой 5%	$5	$100	$100	5%	7,99 лет	7.79%	$7.79
5% полугодовой аннуитет	$5	$38.9729	$0	5%	4,84 года	4.72%	$1.84
облигация с нулевым купоном	$0	$61.0271	$100	5%	10 лет	9.76%	$5.95
5% фиксированный плавающий своп, получение фиксированное	$5	$0	$0	5%	ЧТО	ЧТО	$7.79

Все четыре имеют 10-летний срок погашения, но чувствительность к процентным ставкам и, следовательно, риск будут разными: бескупонный имеет самую высокую чувствительность, а аннуитетный — самый низкий.

Рассмотрим сначала инвестиции в размере 100 долларов США в каждую, что имеет смысл для трех облигаций (купонная облигация, аннуитетная облигация, облигация с нулевым купоном - это не имеет смысла для процентного свопа, для которого нет первоначальных инвестиций). Модифицированная дюрация является полезной мерой для сравнения чувствительности процентных ставок в трех странах. Облигации с нулевым купоном будут иметь самую высокую чувствительность, меняясь со скоростью 9,76% на каждые 100 б.п. изменения доходности. Это означает, что если доходность вырастет с 5% до 5,01% (рост на 1 б.п.), цена должна упасть примерно на 0,0976%, или цена изменится с 61,0271 доллара за 100 долларов условно до примерно 60,968 доллара. Первоначальные вложенные 100 долларов упадут примерно до 99,90 долларов. Аннуитет имеет самую низкую чувствительность, примерно вдвое меньше, чем облигация с нулевым купоном, с модифицированной дюрацией 4,72%.

В качестве альтернативы мы могли бы рассмотреть условно 100 долларов США за каждый из инструментов. В этом случае BPV или DV01 (долларовая стоимость 01 или долларовой продолжительности) является более естественной мерой. BPV в таблице представляет собой изменение цены в долларах условной облигации на 100 долларов при изменении доходности на 100 б.п. BPV будет иметь смысл для процентного свопа (для которого модифицированная дюрация не определена), а также для трех облигаций.

Модифицированная дюрация измеряет размер чувствительности процентной ставки. Иногда мы можем заблуждаться, полагая, что он измеряет, к какой части кривой доходности чувствителен инструмент. В конце концов, модифицированная дюрация (% изменения цены) почти равна дюрации Маколея (своего рода средневзвешенное число лет до погашения). Например, приведенный выше аннуитет имеет продолжительность Маколея 4,8 года, и мы можем подумать, что он чувствителен к 5-летней доходности. Но у него есть денежные потоки до 10 лет, и поэтому он будет чувствителен к доходности по 10-летним облигациям. Если мы хотим измерить чувствительность к частям кривой доходности, нам необходимо учитывать дюрацию ключевой ставки .

Для облигаций с фиксированными денежными потоками изменение цены может происходить по двум причинам:

1. Ход времени (сближение к номиналу). Это, конечно, полностью предсказуемо и, следовательно, не представляет риска.
2. Изменение доходности. Это может быть связано с изменением базовой доходности и/или изменением спреда доходности.

Зависимость доходности от цены обратная, а модифицированная дюрация обеспечивает очень полезную меру чувствительности цены к доходности. В качестве первой производной он обеспечивает линейное приближение. При больших изменениях урожайности выпуклость можно добавить , чтобы обеспечить квадратичное приближение или приближение второго порядка. Альтернативно, и часто более полезно, выпуклость может использоваться для измерения того, как изменяется модифицированная дюрация по мере изменения доходности. Аналогичными мерами риска (первого и второго порядка), используемыми на рынках опционов, являются дельта и гамма .

Модифицированная дюрация и DV01 как меры чувствительности процентных ставок также полезны, поскольку их можно применять к инструментам и ценным бумагам с меняющимися или условными денежными потоками, например, к опционам.

Встроенные опции и срок действия

Смотрите также: Эффективная выпуклость

Для облигаций со встроенными опционами , таких как облигации с правом досрочного погашения и досрочного погашения, модифицированная дюрация не будет правильно аппроксимировать движение цены при изменении доходности к погашению .

Рассмотрим облигацию со встроенным опционом пут. Например, облигация стоимостью 1000 долларов, которая может быть погашена держателем по номинальной стоимости в любое время до погашения облигации (т.е. американский опцион пут). Независимо от того, насколько высокими станут процентные ставки, цена облигации никогда не опустится ниже 1000 долларов (игнорируя риск контрагента ). Чувствительность цены этой облигации к изменениям процентных ставок отличается от ценовой чувствительности облигации без права обратной продажи с идентичными в остальном денежными потоками.

Чтобы оценить такие облигации, необходимо использовать оценку опционов , чтобы определить стоимость облигации, а затем можно вычислить ее дельту (и, следовательно, ее лямбда), которая представляет собой дюрацию. Эффективная дюрация является дискретной аппроксимацией последней и потребует модели ценообразования опциона .

${\text{Effective duration}}={\frac {V_{-\Delta y}-V_{+\Delta y}}{2(V_{0})\Delta y}}$

где Δ y — сумма изменения доходности, а $V_{-\Delta y}$ и $V_{+\Delta y}$ — это значения, которые примет облигация, если доходность упадет на y или вырастет на y соответственно. ( «Параллельный сдвиг» ; обратите внимание, что это значение может варьироваться в зависимости от значения, используемого для Δ y .)

Эти значения обычно рассчитываются с использованием древовидной модели, построенной для всей кривой доходности (в отличие от одной доходности к погашению) и, следовательно, фиксирующей поведение исполнения в каждый момент срока действия опциона как функцию как времени, так и процентных ставок. ; см. Решетчатую модель (финансы) § Производные процентные ставки .

Длительность спреда

Длительность спреда — это чувствительность рыночной цены облигации к изменению спреда, скорректированного с учетом опционов (OAS). Таким образом, индекс или базовая кривая доходности остается неизменной. Активы с плавающей ставкой, которые привязаны к индексу (например, 1-месячная или 3-месячная ставка LIBOR) и периодически пересматриваются, будут иметь эффективную дюрацию, близкую к нулю, но продолжительность спреда, сопоставимую с идентичной в остальном облигацией с фиксированной ставкой.

Средняя продолжительность

Чувствительность портфеля облигаций , такого как взаимный фонд облигаций, к изменениям процентных ставок также может иметь важное значение. Часто указывается средняя дюрация облигаций в портфеле. Дюрация портфеля равна средневзвешенному сроку погашения всех денежных потоков в портфеле. Если каждая облигация имеет одинаковую доходность к погашению, это равно средневзвешенному значению дюрации облигаций портфеля с весами, пропорциональными ценам облигаций. В противном случае средневзвешенное значение дюрации облигаций является лишь хорошим приближением, но его все равно можно использовать для вывода о том, как будет меняться стоимость портфеля в ответ на изменения процентных ставок.

Выпуклость

Основная статья: Выпуклость облигаций

Дюрация — это линейная мера того, как меняется цена облигации в ответ на изменение процентной ставки. При изменении процентных ставок цена не изменяется линейно, а является выпуклой функцией процентных ставок. Выпуклость — это мера кривизны изменения цены облигации при изменении процентной ставки. В частности, дюрацию можно сформулировать как первую производную функции цены облигации по отношению к рассматриваемой процентной ставке, а выпуклость — как вторую производную.

Выпуклость также дает представление о распространении будущих денежных потоков. (Подобно тому, как продолжительность дает дисконтированный средний срок, так и выпуклость можно использовать для расчета дисконтированного стандартного отклонения, скажем, доходности.)

Обратите внимание, что выпуклость может быть положительной или отрицательной. Облигация с положительной выпуклостью не будет иметь никаких характеристик отзыва (т. е. эмитент должен погасить облигацию при наступлении срока погашения), а это означает, что по мере падения ставок ее дюрация и цена будут расти.

С другой стороны, облигация с функцией отзыва, т. е. когда эмитент может погасить облигацию досрочно, считается имеющей отрицательную выпуклость по мере того, как ставки приближаются к страйку опциона, то есть ее дюрация будет падать по мере падения ставок, а, следовательно, и ее цена. будет расти медленнее. Это связано с тем, что эмитент может погасить старую облигацию по высокому купону и перевыпустить новую облигацию по более низкой ставке, что предоставляет эмитенту ценную возможность выбора. Как и выше, в этих случаях, возможно, правильнее будет вычислить эффективную выпуклость .

Ценные бумаги, обеспеченные ипотекой (переходные предоплаты по основной сумме ипотеки) с 15- или 30-летними ипотечными кредитами с фиксированной ставкой в ​​​​американском стиле в качестве обеспечения являются примерами облигаций с правом отзыва.

Коэффициент Шермана

«Коэффициент Шермана» — это доходность, предлагаемая на единицу срока действия облигаций, названный в честь DoubleLine Capital Джеффри Шермана. директора по инвестициям Его назвали «Самым страшным показателем на рынке облигаций», и 31 декабря 2020 года он достиг рекордного минимума в 0,1968 для индекса корпоративных облигаций США Bloomberg Barclays. Соотношение представляет собой просто предлагаемую доходность (в процентах), деленную на срок действия облигации (в годах).

См. также

• Выпуклость связи
• Оценка облигаций
• CS01
• Соглашение о подсчете дней
• Продолжительность разрыва
• Атрибуция с фиксированным доходом § Первые принципы в сравнении с атрибуцией возмущений
• Иммунизация (финансы)
• Список финансовых тем
• Длительность запаса

Дальнейшее чтение

• Фабоцци, Фрэнк Дж. (1999), «Основы дюрации и выпуклости», Дюрация, выпуклость и другие меры риска облигаций , Серия Фрэнка Дж. Фабоцци, том. 58, Джон Уайли и сыновья, ISBN  9781883249632
• Мэйл, Январь (1994), Стандартные методы расчета ценных бумаг: формулы для ценных бумаг с фиксированным доходом для аналитических показателей , том. 2 (1-е изд.), Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков , ISBN  1-882936-01-9 . Стандартный справочник конвенций, применимых к ценным бумагам США.

• Рохас Арсу, Хорхе; Рока, Флоренсия (декабрь 2018 г.), Объяснение управления рисками и деривативами , Amazon Kindle Direct Publishing , стр. 43–44, ISBN  9781791814342

Внешние ссылки

• Энциклопедия рисков за хорошее объяснение многочисленных определений продолжительности и их происхождения.
• Пошаговый видеоурок
• Объяснение продолжительности Investopedia