f ( R ) гравитация

f ( R ) — это разновидность гравитации модифицированной теории Эйнштейна , которая обобщает общую теорию относительности . f ( R ) гравитация на самом деле представляет собой семейство теорий, каждая из которых определяется отдельной f скаляра Риччи R функцией . Самый простой случай — это просто функция, равная скаляру; это общая теория относительности. В результате введения произвольной функции может появиться свобода объяснять ускоренное расширение и формирование структуры Вселенной без добавления неизвестных форм темной энергии или темной материи . Некоторые функциональные формы могут быть вдохновлены поправками, вытекающими из квантовой теории гравитации . f ( R ) гравитация была впервые предложена в 1970 году Гансом Адольфом Бухдалем. (хотя φ использовалось , а не f для имени произвольной функции ). Это стало активной областью исследований после работы Старобинского по космической инфляции . Из этой теории можно получить широкий спектр явлений, приняв различные функции; однако многие функциональные формы теперь могут быть исключены на основании наблюдений или из-за патологических теоретических проблем.

Введение

В гравитации f ( R ) пытаются обобщить лагранжиан действия Эйнштейна – Гильберта : $$S[g]=\int {1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$$ к $$S[g]=\int {1 \over 2\kappa }f(R){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$$ где $\kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu \nu }$ – определитель метрического тензора , а $f(R)$ — некоторая функция скаляра Риччи .

Есть два способа отследить эффект изменения $R$ к $f(R)$, т. е. получить уравнения поля теории . Первый заключается в использовании метрического формализма , а второй — в использовании формализма Палатини . Хотя оба формализма приводят к одним и тем же уравнениям поля для общей теории относительности, т. е. когда $f(R)=R$, уравнения поля могут отличаться, когда $f(R)\neq R$.

Метрическая f ( R ) гравитация

Вывод уравнений поля

В метрической гравитации f ( R ) к уравнениям поля приходят, варьируя действие по метрике и не рассматривая связь $\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }$ независимо. Для полноты картины мы сейчас кратко упомянем основные этапы вариации действия. Основные шаги те же, что и в случае вариации действия Эйнштейна–Гильберта (подробнее см. в статье), но есть и некоторые важные различия.

Вариация определителя, как всегда: $$\delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }$$

Скаляр Риччи определяется как $$R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.$$

Поэтому ее вариация относительно обратной метрики $g^{\mu \nu }$ дается

$${\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\left(\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}$$

О втором шаге см. статью о действии Эйнштейна–Гильберта . С $\delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$есть разница двух связей, она должна преобразоваться как тензор. Следовательно, это можно записать как $$\delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla _{\mu }\delta g_{a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\right).$$

Подставив в уравнение выше: $$\delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }$$

где $\nabla _{\mu }$является ковариантной производной и $\square =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }$ — оператор Даламбера .

Обозначая $F(R)={\frac {df}{dR}}$, вариант действия гласит: $${\begin{aligned}\delta S[g]&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f(R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(F(R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\left(F(R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}$$

Интегрируя по частям по второму и третьему слагаемым (и пренебрегая граничными вкладами), получаем: $$\delta S[g]=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu \nu }\left(F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }]F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x.$$

Требуя, чтобы действие оставалось инвариантным при изменении метрики, ${\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=0$, получаем уравнения поля: $$F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+\left[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu },$$ где $T_{\mu \nu }$– тензор энергии-импульса, определяемый как $$T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} })}{\delta g^{\mu \nu }}},$$ где ${\mathcal {L}}_{m}$является лагранжевой материей.

Обобщенные уравнения Фридмана

Предполагая метрику Робертсона – Уокера с масштабным коэффициентом $a(t)$ мы можем найти обобщенные уравнения Фридмана (в единицах, где $\kappa =1$): $$3FH^{2}=\rho _{\rm {m}}+\rho _{\rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\dot {F}}$$ $$-2F{\dot {H}}=\rho _{\rm {m}}+{\frac {4}{3}}\rho _{\rm {rad}}+{\ddot {F}}-H{\dot {F}},$$ где $$H={\frac {\dot {a}}{a}}$$ – параметр Хаббла , точка — производная по космическому времени t , а члены ρ _m и ρ _rad обозначают плотности вещества и излучения соответственно; они удовлетворяют уравнениям непрерывности : $${\dot {\rho }}_{\rm {m}}+3H\rho _{\rm {m}}=0;$$ $${\dot {\rho }}_{\rm {rad}}+4H\rho _{\rm {rad}}=0.$$

Модифицированная постоянная Ньютона

Интересной особенностью этих теорий является тот факт, что гравитационная постоянная зависит от времени и масштаба. Чтобы убедиться в этом, добавим к метрике небольшое скалярное возмущение (в ньютоновской калибровке ): $$\mathrm {d} s^{2}=-(1+2\Phi )\mathrm {d} t^{2}+\alpha ^{2}(1-2\Psi )\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}$$ где Φ и Ψ представляют собой ньютоновские потенциалы и используют уравнения поля первого порядка. После некоторых длительных вычислений можно определить уравнение Пуассона в пространстве Фурье и приписать дополнительные члены, которые появляются в правой части, эффективной гравитационной постоянной G _eff . При этом мы получаем гравитационный потенциал (справедливый на подгоризонтных масштабах k ² ≫ а ² ЧАС ² ): $$\Phi =-4\pi G_{\mathrm {eff} }{\frac {a^{2}}{k^{2}}}\delta \rho _{\mathrm {m} }$$ где δ ρ _m — возмущение плотности вещества, k — масштаб Фурье, а G _eff равен: $$G_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{8\pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},$$ с $$m\equiv {\frac {RF_{,R}}{F}}.$$

Массивные гравитационные волны

Этот класс теорий при линеаризации демонстрирует три режима поляризации гравитационных волн , два из которых соответствуют безмассовому гравитону (спиральность ±2), а третий (скалярный) обусловлен тем фактом, что если мы примем во внимание конформное преобразование, Теория четвертого порядка f ( R ) становится общей теорией относительности плюс скалярное поле . Чтобы увидеть это, определите $$\Phi \to f'(R)\quad {\textrm {and}}\quad {\frac {dV}{d\Phi }}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},$$ и используйте приведенные выше уравнения поля, чтобы получить $$\Box \Phi ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \Phi }}$$

Работая над первым порядком теории возмущений: $$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$$ $$\Phi =\Phi _{0}+\delta \Phi$$ и после некоторой утомительной алгебры можно найти метрическое возмущение, соответствующее гравитационным волнам. Конкретную частотную составляющую волны, распространяющейся в направлении z , можно записать как $$h_{\mu \nu }(t,z;\omega )=A^{+}(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{+}+A^{\times }(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{\times }+h_{f}(v_{\mathrm {g} }t-z;\omega )\eta _{\mu \nu }$$ где $$h_{f}\equiv {\frac {\delta \Phi }{\Phi _{0}}},$$

и v _g ( ω ) = d ω /d k — групповая скорость волнового пакета h _f с центром на волновом векторе k . Первые два члена соответствуют обычным поперечным поляризациям из общей теории относительности, а третий соответствует новой моде массивной поляризации в теориях f ( R ). Этот режим представляет собой смесь безмассовой поперечной моды дыхания (но не бесследовой) и массивной продольной скалярной моды. Поперечные и бесследовые моды (также известные как тензорные моды) распространяются со скоростью света , но массивная скалярная мода движется со скоростью v _G < 1 (в единицах, где c = 1), эта мода является дисперсионной. Однако в формализме гравитационной метрики f ( R ) для модели $f(R)=\alpha R^{2}$ (также известный как чистый $R^{2}$ модель), третья мода поляризации является чисто дыхательной модой и распространяется со скоростью света в пространстве-времени.

Эквивалентный формализм

При определенных дополнительных условиях мы можем упростить анализ теорий f ( R ), введя вспомогательное поле Ф . Предполагая $f''(R)\neq 0$ для всех R пусть V ( Φ ) — преобразование Лежандра функции f ( R ), так что $\Phi =f'(R)$ и $R=V'(\Phi )$. Тогда получается действие О'Хэнлона (1972): $$S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[{\frac {1}{2\kappa }}\left(\Phi R-V(\Phi )\right)+{\mathcal {L}}_{\text{m}}\right].$$

Имеем уравнения Эйлера–Лагранжа : $$V'(\Phi )=R$$ $$\Phi \left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)+\left(g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu }$$

Устранение Φ , мы получаем точно такие же уравнения, как и раньше. Однако уравнения имеют только второй порядок по производным, а не четвертый порядок.

В настоящее время мы работаем с рамкой Jordan . Выполняя конформное масштабирование: $${\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi g_{\mu \nu },$$ мы преобразуемся в систему Эйнштейна : $$R=\Phi \left[{\tilde {R}}+{\frac {3{\tilde {\Box }}\Phi }{\Phi }}-{\frac {9}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]$$ $$S=\int d^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}-{\frac {V(\Phi )}{\Phi ^{2}}}\right]$$ после интегрирования по частям.

Определение ${\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }$, и подставив $$S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {\Phi }}\right)^{2}-{\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})\right]$$ $${\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})=e^{-{\frac {2}{\sqrt {3}}}{\tilde {\Phi }}}V\left(e^{{\tilde {\Phi }}/{\sqrt {3}}}\right).$$

Это общая теория относительности, соединенная с реальным скалярным полем: использование теории f ( R ) для описания ускоряющейся Вселенной практически эквивалентно использованию квинтэссенции . (По крайней мере, это эквивалентно оговорке, что мы еще не определили связи материи, поэтому (например) гравитация f ( R ), в которой материя минимально связана с метрикой (т. е. в жордановой системе координат), эквивалентна теории квинтэссенции. в котором скалярное поле является посредником пятой силы с силой гравитации.)

Палатини f ( R ) гравитация

В Палатини f ( R ) гравитации метрику и связь рассматривают независимо и варьируют действие по отношению к каждой из них в отдельности. Лагранжиан материи предполагается независимым от связи. Было показано, что эти теории эквивалентны теории Бранса – Дике с ω = - 3 ⁄ 2 . Однако из-за структуры теории теории Палатини f ( R ) кажутся противоречащими Стандартной модели. может нарушить эксперименты Солнечной системы, и, кажется, создают нежелательные сингулярности.

Метрическая аффинная f ( R ) гравитация

В метрически-аффинной гравитации f ( R ) все обобщается еще дальше, рассматривая как метрику, так и связь независимо, и предполагая, что лагранжиан материи также зависит от связи.

Наблюдательные испытания

Поскольку существует множество потенциальных форм f ( R )-гравитации, трудно найти общие тесты. Кроме того, поскольку в некоторых случаях отклонения от общей теории относительности могут быть сколь угодно малы, невозможно окончательно исключить некоторые модификации. Некоторого прогресса можно добиться, не принимая конкретную форму функции f ( R ) путем расширения Тейлора $$f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+\cdots$$

Первый член подобен космологической постоянной и должен быть мал. Следующий коэффициент a ₁ может быть установлен равным единице, как и в общей теории относительности. Для метрической гравитации f ( R ) (в отличие от гравитации Палатини или метрически-аффинной f ( R ) гравитации) квадратичный член лучше всего ограничивается измерениями пятой силы , поскольку это приводит к поправке Юкавы к гравитационному потенциалу. Лучшие текущие границы | 2 _| ​< 4 × 10 ⁻⁹ м ² или эквивалентно | 2 _| ​< 2,3 × 10 ²² ГэВ ⁻² .

Параметризованный постньютоновский формализм предназначен для ограничения общих модифицированных теорий гравитации. Однако гравитация f ( R ) имеет многие из тех же значений, что и общая теория относительности, и поэтому неотличима с помощью этих тестов. В частности, отклонение света остается неизменным, поэтому гравитация f ( R ), как и Общая теория относительности, полностью соответствует границам слежения Кассини .

Старобинский гравитационный

Основная статья: Старобинская инфляция

Гравитация Старобинского имеет следующий вид $$f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}$$ где $M$ имеет размеры массы.

Гравитация Старобинского обеспечивает механизм космической инфляции сразу после Большого взрыва , когда $R$ был еще велик. Однако он не подходит для описания нынешнего ускорения Вселенной, поскольку в настоящее время $R$ очень мал. Это означает, что квадратичный член в $f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}$ пренебрежимо мал, т. е. имеет тенденцию $f(R)=R$ это общая теория относительности с нулевой космологической постоянной .

Гравитация Гогои-Госвами

Гравитация Гогои-Госвами имеет следующий вид $$f(R)=R-{\frac {\alpha }{\pi }}R_{c}\cot ^{-1}\left({\frac {R_{c}^{2}}{R^{2}}}\right)-\beta R_{c}\left[1-\exp \left(-{\frac {R}{R_{c}}}\right)\right]$$ где $\alpha$ и $\beta$ две безразмерные положительные константы и $R_{c}$ – характеристическая константа кривизны.

Тензорное обобщение

f ( R ) гравитация, представленная в предыдущих разделах, представляет собой скалярную модификацию общей теории относительности. В более общем смысле мы можем иметь $$\int \mathrm {d} ^{D}x{\sqrt {-g}}\,f(R,R^{\mu \nu }R_{\mu \nu },R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma })$$ связь, включающая инварианты тензора Риччи и тензора Вейля . Особыми случаями являются гравитация f ( R ), конформная гравитация , гравитация Гаусса – Бонне и гравитация Лавлока . Обратите внимание, что при любой нетривиальной тензорной зависимости мы обычно имеем дополнительные массивные степени свободы со спином 2 в дополнение к безмассовому гравитону и массивному скаляру. Исключением является гравитация Гаусса – Бонне, где члены четвертого порядка для компонентов спина 2 компенсируются.

См. также

• Расширенные теории гравитации
• Гравитация Гаусса – Бонне
• Лавлок гравитация

Дальнейшее чтение

• См. главу 29 в учебнике «Частицы и квантовые поля» Кляйнерта Х. (2016), World Scientific (Сингапур, 2016) (также доступно онлайн ).
• Сотириу, ТП; Фараони, В. (2010). «f(R) Теории гравитации». Обзоры современной физики . 82 (1): 451–497. arXiv : 0805.1726 . Бибкод : 2010РвМП...82..451С . дои : 10.1103/RevModPhys.82.451 . S2CID   15024691 .
• Сотириу, Т.П. (2009). «6+1 урок гравитации f(R)». Физический журнал: серия конференций . 189 (9): 012039. arXiv : 0810.5594 . Бибкод : 2009JPhCS.189a2039S . дои : 10.1088/1742-6596/189/1/012039 . S2CID   14820388 .
• Капоцциелло, С.; Де Лаурентис, М. (2011). «Расширенные теории гравитации». Отчеты по физике . 509 (4–5): 167–321. arXiv : 1108.6266 . Бибкод : 2011PhR...509..167C . дои : 10.1016/j.physrep.2011.09.003 . S2CID   119296243 .
• Сальваторе Капоцциелло и Мариафелисия Де Лаурентис, (2015) «Теории гравитации F (R)». Scholarpedia, doi:10.4249/scholarpedia.31422
• Калвакота, Вайбхав Р., (2021) «Исследование f(R)» гравитации и космологии». Архив препринтов по математической физике, https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf

Внешние ссылки

• f ( R ) гравитация на arxiv.org
• Расширенные теории гравитации