Интеграл Римана – Стилтьеса

В математике интеграл Римана -Стилтьеса является обобщением интеграла Римана , названного в честь Бернхарда Римана и Томаса Джоаннеса Стилтьеса . Определение этого интеграла было впервые опубликовано в 1894 году Стилтьесом. Он служит поучительным и полезным предшественником интеграла Лебега и бесценным инструментом в объединении эквивалентных форм статистических теорем, применимых к дискретной и непрерывной вероятности.

Формальное определение

Римана – Стилтьеса Интеграл вещественной функции $f$ действительной переменной на интервале $[a,b]$ относительно другой функции реального-вещественного значения $g$ обозначается

$\int _{x=a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x).$

В его определении используется последовательность разделов. $P$ интервала $[a,b]$

$P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}.$

Таким образом, интеграл определяется как предел, поскольку сетка (длина самого длинного подинтервала) разделов приближается к $0$, аппроксимирующей суммы

$S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\left[g(x_{i+1})-g(x_{i})\right]$

где $c_{i}$ находится в $i$-й подинтервал $[x_{i};x_{i+1}]$. Две функции $f$ и $g$ называются соответственно подынтегральной функцией и интегратором . Обычно $g$ считается монотонным (или, по крайней мере, имеющим ограниченную вариацию ) и полунепрерывным справа (однако последнее, по сути, условно). Мы специально не требуем $g$ быть непрерывным, что позволяет использовать интегралы, содержащие термины точечной массы.

Под «пределом» здесь понимается число A (значение интеграла Римана–Стилтьеса) такое, что для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для каждого разбиения P с mesh( P ) < δ и для каждого выбора точек c _i в [ x _i , x _{i +1} ],

$|S(P,f,g)-A|<\varepsilon .\,$

Характеристики

Интеграл Римана–Стилтьеса допускает интегрирование по частям в виде

$$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} f(x)$$

и существование одного интеграла влечет за собой существование другого.

С другой стороны, классический результат показывает, что интеграл корректно определен, если f является α - гельдеровской непрерывностью , а g является β -гельдеровской непрерывной с α + β > 1 .

Если $f(x)$ ограничен $[a,b]$, $g(x)$ монотонно возрастает, а $g'(x)$ интегрируем по Риману, то интеграл Римана–Стилтьеса связан с интегралом Римана соотношением $$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x$$

Для ступенчатой ​​функции $$g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}$$ где $a<s<b$, если $f$ является непрерывным в $s$, затем $$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(s)$$

Приложение к теории вероятностей

Если g — кумулятивная функция распределения вероятностей X случайной величины , которая имеет функцию плотности вероятности относительно меры Лебега , а f — любая функция, для которой ожидаемое значение $\operatorname {E} \left[\,\left|f(X)\right|\,\right]$ конечна, то функция плотности вероятности X является производной от g , и мы имеем

$\operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.$

Но эта формула не работает, если X не имеет функции плотности вероятности относительно меры Лебега. В частности, это не работает, если распределение X дискретно (т. е. вся вероятность учитывается точечными массами), и даже если кумулятивная функция распределения g непрерывна, она не работает, если g не соответствует абсолютно непрерывна ( функция Кантора примером такой неудачи опять же может служить ). Но личность

$\operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} g(x)$

выполняется, если g — любая кумулятивная функция распределения вероятностей на действительной прямой, какой бы плохой она ни была. В частности, как бы плохо вела себя кумулятивная функция распределения g случайной величины X , если момент E( X ^н ) существует, то оно равно

$\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} g(x).$

Приложение к функциональному анализу

Интеграл Римана–Стилтьеса появляется в исходной формулировке теоремы Ф. Рисса , которая представляет двойственное пространство банахова пространства C [ a , b ] непрерывных функций в интервале [ a , b ] как интегралы Римана–Стилтьеса против функций ограниченных вариация . Позже эта теорема была переформулирована в терминах мер.

Интеграл Римана – Стилтьеса также появляется в формулировке спектральной теоремы для (некомпактных) самосопряженных (или, в более общем плане, нормальных) операторов в гильбертовом пространстве. В этой теореме интеграл рассматривается по спектральному семейству проекторов.

Существование интеграла

Наилучшая простая теорема существования утверждает, что если f непрерывен и g имеет ограниченную вариацию на [ a , b ], то интеграл существует. Благодаря формуле интегрирования по частям интеграл существует также, если условия на f и g меняются местами, то есть если f имеет ограниченную вариацию и g непрерывна.

Функция g имеет ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда она представляет собой разность двух (ограниченных) монотонных функций. Если g не имеет ограниченной вариации, то найдутся непрерывные функции, которые нельзя проинтегрировать по g . В общем, интеграл не является четко определенным, если f и g имеют какие-либо точки разрыва , но есть и другие случаи.

Геометрическая интерпретация

3D-сюжет с $x$, $f(x)$, и $g(x)$ по всем ортогональным осям приводит к геометрической интерпретации интеграла Римана – Стилтьеса.

Основная геометрия интеграла Римана-Стильеса.

Если $g$- $x$ плоскость горизонтальна и $f$-направление вверх, тогда рассматриваемая поверхность будет похожа на изогнутый забор. Забор следует кривой, очерченной $g(x)$, а высота забора определяется выражением $f(x)$. Забор – это часть $g$-лист (т.е. $g$ кривая, вытянутая вдоль $f$ ось), которая ограничена между $g$- $x$ самолет и $f$-лист. Интеграл Римана-Стильеса — это площадь проекции этого ограждения на $f$- $g$ плоскость — по сути, ее «тень».Наклон $g(x)$ взвешивает область проекции. Значения $x$ для чего $g(x)$ имеет самый крутой склон $g'(x)$ соответствуют областям ограждения с большей выступающей частью и, таким образом, имеют наибольший вес в интеграле.

Эффекты кривизны в $g(x)$ по геометрии интеграла Римана-Стильеса.

Когда $g$ это ступенчатая функция $$g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}$$

забор имеет прямоугольные «ворота» шириной 1 и высотой, равной $f(s)$. Таким образом, ворота и их проекция имеют площадь, равную $f(s),$ значение интеграла Римана-Стильеса.

Эффект ступенчатой ​​функции $g(x)$ по геометрии интеграла Римана-Стильеса.

Обобщение

Важным обобщением является интеграл Лебега-Стилтьеса , который обобщает интеграл Римана-Стилтьеса способом, аналогичным тому, как интеграл Лебега обобщает интеграл Римана. Если несобственные допускаются интегралы Римана–Стилтьеса, то интеграл Лебега не является строго более общим, чем интеграл Римана–Стилтьеса.

Интеграл Римана – Стилтьеса также обобщает к случаю, когда либо подынтегральная функция ƒ , либо интегратор g принимают значения в банаховом пространстве . Если g : [ a , b ] → X принимает значения в банаховом пространстве X , то естественно предположить, что она имеет сильно ограниченную вариацию , а это означает, что

$\sup \sum _{i}\|g(t_{i-1})-g(t_{i})\|_{X}<\infty$

верхняя грань берется по всем конечным разбиениям

$a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}=b$

интервала [ a , b ]. Это обобщение играет роль при изучении полугрупп посредством преобразования Лапласа – Стилтьеса .

Интеграл Ито расширяет интеграл Римана – Ститджеса, включив в него подынтегральные выражения и интеграторы, которые представляют собой случайные процессы, а не простые функции; см. также стохастическое исчисление .

Обобщенный интеграл Римана – Стилтьеса

Небольшое обобщение состоит в том, чтобы рассмотреть в приведенном выше определении разбиения P , которые уточняют другое разбиение P _ε , что означает, что P возникает из P _ε путем добавления точек, а не из разбиений с более мелкой сеткой. В частности, обобщенный интеграл Римана–Стилтьеса от f по g — это число A такое, что для каждого ε > 0 существует разбиение P _ε такое, что для каждого разбиения P , уточняющего P _ε ,

$|S(P,f,g)-A|<\varepsilon \,$

для каждого выбора точек c _i в [ x _i , x _{i +1} ].

Это обобщение показывает интеграл Римана–Стилтьеса как предел Мура–Смита на направленном множестве разбиений [ a , b ].

Следствием этого является то, что при таком определении интеграл ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$ все еще можно определить в случаях, когда f и g имеют общую точку разрыва.

Суммы Дарбу

Интеграл Римана – Стилтьеса можно эффективно решить, используя соответствующее обобщение сумм Дарбу . Для разбиения P и неубывающей функции g на [ a , b ] определите верхнюю сумму Дарбу f относительно g по формуле

$$U(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)$$

и нижняя сумма на

$$L(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).$$

Тогда обобщенное представление Римана–Стилтьеса функции f относительно g существует тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует разбиение P такое, что

$U(P,f,g)-L(P,f,g)<\varepsilon .$

Более того, f интегрируема по Риману–Стилтьесу относительно g (в классическом смысле), если

$\lim _{\operatorname {mesh} (P)\to 0}[\,U(P,f,g)-L(P,f,g)\,]=0.\quad$

Примеры и особые случаи

Дифференцируемый g ( x )

Учитывая $g(x)$ которая непрерывно дифференцируема по $\mathbb {R}$ можно показать, что существует равенство

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x$

где интеграл в правой части представляет собой стандартный интеграл Римана, предполагая, что $f$ может быть проинтегрировано интегралом Римана – Стилтьеса.

В более общем смысле интеграл Римана равен интегралу Римана – Стилтьеса, если $g$ – интеграл Лебега от его производной; в этом случае $g$ называется абсолютно непрерывным .

Может быть дело в том, что $g$ имеет скачкообразные разрывы или может почти всюду иметь нулевую производную, оставаясь при этом непрерывным и возрастающим (например, $g$ может быть функцией Кантора или «лестницей дьявола»), в любом из этих случаев интеграл Римана-Стилтьеса не отражается каким-либо выражением, включающим производные от g .

Интеграл Римана

Стандартный интеграл Римана является частным случаем интеграла Римана – Стилтьеса, где $g(x)=x$.

выпрямитель

Рассмотрим функцию $g(x)=\max\{0,x\}$ используемый при изучении нейронных сетей , называется выпрямленной линейной единицей (ReLU) . Тогда коэффициент Римана–Стилтьеса можно оценить как

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,\mathrm {d} x$

где интеграл в правой части представляет собой стандартный интеграл Римана.

Интеграция рыцарей

Визуализация интеграла Кавальера для функции $f(x)=(2x+8)^{3}$

Принцип Кавальери можно использовать для расчета площадей, ограниченных кривыми, с использованием интегралов Римана – Стилтьеса. Полосы интегрирования Римана заменяются полосами непрямоугольной формы. Метод заключается в преобразовании «региона Кавальера» с помощью преобразования $h$или использовать $g=h^{-1}$ как подынтегральная функция.

Для заданной функции $f(x)$ на интервале $[a,b]$, «трансляционная функция» $a(y)$ должен пересекаться $(x,f(x))$ ровно один раз для любого сдвига интервала. Тогда «регион Кавальер» ограничивается $f(x),a(y)$, $x$-ось и $b(y)=a(y)+(b-a)$. Тогда площадь региона составит

$\int _{a(y)}^{b(y)}f(x)\,dx\ =\ \int _{a'}^{b'}f(x)\,dg(x),$

где $a'$ и $b'$ являются $x$-значения, где $a(y)$ и $b(y)$ пересекаться $f(x)$.

Ссылки

• Буллок, Грегори Л. (май 1988 г.). «Геометрическая интерпретация интеграла Римана-Стилтьеса». Американский математический ежемесячник . 95 (5). Математическая ассоциация Америки: 448–455. дои : 10.1080/00029890.1988.11972030 . JSTOR   2322483 . {{cite journal}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
• Грейвс, Лоуренс (1946). Теория функций действительных переменных . Международная серия по чистой и прикладной математике. МакГроу-Хилл. через HathiTrust
• Хильдебрандт, TH (1938). «Определения интегралов Стилтьеса типа Римана». Американский математический ежемесячник . 45 (5): 265–278. дои : 10.1080/00029890.1938.11990804 . ISSN   0002-9890 . JSTOR   2302540 . МР   1524276 .
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974). Функциональный анализ и полугруппы . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . МР   0423094 .
• Джонсонбо, Ричард Ф .; Пфаффенбергер, Уильям Элмер (2010). Основы математического анализа . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-47766-4 .
• Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей В. (1975) [1970]. Вводный реальный анализ . Перевод Сильвермана, Ричарда А. (пересмотренное английское издание). Дувр Пресс. ISBN  0-486-61226-0 .
• МакШейн, EJ (1952). «Частичные заказы и предел Мура-Смита» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 59 : 1–11. дои : 10.2307/2307181 . JSTOR   2307181 . Проверено 2 ноября 2010 г.
• Поллард, Генри (1920). «Интеграл Стилтьеса и его обобщения». Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики . 49 .
• Рисс, Ф.; Сз. Надь, Б. (1990). Функциональный анализ . Дуврские публикации. ISBN  0-486-66289-6 .
• Рудин, Вальтер (1964). Принципы математического анализа (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
• Шилов, Г.Е.; Гуревич, Б.Л. (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход . Перевод Сильвермана, Ричарда А. Довера. Бибкод : 1966imdu.book.....S . ISBN  0-486-63519-8 .
• Стилтьес, Томас Ян (1894). «Исследование цепных дробей» . Энн. Фак. наук. Тулуза . VIII : 1–122. МР   1344720 .
• Струк, Дэниел В. (1998). Краткое введение в теорию интеграции (3-е изд.). Биркхаузер. ISBN  0-8176-4073-8 .
• Янг, LC (1936). «Неравенство типа Гёльдера, связанное с интегрированием Стилтьеса» . Акта Математика . 67 (1): 251–282. дои : 10.1007/bf02401743 .