Курносый додекаэдр

Курносый додекаэдрический граф
Курносый додекаэдрический граф
	5-кратной симметрии Диаграмма Шлегеля
Вершины	60
Края	150
Автоморфизм	60
Характеристики	Гамильтониан , регулярный
	Таблица графиков и параметров

Курносый додекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Архимедово тело Однородный многогранник
Элементы	F = 92, E = 150, V = 60 (χ = 2)
Лица по сторонам	(20+60){3}+12{5}
Обозначение Конвея	СД
Символы Шлефли	ср{5,3} или $s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$
Символы Шлефли	хт _0,1,2 {5,3}
Символ Витхоффа	\| 2 3 5
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	я , ⁠ 1 / 2 ⁠ H ₃, [5,3] ⁺, (532), порядок 60
Группа вращения	Я , [5,3] ⁺, (532), порядок 60
Двугранный угол	3-3: 164°10′31″ (164.18°) 3-5: 152°55′53″ (152.93°)
Ссылки	Ю ₂₉ , Ц ₃₂ , Ж ₁₈
Характеристики	Полуправильный выпуклый хиральный
Цветные лица	3.3.3.3.5 ( фигура вершины )
Пятиугольный шестиконтаэдр ( двойной многогранник )	Сеть

В геометрии курносый додекаэдр , или курносый икосододекаэдр , представляет собой архимедово тело , одно из тринадцати выпуклых изогональных непризматических тел, построенных из двух или более типов правильных многоугольных граней .

Курносый додекаэдр имеет 92 грани (большая часть из 13 архимедовых тел): 12 — пятиугольники , а остальные 80 — равносторонние треугольники . Он также имеет 150 ребер и 60 вершин.

Он имеет две различные формы, которые являются зеркальными отражениями (или « энантиоморфами ») друг друга. Объединение обеих форм представляет собой соединение двух курносых додекаэдров , а выпуклая оболочка обеих форм — усеченный икосододекаэдр .

Кеплер впервые назвал его на латыни dodecahedron simum в 1619 году в своей книге «Harmonices Mundi» . HSM Коксетер , отметив, что он может быть получен в равной степени как из додекаэдра, так и из икосаэдра, назвал его курносым икосододекаэдром с вертикально вытянутым символом Шлефли . $s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$ и плоский символ Шлефли $sr{5,3}.$

Декартовы координаты

Пусть $ξ \approx 0,943 15125924$ — вещественный нуль кубического многочлена $x 3 + 2x 2 - ж 2$ , где $φ$ — золотое сечение . Пусть точка $p$ задана формулой $p={\begin{pmatrix}\varphi ^{2}-\varphi ^{2}\xi \\-\varphi ^{3}+\varphi \xi +2\varphi \xi ^{2}\\\xi \end{pmatrix}}.$ Пусть матрицы вращения $M 1$ и $M 2$ задаются формулами $M_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2\varphi }}&-{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}&{\frac {\varphi }{2}}\end{pmatrix}},\quad M_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.$ $M 1$ представляет собой вращение вокруг оси $(0, 1, φ)$ на угол ⁠ 2 $π$ / 5 ⁠ против часовой стрелки, а $M 2$ представляет собой циклический сдвиг $(x, y, z)$ представляет вращение вокруг оси $(1, 1, 1)$ на угол ⁠ 2 $π$ / 3 ⁠ . Тогда 60 вершин курносого додекаэдра представляют собой 60 изображений точки $p$ при многократном умножении на $M 1$ и/или $M 2$ , повторяемом до сходимости. (Матрицы $M 1$ и $M 2$ порождают 60 матриц вращения, соответствующих 60 вращательным симметриям правильного икосаэдра .) Координаты вершин представляют собой целые линейные комбинации $1, φ, ξ, φξ, ξ. 2$ и $φξ 2$ . Длина ребра равна $2\xi {\sqrt {1-\xi }}\approx 0.449\,750\,618\,41.$ Отрицание всех координат дает зеркальное отражение этого курносого додекаэдра.

В объеме курносый додекаэдр состоит из 80 треугольных и 12 пятиугольных пирамид. Объем $V 3$ одной треугольной пирамиды определяется выражением: $V_{3}={\frac {1}{3}}\varphi \left(3\xi ^{2}-\varphi ^{2}\right)\approx 0.027\,274\,068\,85,$ а объем $V 5$ одной пятиугольной пирамиды равен: $V_{5}={\frac {1}{3}}(3\varphi +1)\left(\varphi +3-2\xi -3\xi ^{2}\right)\xi ^{3}\approx 0.103\,349\,665\,04.$ Общий объем составляет $80V_{3}+12V_{5}\approx 3.422\,121\,488\,76.$

Радиус описанной окружности равен ${\sqrt {4\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}\approx 0.969\,589\,192\,65.$ Средний радиус равен $ξ$ . Это дает интересную геометрическую интерпретацию числа $ξ$ . 20 «икосаэдрических» треугольников курносого додекаэдра, описанных выше, лежат в одной плоскости с гранями правильного икосаэдра. Средний радиус этого «описанного» икосаэдра равен 1. Это означает, что $ξ$ — это отношение мидрадиусов курносого додекаэдра и икосаэдра, в который он вписан.

Двугранный угол треугольник-треугольник определяется выражением $\theta _{33}=180^{\circ }-\arccos \left({\frac {2}{3}}\xi +{\frac {1}{3}}\right)\approx 164.175\,366\,056\,03^{\circ }.$

Двугранный угол треугольника и пятиугольника определяется выражением ${\begin{aligned}\theta _{35}&=180^{\circ }-\arccos {\sqrt {\frac {-(4\varphi +8)\xi ^{2}-(4\varphi +8)\xi +12\varphi +19}{15}}}\\[2pt]&\approx 152.929\,920\,275\,84^{\circ }.\end{aligned}}$

Метрические свойства

Для курносого додекаэдра, длина ребра которого равна 1, площадь поверхности равна $A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55.286\,744\,958\,445\,15.$ Его объем составляет $V={\frac {(3\varphi +1)\xi ^{2}+(3\varphi +1)\xi -\varphi /6-2}{\sqrt {3\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}}\approx 37.616\,649\,962\,733\,36.$ Альтернативно этот том можно записать как ${\begin{aligned}V&={\frac {5+5{\sqrt {5}}}{6{\sqrt {3}}}}{\sqrt {{18+6{\sqrt {5}}}+{a\left({3+3{\sqrt {5}}}+a\right)}}}+{\frac {5+3{\sqrt {5}}}{24{\sqrt {2}}}}{\sqrt {72+{\left({5+{\sqrt {5}}}\right)}a\left({3+3{\sqrt {5}}}+a\right)}}\\[2pt]&\approx 37.616\,649\,962\,733\,36,\end{aligned}}$ где ${\begin{aligned}a&={\sqrt[{3}]{54(1+{\sqrt {5}})+6{\sqrt {102+162{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt[{3}]{54(1+{\sqrt {5}})-6{\sqrt {102+162{\sqrt {5}}}}}}\\[2pt]&\approx 10.293\,368\,998\,184\,21.\end{aligned}}$ Его радиус окружности $R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 2.155\,837\,375.$ Его средний радиус $r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2.097\,053\,835\,25.$

Есть две вписанные сферы: одна касается треугольных граней, а другая, немного меньшего размера, касается пятиугольных граней. Их радиусы соответственно: ${\begin{aligned}r_{3}&={\frac {\varphi {\sqrt {3}}}{6\xi }}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2.077\,089\,659\,74\\[4pt]r_{5}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi ^{2}\xi ^{2}+3\varphi ^{2}\xi +{\frac {11}{5}}\varphi +{\frac {12}{5}}}}\approx 1.980\,915\,947\,28.\end{aligned}}$

Четыре положительных вещественных корня секстического уравнения в R ² $4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0$ - это радиусы описанной окружности курносого додекаэдра ( U ₂₉ ), большого курносого икосододекаэдра ( U ₅₇ ), большого перевернутого курносого икосододекаэдра ( U ₆₉ ) и большого ретро-взносого икосододекаэдра ( U ₇₄ ).

Курносый додекаэдр имеет самую высокую сферичность среди всех архимедовых тел. Если сферичность определяется как отношение квадрата объема к кубу площади поверхности, умноженное на константу 36 $π$ (где эта константа делает сферичность сферы равной 1), сферичность курносого додекаэдра составляет около 0,947. ^{[ 1 ]}

Ортогональные проекции

Курносый додекаэдр имеет две особенно симметричные ортогональные проекции , как показано ниже, с центрами на двух типах граней: треугольниках и пятиугольниках, соответствующих _{A 2} и H ₂ плоскостям Кокстера .

Ортогональные проекции
В центре	Лицо Треугольник	Лицо Пентагон	Край
Твердый
Каркас
Проективный симметрия	[3]	[5]	[2]
Двойной

Геометрические отношения

Додекаэдр, ромбикосидодекаэдр и курносый додекаэдр (анимированное расширение и скручивание )

Равномерное чередование усеченного икосододекаэдра.

Курносый додекаэдр можно создать, взяв двенадцать пятиугольных граней додекаэдра и вытянув их наружу, чтобы они больше не соприкасались. На правильном расстоянии это может создать ромбокододекаэдр , заполнив квадратные грани между разделенными краями и треугольные грани между разделенными вершинами. Но для курносой формы вытяните пятиугольные грани немного меньше, добавьте только треугольные грани и оставьте остальные промежутки пустыми (остальные промежутки на этом этапе представляют собой прямоугольники). Затем примените равное вращение к центрам пятиугольников и треугольников, продолжая вращение до тех пор, пока промежутки не заполнятся двумя равносторонними треугольниками. (Тот факт, что в случае курносого додекаэдра необходимая величина для вытягивания граней меньше, можно увидеть двумя способами: радиус описанной окружности курносого додекаэдра меньше, чем у икосододекаэдра; или длина ребра количество равносторонних треугольников, образованных разделенными вершинами, увеличивается при вращении пятиугольных граней.)

Курносый додекаэдр также может быть получен из усеченного икосододекаэдра путем чередования . Шестьдесят вершин усеченного икосододекаэдра образуют многогранник, топологически эквивалентный одному курносому додекаэдру; остальные шестьдесят образуют его зеркальное отражение. Полученный многогранник является вершинно-транзитивным , но не однородным.

Альтернативно, объединение вершин курносого додекаэдра, заданных декартовыми координатами (вверху), и его зеркала образует полуправильный усеченный икосододекаэдр. Сравнение этих правильных и полуправильных многогранников показано на рисунке справа.

Декартовы координаты вершин этого альтернативного курносого додекаэдра получаются путем выбора наборов из 12 (из 24 возможных четных перестановок, содержащихся в пяти наборах декартовых координат усеченного икосододекаэдра ). Чередованиями являются те, которые имеют нечетное количество знаков минус в этих трех наборах:

Наложение правильных и полуправильных усеченных икосододекаэдров и курносых додекаэдров

${\begin{array}{ccccccc}{\Bigl (}&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm [3+\varphi ]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm \,\varphi ^{2}&,&\pm [3\varphi -1]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm [2\varphi -1]&,&\pm \,2&,&\pm [2+\varphi ]&{\Bigr )},\end{array}}$ и четное количество знаков минус в этих двух наборах: ${\begin{array}{ccccccc}{\Bigl (}&\pm {\tfrac {2}{\varphi }}&,&\pm \,\varphi &,&\pm [1+2\varphi ]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm \,\varphi &,&\pm \,3&,&\pm \,2\varphi &{\Bigr )},\end{array}}$

где $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ это золотое сечение . Зеркала как правильного усеченного икосододекаэдра, так и этого альтернативного курносого додекаэдра получаются путем переключения четных и нечетных ссылок на перестановки знаков и положений.

Связанные многогранники и мозаики

Семейство однородных икосаэдрических многогранников.
Symmetry: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот полуправильный многогранник является членом последовательности вздернутых многогранников и мозаик с фигурой вершины (3.3.3.3.n ) и диаграммой Коксетера – Дынкина. . Эти фигуры и их двойственные фигуры имеют ( n 32) вращательную симметрию , находясь в евклидовой плоскости для n = 6 и в гиперболической плоскости для любого большего n . Можно считать, что серия начинается с n = 2, причем один набор граней вырождается в двуугольники .

n 32 мутации симметрии курносых мозаик: 3.3.3.3.n v т и
Symmetry n32	Spherical				Euclidean	Compact hyperbolic		Paracomp.
Symmetry n32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Snub figures
Config.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Gyro figures
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Курносый додекаэдрический граф

В математической области теории графов курносый додекаэдрический граф — это граф вершин и ребер курносого додекаэдра, одного из архимедовых тел . Он имеет 60 вершин и 150 ребер и является архимедовым графом . ^{[ 2 ]}

См. также

преобразования плоского многоугольника в многогранник Анимация
по часовой и по часовой стрелке Вращение курносого додекаэдра

Ссылки

^ Аравинд, П.К. (март 2011 г.), «Насколько сферичны архимедовы тела и их двойственные тела?», The College Mathematics Journal , 42 (2): 98–107, doi : 10.4169/college.math.j.42.2.098
^ Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269

Джаятилаке, Удая (март 2005 г.). «Расчеты на гранях и вершинах правильных многогранников». Математический вестник . 89 (514): 76–81. дои : 10.1017/S0025557200176818 . S2CID 125675814 .
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . (Раздел 3-9)
Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , « Плосконосый додекаэдр » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Плосконосый додекаэдрический граф» . Математический мир .
Клитцинг, Ричард. "3D выпуклые однородные многогранники s3s5s - снид" .
Редактируемая для печати сетка плосконосого додекаэдра с интерактивным 3D-изображением
Однородные многогранники
Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
Марк С. Адамс и Менно Т. Костерс. Объемные решения плосконосого додекаэдра

[1] Аравинд, П.К. (март 2011 г.), «Насколько сферичны архимедовы тела и их двойственные тела?», The College Mathematics Journal , 42 (2): 98–107, doi : 10.4169/college.math.j.42.2.098

[2] Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269

[ 1 ]

[ 2 ]