Клаус Рот

Клаус Рот
Клаус Рот
Рожденный	Клаус Фридрих Рот ; 29 октября 1925 г. ; Бреслау , провинция Нижняя Силезия , Веймар Германия
Умер	10 ноября 2015 г. (в возрасте 90 лет) ; Инвернесс , Шотландия
Образование	Школа Святого Павла, Лондон ; Питерхаус, Кембридж ; Университетский колледж Лондон ;
Известен для	Диофантинское приближение ; Теория расхождений ; Большое сито ;
Награды	Медаль поля (1958) ; Сотрудник Королевского общества (1960) ; Де Морган Медаль (1983) ; Медаль Сильвестра (1991) ;
	Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университетский колледж Лондон ; Имперский колледж Лондон ;
Тезис	Доказательством того, что почти все положительные целые числа являются суммами квадрата, положительного куба и четвертой мощности (1950)
Докторский советник	Теодор Эстерманн
Другие академические консультанты	Джон Чарльз Беркилл ; Гарольд Давенпорт ;

Клаус Фридрих Рот Фрс (29 октября 1925 г.-10 ноября 2015 года) был британским математиком, родившимся в немецком языке, который выиграл медаль Филдс за доказательство теоремы Рота о диофантовом приближении алгебраических чисел . Он также был лауреатом медали де Моргана и медалью Сильвестра , а также членом Королевского общества .

Рот переехал в Англию в детстве в 1933 году, чтобы сбежать из нацистов, и получил образование в Кембриджском университете и университетском колледже Лондона , заканчивая докторскую степень в 1950 году. Он преподавал в университетском колледже Лондон до 1966 года, когда он занял стул в Имперском колледже. Лондон Он ушел в отставку в 1988 году.

Помимо своей работы по диофантовому приближению, Рот внес большой вклад в теорию безразличных наборов в арифметической комбинаторике и теории нарушений распределения . Он также был известен своим исследованием о суммах сил , на большом сите , проблеме с треугольником Хейлброна и на квадратной упаковке на квадрате . Он был соавтором книжных последовательностей на целочисленных последовательностях .

Биография

Ранний период жизни

Рот родился в еврейской семье в Бреслау , Пруссия , 29 октября 1925 года. Его родители поселились с ним в Лондоне, чтобы избежать нацистских преследований в 1933 году, и он был воспитан и получил образование в Великобритании. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Его отец, адвокат, был подвергнут ядовитым газу во время Первой мировой войны и умер, пока Рот был еще молод. Рот стал учеником в школе Святого Павла в Лондоне с 1939 по 1943 год, а остальная часть школы он был эвакуирован из Лондона в парк Иампстед во время Блица . В школе он был известен своими способностями как в шахматах, так и в математике. Он попытался присоединиться к корпусу подготовки к воздушной подготовке , но был заблокирован в течение нескольких лет за то, что он был немецким, а затем после этого из -за отсутствия координации, необходимой для пилота. ^{[ 2 ]}

Математическое образование

Рот Читал математику в Питерхаусе, Кембридж , и сыграл первую доску для Кембриджской шахматной команды, ^{[ 2 ]} Заканчивая в 1945 году. ^{[ 3 ]} Несмотря на его мастерство по математике, он получил только почести третьего класса по математическим Трипосам из-за его плохой способности к тестированию. Его преподаватель в Кембридже, Джон Чарльз Беркилл , не поддерживал Рот, продолжающийся в математике, вместо этого рекомендовал, чтобы он взял «какую -то коммерческую работу со статистической предвзятостью». ^{[ 2 ]} Вместо этого он кратко стал школьным учителем в Гордонстоуне , между финишами в Кембридже и началом обучения в аспирантуре. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

По рекомендации Гарольда Давенпорта он был принят в 1946 году в магистратую программу по математике в Университетском колледже Лондона , где он работал под надзором Теодора Эстермана . ^{[ 2 ]} Он получил степень магистра в 1948 году и докторскую степень в 1950 году. ^{[ 3 ]} Его диссертация была доказательством того, что почти все положительные целые числа представляют собой суммы квадрата, положительный куб и четвертая сила . ^{[ 4 ]}

Карьера

Получив степень магистра в 1948 году, Рот стал помощником преподавателя в Университетском колледже Лондона, а в 1950 году он был повышен на лекторе. ^{[ 5 ]} Его наиболее значительный вклад, по диофантовому приближению, последовательностям без прогрессирования и расхождений, были опубликованы в середине 1950-х годов, и к 1958 году ему дали медаль поля, высшую честь математиков. ^{[ 2 ]}^{[ 6 ]} Однако только в 1961 году он был повышен до полного профессора. ^{[ 1 ]} В течение этого периода он продолжал тесно сотрудничать с Гарольдом Давенпортом. ^{[ 2 ]}

Он принял творческие отпуска в Массачусетском технологическом институте в середине 1950-х и середине 1960-х годов и серьезно рассмотрел миграцию в Соединенные Штаты. Уолтер Хейман и Патрик Линстед возразили эту возможность, которую они считали угрозой для британской математики, с предложением кресла по чистой математике в Имперском колледже Лондона , и Рот принял кресло в 1966 году. ^{[ 2 ]} Он сохранил эту должность до официального выхода на пенсию в 1988 году. ^{[ 1 ]} Он оставался в Имперском колледже в качестве приглашенного профессора до 1996 года. ^{[ 3 ]}

Лекции Рота обычно были очень ясными, но иногда могли быть неустойчивыми. ^{[ 2 ]} В проекте по генеалогии математики перечислены только два докторанта, ^{[ 4 ]} Но один из них, Уильям Чен, который продолжил работу Рота в теории несоответствия, стал научным сотрудником Австралийского математического общества и руководителем математического факультета Университета Маккуори . ^{[ 7 ]}

Личная жизнь

В 1955 году Рот женился на Мелеке Хайри, который привлек его внимание, когда она была студентом в его первой лекции; Каири была дочерью египетского сенатора Хаири Пача ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Она пришла на работу в факультет психологии в Университетском колледже Лондона, где опубликовала исследование о влиянии токсинов на крыс. ^{[ 8 ]} На пенсии Рота они переехали в Инвернесс ; Рот посвятил комнату своего дома латинскому танцу, их общий интерес. ^{[ 2 ]}^{[ 9 ]} Каири умер в 2002 году, а Рот умер в Инвернессе 10 ноября 2015 года в возрасте 90 лет. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} У них не было детей, и Рот посвятил большую часть своего поместья, более миллиона фунтов, двум благотворительным организациям, чтобы помочь пожилым людям и немощным, живущим в городе Инвернесс ». Он послал медаль поля с меньшим завещанием в Питерхаус. ^{[ 10 ]}

Вклад

Рот был известен как решатель проблем в математике, а не как теорный строитель. Гарольд Давенпорт пишет, что «мораль в работе доктора Рота» заключается в том, что «великие нерешенные проблемы математики все еще могут привести к прямой атаке, каким бы трудным и запрещенным они ни были, и какими бы большими усилиями уже было потрачено на них». ^{[ 6 ]} Его исследовательские интересы охватывали несколько тем в теории чисел , теории расхождений и теории целочисленных последовательностей .

Диофантинское приближение

Субъект диофантинского приближения ищет точные приближения иррациональных чисел рациональными числами . Вопрос о том, насколько точно можно аппроксимировать алгебраические цифры , стал известен как проблема Thue -Siegel, после предыдущего прогресса по этому вопросу Аксель Тью и Карл Людвиг Сигель . Точность аппроксимации может быть измерена с помощью показателя аппроксимации числа $x$ , определяется как самое большое число $e$ так что $x$ бесконечно много рациональных приближений $p/q$ с $|x-p/q|<1/q^{e}$ Полем Если показатель аппроксимации большой, то тогда $x$ имеет более точные приближения, чем число, показатель которого меньше. Наименьший возможный показатель аппроксимации составляет два: даже самые трудные-приблизительные числа могут быть аппроксимированы с помощью второго показателя с использованием продолжающихся фракций . ^{[ 3 ]}^{[ 6 ]} Перед работой Рота считалось, что у алгебраических чисел может быть более крупный показатель приближения, связанный со степенью полинома, определяющего число. ^{[ 2 ]}

В 1955 году Рот опубликовал то, что теперь известно как теорема Рота , полностью решая этот вопрос. Его теорема сфальсифицировала предполагаемую связь между показателем аппроксимации и степенью и доказала, что с точки зрения показателя аппроксимации алгебраические числа наименьшие точные аппроксимированные из любых иррациональных чисел. Точнее, он доказал, что для иррациональных алгебраических чисел показатель аппроксимации всегда ровно два. ^{[ 3 ]} В опросе работы Рота, представленной Гарольдом Давенпортом Международному конгрессу математиков в 1958 году, когда Роту получила медаль Филдса, Давенпорт назвал этот результат «величайшим достижением» Рота. ^{[ 6 ]}

Арифметическая комбинаторика

Набор {1,2,4,5,10,11,13,14} (синий) не имеет трехлетнего арифметического прогрессирования, поскольку среднее значение каждые два набора (желтый) выходит за пределы набора. Рот доказал, что каждый набор без прогрессирования должен быть редким.

Другой результат, называемый « Теорема Рота », с 1953 года , заключается в арифметической комбинаторике и проблемах целых чисел без трех в арифметическом прогрессировании . Эти последовательности были изучены в 1936 году Полом Эрдсом и Палом Тураном , которые предположили, что они должны быть скудными. ^{[ 11 ]}^{[ А ]} Однако в 1942 году Рафаэль Салем и Дональд С. Спенсер построили подмножества без прогрессирования чисел из $1$ к $n$ размера, пропорционально $n^{1-\varepsilon }$ , для каждого $\varepsilon >0$ . ^{[ 12 ]}

Рот подтвердил Эрд и Турна, доказывая, что невозможно пропорционально размеру такого набора $n$ : Каждый плотный набор целых чисел содержит трехлетнее арифметическое прогрессирование. Его доказательство использует методы из теории аналитических номеров, включая метод круга Харди -Литтлвуд, для оценки количества прогрессов в данной последовательности и показать, что, когда последовательность достаточно плотная, это число ненулевое. ^{[ 2 ]}^{[ 13 ]}

Другие авторы позже укрепили границу Рота на размере наборов без прогрессирования. ^{[ 14 ]} Укрепление в другом направлении, теорема Семереди , показывает, что плотные наборы целых чисел содержат произвольно длинные арифметические прогрессии. ^{[ 15 ]}

Несоответствие

Хотя работа Рота над приближением диофантия привела к наибольшему признанию для него, именно его исследование неровностей распределения (согласно некрологу Уильяма Чена и Боба Вогана ), которым он больше всего гордился. ^{[ 2 ]} Его статья 1954 года по этой теме заложила основы для современной теории расхождений . Это касается размещения $n$ Точки на квадрате единицы, так что для каждого прямоугольника, ограниченного между происхождением и точкой квадрата, область прямоугольника хорошо ощущается количеством точек в нем. ^{[ 2 ]}

Рот измерил это приближение к квадратной разнице между количеством точек и $n$ Времена площадь и доказал, что для случайно выбранного прямоугольника ожидаемое значение квадратной разницы является логарифмическим в $n$ Полем Этот результат наилучшим образом и значительно улучшил предыдущую связанную связь по той же проблеме Tatyana Pavlovna ehrenfest . ^{[ 16 ]} Несмотря на предыдущую работу Ehrenfest и Johannes van der Corput по той же проблеме, Рот был известен тем, что этот результат «начал субъект». ^{[ 2 ]}

Другие темы

Некоторые из самых ранних работ Рота включали статью 1949 года о суммах сил , показывающих, что почти все положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы квадрата, куба и четвертой силы, и статья 1951 года о промежутках между числами квадратов , описывает как «довольно сенсационное» и «значительное значение» соответственно Чэнь и Воган. ^{[ 2 ]} Его инаугурационная лекция в Имперском колледже касалась большого сита : ограничение размера наборов целых чисел, из которых многие конгруэнтные классы чисел Modulo Prime . было запрещено ^{[ 17 ]} Рот ранее опубликовал статью по этой проблеме в 1965 году .

Еще одним из интересов Рота была проблема с треугольником Хейлброна , поместив точки на квадрате, чтобы избежать треугольников небольшой области. Его документ 1951 года по этой проблеме стал первым, кто оказался нетривиальной верхней границей в области, которая может быть достигнута. В конце концов он опубликовал четыре статьи по этой проблеме, последняя в 1976 году . ^{[ 18 ]} Рот также добился значительного прогресса в квадратной упаковке в квадрате . Если единичные квадраты упакованы в $s\times s$ квадрат в очевидном, оси-параллельном пути, затем для значений $s$ которые чуть ниже целого числа, почти $2s$ Область может быть оставлена открытой. После того, как Пол Эрдс и Рональд Грэм доказали, что более умная наклонная упаковка может оставить значительно меньшую область, только $O(s^{7/11})$ , ^{[ 19 ]} Рот и Боб Воган ответили бумагой 1978 года , доказывающей первую нетривиальную нижнюю границу по проблеме. Как они показали, для некоторых значений $s$ , обнаруженная область должна быть по крайней мере пропорциональна ${\sqrt {s}}$ . ^{[ 2 ]}^{[ 20 ]}

В 1966 году Хейни Халберштам и Рот опубликовали свои книжные последовательности на целочисленных последовательностях . Первоначально планировалось стать первым из двухтомного набора, его темы включали плотность сумм последовательностей, ограничивающие количество представлений целых чисел в качестве сумм членов последовательностей, плотности последовательностей, чьи суммы представляют все целые числа, теорию ситовых Вероятностный метод и последовательности, в которых ни один элемент не является кратным другим . ^{[ 21 ]} Второе издание было опубликовано в 1983 году. ^{[ 22 ]}

Признание

Рот выиграл медаль Филдса в 1958 году за свою работу над диофантовым приближением. Он был первым призером британского поля. ^{[ 1 ]} Он был избран в Королевское общество в 1960 году, а затем стал почетным членом Королевского общества Эдинбурга , членом университетского колледжа Лондона, членом Имперского колледжа Лондона и почетным членом Питерхауса. ^{[ 1 ]} Для него это было источником развлечений, что его медаль поля, выборы в Королевское общество и профессорский председатель пришел к нему в обратном порядке их престижа. ^{[ 2 ]}

Лондонское математическое общество дало Роту медаль де Моргана в 1983 году. ^{[ 3 ]} В 1991 году Королевское общество дало ему свою медаль в Сильвестере «за его многочисленные вклад в теорию чисел и, в частности, его решение знаменитой проблемы, касающейся приблизительных алгебраических чисел со стороны рациональных». ^{[ 23 ]}

Форсхрифт из 32 эссе по темам, связанным с исследованиями Рота, был опубликован в 2009 году, в честь 80 -летия Рота, ^{[ 24 ]} А в 2017 году редакторы журнала Mathematika посвятили специальный выпуск Роту. ^{[ 25 ]} После смерти Рота Департамент математики Императорского колледжа установил стипендию Рота в его честь. ^{[ 26 ]}

Выбранные публикации

Журнальные документы

Рот, К.Ф. (1949). «Доказательством того, что почти все положительные целые числа являются суммами квадрата, положительного куба и четвертой мощности». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 24 : 4–13. doi : 10.1112/jlms/s1-24.1.4 . MR 0028336 . ZBL 0032.01401 .
Рот, К.Ф. (1951a). «О проблеме Хейлбронна». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 26 (3): 198–204. doi : 10.1112/jlms/s1-26.3.198 . MR 0041889 . ZBL 0043.16303 .
Рот, К.Ф. (1951b). «На промежутках между квадратными числами». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 26 (4): 263–268. doi : 10.1112/jlms/s1-26.4.263 . MR 0043119 . ZBL 0043.04802 .
Рот, К.Ф. (1953). «На определенных наборах целых чисел». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 28 : 104–109. doi : 10.1112/jlms/s1-28.1.104 . MR 0051853 . ZBL 0050.04002 .
Рот, К.Ф. (1954). «О нарушениях распределения». Математика . 1 (2): 73–79. doi : 10.1112/s0025579300000541 . MR 0066435 . ZBL 0057.28604 .
Рот, К.Ф. (1955). «Рациональные приближения к алгебраическим числам». Математика . 2 : 1–20, 168. DOI : 10.1112/S0025579300000644 . MR 0072182 . ZBL 0064.28501 .
Рот, К.Ф. (1965). «На больших сисах Линника и Реньи». Математика . 12 : 1–9. doi : 10.1112/s00255579300005088 . MR 0197424 . ZBL 0137.25904 .
Рот, К.Ф. (1976). «Развития в проблеме треугольника Хейлброна» . Достижения по математике . 22 (3): 364–385. doi : 10.1016/0001-8708 (76) 90100-6 . MR 0429761 . ZBL 0338.52005 .
Рот, KF; Воган, RC (1978). «Неэффективность упаковки квадратов с квадратами модуль» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 24 (2): 170–186. doi : 10.1016/0097-3165 (78) 90005-5 . MR 0487806 . ZBL 0373.05026 .

Книга

Халберштам, Хейни ; Рот, Клаус Фридрих (1966). Последовательности . Лондон: Clarendon Press. ^{[ 21 ]} Второе издание было опубликовано в 1983 году Springer-Verlag . ^{[ 22 ]}

Примечания

^ Давенпорт (1960) дает дату гипотезы Эрдс -Туран как 1935 года, но утверждает, что она «считается старше». Он заявляет о гипотезе в форме, что естественная плотность последовательности без прогрессирования должна быть нулевой, что доказано. Тем не менее, форма гипотезы, фактически опубликованная Erdős & Turán (1936), намного сильнее, заявляя, что количество элементов из $1$ к $n$ в такой последовательности должна быть $O(n^{c})$ для некоторого показателя $c<1$ Полем В этой форме гипотеза была фальсифицирована Salem & Spencer (1942) .

Ссылки

^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин ^час «Клаус Рот, математик» . Некрологи. Ежедневный телеграф . 24 февраля 2016 года.
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин ^час ^я ^Дж ^k ^л ^м ^не ^а ^п ^Q. ^{ведущий} ^с ^Т ^в Чен, Уильям; Воган, Роберт (14 июня 2017 г.). «Клаус Фридрих Рот. 29 октября 1925 г. - 10 ноября 2015 года» . Биографические мемуары стипендиатов Королевского общества . 63 : 487–525. doi : 10.1098/rsbm.2017.0014 . ISSN 0080-4606 . Смотрите также Чен, Уильям; Ларман, Дэвид; Стюарт, Тревор; Воган, Роберт (январь 2016 г.). «Клаус Фридрих Рот, 29 октября 1925 г. - 10 ноября 2015 года» . Информационный бюллетень Лондонского математического общества - через Королевское общество Эдинбурга .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин Цзин, Джесси; Servini, Pietro (24 марта 2015 г.). «Медаль поля в UCL: Клаус Рот» . Chalkdust .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Клаус Рот в проекте по генеалогии математики
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. "Клаус Рот" . МАКТОР ИСТОРИЯ АРХИВА МАТЕМАТИКИ . Университет Сент -Эндрюс .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Давенпорт, Х. (1960). «Работа KF Roth» (PDF) . Прокурор Интернат. Конгресс математика. 1958 . Издательство Кембриджского университета . с. LVII - LX. Мистер 1622896 . ZBL 0119.24901 . Перепечатано в лекциях медалистов полей (1997), World Scientific, с. 53–56.
^ Чен, Уильям Вай Лим. "Резюме" . Получено 25 апреля 2019 года .
^ Хайри, Мелек (май 1959). «Изменения в поведении, связанные с ядом нервной системы (ДДТ)». Ежеквартальный журнал экспериментальной психологии . 11 (2): 84–91. doi : 10.1080/17470215908416295 . Хайри, М. (апрель 1960). «Влияние хронического проглатывания дильдрина на мышечную эффективность крыс» . Профессиональная и экологическая медицина . 17 (2): 146–148. doi : 10.1136/OEM.17.2.146 . PMC 1038040 . PMID 14408763 .
^ Szemerédi, Anna Kepes (2015). «Разговор с Клаусом Ротом». Искусство в жизни математиков . Провиденс, Род -Айленд: Американское математическое общество. С. 248–253. doi : 10.1090/mbk/091 . ISBN 978-1-4704-1956-1 Полем MR 3362651 .
^ Макдональд, Стюарт (26 апреля 2016 года). «Математик оставляет 1 миллион фунтов стерлингов, чтобы помочь больным пациентам в Инвернессе» . Шотландский .
^ Эрдс, Павел ; Турн, Пол (1936). «На некоторых последовательностях целых чисел» (PDF) . Журнал Лондонского математического общества . 11 (4): 261–264. doi : 10.1112/jlms/s1-11.4.261 . MR 1574918 .
^ Салем, Р .; Спенсер, округ Колумбия (декабрь 1942 г.). «На наборах целых чисел, которые не содержат трех терминов в арифметической прогрессии» . Труды Национальной академии наук . 28 (12): 561–563. Bibcode : 1942pnas ... 28..561s . doi : 10.1073/pnas.28.12.561 . PMC 1078539 . PMID 16588588 .
^ Хит-Браун, DR (1987). «Интеллектуальные наборы, не содержащие арифметических прогрессов». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 35 (3): 385–394. doi : 10.1112/jlms/s2-35.3.385 . MR 0889362 .
^ Bloom, TF (2016). «Количественное улучшение теоремы Рота об арифметических прогрессиях». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 93 (3): 643–663. Arxiv : 1405.5800 . doi : 10.1112/jlms/jdw010 . MR 3509957 .
^ Szemerédi, Endre (1975). «На наборах целых числа, не содержащих $k$ -элементов в арифметической прогрессировании» (PDF) . Acta arithmetica . 27 : 199–245. doi : 10.4064/AA-27-1-199-245 . MR 0369312 . ZBL 0303.10056 .
^ Van Aardenne-Ehrenfest, T. (1949). «О невозможности справедливого распределения». Индагации математика . 1 : 264–269. MR 0032717 .
^ Воган, Роберт С. (декабрь 2017 г.). Diamond, Harold G. (ed.). «Хейни Халберштам: некоторые личные замечания» . Heini Halberstam, 1926–2014. Бюллетень Лондонского математического общества . 49 (6). Wiley: 1127–1131. doi : 10.1112/blms.12115 . См. Стр. 1127: «Я присутствовал на первой лекции Рота по большому сито в Имперском колледже в январе 1968 года, и в результате начал интересоваться теорией сита».
^ Barequet, Gill (2001). «Нижняя граница для проблем с треугольником Хейлброна в $измерениях D$ ». Siam Journal по дискретной математике . 14 (2): 230–236. doi : 10.1137/s0895480100365859 . Мистер 1856009 . См. Введение, которое приписывает статью 1951 года как «первую нетривиальную верхнюю границу» и относится ко всем четырем статьям Рота по проблеме треугольника Хейлбронна, называя окончательный «всесторонний обзор истории этой проблемы».
^ Erdős, P .; Грэм, Р.Л. (1975). «На упаковке квадратов с равными квадратами» (PDF) . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 19 : 119–123. doi : 10.1016/0097-3165 (75) 90099-0 . MR 0370368 .
^ Латунь, Питер; Мозер, Уильям; Пач, Янос (2005). Проблемы исследований в дискретной геометрии . Нью -Йорк: Спрингер. п. 45. ISBN 978-0387-23815-9 Полем MR 2163782 .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный}
Обзоры последовательностей :
- Кубилиус, Дж. Математические обзоры . MR 0210679 . {{cite journal}}: Cs1 maint: периодический (ссылка) без названия ( ссылка )
- Бриггс, мы Zbmath . ZBL 0141.04405 . {{cite journal}}: Cs1 maint: периодический (ссылка) без названия ( ссылка )
- Knopp, Marvin I. (январь 1967 г.). «Вопросы и методы в теории чисел». Наука . 155 (3761): 442–443. Bibcode : 1967sci ... 155..442H . doi : 10.1126/science.155.3761.441 . Jstor 1720189 .
- Райт, Эм (1968). Журнал Лондонского математического общества . S1-43 (1): 157. doi : 10.1112/jlms/s1-43.1.157a . {{cite journal}}: Cs1 maint: периодический (ссылка) без названия ( ссылка )
- Касселс, JWS (февраль 1968 г.). Математическая газета . 52 (379): 85–86. doi : 10.2307/3614509 . JSTOR 3614509 . {{cite journal}}: Cs1 maint: периодический (ссылка) без названия ( ссылка )
- Stark, HM (1971). "Обзор" . Бюллетень Американского математического общества . 77 (6): 943–957. doi : 10.1090/s0002-9904-1971-12812-4 .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} МИСТЕР 0687978
^ «Победители Медаль Сильвестра в Лондонском Королевском обществе» . МАКТОР ИСТОРИЯ АРХИВА МАТЕМАТИКИ . Получено 25 апреля 2019 года .
^ Чен, WWL; Gowers, WT ; Halberstam, H .; Шмидт, Wm ; Воган, Р.К. , ред. (2009). "Клаус Рот в 80". Аналитическая теория номеров. Эссе в честь Клауса Рота по случаю его 80 -летия . Кембридж: издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-51538-2 Полем ZBL 1155,11004 .
^ Чен, Уильям В.Л.; Воган, Роберт С. (2017). «В Memoriam Klaus Friedrich Roth 1925–2015» . Математика . 63 (3): 711–712. doi : 10.1112/s0025557931700033x . MR 3731299 .
^ «Возможности финансирования доктора философии» . Императорский колледж Лондон Департамент математики . Получено 26 апреля 2019 года .

[12] Давенпорт (1960) дает дату гипотезы Эрдс -Туран как 1935 года, но утверждает, что она «считается старше». Он заявляет о гипотезе в форме, что естественная плотность последовательности без прогрессирования должна быть нулевой, что доказано. Тем не менее, форма гипотезы, фактически опубликованная Erdős & Turán (1936), намного сильнее, заявляя, что количество элементов из $1$ к $n$ в такой последовательности должна быть $O(n^{c})$ для некоторого показателя $c<1$ Полем В этой форме гипотеза была фальсифицирована Salem & Spencer (1942) .

[telobit-1] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин ^час «Клаус Рот, математик» . Некрологи. Ежедневный телеграф . 24 февраля 2016 года.

[biomem-2] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин ^час ^я ^Дж ^k ^л ^м ^не ^а ^п ^Q. ^{ведущий} ^с ^Т ^в Чен, Уильям; Воган, Роберт (14 июня 2017 г.). «Клаус Фридрих Рот. 29 октября 1925 г. - 10 ноября 2015 года» . Биографические мемуары стипендиатов Королевского общества . 63 : 487–525. doi : 10.1098/rsbm.2017.0014 . ISSN 0080-4606 . Смотрите также Чен, Уильям; Ларман, Дэвид; Стюарт, Тревор; Воган, Роберт (январь 2016 г.). «Клаус Фридрих Рот, 29 октября 1925 г. - 10 ноября 2015 года» . Информационный бюллетень Лондонского математического общества - через Королевское общество Эдинбурга .

[chalk-3] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин Цзин, Джесси; Servini, Pietro (24 марта 2015 г.). «Медаль поля в UCL: Клаус Рот» . Chalkdust .

[mgp-4] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Клаус Рот в проекте по генеалогии математики

[mactutor-5] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. "Клаус Рот" . МАКТОР ИСТОРИЯ АРХИВА МАТЕМАТИКИ . Университет Сент -Эндрюс .

[work-6] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Давенпорт, Х. (1960). «Работа KF Roth» (PDF) . Прокурор Интернат. Конгресс математика. 1958 . Издательство Кембриджского университета . с. LVII - LX. Мистер 1622896 . ZBL 0119.24901 . Перепечатано в лекциях медалистов полей (1997), World Scientific, с. 53–56.

[wchen-7] Чен, Уильям Вай Лим. "Резюме" . Получено 25 апреля 2019 года .

[khairy-8] Хайри, Мелек (май 1959). «Изменения в поведении, связанные с ядом нервной системы (ДДТ)». Ежеквартальный журнал экспериментальной психологии . 11 (2): 84–91. doi : 10.1080/17470215908416295 . Хайри, М. (апрель 1960). «Влияние хронического проглатывания дильдрина на мышечную эффективность крыс» . Профессиональная и экологическая медицина . 17 (2): 146–148. doi : 10.1136/OEM.17.2.146 . PMC 1038040 . PMID 14408763 .

[conversation-9] Szemerédi, Anna Kepes (2015). «Разговор с Клаусом Ротом». Искусство в жизни математиков . Провиденс, Род -Айленд: Американское математическое общество. С. 248–253. doi : 10.1090/mbk/091 . ISBN 978-1-4704-1956-1 Полем MR 3362651 .

[scotsman-10] Макдональд, Стюарт (26 апреля 2016 года). «Математик оставляет 1 миллион фунтов стерлингов, чтобы помочь больным пациентам в Инвернессе» . Шотландский .

[erdtur-11] Эрдс, Павел ; Турн, Пол (1936). «На некоторых последовательностях целых чисел» (PDF) . Журнал Лондонского математического общества . 11 (4): 261–264. doi : 10.1112/jlms/s1-11.4.261 . MR 1574918 .

[salspen-13] Салем, Р .; Спенсер, округ Колумбия (декабрь 1942 г.). «На наборах целых чисел, которые не содержат трех терминов в арифметической прогрессии» . Труды Национальной академии наук . 28 (12): 561–563. Bibcode : 1942pnas ... 28..561s . doi : 10.1073/pnas.28.12.561 . PMC 1078539 . PMID 16588588 .

[heathbrown-14] Хит-Браун, DR (1987). «Интеллектуальные наборы, не содержащие арифметических прогрессов». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 35 (3): 385–394. doi : 10.1112/jlms/s2-35.3.385 . MR 0889362 .

[bloom-15] Bloom, TF (2016). «Количественное улучшение теоремы Рота об арифметических прогрессиях». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 93 (3): 643–663. Arxiv : 1405.5800 . doi : 10.1112/jlms/jdw010 . MR 3509957 .

[szem-16] Szemerédi, Endre (1975). «На наборах целых числа, не содержащих $k$ -элементов в арифметической прогрессировании» (PDF) . Acta arithmetica . 27 : 199–245. doi : 10.4064/AA-27-1-199-245 . MR 0369312 . ZBL 0303.10056 .

[ehr-17] Van Aardenne-Ehrenfest, T. (1949). «О невозможности справедливого распределения». Индагации математика . 1 : 264–269. MR 0032717 .

[vaughan-18] Воган, Роберт С. (декабрь 2017 г.). Diamond, Harold G. (ed.). «Хейни Халберштам: некоторые личные замечания» . Heini Halberstam, 1926–2014. Бюллетень Лондонского математического общества . 49 (6). Wiley: 1127–1131. doi : 10.1112/blms.12115 . См. Стр. 1127: «Я присутствовал на первой лекции Рота по большому сито в Имперском колледже в январе 1968 года, и в результате начал интересоваться теорией сита».

[barequet-19] Barequet, Gill (2001). «Нижняя граница для проблем с треугольником Хейлброна в $измерениях D$ ». Siam Journal по дискретной математике . 14 (2): 230–236. doi : 10.1137/s0895480100365859 . Мистер 1856009 . См. Введение, которое приписывает статью 1951 года как «первую нетривиальную верхнюю границу» и относится ко всем четырем статьям Рота по проблеме треугольника Хейлбронна, называя окончательный «всесторонний обзор истории этой проблемы».

[tilt-20] Erdős, P .; Грэм, Р.Л. (1975). «На упаковке квадратов с равными квадратами» (PDF) . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 19 : 119–123. doi : 10.1016/0097-3165 (75) 90099-0 . MR 0370368 .

[rpdg-21] Латунь, Питер; Мозер, Уильям; Пач, Янос (2005). Проблемы исследований в дискретной геометрии . Нью -Йорк: Спрингер. п. 45. ISBN 978-0387-23815-9 Полем MR 2163782 .

[revseq-22] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Обзоры последовательностей :
Кубилиус, Дж. Математические обзоры . MR 0210679 . {{cite journal}}: Cs1 maint: периодический (ссылка) без названия ( ссылка )

Бриггс, мы Zbmath . ZBL 0141.04405 . {{cite journal}}: Cs1 maint: периодический (ссылка) без названия ( ссылка )

Knopp, Marvin I. (январь 1967 г.). «Вопросы и методы в теории чисел». Наука . 155 (3761): 442–443. Bibcode : 1967sci ... 155..442H . doi : 10.1126/science.155.3761.441 . Jstor 1720189 .

Райт, Эм (1968). Журнал Лондонского математического общества . S1-43 (1): 157. doi : 10.1112/jlms/s1-43.1.157a . {{cite journal}}: Cs1 maint: периодический (ссылка) без названия ( ссылка )

Касселс, JWS (февраль 1968 г.). Математическая газета . 52 (379): 85–86. doi : 10.2307/3614509 . JSTOR 3614509 . {{cite journal}}: Cs1 maint: периодический (ссылка) без названия ( ссылка )

Stark, HM (1971). "Обзор" . Бюллетень Американского математического общества . 77 (6): 943–957. doi : 10.1090/s0002-9904-1971-12812-4 .

[23] Кубилиус, Дж. Математические обзоры . MR 0210679 . {{cite journal}}: Cs1 maint: периодический (ссылка) без названия ( ссылка )

[24] Бриггс, мы Zbmath . ZBL 0141.04405 . {{cite journal}}: Cs1 maint: периодический (ссылка) без названия ( ссылка )

[25] Knopp, Marvin I. (январь 1967 г.). «Вопросы и методы в теории чисел». Наука . 155 (3761): 442–443. Bibcode : 1967sci ... 155..442H . doi : 10.1126/science.155.3761.441 . Jstor 1720189 .

[26] Райт, Эм (1968). Журнал Лондонского математического общества . S1-43 (1): 157. doi : 10.1112/jlms/s1-43.1.157a . {{cite journal}}: Cs1 maint: периодический (ссылка) без названия ( ссылка )

[27] Касселс, JWS (февраль 1968 г.). Математическая газета . 52 (379): 85–86. doi : 10.2307/3614509 . JSTOR 3614509 . {{cite journal}}: Cs1 maint: периодический (ссылка) без названия ( ссылка )

[28] Stark, HM (1971). "Обзор" . Бюллетень Американского математического общества . 77 (6): 943–957. doi : 10.1090/s0002-9904-1971-12812-4 .

[seq2ed-23] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} МИСТЕР 0687978

[sylmed-24] «Победители Медаль Сильвестра в Лондонском Королевском обществе» . МАКТОР ИСТОРИЯ АРХИВА МАТЕМАТИКИ . Получено 25 апреля 2019 года .

[festschrift-25] Чен, WWL; Gowers, WT ; Halberstam, H .; Шмидт, Wm ; Воган, Р.К. , ред. (2009). "Клаус Рот в 80". Аналитическая теория номеров. Эссе в честь Клауса Рота по случаю его 80 -летия . Кембридж: издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-51538-2 Полем ZBL 1155,11004 .

[mathematika-26] Чен, Уильям В.Л.; Воган, Роберт С. (2017). «В Memoriam Klaus Friedrich Roth 1925–2015» . Математика . 63 (3): 711–712. doi : 10.1112/s0025557931700033x . MR 3731299 .

[scholarship-27] «Возможности финансирования доктора философии» . Императорский колледж Лондон Департамент математики . Получено 26 апреля 2019 года .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ А ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

Базы данных управления авторитетом
International	ISNI VIAF WorldCat
National	Germany United States France BnF data Netherlands Norway Greece Israel
Academics	CiNii Mathematics Genealogy Project Scopus zbMATH MathSciNet
People	Deutsche Biographie
Other	IdRef