Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена.

Альберт Эйнштейн

Эйнштейна -Подольского-Розена ( ЭПР ) Парадокс — это мысленный эксперимент, предложенный физиками Альбертом Эйнштейном , Борисом Подольским и Натаном Розеном , который утверждает, что описание физической реальности, обеспечиваемое квантовой механикой, является неполным. В статье 1935 года под названием «Можно ли квантово-механическое описание физической реальности считать полным?» они приводили доводы в пользу существования «элементов реальности», которые не были частью квантовой теории, и предполагали, что должно быть возможно построить теорию. содержащий эти скрытые переменные . Разрешение парадокса имеет важные последствия для интерпретации квантовой механики .

В мысленном эксперименте участвует пара частиц, находящихся в состоянии, которое позже станет известно как запутанное состояние . Эйнштейн, Подольский и Розен указали, что в этом состоянии, если бы было измерено положение первой частицы, можно было бы предсказать результат измерения положения второй частицы. Если бы вместо этого был измерен импульс первой частицы, то можно было бы предсказать результат измерения импульса второй частицы. Они утверждали, что никакое действие, предпринятое над первой частицей, не может мгновенно повлиять на другую, поскольку это потребует передачи информации быстрее, чем свет, что невозможно согласно теории относительности . Они ссылались на принцип, позже известный как «критерий реальности ЭПР», утверждая, что: «Если, никоим образом не нарушая систему, мы можем предсказать с уверенностью (т. е. с вероятностью , равной единице) значение физической величины , то существует элемент реальности, соответствующий этой величине». Из этого они пришли к выводу, что вторая частица должна иметь определенное значение как положения, так и импульса, прежде чем любая из величин будет измерена. Но квантовая механика считает эти две наблюдаемые несовместимы и, следовательно, не связывают одновременные значения для обеих систем с какой-либо системой. Поэтому Эйнштейн, Подольский и Розен пришли к выводу, что квантовая теория не дает полного описания реальности.

Статья «Парадокс»

Термин «парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена» или «ЭПР» возник из статьи, написанной в 1934 году после того, как Эйнштейн присоединился к Институту перспективных исследований , спасаясь от подъема нацистской Германии . Оригинальная бумага претендует на описание того, что должно произойти с «двумя системами I и II, которым мы позволяем взаимодействовать», и через некоторое время «мы предполагаем, что между двумя частями больше нет никакого взаимодействия». Описание ЭПР включает в себя «две частицы, А и В, [которые] кратковременно взаимодействуют, а затем движутся в противоположных направлениях». Согласно принципу неопределенности Гейзенберга , невозможно точно измерить одновременно импульс и положение частицы B; однако можно измерить точное положение частицы А. Таким образом, путем расчета, зная точное положение частицы А, можно узнать точное положение частицы В. Альтернативно, можно измерить точный импульс частицы А и таким образом определить точный импульс частицы В. Как пишет Манджит Кумар : «ЭПР утверждали, что они доказали, что... [частица] B может иметь одновременно точные значения положения и импульса. ... Частица B имеет реальное положение и реальный импульс. Появилась ЭПР. изобрести средства для установления точных значений либо импульса , либо положения B благодаря измерениям, сделанным на частице A, без малейшей возможности физического нарушения частицы B».

ЭПР попыталась создать парадокс, чтобы поставить под сомнение область истинного применения квантовой механики: квантовая теория предсказывает, что оба значения не могут быть известны для частицы, и тем не менее мысленный эксперимент ЭПР претендует на то, чтобы показать, что все они должны иметь определенные значения. В статье ЭПР говорится: «Таким образом, мы вынуждены заключить, что квантовомеханическое описание физической реальности, данное волновыми функциями, не является полным». Статья ЭПР заканчивается словами: «Хотя мы таким образом показали, что волновая функция не дает полного описания физической реальности, мы оставили открытым вопрос о том, существует ли такое описание. Однако мы полагаем, что такое описание теория возможна». Статья EPR 1935 года свела философскую дискуссию к физическому аргументу. Авторы утверждают, что в конкретном эксперименте, в котором результат измерения известен до его проведения, в реальном мире должно существовать что-то, «элемент реальности», определяющее результат измерения. Они постулируют, что эти элементы реальности, в современной терминологии, локальны в том смысле, что каждый из них принадлежит определенной точке пространства-времени . На каждый элемент, опять же в современной терминологии, могут влиять только события, которые расположены в обратном световом конусе его точки пространства-времени (т.е. в прошлом). Эти утверждения основаны на предположениях о природе, которые составляют то, что сейчас известно как местный реализм .

Заголовок статьи о парадоксе ЭПР в номере The New York Times от 4 мая 1935 года .

Хотя статью ЭПР часто воспринимали как точное выражение взглядов Эйнштейна, в первую очередь она была написана Подольским на основе дискуссий в Институте перспективных исследований с Эйнштейном и Розеном. Позже Эйнштейн сказал Эрвину Шредингеру , что «все получилось не так хорошо, как я изначально хотел; скорее, самое существенное было, так сказать, задушено формализмом». Позже Эйнштейн представил индивидуальный отчет о своих местных реалистических идеях. Незадолго до того, как статья ЭПР появилась в Physical Review , The New York Times опубликовала о ней новость под заголовком «Эйнштейн атакует квантовую теорию». История, в которой цитировался Подольский, вызвала раздражение у Эйнштейна, который написал в « Таймс»: «Любая информация, на которой основана статья «Эйнштейн атакует квантовую теорию» в вашем номере от 4 мая, была предоставлена ​​вам без полномочий. Моя неизменная практика — обсуждайте научные вопросы только на соответствующем форуме, и я возражаю против предварительной публикации любых заявлений по таким вопросам в светской прессе».

Газета Times также запросила комментарий у физика Эдварда Кондона , который сказал: «Конечно, большая часть аргументов зависит от того, какое значение следует придавать слову «реальность» в физике». Физик и историк Макс Джаммер позже отметил: «[Это] остается историческим фактом, что самая ранняя критика статьи ЭПР — более того, критика, которая правильно видела в концепции физической реальности Эйнштейна ключевую проблему всего вопроса — появилась в ежедневную газету до публикации самой критикуемой газеты».

Ответ Бора

Публикация статьи вызвала ответ Нильса Бора , который он опубликовал в том же журнале ( Physical Review ) в том же году под тем же названием. (Этот разговор был лишь одной главой в длительной дискуссии между Бором и Эйнштейном о природе квантовой реальности.) Он утверждал, что EPR рассуждала ошибочно. Бор сказал, что измерения положения и импульса дополняют друг друга , то есть выбор измерения одного исключает возможность измерения другого. Следовательно, факт, выведенный относительно одного расположения лабораторной аппаратуры, не мог сочетаться с фактом, выведенным с помощью другого, и, таким образом, вывод о заранее определенных значениях положения и импульса для второй частицы не был действительным. Бор пришел к выводу, что «аргументы ЭПР не оправдывают их вывод о том, что квантовое описание оказывается существенно неполным».

Собственный аргумент Эйнштейна

В своих публикациях и переписке Эйнштейн указывал, что он не удовлетворен статьей ЭПР и что автором большей части ее является Розен. Позже он использовал другой аргумент, настаивая на том, что квантовая механика — неполная теория. Он явно преуменьшил значение приписывания ЭПР «элементов реальности» положению и импульсу частицы B, заявив, что «мне все равно», позволяют ли результирующие состояния частицы B с уверенностью предсказать положение и импульс.

Для Эйнштейна решающей частью аргумента была демонстрация нелокальности , то есть того, что выбор измерения, выполняемого в частице А (положение или импульс), приведет к двум различным квантовым состояниям частицы В. Он утверждал, что из-за локальности реальное состояние частицы B не может зависеть от того, какой тип измерения был сделан в A, и поэтому квантовые состояния не могут находиться во взаимно однозначном соответствии с реальными состояниями. Эйнштейн всю оставшуюся жизнь безуспешно пытался найти теорию, которая могла бы лучше соответствовать его идее локальности .

Более поздние события

вариант Бома

В 1951 году Дэвид Бом предложил вариант мысленного эксперимента ЭПР, в котором измерения имеют дискретные диапазоны возможных результатов, в отличие от измерений положения и импульса, рассматриваемых ЭПР. Мысленный эксперимент ЭПР-Бома можно объяснить с помощью электрон- позитронных пар. Предположим, у нас есть источник, который испускает пары электрон-позитрон, причем электрон отправляется в пункт назначения A , где есть наблюдатель по имени Алиса , а позитрон отправляется в пункт назначения B , где есть наблюдатель по имени Боб . Согласно квантовой механике, мы можем расположить наш источник так, чтобы каждая испускаемая пара занимала квантовое состояние, называемое спиновым синглетом . Поэтому говорят, что частицы запутаны . Это можно рассматривать как квантовую суперпозицию двух состояний, которые мы называем состоянием I и состоянием II. В состоянии I электрон имеет спин , направленный вверх по оси z ( +z ), а спин позитрона направлен вниз по оси z (− z ). В состоянии II электрон имеет спин − z , а позитрон — спин + z . Поскольку он находится в суперпозиции состояний, невозможно без измерений узнать определенное состояние спина любой частицы в спиновом синглете.

Мысленный эксперимент ЭПР, проведенный с электрон-позитронными парами. Источник (в центре) посылает частицы к двум наблюдателям: электроны Алисе (слева) и позитроны Бобу (справа), который может выполнять измерения спина.

Теперь Алиса измеряет вращение по оси z . Она может получить один из двух возможных результатов: + z или − z . Предположим, она получит + z . Неформально говоря, квантовое состояние системы переходит в состояние I. Квантовое состояние определяет вероятные результаты любого измерения, выполняемого в системе. В этом случае, если Боб впоследствии измерит вращение вдоль оси z , существует 100% вероятность того, что он получит − z . Аналогично, если Алиса получит − z , Боб получит + z . нет ничего особенного В выборе оси z : согласно квантовой механике, спиновое синглетное состояние с таким же успехом может быть выражено как суперпозиция спиновых состояний, направленных в направлении x .

По какой бы оси ни измерялись их спины, они всегда оказываются противоположными. В квантовой механике x -спин и z -спин являются «несовместимыми наблюдаемыми», что означает, что принцип неопределенности Гейзенберга применяется к их попеременным измерениям: квантовое состояние не может иметь определенное значение для обеих этих переменных. Предположим, Алиса измеряет z -спин и получает +z , так что квантовое состояние схлопывается в состояние I. Теперь вместо измерения z -спина Боб измеряет x -спин. Согласно квантовой механике, когда система находится в состоянии I, измерение x -спина Боба с вероятностью 50% даст + x и с вероятностью - x 50% . Невозможно предсказать, какой результат появится, пока Боб фактически не выполнит измерение. Следовательно, позитрон Боба будет иметь определенный спин, если его измерять вдоль той же оси, что и электрон Алисы, но при измерении по перпендикулярной оси его спин будет равномерно случайным. Кажется, что информация распространилась (быстрее света) от аппарата Алисы, заставив позитрон Боба принять определенное вращение по соответствующей оси.

Теорема Белла

Основная статья: теорема Белла

В 1964 году Джон Стюарт Белл опубликовал статью. исследуя загадочную ситуацию в то время: с одной стороны, парадокс ЭПР якобы показал, что квантовая механика нелокальна, и предположил, что теория скрытых переменных может исправить эту нелокальность. С другой стороны, Дэвид Бом недавно разработал первую успешную теорию скрытых переменных, но она носила крайне нелокальный характер. Белл намеревался исследовать, действительно ли возможно решить проблему нелокальности со скрытыми переменными, и обнаружил, что, во-первых, корреляции, показанные в версиях парадокса как ЭПР, так и Бома, действительно могут быть объяснены локально с помощью скрытых переменных, и во-вторых, корреляции, показанные в его собственном варианте парадокса, не могут быть объяснены никакой локальной теорией скрытых переменных. Этот второй результат стал известен как теорема Белла.

Чтобы понять первый результат, рассмотрим следующую игрушечную теорию скрытых переменных, представленную позже Дж. Дж. Сакураи: в нем квантовые спин-синглетные состояния, испускаемые источником, на самом деле являются приблизительными описаниями «истинных» физических состояний, обладающих определенными значениями z -спина и x -спина. В этих «истинных» состояниях позитрон, идущий к Бобу, всегда имеет значения спина, противоположные спину электрона, идущего к Алисе, но в остальном эти значения совершенно случайны. Например, первая пара, отправленная источником, может быть «(+ z , − x ) Алисе и (− z , + x ) Бобу», следующая пара «(− z , − x ) Алисе и (+ z , + x ) Бобу» и так далее. Следовательно, если ось измерения Боба совпадает с осью измерения Алисы, он обязательно получит противоположность тому, что получает Алиса; в противном случае он получит «+» и «-» с равной вероятностью.

Белл, однако, показал, что такие модели могут воспроизводить синглетные корреляции только тогда, когда Алиса и Боб проводят измерения на одной и той же оси или на перпендикулярных осях. Как только допускаются другие углы между их осями, локальные теории скрытых переменных становятся неспособными воспроизводить квантово-механические корреляции. Эта разница, выраженная с помощью неравенств, известных как « неравенства Белла », в принципе поддается экспериментальной проверке. После публикации статьи Белла были проведены различные эксперименты по проверке неравенств Белла , в частности группой Алена Аспекта в 1980-х годах; все эксперименты, проведенные на сегодняшний день, показали поведение, соответствующее предсказаниям квантовой механики. Современный взгляд на ситуацию таков, что квантовая механика категорически противоречит философскому постулату Эйнштейна о том, что любая приемлемая физическая теория должна соответствовать «локальному реализму». Тот факт, что квантовая механика нарушает неравенства Белла, указывает на то, что любая теория скрытых переменных, лежащая в основе квантовой механики, должна быть нелокальной; следует ли понимать это как подразумевающее, что квантовая механика сама по себе нелокальна, является предметом продолжающихся споров.

Рулевое управление

Основная статья: Квантовое управление

Вдохновленный трактовкой парадокса ЭПР Шредингером еще в 1935 году, Говард М. Уайзман и др. формализовал его в 2007 году как явление квантового управления. Они определили управление как ситуацию, когда измерения Алисы на части запутанного состояния управляют частью состояния Боба. То есть наблюдения Боба не могут быть объяснены с помощью локальной модели скрытого состояния , в которой Боб имел бы фиксированное квантовое состояние на своей стороне, которое классически коррелировано, но в остальном независимо от состояния Алисы.

Местность

Локальность имеет несколько разных значений в физике. ЭПР описывает принцип локальности как утверждение, что физические процессы, происходящие в одном месте, не должны оказывать немедленного воздействия на элементы реальности в другом месте. На первый взгляд это предположение кажется разумным, поскольку оно является следствием специальной теории относительности , которая утверждает, что энергия никогда не может передаваться со скоростью, превышающей скорость света , не нарушая причинности ; однако оказывается, что обычные правила объединения квантовомеханических и классических описаний нарушают принцип локальности ЭПР, не нарушая при этом специальную теорию относительности или причинность. Причинно-следственная связь сохраняется, поскольку у Алисы нет возможности передавать сообщения (т. е. информацию) Бобу, манипулируя своей осью измерения. Какую бы ось она ни использовала, она имеет 50%-ную вероятность получения «+» и 50%-ную вероятность получения «-», совершенно случайно ; согласно квантовой механике, ей принципиально невозможно повлиять на то, какой результат она получит. Более того, Боб может выполнить свое измерение только один раз : существует фундаментальное свойство квантовой механики, теорема о запрете клонирования , которая делает невозможным для него сделать произвольное количество копий полученного им электрона, выполнить измерение спина. по каждому из них и посмотрите на статистическое распределение результатов. Следовательно, в одном измерении, которое ему разрешено провести, существует 50%-ная вероятность получить «+» и 50%-ная вероятность получить «-», независимо от того, совмещена ли его ось с осью Алисы или нет.

Подводя итог, можно сказать, что результаты мысленного эксперимента ЭПР не противоречат предсказаниям специальной теории относительности. Ни парадокс ЭПР, ни какой-либо квантовый эксперимент не демонстрируют, что сверхсветовая передача сигналов возможна; однако принцип локальности сильно апеллирует к физической интуиции, и Эйнштейн, Подольский и Розен не хотели отказываться от него. Эйнштейн высмеял предсказания квантовой механики, назвав их « жутким действием на расстоянии ». Они пришли к выводу, что квантовая механика не является законченной теорией.

Математическая формулировка

Вариант парадокса ЭПР Бома можно выразить математически, используя квантовомеханическую формулировку спина . Спиновая степень свободы электрона связана с двумерным комплексным векторным пространством V , где каждое квантовое состояние соответствует вектору в этом пространстве. Операторы, соответствующие вращению вдоль направлений x , y и z , обозначаемые S _x , S _y и S _z соответственно, могут быть представлены с помощью матриц Паули : $$S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}},$$ где $\hbar$ — приведенная постоянная Планка (или постоянная Планка, деленная на 2π).

Собственные состояния S z _как представлены $$\left|+z\right\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \left|-z\right\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$$ а собственные состояния S _x представлены как $$\left|+x\right\rangle \leftrightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},\quad \left|-x\right\rangle \leftrightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}.$$

Векторное пространство пары электрон-позитрон $V\otimes V$, тензорное произведение векторных пространств электрона и позитрона. Спиновое синглетное состояние $$\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\biggl (}\left|+z\right\rangle \otimes \left|-z\right\rangle -\left|-z\right\rangle \otimes \left|+z\right\rangle {\biggr )},$$ где два термина в правой части — это то, что мы выше назвали состоянием I и состоянием II.

Из приведенных выше уравнений можно показать, что синглет спина также можно записать как $$\left|\psi \right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\biggl (}\left|+x\right\rangle \otimes \left|-x\right\rangle -\left|-x\right\rangle \otimes \left|+x\right\rangle {\biggr )},$$ где члены в правой части — это то, что мы назвали состоянием Ia и состоянием IIa.

Чтобы проиллюстрировать парадокс, нам нужно показать, что после измерения Алисой S _z (или S _x ) значение S _z (или S _x ) Боба определяется однозначно, а значение S _x (или S _z ) Боба является равномерно случайным. Это следует из принципов измерения в квантовой механике . При S _{z состояние системы} измерении $|\psi \rangle$ схлопывается в собственный вектор S _z . Если результат измерения +z , это означает, что сразу после измерения состояние системы схлопывается до $$\left|+z\right\rangle \otimes \left|-z\right\rangle =\left|+z\right\rangle \otimes {\frac {\left|+x\right\rangle -\left|-x\right\rangle }{\sqrt {2}}}.$$

Аналогично, если результат измерения Алисы равен − z , состояние схлопывается до $$\left|-z\right\rangle \otimes \left|+z\right\rangle =\left|-z\right\rangle \otimes {\frac {\left|+x\right\rangle +\left|-x\right\rangle }{\sqrt {2}}}.$$ Левая часть обоих уравнений показывает, что измерение S _z на позитроне Боба теперь определено: оно будет равно - z в первом случае или + z во втором случае. Правая часть уравнений показывает, что измерение S _x на позитроне Боба в обоих случаях даст + x или - x с вероятностью 1/2 каждый.

См. также

• Эксперимент Аспекта
• Дебаты Бора и Эйнштейна: аргумент ЭПР
• Согласованность
• Корреляция не подразумевает причинно-следственную связь
• CHSH неравенство
• ЭР = ЭПР
• эксперимент ГХЗ
• Проблема измерения
• Философия информации
• Философия физики
• эксперимент Поппера
• Супердетерминизм
• Квантовая запутанность
• Квантовая информация
• Квантовая псевдотелепатия
• Квантовая телепортация
• Так же, как Зенон
• Синхронность
• Амплитуда вероятности Уорда

Ссылки

Избранные статьи

• Эберхард, PH (1977). «Теорема Белла без скрытых переменных». Иль Нуово Чименто Б. Ряд 11. 38 (1): 75–80. arXiv : Quant-ph/0010047 . Бибкод : 1977NCimB..38...75E . дои : 10.1007/bf02726212 . ISSN   1826-9877 . S2CID   51759163 .
• Эберхард, PH (1978). «Теорема Белла и различные концепции локальности» . Иль Нуово Чименто Б. Серия 11. 46 (2): 392–419. Бибкод : 1978NCimB..46..392E . дои : 10.1007/bf02728628 . ISSN   1826-9877 . S2CID   118836806 .
• Эйнштейн, А.; Подольский, Б.; Розен, Н. (15 мая 1935 г.). «Можно ли квантово-механическое описание физической реальности считать полным?» (PDF) . Физический обзор . 47 (10): 777–780. Бибкод : 1935PhRv...47..777E . дои : 10.1103/physrev.47.777 . ISSN   0031-899X .
• Хорошо, Артур (1 февраля 1982 г.). «Скрытые переменные, совместная вероятность и неравенства Белла». Письма о физических отзывах . 48 (5): 291–295. Бибкод : 1982PhRvL..48..291F . дои : 10.1103/physrevlett.48.291 . ISSN   0031-9007 .
• А. Хорошо, нужно ли объяснять корреляции? , в книге «Философские последствия квантовой теории: размышления о теореме Белла » под редакцией Кушинга и Макмаллина (University of Notre Dame Press, 1986).
• Харди, Люсьен (13 сентября 1993 г.). «Нелокальность для двух частиц без неравенств почти для всех запутанных состояний». Письма о физических отзывах . 71 (11): 1665–1668. Бибкод : 1993PhRvL..71.1665H . дои : 10.1103/physrevlett.71.1665 . ISSN   0031-9007 . ПМИД   10054467 .
• М. Мизуки, Классическая интерпретация неравенства Белла . Анналы Фонда Луи де Бройля 26 683 (2001)
• Перес, Ашер (2005). «Эйнштейн, Подольский, Розен и Шеннон». Основы физики . 35 (3): 511–514. arXiv : Quant-ph/0310010 . Бибкод : 2005FoPh...35..511P . дои : 10.1007/s10701-004-1986-6 . ISSN   0015-9018 . S2CID   119556878 .
• П. Плюх, «Теория квантовой вероятности», докторская диссертация Клагенфуртского университета (2006 г.)
• Роу, Массачусетс; Кельпински, Д.; Мейер, В.; Сакетт, Калифорния; Итано, ВМ; Монро, К.; Вайнленд, диджей (2001). «Экспериментальное нарушение неравенства Белла с эффективным обнаружением». Природа . 409 (6822): 791–794. Бибкод : 2001Natur.409..791R . дои : 10.1038/35057215 . hdl : 2027.42/62731 . ISSN   0028-0836 . ПМИД   11236986 . S2CID   205014115 .
• Смерлак, Маттео; Ровелли, Карло (3 февраля 2007 г.). «Реляционный ЭПР». Основы физики . 37 (3): 427–445. arXiv : Quant-ph/0604064 . Бибкод : 2007FoPh...37..427S . дои : 10.1007/s10701-007-9105-0 . ISSN   0015-9018 . S2CID   11816650 .

Книги

• Белл, Джон С. (1987). Выразимое и невыразимое в квантовой механике . Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-36869-3 .
• Хорошо, Артур (1996). Шаткие игры: Эйнштейн, реализм и квантовая теория . 2-е изд. унив. из Чикаго Пресс.
• Гриббин, Джон (1984). В поисках кота Шрёдингера . Черный лебедь. ISBN   978-0-552-12555-0
• Лидерман, Леон ; Терези, Дик (1993). Частица Бога: если Вселенная — это ответ, то в чем вопрос? Компания Houghton Mifflin, стр. 21, 187–189.
• Селлери, Франко (1988). Квантовая механика против локального реализма: парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена . Нью-Йорк: Пленум Пресс. ISBN   0-306-42739-7 .

Внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии: Аргумент Эйнштейна-Подольского-Розена в квантовой теории; 1.2 Аргументация в тексте
• Интернет-энциклопедия философии : « Аргумент Эйнштейна-Подольского-Розена и неравенства Белла »
• Стэнфордская энциклопедия философии : Эбнер Шимони (2019) « Теорема Белла »
• EPR, Bell & Aspect: оригинальные ссылки
• Исключает ли принцип неравенства Белла локальные теории квантовой механики? из FAQ по физике Usenet
• Теоретическое использование ЭПР в телепортации
• Эффективное использование EPR в криптографии
• ЭПР-эксперимент с одиночными фотонами интерактивный
• Жуткие действия на расстоянии?: Лекция Оппенгеймера профессора Мермина
• Оригинальная бумага