Кривая дракона

Кривая Дракона — это любой член семейства самоподобных фрактальных кривых , которые можно аппроксимировать рекурсивными методами, такими как системы Линденмайера . Кривую дракона, вероятно, чаще всего рассматривают как форму, которая получается в результате многократного сгибания полоски бумаги пополам, хотя существуют и другие кривые, называемые кривыми дракона, которые генерируются по-другому.

Шоссейный дракон

Дракон Хайвея (также известный как дракон Хартера-Хайвея или дракон Парка Юрского периода ) был впервые исследован физиками НАСА Джоном Хейвеем, Брюсом Бэнксом и Уильямом Хартером. Он был описан Мартином Гарднером в его в Scientific American колонке «Математические игры» в 1967 году. Многие из его свойств были впервые опубликованы Чендлером Дэвисом и Дональдом Кнутом . Оно появилось на титульных страницах Майкла Крайтона романа «Парк Юрского периода» . ^[1]

Строительство

Дракона шоссе можно построить из сегмента базовой линии путем многократной замены каждого сегмента двумя сегментами под прямым углом и с поворотом на 45° попеременно вправо и влево: ^[2]

Дракон шоссе также является предельным набором следующей итерированной системы функций в комплексной плоскости:

f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}

с начальным набором точек $S_{0}=\{0,1\}$ .

Если вместо этого использовать пары действительных чисел, это то же самое, что и две функции, состоящие из

f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}

Складывание дракона

Кривую дракона на шоссе можно построить, сложив полоску бумаги , именно так она была первоначально обнаружена. ^[1] Возьмите полоску бумаги и сложите ее пополам вправо. Сложите его еще раз пополам вправо. Если бы полосу развернули сейчас, разгибая каждую складку и превращая ее в поворот на 90 градусов, последовательность поворотов была бы RRL, то есть второй итерацией Дракона Хайвея. Снова согните полоску пополам вправо, и последовательность поворотов развернутой полоски теперь будет RRLRRLL — третья итерация шоссейного дракона. Продолжаем сгибать полосу пополам вправо, чтобы создать дальнейшие итерации шоссейного дракона (на практике полоса становится слишком толстой, чтобы резко сложить ее после четырех или пяти итераций).

Схемы складывания этой последовательности бумажных полосок в виде последовательности правых (R) и левых (L) складок:

1-я итерация: Р
2-я итерация: Р Р Л
3-я итерация: Р Р Л Р Р Л Л
итерация: R R L L R R L R R R L L R L L . 4- я

Каждую итерацию можно найти, скопировав предыдущую итерацию, затем букву R, а затем вторую копию предыдущей итерации в обратном порядке, поменяв местами буквы L и R. ^[1]

Характеристики

множество самоподобий В кривой дракона на шоссе можно увидеть . Наиболее очевидным является повторение одной и той же схемы под углом 45° и с коэффициентом уменьшения $\textstyle {\sqrt {2}}$ . Основываясь на этом самоподобии, многие из его длин представляют собой простые рациональные числа.

Длина

Самоподобия

Кривая дракона может замостить плоскость . Одна из возможных мозаик заменяет каждый край квадратной мозаики кривой дракона, используя рекурсивное определение дракона, начиная с отрезка линии. Начальное направление расширения каждого сегмента можно определить по раскраске квадратной плитки в шахматном порядке, расширению вертикальных сегментов на черные плитки и из белых плиток, а также расширению горизонтальных сегментов на белые плитки и из черных. ^[3]
Как кривая, заполняющая пространство , кривая дракона имеет фрактальную размерность ровно 2. Для кривой дракона с начальной длиной сегмента 1 ее площадь равна 1/2, как видно из ее мозаики на плоскости. ^[1]
Граница множества, покрытого кривой дракона, имеет бесконечную длину и фрактальную размерность. $2\log _{2}\lambda \approx 1.523627086202492,$ где $\lambda ={\frac {1+(28-3{\sqrt {87}})^{1/3}+(28+3{\sqrt {87}})^{1/3}}{3}}\approx 1.69562076956$ является действительным решением уравнения $\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.$ ^[4]

Двойной дракон

Кривая Twindragon, построенная из двух драконов шоссе.

Дракон -близнец (также известный как дракон Дэвиса-Кнута ) может быть построен путем размещения двух кривых дракона Шоссе друг за другом. Это также предельный набор следующей итерируемой системы функций:

f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1+i)z}{2}}

где исходная форма определяется следующим набором $S_{0}=\{0,1,1-i\}$ .

Ее также можно записать как систему Линденмайера – для этого нужно лишь добавить еще одну секцию в исходную строку:

угол 90°
начальная строка FX+FX+
правила перезаписи строк
- Икс ↦ Х + YF
- Y ↦ FX - Y .

Это также место точек на комплексной плоскости с одной и той же целой частью при записи в системе счисления. $(-1\pm i)$ . ^[5]

Тердрагон

Тердрагона : записать в виде системы Линденмайера можно

угол 120°
начальная строка F
правила перезаписи строк
- F ↦ F+F−F .

Это предельный набор следующей итерируемой системы функций:

f_{1}(z)=\lambda z

f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda

f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}

{\mbox{where }}\lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ and }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.

Леви дракон

Кривую C Леви иногда называют драконом Леви . ^[6]

Появление кривой дракона в наборах решений

Получив набор решений линейного дифференциального уравнения, любая линейная комбинация решений в силу принципа суперпозиции также будет подчиняться исходному уравнению. Другими словами, новые решения получаются путем применения функции к множеству существующих решений. Это похоже на то, как итерированная система функций создает новые точки в наборе, хотя не все IFS являются линейными функциями.Аналогично, набор полиномов Литтлвуда может быть получен путем такого повторного применения набора функций.

Полином Литтлвуда – это многочлен: $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ где все $a_{i}=\pm 1$ .

Для некоторых $|w|<1$ мы определяем следующие функции:

f_{+}(z)=1+wz

f_{-}(z)=1-wz

Начиная с z=0, мы можем сгенерировать все полиномы Литтлвуда степени d, используя эти функции итеративно d+1 раз. ^[7] Например: $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$

Видно, что для $w=(1+i)/2$ , приведенная выше пара функций эквивалентна формулировке IFS для шоссейного дракона. То есть дракон Хайвея, итерированный до определенной итерации, описывает набор всех полиномов Литтлвуда до определенной степени, оцененных в точке $w=(1+i)/2$ .Действительно, при построении достаточно большого числа корней полиномов Литтлвуда в точках, близких к этим координатам, появляются структуры, подобные кривой дракона. ^[7]^[8]^[9]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Табачников, Сергей (2014), «Возвращение к кривым Дракона», The Mathematical Intelligencer , 36 (1): 13–17, doi : 10.1007/s00283-013-9428-y , MR 3166985 , S2CID 14420269
^ Эдгар, Джеральд (2008), «Дракон шоссе», в книге Эдгар, Джеральд (редактор), «Мера, топология и фрактальная геометрия» , «Тексты для студентов по математике» (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, стр. 20–22, дои : 10.1007/978-0-387-74749-1 , ISBN 978-0-387-74748-4 , МР 2356043
^ Эдгар (2008) , «Дракон на шоссе облицовывает самолет плиткой», стр. 74–75.
^ Эдгар (2008) , «Граница Шоссе Дракона», стр. 194–195.
^ Кнут, Дональд (1998). «Позиционные системы счисления». Искусство компьютерного программирования . Том. 2 (3-е изд.). Бостон: Аддисон-Уэсли. п. 206. ИСБН 0-201-89684-2 . OCLC 48246681 .
^ Бейли, Скотт; Ким, Теодор; Стрихарц, Роберт С. (2002), «Внутри дракона Леви», The American Mathematical Monthly , 109 (8): 689–703, doi : 10.2307/3072395 , JSTOR 3072395 , MR 1927621 .
^ Jump up to: ^а ^б «Кафе n-Категория» .
^ «Неделя285» .
^ «Красота корней» . 11 декабря 2011 г.

Внешние ссылки

[tabachnikov-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Табачников, Сергей (2014), «Возвращение к кривым Дракона», The Mathematical Intelligencer , 36 (1): 13–17, doi : 10.1007/s00283-013-9428-y , MR 3166985 , S2CID 14420269

[2] Эдгар, Джеральд (2008), «Дракон шоссе», в книге Эдгар, Джеральд (редактор), «Мера, топология и фрактальная геометрия» , «Тексты для студентов по математике» (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, стр. 20–22, дои : 10.1007/978-0-387-74749-1 , ISBN 978-0-387-74748-4 , МР 2356043

[3] Эдгар (2008) , «Дракон на шоссе облицовывает самолет плиткой», стр. 74–75.

[4] Эдгар (2008) , «Граница Шоссе Дракона», стр. 194–195.

[Knuth2-5] Кнут, Дональд (1998). «Позиционные системы счисления». Искусство компьютерного программирования . Том. 2 (3-е изд.). Бостон: Аддисон-Уэсли. п. 206. ИСБН 0-201-89684-2 . OCLC 48246681 .

[6] Бейли, Скотт; Ким, Теодор; Стрихарц, Роберт С. (2002), «Внутри дракона Леви», The American Mathematical Monthly , 109 (8): 689–703, doi : 10.2307/3072395 , JSTOR 3072395 , MR 1927621 .

[ncafe-7] Jump up to: ^а ^б «Кафе n-Категория» .

[8] «Неделя285» .

[9] «Красота корней» . 11 декабря 2011 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v т и Фракталы
Характеристики	Фрактальные измерения Ассуад Подсчет коробок Хигучи Корреляция Хаусдорф Упаковка Топологический Рекурсия Самоподобие
Итерированная функция система	Папоротник Барнсли Канторовский набор Снежинка Коха Моя губка Ковер Серпинского Треугольник Серпинского Аполлоническая прокладка Слово Фибоначчи Кривая заполнения пространства Кривая Бланманже Кривая Де Рама Минковский Кривая дракона Кривая Гильберта кривая Коха Кривая Леви C Кривая Мура Кривые Пеано Кривая Серпинского Кривая Z-порядка Нить Т-квадрат н-хлопья Фрактальные шутки шестихлопьевидный Кривая Госпера Дерево Пифагора Функция Вейерштрасса
Странный аттрактор	Мультифрактальная система
L-система	Фрактальный навес Кривая заполнения пространства H-дерево
Время побега фракталы	Фрактал горящего корабля Джулия сет Заполненный Ньютон фрактал Кролик Дуади Ляпунов фрактал Набор Мандельброта точка Мисюревича Набор Мультиброт Ньютон фрактал Треуголка Мандельбокс Мандельбулба
рендеринга Методы	Буддадброт Орбитальная ловушка Пиковерный стебель
Случайные фракталы	Броуновское движение Броуновское дерево Броуновский двигатель Фрактальный пейзаж полет Леви Теория перколяции Самоизбегающая прогулка
Люди	Майкл Барнсли Георг Кантор Билл Госпер Феликс Хаусдорф Десмонд Пол Генри Гастон Джулия Хельге фон Кох Пол Леви Aleksandr Lyapunov Бенуа Мандельброт Хамид Надери Йегане Льюис Фрай Ричардсон Вацлав Серпиньский
Другой	« Какова длина побережья Британии? » Парадокс береговой линии Фрактальное искусство Список фракталов по размерности Хаусдорфа Фрактальная геометрия природы (книга 1982 г.) Красота фракталов (книга 1986 г.) Хаос: создание новой науки (книга 1987 г.) Калейдоскоп Теория хаоса

v т и Математика складывания бумаги
Плоский складной	Большая-маленькая-большая лемма Складка Аксиомы Хузиты – Хатори Теорема Кавасаки Теорема Маекавы Складывание карты Проблема со складыванием салфетки Чистая земля оригами Система Ёсизавы – Рэндлетта
Полоса складная	Кривая дракона Флексагон Лента Мёбиуса Обычная последовательность складывания бумаги
3d структуры	Миура складка Модульное оригами Проблема с бумажным пакетом Жесткое оригами Черный фонарь Сонобе Ёсимура коробление
Многогранники	Теорема единственности Александрова Цветущий Гибкий многогранник ( октаэдр Брикара , многогранник Штеффена ) Сеть Развертывание источника Звезда разворачивается
Разнообразный	Теорема о сложении и разрезании метод Лилля
Публикации	Геометрические упражнения по складыванию бумаги Геометрические алгоритмы складывания Геометрическое Оригами История складывания в математике Оригами Многогранники Дизайн Оригамика
Люди	Роджер К. Альперин Маргарита Пьяццола Белох Ян Чен Роберт Коннелли Эрик Демейн Мартин Демейн Рона Гуркевиц Дэвид А. Хаффман Том Халл Коди Хусими Хумиаки Хузита Тошиказу Кавасаки Роберт Дж. Лэнг Анна Любив Джун Маэкава Корё Миура Джозеф О'Рурк Томохиро Тачи Ева Торренс