Стресс (механика)

Стресс
Стресс
	Остаточные напряжения внутри пластикового транспортира выявляются поляризованным светом .
Общие символы	п
единица СИ	паскаль
Другие подразделения	собаки , по крайней мере
В базовых единицах СИ	Па = кг ⋅ м −1 ⋅ s −2
Измерение

В механике сплошной среды напряжение – это физическая величина , описывающая силы, присутствующие во время деформации . Например, растягиваемый объект, например растянутая резинка, подвергается растягивающему напряжению и может удлиниться . Сталкиваемый объект, например скомканная губка, подвергается сжимающему напряжению и может укорачиваться. ^[1]^[2] Чем больше сила и чем меньше площадь поперечного сечения тела, на которое она действует, тем больше напряжение. Напряжение имеет размерность силы на площадь, в единицах СИ - ньютоны на квадратный метр (Н/м). ²) или паскаль (Па). ^[1]

Напряжение выражает внутренние силы, которые соседние частицы сплошного материала оказывают друг на друга, а деформация является мерой относительной деформации материала. ^[3] Например, когда сплошной вертикальный стержень поддерживает верхний груз , каждая частица в стержне толкает частицы, расположенные непосредственно под ним. Когда жидкость находится в закрытом контейнере под давлением , каждая частица сталкивается со всеми окружающими частицами. Стенки контейнера и поверхность, создающая давление (например, поршень), давят на них в результате (ньютоновской) реакции . Эти макроскопические силы на самом деле являются конечным результатом очень большого количества межмолекулярных сил и столкновений между частицами в этих молекулах . Ударение часто обозначается строчной греческой буквой сигма ( σ ). ^[3]

Деформация внутри материала может возникать по разным механизмам, например, под действием внешних сил, приложенных к объемному материалу (например, гравитации ) или к его поверхности (например, контактным силам , внешнему давлению или трению ). Любая деформация (деформация) твердого материала порождает внутреннее упругое напряжение , аналогичное силе реакции пружины , стремящееся вернуть материал в исходное недеформированное состояние. В жидкостях и газах только деформации, изменяющие объем, создают постоянные упругие напряжения. Если деформация постепенно меняется со временем, даже в жидкостях обычно возникает некоторое вязкое напряжение , противодействующее этому изменению. Упругие и вязкие напряжения обычно объединяют под названием механические напряжения .

Значительное напряжение может существовать даже тогда, когда деформация незначительна или отсутствует (обычное предположение при моделировании потока воды). Стресс может существовать при отсутствии внешних сил; такое встроенное напряжение важно, например, в предварительно напряженном бетоне и закаленном стекле . Напряжение также может быть приложено к материалу без приложения чистых сил , например, из-за изменений температуры или химического состава или из-за внешних электромагнитных полей (как в пьезоэлектрических и магнитострикционных материалах).

Связь между механическим напряжением, деформацией и скоростью деформации может быть весьма сложной, хотя на практике может быть достаточно линейного приближения , если величины достаточно малы. Напряжение, превышающее определенные пределы прочности материала, приведет к необратимой деформации (например, пластическому течению , разрушению , кавитации ) или даже к изменению его кристаллической структуры и химического состава .

История

римской Мост эпохи в Швейцарии . Каменные арки моста испытывают сжимающие напряжения.

Мост инков на реке Апуримак . Трос в мосту подвержен растягивающим напряжениям.

Люди знали о напряжении внутри материалов с древних времен. До 17 века это понимание было во многом интуитивным и эмпирическим, хотя это не мешало развитию относительно передовых технологий, таких как композитный лук и выдувание стекла . ^[4]

В частности, за несколько тысячелетий архитекторы и строители научились соединять деревянные балки и каменные блоки тщательной формы, чтобы выдерживать, передавать и распределять нагрузку наиболее эффективным образом, с помощью таких изобретательных устройств, как капители , арки , купола , фермы и аркбутаны соборов готических .

Древние и средневековые архитекторы разработали некоторые геометрические методы и простые формулы для расчета правильных размеров колонн и балок, но научное понимание напряжения стало возможным только после того, как в 17 и 18 веках были изобретены необходимые инструменты: Галилео Галилея строгие эксперименты . метод , Рене Декарта , координаты и аналитическая геометрия законы Ньютона движения и равновесия и исчисление бесконечно малых . ^[5] С помощью этих инструментов Огюстен-Луи Коши смог создать первую строгую и общую математическую модель деформированного упругого тела, введя понятия напряжения и деформации. ^[6] Коши заметил, что сила, действующая на воображаемую поверхность, является линейной функцией ее вектора нормали; и, более того, это должна быть симметричная функция (с нулевым полным импульсом). Понимание напряжения в жидкостях началось с Ньютона, который предложил дифференциальную формулу для сил трения (напряжения сдвига) в параллельном ламинарном потоке .

Определение

Напряжение определяется как сила, действующая на небольшую границу на единицу площади этой границы для всех ориентаций границы. ^[7] Выведенное из фундаментальной физической величины (силы) и чисто геометрической величины (площади), напряжение также является фундаментальной величиной, такой как скорость, крутящий момент или энергия , которую можно определить количественно и проанализировать без явного рассмотрения природы материала или его свойств. физические причины.

Согласно основным положениям механики сплошной среды, напряжение является макроскопической концепцией. А именно, частицы, рассматриваемые в его определении и анализе, должны быть достаточно малы, чтобы их можно было считать однородными по составу и состоянию, но при этом достаточно большими, чтобы игнорировать квантовые эффекты и детальные движения молекул. Таким образом, сила между двумя частицами на самом деле является средней величиной очень большого числа атомных сил между их молекулами; а физические величины, такие как масса, скорость и силы, действующие через объем трехмерных тел, например гравитация, считаются плавно распределенными по ним. ^[8]^: 90–106 В зависимости от контекста можно также предположить, что частицы достаточно велики, чтобы можно было усреднить другие микроскопические характеристики, такие как зерна металлического стержня или волокна куска дерева .

Количественно напряжение выражается вектором тяги Коши T, определяемым как тяги F между соседними частями материала через воображаемую разделяющую поверхность S , разделенную на площадь S. сила ^[9]^: 41–50 В покоящейся жидкости сила перпендикулярна поверхности и представляет собой знакомое давление . В твердом теле или в потоке вязкой жидкости сила F может быть не перпендикулярна S ; следовательно, напряжение на поверхности следует рассматривать как векторную величину, а не скалярную величину. , направление и величина обычно зависят от ориентации S. Более того Таким образом, напряженное состояние материала должно описываться тензором , называемым тензором напряжений (Коши) ; которая представляет собой линейную функцию , которая связывает вектор нормали n поверхности S с вектором тяги T через S . По отношению к любой выбранной системе координат тензор напряжений Коши можно представить в виде симметричной матрицы действительных чисел 3×3. Даже внутри однородного тела тензор напряжений может меняться от места к месту и меняться со временем; следовательно, напряжение внутри материала, как правило, представляет собой изменяющееся во времени тензорное поле .

Нормальный и сдвиговый

В общем, напряжение T которое частица P прикладывает к другой частице Q по поверхности S, может иметь любое направление относительно S. , Вектор Т можно рассматривать как сумму двух компонентов: нормального напряжения ( сжатия или растяжения ), перпендикулярного поверхности, и напряжения сдвига , параллельного поверхности.

Если нормальный единичный вектор n поверхности (направленный от Q к P ) предполагается фиксированным, нормальная составляющая может быть выражена одним числом, скалярным произведением T · n . Это число будет положительным, если P «тянет» Q (растягивающее напряжение), и отрицательным, если P «толкает» Q (сжимающее напряжение). Тогда компонент сдвига представляет собой вектор T − ( T · n ) n .

Единицы

Размерность напряжения равна величине давления , и поэтому его координаты измеряются в тех же единицах, что и давление: а именно, в паскалях (Па, то есть ньютонах на квадратный метр ) в Международной системе или фунтах на квадратный дюйм (psi) в Имперская система . Поскольку механические напряжения легко превышают миллион Паскалей, общепринятой единицей измерения напряжения является МПа, что означает мегапаскаль.

Причины и последствия

Стеклянная ваза с *эффектом кракеле* . Трещины являются результатом кратковременного, но сильного напряжения, возникающего при кратковременном погружении полурасплавленного куска в воду. ^[10]

Напряжение в материальном теле может быть вызвано множеством физических причин, включая внешние воздействия и внутренние физические процессы. Некоторые из этих агентов (например, гравитация, изменения температуры и фазы , а также электромагнитные поля) действуют на большую часть материала, непрерывно меняясь в зависимости от положения и времени. Другие агенты (например, внешние нагрузки и трение, давление окружающей среды и контактные силы) могут создавать напряжения и силы, которые концентрируются на определенных поверхностях, линиях или точках; и, возможно, также на очень коротких интервалах времени (как в импульсах от столкновений). В активной материи самодвижение микроскопических частиц порождает макроскопические профили напряжений. ^[11] В общем случае распределение напряжений в теле выражается как кусочно- непрерывная функция пространства и времени.

И наоборот, напряжение обычно коррелирует с различными воздействиями на материал, возможно, включая изменения физических свойств, таких как двойное лучепреломление , поляризация и проницаемость . Воздействие внешнего воздействия обычно создает некоторую деформацию (деформацию) материала, даже если она слишком мала, чтобы ее можно было обнаружить. В твердом материале такая деформация, в свою очередь, создаст внутреннее упругое напряжение, аналогичное силе реакции растянутой пружины , стремящееся вернуть материал в исходное недеформированное состояние. Жидкие материалы (жидкости, газы и плазма ) по определению могут противодействовать только деформациям, изменяющим их объем. Если деформация меняется со временем, даже в жидкостях обычно возникает некоторое вязкое напряжение, противодействующее этому изменению. Такие напряжения могут носить как сдвиговой, так и нормальный характер. Молекулярная природа сдвиговых напряжений в жидкостях рассмотрена в статье о вязкости . То же самое для нормальных вязких напряжений можно найти у Шармы (2019). ^[12]

Связь между напряжением, его последствиями и причинами, включая деформацию и скорость изменения деформации, может быть довольно сложной (хотя на практике может быть достаточно линейного приближения , если величины достаточно малы). Напряжение, превышающее определенные пределы прочности материала, приведет к необратимой деформации (например, пластическому течению , разрушению , кавитации ) или даже к изменению его кристаллической структуры и химического состава .

Простые типы

В некоторых ситуациях напряжение внутри тела можно адекватно описать одним числом или одним вектором (числом и направлением). Три таких простых стрессовых ситуации, которые часто встречаются при инженерном проектировании, — это одноосное нормальное напряжение , простое напряжение сдвига и изотропное нормальное напряжение . ^[13]

Одноосный нормальный

Обычная ситуация с простой картиной напряжений — это когда прямой стержень из однородного материала и поперечного сечения подвергается растяжению силами противоположной величины. $F$ вдоль своей оси. Если система находится в равновесии и не изменяется во времени, а весом стержня можно пренебречь, то через каждое поперечное сечение стержня верхняя часть должна тянуть нижнюю часть с одинаковой силой F с непрерывностью через всю площадь поперечного сечения , А. Следовательно, напряжение σ во всем стержне, на любой горизонтальной поверхности, может быть просто выражено одним числом σ, рассчитанным просто с учетом величины этих сил и площади поперечного сечения A. F $\sigma ={\frac {F}{A}}$ С другой стороны, если представить, что стержень разрезается по длине параллельно оси, между двумя половинками поперек разреза не будет никакой силы (следовательно, никакого напряжения). Этот тип напряжения можно назвать (простым) нормальным напряжением или одноосным напряжением; в частности (одноосное, простое и т. д.) растягивающее напряжение. ^[13] Если нагрузка сжимает стержень, а не растягивает его, анализ тот же, за исключением того, что сила F и напряжение $\sigma$ меняют знак, а напряжение называют сжимающим.

В этом анализе предполагается, что напряжение равномерно распределено по всему поперечному сечению. На практике, в зависимости от того, как стержень крепится на концах и как он был изготовлен, это предположение может быть неверным. В этом случае значение $\sigma$ = F / A будет только средним напряжением, называемым инженерным напряжением или номинальным напряжением . Если длина стержня L во много раз превышает его диаметр D и он не имеет грубых дефектов или встроенного напряжения , то можно предположить, что напряжение равномерно распределено по любому поперечному сечению, размер которого превышает D с обоих концов более чем в несколько раз. . (Это наблюдение известно как принцип Сен-Венана ).

Нормальное напряжение возникает во многих других ситуациях, помимо осевого растяжения и сжатия. Если упругий стержень с однородным и симметричным поперечным сечением согнуть в одной из плоскостей симметрии, результирующее напряжение изгиба все равно будет нормальным (перпендикулярным поперечному сечению), но будет меняться по поперечному сечению: внешняя часть будет находиться под растягивающим напряжением, тогда как внутренняя часть будет сжата. Другим вариантом нормального напряжения является кольцевое напряжение , возникающее на стенках цилиндрической трубы или сосуда, наполненного жидкостью под давлением.

сдвиг

Другой простой тип напряжения возникает, когда слой эластичного материала одинаковой толщины, такого как клей или резина, прочно прикреплен к двум жестким телам, которые тянутся в противоположных направлениях силами, параллельными слою; или часть прутка из мягкого металла, разрезаемая губками инструмента, похожего на ножницы . Пусть F — величина этих сил, а M — средняя плоскость этого слоя. Как и в случае нормального напряжения, часть слоя по одну сторону от М должна тянуть другую часть с той же F. силой Предполагая, что направление сил известно, напряжение поперек M можно выразить просто одним числом $\tau$ , рассчитанный просто с учетом величины этих сил F и площади поперечного сечения A . $\tau ={\frac {F}{A}}$ В отличие от нормального напряжения, это простое напряжение сдвига направлено параллельно рассматриваемому сечению, а не перпендикулярно ему. ^[13] Для любой плоскости S , перпендикулярной слою, результирующая внутренняя сила на S и, следовательно, напряжение будут равны нулю.

Как и в случае с стержнем, нагруженным по оси, на практике напряжение сдвига может быть распределено по слою неравномерно; так что, как и прежде, соотношение F / A будет лишь средним («номинальным», «техническим») напряжением. Этого среднего значения часто бывает достаточно для практических целей. ^[14]^: 292 Напряжение сдвига наблюдается также тогда, когда цилиндрический стержень, такой как вал, подвергается воздействию противоположных крутящих моментов на своих концах. В этом случае касательное напряжение в каждом поперечном сечении параллельно сечению, но ориентировано тангенциально относительно оси и увеличивается по мере удаления от оси. Значительное напряжение сдвига возникает в средней пластине («стенке») двутавровых балок при изгибающих нагрузках из-за того, что стенка ограничивает концевые пластины («полки»).

изотропный

Другой простой тип напряжения возникает, когда материальное тело испытывает одинаковое сжатие или растяжение во всех направлениях. Так обстоит дело, например, с частью покоящейся жидкости или газа, заключенной ли в каком-либо контейнере или как часть большей массы жидкости; или внутри куба из эластичного материала, который сжимается или тянется на все шесть граней равными перпендикулярными силами — при условии, что в обоих случаях материал однороден, без внутренних напряжений и что влияние силы тяжести и других внешних сил можно пренебречь.

В этих ситуациях напряжение на любой воображаемой внутренней поверхности оказывается равным по величине и всегда направленным перпендикулярно поверхности, независимо от ее ориентации. Этот тип напряжения можно назвать изотропным нормальным или просто изотропным ; если оно сжимающее, то его называют гидростатическим давлением или просто давлением . Газы по определению не могут выдерживать растягивающие напряжения, но некоторые жидкости при некоторых обстоятельствах могут выдерживать очень большие изотропные растягивающие напряжения. см. Z-трубку .

Цилиндр

Детали с вращательной симметрией , такие как колеса, оси, трубы и колонны, очень распространены в технике. Часто структуры напряжений, возникающие в таких деталях, имеют вращательную или даже цилиндрическую симметрию . При анализе таких напряжений в цилиндре можно использовать преимущество симметрии для уменьшения размерности области и/или тензора напряжений.

Общие типы

Часто механические тела испытывают одновременно несколько типов напряжений; это называется комбинированным стрессом . При нормальном и касательном напряжении величина напряжения максимальна для поверхностей, перпендикулярных определенному направлению. $d$ и ноль на любых поверхностях, параллельных $d$ . Когда напряжение сдвига равно нулю только на поверхностях, перпендикулярных одному конкретному направлению, напряжение называется двухосным и его можно рассматривать как сумму двух нормальных или касательных напряжений. В самом общем случае, называемом трехосным напряжением , напряжение не равно нулю на каждом элементе поверхности.

Тензор Коши

Комбинированные напряжения не могут быть описаны одним вектором. Даже если материал испытывает одинаковое напряжение по всему объему тела, напряжение на любой воображаемой поверхности будет нетривиальным образом зависеть от ориентации этой поверхности.

Коши заметил, что вектор напряжения $T$ поперек поверхности всегда будет линейной функцией к поверхности. вектора нормали $n$ , вектор единичной длины, перпендикулярный ему. То есть, $T={\boldsymbol {\sigma }}(n)$ , где функция ${\boldsymbol {\sigma }}$ удовлетворяет ${\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)$ для любых векторов $u,v$ и любые действительные числа $\alpha ,\beta$ . Функция ${\boldsymbol {\sigma }}$ , теперь называемый тензором напряжений (Коши) , полностью описывает напряженное состояние равномерно напряженного тела. (Сегодня любая линейная связь между двумя физическими векторными величинами называется тензором , что отражает первоначальное использование Коши для описания «напряжений» (напряжений) в материале.) В тензорном исчислении ${\boldsymbol {\sigma }}$ классифицируется как тензор второго порядка типа (0,2) или (1,1) в зависимости от соглашения.

Как и любая линейная карта между векторами, тензор напряжений может быть представлен в любой выбранной декартовой системе координат матрицей действительных чисел 3×3. В зависимости от того, пронумерованы ли координаты $x_{1},x_{2},x_{3}$ или названный $x,y,z$ , матрицу можно записать как ${\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$ или ${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}$ Вектор стресса $T={\boldsymbol {\sigma }}(n)$ по поверхности с вектором нормали $n$ (который является ковариантным — «строка; горизонталь» — вектор) с координатами $n_{1},n_{2},n_{3}$ тогда является матричным произведением $T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$ (где T в верхнем индексе — это транспозиция , и в результате мы получаем ковариантный (строковый) вектор) (смотрим на тензор напряжений Коши ), то есть ${\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$

Линейная связь между $T$ и $n$ следует из фундаментальных законов сохранения поступательного движения и статического равновесия сил и поэтому является математически точным для любого материала и любой напряженной ситуации. Компоненты тензора напряжений Коши в каждой точке материала удовлетворяют уравнениям равновесия ( уравнениям движения Коши при нулевом ускорении). Более того, из принципа сохранения углового момента следует, что тензор напряжений симметричен , т.е. $\sigma _{12}=\sigma _{21}$ , $\sigma _{13}=\sigma _{31}$ , и $\sigma _{23}=\sigma _{32}$ . Поэтому напряженное состояние среды в любой точке и моменте времени можно задать только шестью независимыми параметрами, а не девятью. Они могут быть написаны ${\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}$ где элементы $\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}$ называются ортогональными нормальными напряжениями (относительно выбранной системы координат), а $\tau _{xy},\tau _{xz},\tau _{yz}$ ортогональные напряжения сдвига . ^{[ нужна ссылка ]}

Изменение координат

Тензор напряжений Коши подчиняется закону преобразования тензора при изменении системы координат. Графическим представлением этого закона трансформации является Мора круг распределения напряжений .

В качестве симметричной вещественной матрицы 3×3 тензор напряжений ${\boldsymbol {\sigma }}$ единичной длины имеет три взаимно ортогональных собственных вектора $e_{1},e_{2},e_{3}$ и три действительных собственных значения $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ , такой, что ${\boldsymbol {\sigma }}e_{i}=\lambda _{i}e_{i}$ . Поэтому в системе координат с осями $e_{1},e_{2},e_{3}$ тензор напряжений представляет собой диагональную матрицу и имеет только три нормальные компоненты $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ главные напряжения . Если три собственных значения равны, напряжение представляет собой изотропное сжатие или растяжение, всегда перпендикулярное любой поверхности, напряжение сдвига отсутствует, а тензор представляет собой диагональную матрицу в любой системе координат.

Тензорное поле

В общем, напряжение неравномерно распределяется по материальному телу и может меняться со временем. Следовательно, тензор напряжений должен быть определен для каждой точки и каждого момента, рассматривая бесконечно малую частицу среды, окружающей эту точку, и принимая средние напряжения в этой частице как напряжения в этой точке.

Тонкие пластины

Объекты, созданные человеком, часто изготавливаются из заготовок из различных материалов с помощью операций, не меняющих их по существу двумерного характера, таких как резка, сверление, плавный изгиб и сварка по краям. Описание напряжения в таких телах можно упростить, моделируя эти части как двумерные поверхности, а не как трехмерные тела.

С этой точки зрения «частицу» переопределяют как бесконечно малый участок поверхности пластины, так что граница между соседними частицами становится бесконечно малым линейным элементом; оба неявно расширены в третьем измерении, перпендикулярно (прямо) пластине. Затем «напряжение» переопределяется как мера внутренних сил между двумя соседними «частицами» поперек их общего линейного элемента, деленная на длину этой линии. Некоторые компоненты тензора напряжений можно игнорировать, но поскольку частицы не являются бесконечно малыми в третьем измерении, больше нельзя игнорировать крутящий момент, который частица прикладывает к своим соседям. Этот крутящий момент моделируется как изгибающее напряжение , которое имеет тенденцию изменять кривизну пластины. Эти упрощения могут не соблюдаться при сварных швах, при резких изгибах и складках (где радиус кривизны сравним с толщиной пластины).

Тонкие балки

Значительно упростить анализ напряжений можно и для тонких стержней, балок или проволоки однородного (или плавно изменяющегося) состава и сечения, подвергающихся умеренному изгибу и скручиванию. Для этих тел можно рассматривать только сечения, перпендикулярные оси стержня, и переопределить «частицу» как кусок проволоки бесконечно малой длины между двумя такими сечениями. Обычное напряжение затем сводится к скалярному (растяжение или сжатие стержня), но необходимо учитывать также напряжение изгиба (которое пытается изменить кривизну стержня в некотором направлении, перпендикулярном оси) и напряжение кручения ( который пытается повернуть или развернуть его вокруг своей оси).

Анализ

Анализ напряжений — это раздел прикладной физики , который занимается определением внутреннего распределения внутренних сил в твердых объектах. Это важный инструмент в инженерии для изучения и проектирования таких конструкций, как туннели, плотины, механические детали и каркасы конструкций, подвергающихся предписанным или ожидаемым нагрузкам. Это также важно во многих других дисциплинах; например, в геологии — для изучения таких явлений, как тектоника плит , вулканизм и лавины ; и в биологии, чтобы понять анатомию живых существ.

Цели и предположения

Анализ напряжений обычно касается объектов и конструкций, которые, как можно предположить, находятся в макроскопическом статическом равновесии . По законам Ньютона любые внешние силы, приложенные к такой системе, должны уравновешиваться внутренними силами реакции. ^[15]^: 97 которые почти всегда представляют собой силы поверхностного контакта между соседними частицами, то есть напряжения. ^[9] Поскольку каждая частица должна находиться в равновесии, это реакционное напряжение обычно распространяется от частицы к частице, создавая распределение напряжения по всему телу. Типичная проблема анализа напряжений заключается в определении этих внутренних напряжений с учетом внешних сил, действующих на систему. Последние могут представлять собой объемные силы (такие как гравитация или магнитное притяжение), действующие во всем объеме материала; ^[16]^: 42–81 или сосредоточенные нагрузки (например, трение между осью и подшипником или вес колеса поезда на рельсе), которые, как предполагается, действуют на двумерную область, вдоль линии или в одной точке.

При анализе напряжений обычно игнорируют физические причины возникновения сил или точную природу материалов. Вместо этого предполагается, что напряжения связаны с деформацией (а в нестатических задачах - со скоростью деформации) материала известными определяющими уравнениями . ^[17]

Методы

Анализ напряжений можно проводить экспериментально, применяя нагрузки к реальному артефакту или масштабной модели и измеряя возникающие напряжения любым из нескольких доступных методов. Этот подход часто используется для сертификации и мониторинга безопасности. Большая часть стресса анализируется математическими методами, особенно во время проектирования. Основная проблема анализа напряжений может быть сформулирована с помощью уравнений движения Эйлера для сплошных тел (которые являются следствием законов Ньютона о сохранении линейного момента и углового момента ) и принципа напряжения Эйлера-Коши вместе с соответствующими определяющими уравнениями. Таким образом, получается система уравнений в частных производных, включающая поле тензора напряжений и поле тензора деформаций в качестве неизвестных функций, подлежащих определению. Внешние объемные силы появляются как независимый («правая часть») член дифференциальных уравнений, а сосредоточенные силы появляются как граничные условия. Таким образом, основная проблема анализа стресса заключается в краевая задача .

Анализ напряжений упругих конструкций основан на теории упругости и теории бесконечно малых деформаций . Когда приложенные нагрузки вызывают остаточную деформацию, необходимо использовать более сложные материальные уравнения, которые могут учитывать задействованные физические процессы ( пластическое течение , разрушение , фазовый переход и т. д.). Инженерные конструкции обычно проектируются таким образом, чтобы максимальные ожидаемые напряжения находились в пределах диапазона линейной упругости (обобщение закона Гука для сплошных сред); т. е. деформации, вызванные внутренними напряжениями, связаны с ними линейно. В этом случае дифференциальные уравнения, определяющие тензор напряжений, являются линейными, и задача становится значительно проще. Во-первых, напряжение в любой точке также будет линейной функцией нагрузок. При достаточно малых напряжениях даже нелинейные системы обычно можно считать линейными.

Анализ напряжений упрощается, когда физические размеры и распределение нагрузок позволяют рассматривать конструкцию как одномерную или двумерную. Например, при анализе ферм поле напряжений можно считать однородным и одноосным по каждому элементу. Тогда дифференциальные уравнения сводятся к конечному набору уравнений (обычно линейных) с конечным числом неизвестных. В других контекстах можно свести трехмерную задачу к двумерной и/или заменить общие тензоры напряжений и деформаций более простыми моделями, такими как одноосное растяжение/сжатие, простой сдвиг и т. д.

Тем не менее, для двух- или трехмерных случаев необходимо решить задачу уравнения в частных производных. Аналитические решения дифференциальных уравнений или решения в замкнутой форме могут быть получены, если геометрия, определяющие соотношения и граничные условия достаточно просты. В противном случае обычно приходится прибегать к численным приближениям, таким как метод конечных элементов , метод конечных разностей и метод граничных элементов .

Меры

Другие полезные меры напряжения включают первый и второй тензоры напряжений Пиолы-Кирхгофа , тензор напряжений Био и тензор напряжений Кирхгофа .

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б «12.3 Напряжение, деформация и модуль упругости - Университетская физика, том 1 | OpenStax» . openstax.org . 19 сентября 2016 года . Проверено 2 ноября 2022 г.
^ «Класс Физико-Величины в теории Физико-Величин» . www-ksl.stanford.edu . Проверено 2 ноября 2022 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Что такое напряжение сдвига — Материалы — Определение» . Свойства материала . 31 июля 2020 г. Проверено 2 ноября 2022 г.
^ Гордон, Дж. Э. (2003). Структуры, или Почему вещи не рушатся (2. Ред. Da Capo Press). Кембридж, Массачусетс: Da Capo Press. ISBN 0306812835 .
^ Джейкоб Люблинер (2008). «Теория пластичности». Архивировано 31 марта 2010 г. в Wayback Machine (переработанное издание). Дуврские публикации. ISBN 0-486-46290-0
^ https://archive.org/details/historyofstrengt0000timo_k8r2/page/110/mode/2up , стр.107-110.
^ Вай-Фах Чен и Да-Цзянь Хан (2007), «Пластичность для инженеров-строителей» . Издательство Дж. Росс ISBN 1-932159-75-4
^ Питер Чедвик (1999), «Механика сплошной среды: краткая теория и проблемы» . Dover Publications, серия «Книги по физике». ISBN 0-486-40180-4 . страницы
^ Перейти обратно: ^а ^б И-Ши Лю (2002), «Механика сплошных сред» . Спрингер ISBN 3-540-43019-9
^ (2009) Искусство изготовления стекла . Брошюра о продукции Lamberts Glashütte (ЛамбертсГлас). Доступ осуществлен 8 февраля 2013 г.
^ Маркетти, MC; Джоанни, Дж. Ф.; Рамасвами, С.; Ливерпуль, ТБ; Прост, Дж.; Рао, Мадан; Симха, Р. Адити (2013). «Гидродинамика мягкого активного вещества». Обзоры современной физики . 85 (3): 1143–1189. Бибкод : 2013РвМП...85.1143М . дои : 10.1103/RevModPhys.85.1143 .
^ Шарма, Б. и Кумар, Р. «Оценка объемной вязкости разбавленных газов с использованием подхода неравновесной молекулярной динамики», Physical Review E , 100, 013309 (2019).
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Рональд Л. Хьюстон и Гарольд Джозефс (2009), «Практический анализ напряжений в инженерном проектировании». 3-е издание, CRC Press, 634 страницы. ISBN 9781574447132
^ Уолтер Д. Пилки, Оррин Х. Пилки (1974), «Механика твердого тела» (книга)
^ Дональд Рэй Смит и Клиффорд Трусделл (1993) «Введение в механику сплошной среды после Трусделла и Нолла». Спрингер. ISBN 0-7923-2454-4
^ Фритьов Иргенс (2008), «Механика сплошных сред» . Спрингер. ISBN 3-540-74297-2
^ Уильям С. Слотер (2012), «Линеаризованная теория упругости» . Биркхойзер Базель ISBN 978-0-8176-4117-7

Дальнейшее чтение

Чакрабарти, Дж. (2006). Теория пластичности (3-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. стр. 17–32. ISBN 0-7506-6638-2 .
Пиво, Фердинанд Пьер; Элвуд Рассел Джонстон; Джон Т. ДеВольф (1992). Механика материалов . МакГроу-Хилл Профессионал. ISBN 0-07-112939-1 .
Брэди, БХГ; Э. Т. Браун (1993). Механика горных пород для подземных горных работ (Третье изд.). Академическое издательство Клювер. стр. 17–29. ISBN 0-412-47550-2 .
Чен, Вай-Фа; Балади, Дж.Я. (1985). Пластичность почвы, теория и реализация . ISBN 0-444-42455-5 .
Чжоу, Пей Чи; Пагано, Нью-Джерси (1992). Эластичность: тензорный, диадический и инженерный подходы . Дуврские книги по инженерному делу. Дуврские публикации. стр. 1–33. ISBN 0-486-66958-0 .
Дэвис, РОД; Сальвадурай. АПС (1996). Упругость и геомеханика . Издательство Кембриджского университета. стр. 100-1 16–26. ISBN 0-521-49827-9 .
Дитер, GE (3-е изд.). (1989). Механическая металлургия . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-100406-8 .
Хольц, Роберт Д.; Ковач, Уильям Д. (1981). Введение в инженерно-геологическую инженерию . Серия «Прентис-Холл» по гражданскому строительству и инженерной механике. Прентис-Холл. ISBN 0-13-484394-0 .
Джонс, Роберт Миллард (2008). Деформационная теория пластичности . Корпорация Булл Ридж. стр. 95–112. ISBN 978-0-9787223-1-9 .
Юмикис, Альфредс Р. (1969). Теоретическая механика грунтов: с практическим применением в механике грунтов и фундаментостроении . компании Ван Ностранд Рейнхольд ISBN 0-442-04199-3 .
Ландау Л.Д. и Э.М.Лифшиц. (1959). Теория упругости .
Любовь, АЭХ (4-е изд.). (1944). Трактат по математической теории упругости . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9 .
Марсден, Дж. Э.; Хьюз, TJR (1994). Математические основы эластичности . Дуврские публикации. стр. 132–142 . ISBN 0-486-67865-2 .
Парри, Ричард Хоули Грей (2004). Круги Мора, пути напряжений и геотехника (2-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. стр. 1–30. ISBN 0-415-27297-1 .
Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность – введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. стр. 1–32. ISBN 0-7506-8025-3 .
Тимошенко, Стивен П .; Джеймс Норман Гудьер (1970). Теория упругости (Третье изд.). McGraw-Hill International Editions. ISBN 0-07-085805-5 .
Тимошенко, Стивен П. (1983). История сопротивления материалов: с кратким изложением истории теории упругости и теории конструкций . Дуврские книги по физике. Дуврские публикации. ISBN 0-486-61187-6 .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б «12.3 Напряжение, деформация и модуль упругости - Университетская физика, том 1 | OpenStax» . openstax.org . 19 сентября 2016 года . Проверено 2 ноября 2022 г.

[2] «Класс Физико-Величины в теории Физико-Величин» . www-ksl.stanford.edu . Проверено 2 ноября 2022 г.

[:1-3] Перейти обратно: ^а ^б «Что такое напряжение сдвига — Материалы — Определение» . Свойства материала . 31 июля 2020 г. Проверено 2 ноября 2022 г.

[4] Гордон, Дж. Э. (2003). Структуры, или Почему вещи не рушатся (2. Ред. Da Capo Press). Кембридж, Массачусетс: Da Capo Press. ISBN 0306812835 .

[Lubliner-5] Джейкоб Люблинер (2008). «Теория пластичности». Архивировано 31 марта 2010 г. в Wayback Machine (переработанное издание). Дуврские публикации. ISBN 0-486-46290-0

[6] ttps://archive.org/details/historyofstrengt0000timo_k8r2/page/110/mode/2up , стр.107-110.

[Chen-7] Вай-Фах Чен и Да-Цзянь Хан (2007), «Пластичность для инженеров-строителей» . Издательство Дж. Росс ISBN 1-932159-75-4

[Chadwick-8] Питер Чедвик (1999), «Механика сплошной среды: краткая теория и проблемы» . Dover Publications, серия «Книги по физике». ISBN 0-486-40180-4 . страницы

[Liu-9] Перейти обратно: ^а ^б И-Ши Лю (2002), «Механика сплошных сред» . Спрингер ISBN 3-540-43019-9

[lamglass-10] (2009) Искусство изготовления стекла . Брошюра о продукции Lamberts Glashütte (ЛамбертсГлас). Доступ осуществлен 8 февраля 2013 г.

[11] Маркетти, MC; Джоанни, Дж. Ф.; Рамасвами, С.; Ливерпуль, ТБ; Прост, Дж.; Рао, Мадан; Симха, Р. Адити (2013). «Гидродинамика мягкого активного вещества». Обзоры современной физики . 85 (3): 1143–1189. Бибкод : 2013РвМП...85.1143М . дои : 10.1103/RevModPhys.85.1143 .

[sharma2019-12] Шарма, Б. и Кумар, Р. «Оценка объемной вязкости разбавленных газов с использованием подхода неравновесной молекулярной динамики», Physical Review E , 100, 013309 (2019).

[Huston-13] Перейти обратно: ^а ^б ^с Рональд Л. Хьюстон и Гарольд Джозефс (2009), «Практический анализ напряжений в инженерном проектировании». 3-е издание, CRC Press, 634 страницы. ISBN 9781574447132

[Pilkey-14] Уолтер Д. Пилки, Оррин Х. Пилки (1974), «Механика твердого тела» (книга)

[Smith-15] Дональд Рэй Смит и Клиффорд Трусделл (1993) «Введение в механику сплошной среды после Трусделла и Нолла». Спрингер. ISBN 0-7923-2454-4

[Irgens-16] Фритьов Иргенс (2008), «Механика сплошных сред» . Спрингер. ISBN 3-540-74297-2

[Slaughter-17] Уильям С. Слотер (2012), «Линеаризованная теория упругости» . Биркхойзер Базель ISBN 978-0-8176-4117-7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]