Проблемы Гильберта
Проблемы Хилберта -23 проблемы в математике , опубликованной немецким математиком Дэвидом Хилбертом в 1900 году. В то время все они были нерешенными, а некоторые оказались очень влиятельными для математики 20-го века. Хилберт представил десять проблем (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 и 22) на Парижской конференции Международного конгресса математиков , выступая 8 августа в Сорбонне . Полный список из 23 проблем был опубликован позже, в английском переводе в 1902 году Мэри Фрэнсис Уинстон Ньюсон в Бюллетене Американского математического общества . [ 1 ] Ранние публикации (на первоначальном немецком языке) появились в архиве математики и физики . [ 2 ]
Список проблем Хилберта
[ редактировать ]Ниже приведены заголовки для 23 проблем Хилберта, как они появились в переводе 1902 года в Бюллетене Американского математического общества . [ 1 ]
- 1. Проблема Кантора из кардинального номера континуума.
- 2. Совместимость арифметических аксиомов.
- 3. Равенство объемов двух тетраэдров равных оснований и равных высот.
- 4. Проблема прямой линии как кратчайшее расстояние между двумя точками.
- 5.
- 6. Математическая обработка аксиомов физики.
- 7. Иррациональность и трансцендентность определенных чисел.
- 8. Проблемы первичных чисел («Гипотеза Римана»).
- 9. Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом численном поле.
- 10. Определение растворения диофантинского уравнения.
- 11. Квадратичные формы с любыми алгебраическими численными коэффициентами
- 12. Расширение теоремы Кронекера на Абелевские поля на любую алгебраическую сферу рациональности
- 13. Невозможность решения общего уравнения 7 -й степени с помощью функций только двух аргументов.
- 14. Доказательство ограничения определенных полных систем функций.
- 15. Строгая основа перечисления Шуберта.
- 16. Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей.
- 17. Выражение определенных форм квадратами.
- 18. Строительство пространства из конгруэнтных многогранников.
- 19. всегда аналитические решения регулярных задач в исчислении вариаций?
- 20. Общая проблема граничных значений (проблемы граничного значения в PDE).
- 21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений, имеющих предписанную группу монодромии.
- 22. Униформа аналитических отношений с помощью автокорфических функций.
- 23. Дальнейшее развитие методов исчисления вариаций.
Природа и влияние проблем
[ редактировать ]Проблемы Гильберта сильно варьировались в теме и точке. Некоторые из них, такие как третья проблема, которая была первой, которая была решена, или 8 -я проблема ( гипотеза Римана ), которая все еще остается нерешенной, были представлены достаточно, чтобы обеспечить четкий утвердительный или негативный ответ. Для других проблем, таких как 5 -й, эксперты традиционно согласовали единую интерпретацию, и было дано решение об принятой интерпретации, но существуют тесно связанные нерешенные проблемы. Некоторые из заявлений Гильберта были недостаточно точными, чтобы указать конкретную проблему, но были достаточно наводящими на мысль, что, по -видимому, применяются определенные проблемы современной природы; Например, большинство современных теоретиков числа, вероятно, увидят 9 -ю проблему как ссылку на предположительную переписку Лэнглендс о представлениях абсолютной группы Галуа с численным полем . [ 3 ] Еще другие проблемы, такие как 11 -й и 16 -й, касаются того, что сейчас процветают математические субдисциплинарные, такие как теории квадратичных форм и реальных алгебраических кривых .
Есть две проблемы, которые не только неразрешены, но на самом деле могут быть неразрешенными по современным стандартам. 6-я проблема касается аксиоматизации физики , цель, цель которой, по-видимому , события 20-го века, по-видимому, делают как более отдаленную, так и менее важной, чем во времена Гильберта. Кроме того, 4 -я проблема касается оснований геометрии таким образом, как в настоящее время считается слишком расплывчатым, чтобы обеспечить окончательный ответ.
23 -я проблема была целенаправленно установлена в качестве общего указания Хилбертом, чтобы выделить исчисление вариаций в качестве недооцененного и недостаточно изученного поля. В лекции, представляющей эти проблемы, Хилберт сделал следующее вступительное замечание о 23 -й проблеме:
«До сих пор я в целом упоминал проблемы максимально определенными и особыми, по мнению, что именно такие определенные и особые проблемы привлекают нас больше всего, и из которых наиболее длительное влияние часто оказывается на науку. Тем не менее, я должен Как закрывать общей проблемой, а именно с признаком отрасли математики, неоднократно упоминаемой в этой лекции, которая, несмотря на значительное достижение в последнее время, учитывая его Вейерштрас, не получает общего Оценка, которая, на мой взгляд, является его должным - я имею в виду исчисление вариаций ».
Все остальные 21 проблемы получили значительное внимание, и в конце 20 -го века работа по этим проблемам все еще считается наибольшим значением. Пол Коэн получил медаль Филдса в 1966 году за свою работу по первой проблеме, и негативное решение десятой проблемы в 1970 году Юрием Матиясевич (завершение работы Джулии Робинсон , Хилари Путнэм и Мартина Дэвиса ) получило аналогичное признание. Аспекты этих проблем сегодня все еще представляют большой интерес.
Познаваемость
[ редактировать ]После Готтлоба Фреге и Бертрана Рассела Хилберт стремился логически определить математику, используя метод формальных систем , т. Е. Финантистические доказательства из согласованного набора аксиомов . [ 4 ] Одной из главных целей программы Хилберта было финическое доказательство согласованности аксиомов арифметики: это его вторая проблема. [ А ]
Тем не менее, вторая теорема Гёделя неполноты дает точное смысл, в котором такое завершающее доказательство согласованности арифметики доказывает невозможно. Хилберт жил в течение 12 лет после того, как Курт Гёдель опубликовал свою теорему, но, похоже, не написал никакого официального ответа на работу Гёделя. [ B ] [ C ]
Десятая проблема Гильберта не спрашивает, существует ли алгоритм для определения разрешения диофантинских уравнений , а скорее запрашивает построение такого алгоритма: «Разработать процесс, согласно которому он может быть определен в конечном количестве операций, независимо от Уравнение разрешается в рациональных целых числах ». То, что эта проблема была решена, показав, что не может быть никакого такого алгоритма, противоречащего философии математики Хилберта.
Обсуждая свое мнение, что каждая математическая проблема должна иметь решение, Хилберт допускает возможность того, что решение может быть доказательством того, что первоначальная проблема невозможна. [ D ] Он заявил, что суть в том, чтобы так или иначе узнать, что такое решение, и он верил, что мы всегда можем знать это, что в математике нет ни одного « невероятного » (утверждение, чья правда никогда не может быть известна). [ E ] Кажется неясным, рассматривал бы он решение десятой задачи как экземпляр невероябимуса: то, что доказано, что не существует не целочисленное решение, а (в определенном смысле) способность определять определенным образом, будь то решение существует.
С другой стороны, статус первой и второй задач еще более сложный: нет четкого математического консенсуса относительно того, являются ли результаты Гёделя (в случае второй проблемы), или Gödel и Cohen (в случае Первая проблема) дает окончательные негативные решения или нет, поскольку эти решения применяются к определенной формализации задач, что не обязательно является единственным возможным. [ f ]
24 -я проблема
[ редактировать ]Изначально Гильберт включил 24 проблемы в своем списке, но решил не включить одну из них в опубликованный список. «24 -я проблема» (в теории доказательств , по критерию простоты и общих методов) была заново открыта в первоначальных рукописных примечаниях Гильберта немецкого историка Рюдигера Тиле в 2000 году. [ 7 ]
Последующие последствия
[ редактировать ]С 1900 года математики и математические организации объявили о списках проблем, но, за исключением немногих исключений, они не оказали столько влияния и не принесли столько работы, сколько и проблемы Гилберта.
Одно исключение состоит из трех предположений, сделанных Андре Вейлом в конце 1940 -х годов ( предположения Weil ). В областях алгебраической геометрии , теории чисел и связей между ними предположения WEIL были очень важны. [ 8 ] [ 9 ] Первый из них был доказан Бернардом Дворкой ; Совершенно другое доказательство первых двух, через ℓ-Адическую когологию , было дано Александром Гроетендиком . Последний и глубокий из договоров WEIL (аналог гипотезы Римана) был доказан Пьером Делигеном . И Гроетендик, и Делиньи были награждены медалью Филдс . Тем не менее, предположения Weil, по их сферу, были больше похожи на одну проблему Гилберта, и Вейл никогда не задумывался над ними в качестве программы для всей математики. Это несколько иронично, так как, возможно, Вейл был математиком 1940 -х и 1950 -х годов, которые лучше всего сыграли роль Гильберта, будучи знакомым почти со всеми областями (теоретической) математики и важным образом определились в развитии многих из них.
Пол Эрдс позировал сотни, если не тысячи математических проблем , многие из них глубокие. Эрд часто предлагает денежные вознаграждения; Размер вознаграждения зависел от воспринимаемой сложности проблемы. [ 10 ]
Конец тысячелетия, который также был столетием объявления Гильберта о его проблемах, обеспечил естественный повод предложить «новый набор проблем Гилберта». Несколько математиков приняли эту проблему, в частности, призер поля Стива Смале , который ответил на запрос Владимира Арнольда о предложении списка из 18 проблем.
По крайней мере, в основных средствах массовой информации де -факто аналогом 21 -го века проблем Хилберта является список из семи проблем призов тысячелетия, выбранных в 2000 году Институтом математики Клэй . В отличие от проблем с Гилбертом, где основной наградой было восхищение Гильберта в частности и математиков в целом, каждая проблема призовых включает в себя награду за миллион долларов. Как и в случае с проблемами Гильберта, одна из призовых проблем ( гипотеза Пуанкаре ) была решена относительно вскоре после объявления о проблемах.
Гипотеза Римана заслуживает внимания своим появлением в списке проблем Гилберта, Списка Смейла, списка проблем призов тысячелетия и даже предположительных предположений Вейла в его геометрическом облике. Хотя на него напали крупные математики нашего дня, многие эксперты считают, что это все еще будет частью нерешенных списков проблем на протяжении многих веков. Сам Гильберт заявил: «Если бы я проснулся после того, как спал в течение тысячи лет, мой первый вопрос был бы: была доказана ли гипотеза Римана?» [ 11 ]
В 2008 году DARPA объявил о своем собственном списке из 23 проблем, которые, как он надеялся, может привести к крупным математическим прорывам, «тем самым укрепляя научные и технологические возможности DOD » . [ 12 ] [ 13 ] Список DARPA также включает в себя несколько проблем из списка Хилберта, например, гипотеза Римана.
Краткое содержание
[ редактировать ]Из чистых сформулированных проблем Гильберта, числа 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19 и 20 имеют резолюции, которые принимаются консенсусом математического сообщества. Проблемы 1, 2, 5, 6, [ G ] 9, 11, 12, 15, 21 и 22 имеют решения, которые имеют частичное принятие, но существует некоторое противоречие относительно того, решают ли они проблемы.
Это оставляет 8 ( гипотеза Римана ), 13 и 16 [ H ] неразрешенные, и 4 и 23 как слишком расплывчатые, чтобы когда -либо описать как решаемые. Изъятый 24 также будет в этом классе.
Таблица проблем
[ редактировать ]23 проблемы Гильберта (для получения подробной информации о решениях и ссылках см. Статьи, с которыми связаны в первом столбце):
| Проблема | Краткое объяснение | Статус | Год решен |
|---|---|---|---|
| 1 -й | Гипотеза континуума (то есть нет набора , чья кардинальность находится строго между целыми числами и гигиенами реальных чисел ) | Доказано, что это невозможно доказать или опровергнуть в рамках теории набора Zermelo -Fraenkel с или без выбора или без нее (при условии, что теория набора Zermelo -Fraenkel является последовательной , то есть она не содержит противоречия). Нет единого мнения о том, является ли это решением проблемы. | 1940, 1963 |
| 2 -й | Докажите аксиомы арифметики , последовательны . что | Нет никакого консенсуса по поводу того, дают ли результаты Гёделя и Джентзена решение проблемы, как указано Гильбертом. Геделя Вторая теорема неполноты , доказанная в 1931 году, показывает, что никаких доказательств ее согласованности не может быть выполнено в самой арифметике. , что последовательность арифметики следует из обоснованности порядкового Дженцен доказал в 1936 году ε 0 . | 1931, 1936 |
| 3 -й | Учитывая какие -либо два многогранника одинакового объема, всегда возможно ли сократить первое на конечно много многогранных кусочков, которые можно собрать, чтобы дать второе? | Решено. Результат: нет, доказано, что использование инвариантов Dehn . | 1900 |
| 4 -й | Создайте все метрики , где линии являются геодезикой . | Слишком расплывчат, чтобы быть заявленным разрешено или нет. [ я ] | — |
| 5 -й | Непрерывные группы автоматически дифференциальные группы ? | Решен Эндрю Глисоном , предполагая одну интерпретацию первоначального заявления. Если, однако, это понимается как эквивалент догадки Гильберта -Смита , это все еще нерешенное. | 1953? |
| 6 -й | обработка аксиомов физики : Математическая
(а) Аксиоматическая обработка вероятности с ограниченными теоремами для основания статистической физики (б) строгая теория ограничивающих процессов, которые приводят от атомистического взгляда к законам движения континуа » |
Неразрешенные или частично решенные, в зависимости от того, как интерпретируется первоначальное утверждение. [ 14 ] Элементы (а) и (б) были двумя конкретными проблемами, заданными Гильбертом в более позднем объяснении. [ 1 ] Аксиоматика Колмогорова (1933) в настоящее время принимается в качестве стандарта для оснований теории вероятности. На пути есть некоторый успех от «атомистического взгляда к законам движения континуи», [ 15 ] , но переход от классической к квантовой физике означает, что должно быть две аксиоматические составы с четкой связью между ними. Джон фон Нейман сделал раннюю попытку разместить квантовую механику на строгую математическую основу в своей книге «Математические основы квантовой механики» , [ 16 ] Но последующие события произошли, что еще больше оспаривает аксиоматические основы квантовой физики. | 1933–2002? |
| 7 -й | Является а беременный Трансцендентальный , для алгебраики a ≠ 0,1 и иррациональный алгебраический B ? | Решено. Результат: да, проиллюстрировано теоремой Гельфонда -Шнайдер . | 1934 |
| 8 -й | Гипотеза Римана («Реальная часть любого не тривиального нуля функции Римана Зета составляет 1/2») и других проблем с первичным номером, среди них гипотезы Голдбаха и двойная главная гипотеза | Неразрешенный. | — |
| 9 -й | Найдите наиболее общий закон теоремы взаимности в любом алгебраических поле чисел . | Частично разрешено. [ J ] | — |
| 10 -е место | Найдите алгоритм, чтобы определить, имеет ли данное полиномиальное диофантовое уравнение с целочисленными коэффициентами целочисленного раствора. | Решено. Результат: невозможно; Теорема Матиясевича подразумевает, что такого алгоритма нет. | 1970 |
| 11 -й | Решение квадратичных форм с алгебраическими численными коэффициентами . | Частично разрешено. [ 17 ] | — |
| 12 -й | Расширьте теорему Кронекера - Вабер на расширения абелевских рациональных чисел на любое поле базового числа. | Частично разрешено. [ 18 ] | — |
| 13 -е | Решите уравнение 7-й степени с использованием алгебраических (вариант: непрерывная) функции двух параметров . | Неразрешенный. Непрерывный вариант этой проблемы был решен Владимиром Арнольдом в 1957 году на основе работы Андрея Колмогорова (см . Теорему представления Колмогоров - Арнольд ), но алгебраический вариант нерешен. [ k ] | — |
| 14 -е | ли кольцо инвариантов алгебраической группы, на полиномиальное кольцо Всегда действующего ? | Решено. Результат: нет, контрпример был построен Масайоши Нагата . | 1959 |
| 15 -й | Строгая основа перечисления Шуберта . | Частично разрешено. [ 23 ] | — |
| 16 -й | Опишите относительные положения овалов, происходящих из реальной алгебраической кривой , и в виде предельных циклов полиномиального векторного поля на плоскости. | Неразрешенные, даже для алгебраических кривых степени 8. | — |
| 17 -й | Выразите неотрицательную рациональную функцию как коэффициент сумм квадратов . | Решено. Результат: да, из -за Эмиля Артина . Более того, был установлен верхний предел для количества необходимых квадратных терминов. | 1927 |
| 18 -е | (а) Есть ли только конечно много разных космических групп в n -размерном евклидовом пространстве? | Решено. Результат: да (от Людвига Бибербаха ) | 1910 |
| (б) Есть ли многогранник, который допускает только анизоэдральную плитку в трех измерениях? | Решено. Результат: да ( Карл Рейнхардт ). | 1928 | |
| (c) Что такое самая плотная упаковка сферы ? | Широко считается решением, с помощью компьютерного доказательства ( Томас Каллистер Хейлз ). Результат: самая высокая плотность, достигнутая близкими упаковками , каждая из которых с плотностью приблизительно 74%, такими как кубическая закрытая упаковка, сосредоточенная на лицевой части, и шестиугольная закрытая упаковка. [ L ] | 1998 | |
| 19 -е | решения регулярных задач в исчислении вариаций Всегда ли аналитические ? | Решено. Результат: да, доказано Эннио де Джорги и независимо и используя различные методы, Джоном Форбсом Нэшем . | 1957 |
| 20 -е | Есть ли у всех вариационных проблем с определенными граничными условиями решения? | Частично разрешено. Значительная тема исследования в течение всего 20 -го века, что приводит к решениям для некоторых случаев. [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] | ? |
| 21 | Доказательство существования Фуксия линейных дифференциальных уравнений , имеющих предписанную группу монодромии | Частично разрешено. Результат: да/нет/open, в зависимости от более точных составов проблемы. [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] | ? |
| 22 -й | Университет аналитических отношений с помощью автокорфических функций | Частично разрешено. Теорема униформации | ? |
| 23 -й | Дальнейшее развитие исчисления вариаций | Слишком расплывчат, чтобы быть заявленным разрешено или нет. | — |
Смотрите также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ См. Нагель и Ньюман, пересмотренные Hofstadter (2001, стр. 107), [ 5 ] Сноска 37: «Более того, хотя большинство специалистов по математической логике не ставят под сомнение убедительность доказательства [джентца], оно не является финитистичным в смысле первоначальных условий Гилберта для абсолютного доказательства последовательности». Также см. Следующую страницу: «Но эти доказательства [Gentzen's et al.] Не могут быть отражены внутри систем, которые они касаются, и, поскольку они не являются финитистическими, они не достигают провозглашенных целей оригинальной программы Гильберта». Хофштадтер немного переписал оригинальную (1958) сноску, изменив слово «студенты» на «специалисты по математической логике». И этот момент снова обсуждается на странице 109 [ 5 ] и не был изменен там Хофстадтером (стр. 108). [ 5 ]
- ^ Рейд сообщает, что, услышав о «работе Гёделя от Бернайса, он был« несколько злым ». ... Сначала он был только зол и разочарован, но потом он начал пытаться конструктивно решать проблему ... это было Еще не ясно, какое влияние в конечном итоге будет иметь на работу Гёделя »(стр. 198–199). [ 6 ] Рейд отмечает, что в двух работах в 1931 году Хилберт предложил другую форму индукции, называемую «не индукингом» (стр. 199). [ 6 ]
- ^ Биография Рейда Гильберта, написанная в течение 1960 -х годов из интервью и писем, сообщает, что «Годель (у которого никогда не было никакой переписки с Гилбертом) считает, что схема Гильберта о основаниях математики остается весьма интересной и важной, несмотря на мои негативные результаты» (стр. 217). Фонды »(стр. VII). [ 6 ]
- ^ Эта проблема, которая находит свое начало в «основополагающем кризисе» начала 20 -го века, в частности, противоречия о каких обстоятельствах может быть использован в доказательствах закон об исключении среднего . Смотрите гораздо больше в противоречие Брауэр -Хилберта .
- ^ «Это убеждение в решении каждой математической проблемы является мощным стимулом для работника. Мы слышим внутри нас вечный призыв: есть проблема. Ищите его решение. Вы можете найти его по чистому разуму, потому что в математике нет негабимус ". (Hilbert, 1902, p. 445)
- ^ Nagel, Newman и Hofstadter обсуждают этот вопрос: «Возможность построения конечного абсолютного доказательства согласованности для формальной системы, такой как Principia Mathematica , не исключена результатами Геделя. ... Его аргумент не устраняет возможность ... но но Никто сегодня, кажется, не имеет четкого представления о том, каким будет конечное доказательство, не способно быть отраженным внутри принципа Mathematica (сноска 39, страница 109). [ 5 ]
- ^ Номер 6 теперь считается проблемой в физике, а не в математике.
- ^ Некоторые авторы считают эту проблему слишком расплывчатой, чтобы когда -либо описать как решаемая, хотя на ней все еще есть активные исследования.
- ^ По словам Грея, большинство проблем были решены. Некоторые не были определены полностью, но было достигнуто достаточно прогресса, чтобы считать их «решением»; Грей перечисляет четвертую проблему слишком расплывчатой, чтобы сказать, было ли она решена.
- ^ Проблема 9 была решена Эмилем Артином в 1927 году для в Абелийском расширения рациональных чисел рациональном числах во время развития теории поля классов ; Неогасный случай нерешенного, если кто-то интерпретирует, что означает теорию поля неабелевского класса .
- ^ Нетрудно показать, что проблема имеет частичное решение в пространстве однозначных аналитических функций (raudenbush). Некоторые авторы утверждают, что Гильберт предназначен для решения в пространстве (многозначных) алгебраических функций, что продолжает свою собственную работу по алгебраическим функциям и является вопросом о возможном расширении теории Галуа (см., Например, Абхьянкар [ 19 ] Vitushkin, [ 20 ] Chebotarev, [ 21 ] и другие). Это появляется из одной из бумаг Хилберта [ 22 ] что это было его первоначальным намерением для проблемы. Язык Гильберта существует « существует фон algebraischen funktionen » («существование алгебраических функций»). Таким образом, проблема все еще неразрешена.
- ^ Грей также перечисляет 18-ю проблему как «открытую» в своей книге 2000 года, потому что проблема с пакетом (также известная как гипотеза Кеплер ) была нерешенной, но в настоящее время утверждено решение.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Подпрыгнуть до: а беременный в Хилберт, Дэвид (1902). «Математические проблемы» . Бюллетень Американского математического общества . 8 (10): 437–479. doi : 10.1090/s0002-9904-1902-00923-3 .
- ^ Хилберт, Дэвид (1900). «Математические проблемы» . Göttinger Nachrichten : 253–297. и Хилберт, Дэвид (1901). «[Нет названия не указано]». Архивы математики и физики . 3. 1 : 44–63, 213–237.
- ^ Вайнштейн, Джаред (2015-08-25). «Законы о взаимности и заявления Галуа: недавние прорывы» . Бюллетень Американского математического общества . 53 (1). Американское математическое общество (AMS): 1–39. doi : 10.1090/бык/1515 . ISSN 0273-0979 .
- ^ Ван Хейдженорт, Джин, изд. (1976) [1966]. От Frege до Gödel: исходная книга в математической логике, 1879–1931 ((pbk.) Ed.). Кембридж М.А: издательство Гарвардского университета. С. 464ff. ISBN 978-0-674-32449-7 Полем
Надежный источник аксиоматической системы Гильберта, его комментарии к ним и основополагающий «кризис», который продолжался в то время (переведен на английский язык), выглядит как «Основы математики» Гильберта (1927).
- ^ Подпрыгнуть до: а беременный в дюймовый Нагель, Эрнест; Ньюман, Джеймс Р.; Hofstadter, Douglas R. (2001). Хофстадтер, Дуглас Р. (ред.). Доказательство Гёделя (Rev. Ed.). Нью -Йорк: издательство Нью -Йоркского университета. ISBN 978-0-8147-5816-8 .
- ^ Подпрыгнуть до: а беременный в Рейд, Констанс (1996). Гильберт . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спринглер-публикатор. ISBN 978-0387946740 .
- ^ Тиле, Рудигер (январь 2003 г.). «Двадцать четвертая проблема Гильберта» (PDF) . Американский математический ежемесячный . 110 : 1–24. doi : 10.1080/00029890.2003.11919933 . S2CID 123061382 .
- ^ Вейл, Андре (1949). «Количество решений уравнений в конечных областях» . Бюллетень Американского математического общества . 55 (5): 497–508. doi : 10.1090/s0002-9904-1949-09219-4 . ISSN 0002-9904 . Мистер 0029393 .
- ^ Browder, Felix E. (1976). Математические события, возникающие из -за проблем Гильберта . Провидение: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1428-1 Полем OCLC 2331329 .
- ^ Чунг, фанат RK; Грэм, Рональд Л. (1999-06-01). Эрдо на графиках: его наследие нерешенных проблем . Natick, Mass: AK Peters/CRC Press. ISBN 978-1-56881-111-6 Полем OCLC 42809520 .
- ^ Клоусон, Кэлвин С. (8 декабря 1999 г.). Математические загадки: красота и магия чисел . Основные книги. п. 258. ISBN 9780738202594 Полем LCCN 99-066854 .
- ^ Куни, Майкл (30 сентября 2008 г.). «23 самых жестких математических вопросов в мире» . Сетевой мир . Получено 7 апреля 2024 года .
- ^ «Математические проблемы DARPA» . 2008-09-26. Архивировано из оригинала 2019-01-12 . Получено 2021-03-31 .
- ^ Корри Л. (1997). «Дэвид Хилберт и аксиоматизация физики (1894–1905)». Архи Хвост Точная наука . 51 (2): 83–198. doi : 10.1007/bf00375141 . S2CID 122709777 .
- ^ Горбан, Ан ; Карлин И. (2014). «6 -я проблема Гильберта: точные и приблизительные гидродинамические коллекторы для кинетических уравнений» . Бюллетень Американского математического общества . 51 (2): 186–246. Arxiv : 1310.0406 . doi : 10.1090/s0273-0979-2013-01439-3 .
- ^ Фон Нейман, Джон (2018). Уилер, Николас А. (ред.). Математические основы квантовой механики . Перевод Бейера, Роберт Т. Принстон Оксфорд: издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-17856-1 .
- ^ Hazewinkel, Michiel (2009). Справочник или алгебра . Полный. 6. Elsevier. п. 69. ISBN 978-0080932811 .
- ^ Хьюстон-Эдвардс, Келси (25 мая 2021 года). «Математики находят давними строительные блоки для специальных полиномов» .
- ^ Abhyankar, Shreeram S. (1997). Тринадцатая проблема Гильберта (PDF) . Семинары и конгрессы. Полет. 2. Математическое общество Франции.
- ^ Vitushkin, Anatoliy G. (2004). «По тринадцатой проблеме Гильберта и связанных вопросах». Русские математические исследования . 59 (1). Российская академия наук: 11–25. Bibcode : 2004rumas..59 ... 11V . doi : 10.1070/rm2004v059n01abeh000698 . S2CID 250837749 .
- ^ Morozov, Vladimir V. (1954). "О некоторых вопросах проблемы резольвент" [On certain questions of the problem of resolvents]. Proceedings of Kazan University (in Russian). 114 (2). Kazan University: 173–187.
- ^ Хилберт, Дэвид (1927). «О уравнении девятого класса». Математика 97 : 243–250. Doi : 10.1007/bf01447867 . S2CID 179178089 .
- ^ Клейман, SL ; Лаксов, Дэн (1972). «Шолька Шуберта». Американский математический ежемесячный . 79 (10). Американское математическое общество: 1061–1082. doi : 10.1080/00029890.1972.11993188 . ISSN 0377-9017 .
- ^ Гилбарг, Дэвид; Trudinger, Neil S. (2001-01-12). Эллиптические частичные уравнения второго порядка . Берлин Нью -Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-41160-4 .
- ^ Серрин, Джеймс (1969-05-08). «Проблема Dirichlet для квазилинейных дифференциальных уравнений эллиптических дифференциаций со многими независимыми переменными». Философские транзакции Королевского общества Лондона. Серия A, математические и физические науки . 264 (1153): 413–496. Bibcode : 1969rspta.264..413s . doi : 10.1098/rsta.1969.0033 . ISSN 0080-4614 .
- ^ Mawhin, Джин (1 января 1999 г.). «Степень Leray-Schauder: полвека расширений и заявлений» . Топологические методы в нелинейном анализе . 14 (2). Николайский университет Коперник в Торунь, Центр нелинейных исследований Юлиуза Шоудера: 195–228. doi : 10.12775/tmna.1999.029 . ISSN 1230-3429 . Получено 8 апреля 2024 года .
- ^ Plemelj, Josip (1964). Radok., Jrm (ed.). Проблемы в смысле Римана и Кляйна . Межсценные трактаты в чистой и прикладной математике. Тол. 16. Нью-Йорк-Лондон-Сидней: Interscience Publishers John Wiley & Sons Inc. ISBN 9780470691250 Полем MR 0174815 .
- ^ Anosov, DV; Болибруч, А.А. (1994). Проблема Римана-Хилберта . Аспекты математики, E22. Брауншвейг: Фридр. Vieweg & Son. Doi : 10.1007/978-3-322-92909-9 . ISBN 978-3-528-06496-9 Полем MR 1276272 .
- ^ Bolibrukh, A. A. (1990). "The Riemann-Hilbert problem". Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk (in Russian). 45 (2): 3–47. Bibcode : 1990RuMaS..45Q...1B . doi : 10.1070/RM1990v045n02ABEH002350 . ISSN 0042-1316 . MR 1069347 . S2CID 250853546 .
- ^ Болибрух, А.А. (1992). «Достаточные условия для положительной решения проблемы Римана-Хилберта». Математически Заметки (на русском языке). 51 (2): 110–117. doi : 10.1007/bf02102113 . MR 1165460 . S2CID 121743184 .
- ^ Кац, Н.М. (1976). «Обзор работы Делиньи по двадцать первой проблеме Гильберта». Труды симпозий в чистой математике . 28 : 537–557. doi : 10.1090/pspum/028.2/9904 . ISBN 9780821814284 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Грей, Джереми (2000). Хильберт -вызов . Оксфорд; Нью -Йорк: издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-850651-5 Полем OCLC 44153228 .
- Янделл, Бен (2002). Класс с отличием: проблемы Гильберта и их решатели . Натик, Месса: Ак Петерс. ISBN 978-1-56881-141-3 .
- Thiele, Rüdiger (2005). «На Гильберте и его двадцать четыре проблемы». В Браммлен, Глен Ван; Киньон, Майкл; Ван Бруммлен, Глен; Канадское общество по истории и философии математики (ред.). Математика и ремесло историка: Кеннет О. Мей лекции; [Представлено на собраниях CSHPM с 1990 года] . CMS книги по математике. Тол. 21. Нью -Йорк, Нью -Йорк [Гейдельберг]: Спрингер. С. 243–295. ISBN 978-0-387-25284-1 .
- Доусон, Джон У.; Гедель, Курт (1997). Логические дилеммы: жизнь и работа Курта Гёделя (переиздание изд.). Уэллсли, Месса: Петерс. ISBN 978-1-56881-256-4 .
Большое количество информации, относящейся к «программе» Гильберта и Гёделя на второй вопрос, влияние Аренда Хейтинга и Брауэра интуиционизма воздействия на философию Гильберта. - Броудер, Феликс Эрл (1976). «Математические события, возникающие из -за проблем Гильберта». В Броудере, Феликс Э. (ред.). Труды симпозий в чистой математике XXVIII . Провидение (RI): Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1428-4 .
Сборник обследования эссе экспертов, посвященных каждой из 23 проблем, подчеркивающих текущие события. - Matijasevic, Yuri v.; Матиджасевич, Юрий В. (1993). Десятая проблема Гильберта . Основы вычислений (3 -е изд.). Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-13295-4 .
Учетная запись на уровне бакалавриата математиком, который завершил решение проблемы.
Внешние ссылки
[ редактировать ]
- «Проблемы Гильберта» . Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
- «Оригинальный текст разговора Хилберта, на немецком языке» . Архивировано из оригинала 2012-02-05 . Получено 2005-02-05 .
- «Математические проблемы» Дэвида Хилберта: лекция, проведенная перед Международным конгрессом математиков в Париже в 1900 году » (PDF) .
проблемы Математические
