Фильтр Калмана

Фильтр Калмана отслеживает предполагаемое состояние системы, а также дисперсию или неопределенность оценки. Оценка обновляется с использованием модели перехода состояний и измерений. ${\hat {x}}_{k\mid k-1}$ обозначает оценку состояния системы на временном шаге k до того, как k -е измерение y _{k ;} было учтено $P_{k\mid k-1}$ – соответствующая неопределенность.

Для статистики и теории управления , фильтрация Калмана также известная как линейно-квадратическая оценка , представляет собой алгоритм , который использует серию измерений, наблюдаемых с течением времени, включая статистический шум и другие неточности, и дает оценки неизвестных переменных, которые имеют тенденцию быть более точными, чем те, которые на основе только одного измерения путем оценки совместного распределения вероятностей по переменным для каждого периода времени. Фильтр построен как минимизатор среднеквадратичной ошибки, но также представлен альтернативный вариант фильтра, показывающий, как фильтр связан со статистикой максимального правдоподобия. Фильтр назван в честь Рудольфа Э. Кальмана , который был одним из основных разработчиков его теории.

Этот цифровой фильтр иногда называют фильтром Стратоновича-Кальмана-Бьюси, поскольку он представляет собой частный случай более общего нелинейного фильтра, разработанного несколько ранее советским математиком Русланом Стратоновичем . Фактически, некоторые уравнения линейного фильтра частного случая появились в статьях Стратоновича, опубликованных до лета 1961 года, когда Калман встретился со Стратоновичем во время конференции в Москве.

Фильтрация Калмана имеет множество технологических применений. Обычное применение — наведение, навигация и управление транспортными средствами, особенно самолетами, космическими кораблями и кораблями, расположенными динамически . Кроме того, фильтрация Калмана — это концепция, широко применяемая в анализе временных рядов , используемая в таких областях, как обработка сигналов и эконометрика . Фильтрация Калмана также является одной из основных тем движением роботов. планирования и управления и может быть использован для оптимизации траектории . Фильтр Калмана также работает для моделирования центральной нервной системой контроля движений . Из-за временной задержки между выдачей двигательных команд и получением сенсорной обратной связи использование фильтров Калмана предоставляет реалистичную модель для оценки текущего состояния двигательной системы и выдачи обновленных команд.

Алгоритм работает в виде двухфазного процесса, состоящего из фазы прогнозирования и фазы обновления. На этапе прогнозирования фильтр Калмана производит оценки переменных текущего состояния , а также их неопределенностей. Как только результат следующего измерения (обязательно искаженный некоторой ошибкой, включая случайный шум) наблюдается, эти оценки обновляются с использованием средневзвешенного значения , при этом больший вес придается оценкам с большей уверенностью. Алгоритм рекурсивный . Он может работать в режиме реального времени , используя только текущие входные измерения и состояние, рассчитанное ранее, и его матрицу неопределенности; никакой дополнительной информации о прошлом не требуется.

Оптимальность фильтрации Калмана предполагает, что ошибки имеют нормальное (гауссово) распределение. По словам Рудольфа Э. Кальмана : «О случайных процессах делаются следующие предположения: Физические случайные явления можно рассматривать как происходящие из-за первичных случайных источников, возбуждающих динамические системы. Предполагается, что первичными источниками являются независимые гауссовские случайные процессы с нулевым средним значением. динамические системы будут линейными». Однако независимо от гауссовости, если известны ковариации процесса и измерения, то фильтр Калмана является наилучшей возможной линейной оценкой в ​​смысле минимальной среднеквадратической ошибки . хотя могут быть лучшие нелинейные оценки. Это распространенное заблуждение (увековеченное в литературе), что фильтр Калмана не может быть строго применен, если не считать, что все шумовые процессы являются гауссовыми.

Также были разработаны расширения и обобщения метода, такие как расширенный фильтр Калмана и фильтр Калмана без запаха , которые работают в нелинейных системах . В основе лежит скрытая марковская модель , в которой пространство состояний скрытых переменных является непрерывным , а все скрытые и наблюдаемые переменные имеют гауссово распределение. Фильтрация Калмана успешно использовалась при слиянии нескольких датчиков . и распределенные сенсорные сети для разработки распределенной или консенсусной фильтрации Калмана.

История

Метод фильтрации назван в честь венгерского эмигранта Рудольфа Э. Кальмана , хотя Торвальд Николай Тиле и Питер Сверлинг ранее разработали аналогичный алгоритм. Ричард С. Бьюси из Лаборатории прикладной физики Джона Хопкинса внес свой вклад в разработку теории, в результате чего ее иногда называют фильтрацией Калмана – Бьюси. Калман был вдохновлен на создание фильтра Калмана путем применения переменных состояния к задаче фильтрации Винера . Стэнли Ф. Шмидту обычно приписывают разработку первой реализации фильтра Калмана. Он понял, что фильтр можно разделить на две отдельные части: одна часть предназначена для периодов времени между выходными сигналами датчиков, а другая часть — для объединения измерений. Именно во время визита Кальмана в Исследовательский центр Эймса НАСА Шмидт увидел применимость идей Кальмана к нелинейной проблеме оценки траектории программы «Аполлон», что привело к ее включению в навигационный компьютер «Аполлон» .

Эта фильтрация Калмана была впервые описана и частично развита в технических статьях Сверлинга (1958), Калмана (1960) и Калмана и Бьюси (1961).

Компьютер Apollo использовал 2 КБ оперативной памяти с магнитным сердечником и 36 КБ троса [...]. ЦП был построен на основе микросхем [...]. Тактовая частота была ниже 100 кГц [...]. Тот факт, что инженерам Массачусетского технологического института удалось упаковать такое хорошее программное обеспечение (одно из самых первых применений фильтра Калмана) в такой крошечный компьютер, поистине поразителен.

- Интервью Мэтью Рида с Джеком Креншоу, TRS-80.org (2009) [1]

Фильтры Калмана сыграли жизненно важную роль в навигационных системах ВМС США подводных лодок с ядерными баллистическими ракетами ВМС США , а также в системах наведения и навигации крылатых ракет, таких как ракета «Томагавк» и ВВС США крылатая ракета воздушного базирования . Они также используются в системах наведения и навигации многоразовых ракет-носителей , в системах ориентации и навигации космических кораблей, стыкующихся с Международной космической станцией .

Обзор расчета

Фильтрация Калмана использует динамическую модель системы (например, физические законы движения), известные управляющие входные данные для этой системы и множество последовательных измерений (например, от датчиков) для формирования оценки переменных величин системы (ее состояния ), которая лучше, чем оценка, полученная с использованием только одного измерения. По сути, это общий алгоритм объединения датчиков и данных .

Зашумленные данные датчиков, аппроксимации в уравнениях, описывающих эволюцию системы, а также неучтенные внешние факторы — все это ограничивает возможность определения состояния системы. Фильтр Калмана эффективно справляется с неопределенностью, возникающей из-за зашумленных данных датчиков и, в некоторой степени, из-за случайных внешних факторов. Фильтр Калмана дает оценку состояния системы как среднее значение прогнозируемого состояния системы и нового измерения с использованием средневзвешенного значения . Цель весов состоит в том, чтобы значения с лучшей (т. е. меньшей) оценочной неопределенностью пользовались большим доверием. Веса рассчитываются на основе ковариации — меры предполагаемой неопределенности прогноза состояния системы. Результатом средневзвешенного значения является новая оценка состояния, которая лежит между прогнозируемым и измеренным состоянием и имеет лучшую оценку неопределенности, чем любое из них по отдельности. Этот процесс повторяется на каждом временном шаге, при этом новая оценка и ее ковариация определяют прогноз, используемый в следующей итерации. Это означает, что фильтр Калмана работает. рекурсивно и требует только последнего «наилучшего предположения», а не всей истории состояния системы для расчета нового состояния.

Важными факторами являются степень достоверности измерений и оценка текущего состояния. Отклик фильтра принято обсуждать с точки зрения коэффициента усиления фильтра Калмана . Коэффициент усиления Калмана представляет собой вес, придаваемый измерениям и оценке текущего состояния, и его можно «настроить» для достижения определенной производительности. При высоком коэффициенте усиления фильтр придает больший вес самым последним измерениям и, таким образом, более оперативно реагирует на них. При низком коэффициенте усиления фильтр более точно соответствует предсказаниям модели. В крайних случаях высокий коэффициент усиления (близкий к единице) приведет к более скачкообразной расчетной траектории, тогда как низкий коэффициент усиления (близкий к нулю) сгладит шум, но уменьшит скорость реагирования.

При выполнении реальных вычислений для фильтра (как описано ниже) оценка состояния и ковариации кодируются в матрицы, поскольку в одном наборе вычислений участвует несколько измерений. Это позволяет представить линейные зависимости между различными переменными состояния (такими как положение, скорость и ускорение) в любой модели перехода или ковариации.

Пример приложения

В качестве примера приложения рассмотрим задачу определения точного местоположения грузовика. Грузовик может быть оснащен GPS- блоком, который обеспечивает оценку местоположения с точностью до нескольких метров. Оценка GPS, скорее всего, будет зашумлена; показания быстро «прыгают», хотя и остаются в пределах нескольких метров от реального положения. Кроме того, поскольку ожидается, что грузовик будет следовать законам физики, его положение также можно оценить путем интегрирования его скорости во времени, определяемой путем отслеживания оборотов колес и угла поворота рулевого колеса. Это техника, известная как точный расчет . Как правило, точный расчет дает очень точную оценку положения грузовика, но со временем он будет отклоняться по мере накопления небольших ошибок.

В этом примере фильтр Калмана можно рассматривать как работающий в двух отдельных фазах: прогнозирование и обновление. На этапе прогнозирования старое положение грузовика будет изменено в соответствии с физическими законами движения (динамическая модель или модель «перехода состояний»). Будет рассчитана не только новая оценка положения, но и новая ковариация. Возможно, ковариация пропорциональна скорости грузовика, потому что мы более уверены в точности оценки местоположения при счислении пути на высоких скоростях, но очень уверены в оценке местоположения на низких скоростях. Затем, на этапе обновления, с устройства GPS снимается измерение положения грузовика. Наряду с этим измерением возникает некоторая неопределенность, и ее ковариация по отношению к прогнозу предыдущего этапа определяет, насколько новое измерение повлияет на обновленный прогноз. В идеале, поскольку оценки точного счисления имеют тенденцию отклоняться от реального положения, измерения GPS должны возвращать оценку положения к реальному положению, но не нарушать ее до такой степени, что она становится шумной и быстро скачет.

Техническое описание и контекст

Фильтр Калмана — это эффективный рекурсивный фильтр, оценивающий внутреннее состояние линейной динамической системы на основе серии зашумленных измерений. Он используется в широком спектре инженерных и эконометрических приложений, от радиолокации и компьютерного зрения до оценки структурных макроэкономических моделей. и является важной темой в теории управления и разработке систем управления . Вместе с линейно-квадратичным регулятором (ЛКР) фильтр Калмана решает задачу линейно-квадратично-гауссова управления (ЛКГ). Фильтр Калмана, линейно-квадратичный регулятор и линейно-квадратичный гауссов регулятор являются решениями, возможно, наиболее фундаментальных проблем теории управления.

В большинстве приложений внутреннее состояние намного больше (имеет больше степеней свободы ), чем несколько измеряемых «наблюдаемых» параметров. Однако, объединив серию измерений, фильтр Калмана может оценить все внутреннее состояние.

Для теории Демпстера-Шейфера каждое уравнение состояния или наблюдение считается особым случаем линейной функции доверия , а фильтрация Калмана представляет собой особый случай объединения линейных функций доверия на дереве соединений или дереве Маркова . Дополнительные методы включают фильтрацию убеждений , которая использует Байес или доказательные обновления уравнений состояния.

В настоящее время существует большое разнообразие фильтров Калмана: первоначальная формулировка Калмана, называемая теперь «простым» фильтром Калмана, фильтр Калмана-Бьюси , «расширенный» фильтр Шмидта, информационный фильтр и множество фильтров «квадратного корня», которые были разработаны Бирманом, Торнтоном и многими другими. Вероятно, наиболее часто используемым типом очень простого фильтра Калмана является петля фазовой автоподстройки частоты , которая в настоящее время повсеместно используется в радиоприемниках, особенно в радиоприемниках с частотной модуляцией (FM), телевизорах, приемниках спутниковой связи , системах космической связи и практически в любой другой электронной технике. оборудование связи.

Базовая модель динамической системы

Фильтрация Калмана основана на линейных динамических системах, дискретизированных во временной области. Они моделируются на основе цепи Маркова , построенной на линейных операторах, возмущенных ошибками, которые могут включать гауссов шум . Состояние виде целевой системы относится к истинной (хотя и скрытой) интересующей конфигурации системы, которая представлена ​​в вектора действительных чисел . При каждом дискретном приращении времени к состоянию применяется линейный оператор для генерации нового состояния с примесью некоторого шума и, возможно, некоторой информации от элементов управления системой, если они известны. Затем другой линейный оператор, смешанный с большим количеством шума, генерирует измеримые выходные данные (т. е. наблюдение) из истинного («скрытого») состояния. Фильтр Калмана можно рассматривать как аналог скрытой модели Маркова с той разницей, что скрытые переменные состояния имеют значения в непрерывном пространстве, а не в дискретном пространстве состояний, как в скрытой модели Маркова. Существует сильная аналогия между уравнениями фильтра Калмана и скрытой модели Маркова. Обзор этой и других моделей дан в работах Roweis и Гахрамани (1999) и Гамильтон (1994), глава 13.

Чтобы использовать фильтр Калмана для оценки внутреннего состояния процесса с учетом только последовательности зашумленных наблюдений, необходимо смоделировать процесс в соответствии со следующей структурой. Это означает указание матриц для каждого временного шага k следующим образом:

• F _k , модель перехода состояний;
• H _k , модель наблюдения;
• Q _k , ковариация технологического шума;
• R _k , ковариация шума наблюдения;
• и иногда B _k , модель управляющего входа, как описано ниже; если B _k включен, то существует еще
• u _k , вектор управления, представляющий управляющий вход в модель управляющего входа.

Модель, лежащая в основе фильтра Калмана. Квадраты представляют собой матрицы. Эллипсы представляют собой многомерные нормальные распределения (с включенной матрицей среднего и ковариационной матрицей). Незаключенные значения являются векторами . В простом случае различные матрицы постоянны во времени, поэтому индексы не используются, но фильтрация Калмана позволяет любой из них изменяться на каждом временном шаге.

Модель фильтра Калмана предполагает, что истинное состояние в момент времени k развивается из состояния в ( k - 1) в соответствии с

$\mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}+\mathbf {w} _{k}$

где

• F _k — модель перехода состояний, которая применяется к предыдущему состоянию x _{k -1} ;
• B _k — модель управляющего входа, которая применяется к вектору uk _{управления} ;
• w _k — шум процесса, который, как предполагается, получен из нулевого среднего многомерного нормального распределения , ${\mathcal {N}}$, с ковариацией , Q _k : $\mathbf {w} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {Q} _{k}\right)$.

В момент времени k наблюдение (или измерение) z _k истинного состояния x _k производится в соответствии с

$\mathbf {z} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}$

где

• H _k — модель наблюдения, которая отображает истинное пространство состояний в наблюдаемое пространство и
• v _k — шум наблюдения, который предполагается равным нулевому среднему гауссовскому белому шуму с ковариацией R _k : $\mathbf {v} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {R} _{k}\right)$.

Начальное состояние и векторы шума на каждом шаге { x ₀ , w ₁ , ..., w _k , v ₁ , ... , v _k } предполагаются взаимно независимыми .

Многие динамические системы реального времени не совсем соответствуют этой модели. Фактически, немоделированная динамика может серьезно ухудшить производительность фильтра, даже если он должен был работать с неизвестными стохастическими сигналами в качестве входных данных. Причина этого в том, что эффект немоделируемой динамики зависит от входных данных и, следовательно, может привести алгоритм оценки к неустойчивости (он расходится). С другой стороны, независимые сигналы белого шума не приведут к расхождению алгоритма. Проблема различения шума измерений и немоделированной динамики сложна и рассматривается как проблема теории управления с использованием робастного управления .

Подробности

Фильтр Калмана представляет собой рекурсивный оценщик. Это означает, что для вычисления оценки текущего состояния необходимы только оцененное состояние из предыдущего временного шага и текущее измерение. В отличие от методов пакетной оценки, не требуется никакой истории наблюдений и/или оценок. Далее обозначения ${\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}$ представляет собой оценку $\mathbf {x}$ в момент времени n с учетом наблюдений до момента времени m ≤ n включительно .

Состояние фильтра представлено двумя переменными:

• ${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}$, среднее значение апостериорной оценки состояния во время k с учетом наблюдений до момента k включительно ;
• $\mathbf {P} _{k\mid k}$, ковариационная матрица апостериорной оценки (мера предполагаемой точности оценки состояния).

Структура алгоритма фильтра Калмана напоминает структуру альфа-бета-фильтра . Фильтр Калмана можно записать в виде одного уравнения; однако чаще всего его концептуализируют как две отдельные фазы: «Прогнозирование» и «Обновление». Фаза прогнозирования использует оценку состояния на предыдущем временном шаге для получения оценки состояния на текущем временном шаге. Эта прогнозируемая оценка состояния также известна как априорная оценка состояния, поскольку, хотя она и является оценкой состояния на текущем временном шаге, она не включает в себя информацию наблюдения с текущего временного шага. На этапе обновления нововведение (остаток предварительной подгонки), то есть разница между текущим априорным прогнозом и текущей информацией наблюдений, умножается на оптимальный коэффициент усиления Калмана и объединяется с предыдущей оценкой состояния для уточнения оценки состояния. Эта улучшенная оценка, основанная на текущих наблюдениях, называется оценкой апостериорного состояния.

Обычно эти две фазы чередуются: прогнозирование продвигает состояние до следующего запланированного наблюдения, а обновление включает наблюдение. Однако в этом нет необходимости; если наблюдение по какой-либо причине недоступно, обновление можно пропустить и выполнить несколько процедур прогнозирования. Аналогично, если одновременно доступны несколько независимых наблюдений, можно выполнить несколько процедур обновления (обычно с разными матрицами наблюдений H _k ).

Предсказывать

Прогнозируемая ( априорная ) оценка состояния	${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k-1}$
Прогнозируемая ( априорная ) ковариация оценки	${\mathbf {P} }_{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k-1}$

Обновлять

инноваций Остаток предварительной настройки или измерений	${\tilde {\mathbf {y} }}_{k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}$
Инновационная (или остаточная) ковариация	$\mathbf {S} _{k}=\mathbf {H} _{k}{\mathbf {P} }_{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}$
Оптимальное усиление Калмана	$\mathbf {K} _{k}={\mathbf {P} }_{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}$
Обновленная ( апостериорная ) оценка состояния	${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}$
Обновленная ( апостериорная ) оценка ковариации	$\mathbf {P} _{k|k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right){\mathbf {P} }_{k|k-1}$
после измерения после подгонки Остаток	${\tilde {\mathbf {y} }}_{k\mid k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}$

Приведенная выше формула обновленной ( апостериорной ) ковариации оценки действительна для оптимального коэффициента усиления K _k , который минимизирует остаточную ошибку, и в этом виде она наиболее широко используется в приложениях. Доказательство формул можно найти в разделе «Выводы» формула, справедливая для любого K _k , где также показана .

Более интуитивный способ выразить обновленную оценку состояния ( ${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}$) является:

${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}){\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}$

Это выражение напоминает нам линейную интерполяцию: $x=(1-t)(a)+t(b)$ для $t$ между [0,1]. В нашем случае:

• $t$ это матрица $\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}$ который принимает значения из $0$ (высокая ошибка датчика) $I$ или проекция (малая ошибка).
• $a$ это внутреннее состояние ${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}$ оценивается по модели.
• $b$ это внутреннее состояние $\mathbf {H} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}$ оценено на основе измерений, предполагая $\mathbf {H} _{k}$ является неособым.

Это выражение также напоминает этап обновления альфа-бета-фильтра .

Инварианты

Если модель точна и значения для ${\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}$ и $\mathbf {P} _{0\mid 0}$ точно отражают распределение значений начального состояния, то сохраняются следующие инварианты:

${\begin{aligned}\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}]&=\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}]=0\\\operatorname {E} [{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}]&=0\end{aligned}}$

где $\operatorname {E} [\xi ]$ значение ожидаемое ​ $\xi$. То есть все оценки имеют среднюю ошибку, равную нулю.

Также:

${\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\\\mathbf {S} _{k}&=\operatorname {cov} \left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\end{aligned}}$

поэтому ковариационные матрицы точно отражают ковариацию оценок.

Оценка ковариаций шума Q _k и R _k

Практическая реализация фильтра Калмана часто затруднена из-за сложности получения хорошей оценки ковариационных матриц шума Q _k и R _k . Для оценки этих ковариаций на основе данных было проведено обширное исследование. Одним из практических методов достижения этой цели является метод автоковариации наименьших квадратов (ALS) с задержкой по времени , который использует автоковариации обычных рабочих данных для оценки ковариаций. Код GNU Octave и Matlab, используемый для расчета ковариационных матриц шума с использованием метода ALS, доступен в Интернете по лицензии GNU General Public License . Был предложен полевой фильтр Калмана (FKF) — байесовский алгоритм, который позволяет одновременно оценивать состояние, параметры и ковариацию шума. Алгоритм FKF имеет рекурсивную формулировку, хорошую наблюдаемую сходимость и относительно низкую сложность, что позволяет предположить, что алгоритм FKF, возможно, может быть достойной альтернативой методам автоковариационных наименьших квадратов. Другой подход — оптимизированный фильтр Калмана ( OKF ), который рассматривает ковариационные матрицы не как представители шума, а скорее как параметры, направленные на достижение наиболее точной оценки состояния. Эти два взгляда совпадают в предположениях КФ, но часто противоречат друг другу в реальных системах. Таким образом, оценка состояния OKF более устойчива к неточностям моделирования.

Оптимальность и производительность

Из теории следует, что фильтр Калмана обеспечивает оптимальную оценку состояния в случаях, когда а) модель идеально соответствует реальной системе, б) входящий шум «белый» (некоррелированный) и в) ковариации шума точно известны. Коррелированный шум также можно обрабатывать с помощью фильтров Калмана. За последние десятилетия было предложено несколько методов оценки ковариации шума, включая ALS, упомянутый в разделе выше. В более общем смысле, если предположения модели не полностью соответствуют реальной системе, то оптимальная оценка состояния не обязательно получается путем установки Q _k и R _k для ковариаций шума. Вместо этого в этом случае параметры Q _k и R _k могут быть установлены для явной оптимизации оценки состояния. например, используя стандартное контролируемое обучение .

После того, как ковариации установлены, полезно оценить производительность фильтра; т.е. можно ли улучшить качество оценки состояния. Если фильтр Калмана работает оптимально, последовательность инноваций (ошибка прогнозирования на выходе) представляет собой белый шум, поэтому свойство белизны инноваций измеряет производительность фильтра. Для этой цели можно использовать несколько различных методов. Если члены шума распределены негауссовым образом, в литературе известны методы оценки эффективности оценки фильтра, которые используют вероятностные неравенства или теорию большой выборки.

Пример применения, технический

  Правда;   фильтрованный процесс;   наблюдения.

Представьте себе грузовик, едущий по прямым рельсам без трения. Первоначально грузовик неподвижен в положении 0, но его то и дело трясут случайными неконтролируемыми силами. Мы измеряем положение грузовика каждые Δt секунд , но эти измерения неточны; грузовика мы хотим сохранить модель положения и скорости . Здесь мы покажем, как мы получаем модель, на основе которой создаем наш фильтр Калмана.

С $\mathbf {F} ,\mathbf {H} ,\mathbf {R} ,\mathbf {Q}$ постоянны, их временные индексы опущены.

Положение и скорость грузовика описываются линейным пространством состояний.

$\mathbf {x} _{k}={\begin{bmatrix}x\\{\dot {x}}\end{bmatrix}}$

где ${\dot {x}}$ — это скорость, то есть производная положения по времени.

Мы предполагаем, что между временными шагами ( k - 1) и k неконтролируемые силы вызывают постоянное ускорение k _, которое обычно распределяется со средним значением 0 и стандартным отклонением σ _a . Из законов движения Ньютона мы заключаем, что

$\mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {G} a_{k}$

(нет $\mathbf {B} u$ термин, поскольку нет известных управляющих входов. Вместо этого k _— это эффект неизвестного входа, а $\mathbf {G}$ применяет этот эффект к вектору состояния), где

${\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}1&\Delta t\\0&1\end{bmatrix}}\\[4pt]\mathbf {G} &={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{2}\\[6pt]\Delta t\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

так что

$\mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {w} _{k}$

где

${\begin{aligned}\mathbf {w} _{k}&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\\mathbf {Q} &=\mathbf {G} \mathbf {G} ^{\textsf {T}}\sigma _{a}^{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}{\Delta t}^{4}&{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}&{\Delta t}^{2}\end{bmatrix}}\sigma _{a}^{2}.\end{aligned}}$

Матрица $\mathbf {Q}$ не является полным рангом (он имеет ранг один, если $\Delta t\neq 0$). Следовательно, распределение $N(0,\mathbf {Q} )$ не является абсолютно непрерывным и не имеет функции плотности вероятности . Другой способ выразить это, избегая явных вырожденных распределений, дается формулой

$\mathbf {w} _{k}\sim \mathbf {G} \cdot N\left(0,\sigma _{a}^{2}\right).$

На каждом временном этапе производится зашумленное измерение истинного положения грузовика. Предположим, что шум измерения v _k также распределен нормально, со средним значением 0 и стандартным отклонением σ _z .

$\mathbf {z} _{k}=\mathbf {Hx} _{k}+\mathbf {v} _{k}$

где

$\mathbf {H} ={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}$

и

$\mathbf {R} =\mathrm {E} \left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]={\begin{bmatrix}\sigma _{z}^{2}\end{bmatrix}}$

Мы знаем начальное стартовое состояние грузовика с идеальной точностью, поэтому инициализируем

${\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

и чтобы сообщить фильтру, что мы знаем точное положение и скорость, мы даем ему нулевую ковариационную матрицу:

$\mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$

Если начальное положение и скорость точно не известны, ковариационную матрицу следует инициализировать подходящими отклонениями на ее диагонали:

$\mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&0\\0&\sigma _{\dot {x}}^{2}\end{bmatrix}}$

Тогда фильтр будет отдавать предпочтение информации первых измерений, а не информации, уже содержащейся в модели.

Асимптотическая форма

Для простоты предположим, что управляющий вход $\mathbf {u} _{k}=\mathbf {0}$. Тогда фильтр Калмана можно записать:

${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}].$

Аналогичное уравнение справедливо, если мы добавим ненулевой управляющий вход. Матрицы усиления $\mathbf {K} _{k}$ развиваться независимо от измерений $\mathbf {z} _{k}$. С учетом вышеизложенного четыре уравнения, необходимые для обновления коэффициента усиления Калмана, выглядят следующим образом:

${\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k},\\\mathbf {S} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k},\\\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1},\\\mathbf {P} _{k|k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}.\end{aligned}}$

Поскольку матрицы усиления зависят только от модели, а не от измерений, их можно рассчитать в автономном режиме. Сходимость матриц усиления $\mathbf {K} _{k}$ к асимптотической матрице $\mathbf {K} _{\infty }$ применяется к условиям, установленным в делах Вальранда и Димакиса. Моделирование устанавливает количество шагов к конвергенции. Для примера движущегося грузовика, описанного выше, с $\Delta t=1$. и $\sigma _{a}^{2}=\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}^{2}=\sigma _{\dot {x}}^{2}=1$, моделирование показывает сходимость $10$ итерации.

Используя асимптотический коэффициент усиления и предполагая $\mathbf {H} _{k}$ и $\mathbf {F} _{k}$ независимы от $k$, фильтр Калмана становится линейным нестационарным фильтром:

${\hat {\mathbf {x} }}_{k}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}+\mathbf {K} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} \mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}].$

Асимптотический выигрыш $\mathbf {K} _{\infty }$, если оно существует, можно вычислить, сначала решив следующее дискретное уравнение Риккати для асимптотической ковариации состояния $\mathbf {P} _{\infty }$:

$\mathbf {P} _{\infty }=\mathbf {F} \left(\mathbf {P} _{\infty }-\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\right)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} .$

Затем асимптотический выигрыш вычисляется, как и раньше.

$\mathbf {K} _{\infty }=\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.$

Кроме того, форма асимптотического фильтра Калмана, более часто используемая в теории управления, имеет вид

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}],}$

где

${\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }=\mathbf {F} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.$

Это приводит к оценке вида

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=(\mathbf {F} -{\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }\mathbf {H} ){\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }\mathbf {z} _{k},}$

Выводы

Фильтр Калмана можно получить как обобщенный метод наименьших квадратов , работающий с предыдущими данными.

Получение ковариационной матрицы апостериорной оценки

Начнем с нашего инварианта ковариации ошибок P _{k | к,} как указано выше

$\mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)$

заменить в определении ${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}$

$\mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\mathbf {x} _{k}-\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\right]$

и заменить ${\tilde {\mathbf {y} }}_{k}$

$\mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)$

и $\mathbf {z} _{k}$

$\mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)$

и, собрав векторы ошибок, получим

$\mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)-\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]$

Поскольку ошибка измерения v _k не коррелирует с другими членами, это становится

$\mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]+\operatorname {cov} \left[\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]$

по свойствам векторной ковариации это становится

$\mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\operatorname {cov} \left(\mathbf {v} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}$

что, используя наш инвариант на P _{k | k −1} , и определение R _k становится

$\mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}$

Эта формула (иногда известная как форма Джозефа уравнения обновления ковариации) действительна для любого значения K _k . Оказывается, если K _k является оптимальным коэффициентом усиления Калмана, его можно упростить, как показано ниже.

Вывод выигрыша Кальмана

Фильтр Калмана представляет собой средство оценки минимальной среднеквадратической ошибки . Ошибка апостериорной оценки состояния равна

$\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}$

Мы стремимся минимизировать математическое ожидание квадрата величины этого вектора: $\operatorname {E} \left[\left\|\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}\right\|^{2}\right]$. Это эквивалентно минимизации следа ковариационной апостериорной оценки матрицы $\mathbf {P} _{k|k}$. Раскрывая члены приведенного выше уравнения и собирая их, мы получаем:

${\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\\[6pt]&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\end{aligned}}$

Трасса минимизируется, когда ее матричная производная по матрице усиления равна нулю. Используя правила матрицы градиентов и симметрию задействованных матриц, мы находим, что

${\frac {\partial \;\operatorname {tr} (\mathbf {P} _{k\mid k})}{\partial \;\mathbf {K} _{k}}}=-2\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}+2\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}=0.$

Решение этого вопроса для K _k дает выигрыш Калмана:

${\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}&=\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\\\Rightarrow \mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\end{aligned}}$

Этот коэффициент усиления, известный как оптимальный коэффициент Калмана , при использовании дает оценки MMSE .

Упрощение формулы ковариации апостериорной ошибки

Формула, используемая для расчета ковариации апостериорной ошибки, может быть упрощена, когда коэффициент усиления Калмана равен оптимальному значению, полученному выше. Умножив обе части нашей формулы усиления Калмана справа на S _k K _k ^Т , отсюда следует, что

$\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}$

Возвращаясь к нашей расширенной формуле для ковариации апостериорной ошибки:

$\mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}$

мы обнаруживаем, что последние два члена сокращаются, давая

$\mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k\mid k-1}$

Эта формула дешевле в вычислительном отношении и поэтому почти всегда используется на практике, но верна только для оптимального усиления. Если арифметическая точность необычно низкая, что вызывает проблемы с числовой стабильностью , или если намеренно используется неоптимальный коэффициент усиления Калмана, это упрощение невозможно применить; Необходимо использовать формулу ковариации апостериорной ошибки, полученную выше (форма Джозефа).

Анализ чувствительности

Уравнения фильтрации Калмана дают оценку состояния ${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}$ и его ковариация ошибок $\mathbf {P} _{k\mid k}$ рекурсивно. Оценка и ее качество зависят от параметров системы и статистики шума, подаваемой в качестве входных данных в оценщик. В этом разделе анализируется влияние неопределенностей на статистические входные данные для фильтра. При отсутствии достоверной статистики или истинных значений ковариационных матриц шума $\mathbf {Q} _{k}$ и $\mathbf {R} _{k}$, выражение

$\mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}$

больше не обеспечивает фактическую ковариацию ошибок. Другими словами, $\mathbf {P} _{k\mid k}\neq E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]$. В большинстве приложений реального времени ковариационные матрицы, используемые при разработке фильтра Калмана, отличаются от фактических (истинных) матриц ковариаций шума. Этот анализ чувствительности описывает поведение ковариации ошибки оценки, когда ковариации шума, а также матрицы системы $\mathbf {F} _{k}$ и $\mathbf {H} _{k}$ которые подаются на вход фильтра, неверны. Таким образом, анализ чувствительности описывает устойчивость (или чувствительность) оценщика к неверно указанным статистическим и параметрическим входным данным для оценщика.

Это обсуждение ограничивается анализом чувствительности к ошибкам в случае статистических неопределенностей. Здесь фактические ковариации шума обозначаются через $\mathbf {Q} _{k}^{a}$ и $\mathbf {R} _{k}^{a}$ соответственно, тогда как расчетные значения, используемые в оценщике, равны $\mathbf {Q} _{k}$ и $\mathbf {R} _{k}$ соответственно. Фактическая ковариация ошибок обозначается $\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}$ и $\mathbf {P} _{k\mid k}$ вычисленная фильтром Калмана, называется переменной Риккати. Когда $\mathbf {Q} _{k}\equiv \mathbf {Q} _{k}^{a}$ и $\mathbf {R} _{k}\equiv \mathbf {R} _{k}^{a}$, это означает, что $\mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}$. При вычислении фактической ковариации ошибок с использованием $\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]$, заменяя ${\widehat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}$ и используя тот факт, что $E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}^{a}$ и $E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}^{a}$, приводит к следующим рекурсивным уравнениям для $\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}$ :

$\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}^{a}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}^{a}$

и

$\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}^{a}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}$

Во время вычислений $\mathbf {P} _{k\mid k}$, по своей конструкции фильтр неявно предполагает, что $E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}$ и $E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}$. Рекурсивные выражения для $\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}$ и $\mathbf {P} _{k\mid k}$ идентичны, за исключением наличия $\mathbf {Q} _{k}^{a}$ и $\mathbf {R} _{k}^{a}$ вместо расчетных значений $\mathbf {Q} _{k}$ и $\mathbf {R} _{k}$ соответственно. Были проведены исследования для анализа надежности системы фильтров Калмана.

Факторизованная форма

Одной из проблем фильтра Калмана является его численная стабильность . Если ковариация шума процесса Q _k мала, ошибка округления часто приводит к тому, что небольшое положительное собственное значение матрицы ковариации состояния P вычисляется как отрицательное число. Это делает числовое представление P неопределенным , в то время как его истинная форма является положительно определенной .

Положительно определенные матрицы обладают тем свойством, что они разлагаются на произведение неособой , нижнетреугольной матрицы S и ее транспонирование : P = S · S ^Т . Фактор S можно эффективно вычислить с помощью алгоритма факторизации Холецкого . Эта форма произведения ковариационной матрицы P гарантированно будет симметричной, и для всех 1 <= k <= n k-й диагональный элемент P _kk равен евклидовой норме k-й строки S , которая равна обязательно положительный. Эквивалентной формой, которая позволяет избежать многих операций извлечения квадратного корня , используемых в алгоритме факторизации Холецкого , но сохраняет желаемые числовые свойства, является форма разложения UD, P = U · D · U ^Т , где U — единичная треугольная матрица (с единичной диагональю), а D — диагональная матрица.

Между ними факторизация UD использует тот же объем памяти и несколько меньше вычислений и является наиболее часто используемой треугольной факторизацией. (Ранняя литература по относительной эффективности несколько вводит в заблуждение, поскольку предполагалось, что извлечение квадратного корня требует гораздо больше времени, чем деление. в то время как на компьютерах XXI века они лишь немного дороже.)

Эффективные алгоритмы для шагов предсказания Калмана и обновления в факторизованной форме были разработаны Г. Дж. Бирманом и К. Л. Торнтоном.

Л ​ · Д · Л ^Т Разложение инновационной ковариационной матрицы S _k является основой для другого типа численно эффективного и надежного фильтра с квадратным корнем. Алгоритм начинается с LU-разложения, реализованного в пакете линейной алгебры ( LAPACK ). Эти результаты далее учитываются в L · D · L ^Т структуру методами Голуба и Ван Лоана (алгоритм 4.1.2) для симметричной неособой матрицы. Любая сингулярная ковариационная матрица поворачивается так, что первое диагональное разбиение является неособым и хорошо обусловленным . Алгоритм поворота должен сохранять любую часть инновационной ковариационной матрицы, непосредственно соответствующую наблюдаемым переменным состояния H _k · x _k|k-1 , которые связаны со вспомогательными наблюдениями в й _к . л л · д · ​ ^т Фильтр с квадратным корнем требует ортогонализации вектора наблюдения. Это можно сделать с помощью обратного извлечения квадратного корня из ковариационной матрицы для вспомогательных переменных, используя метод 2 в Higham (2002, стр. 263).

Параллельная форма

Фильтр Калмана эффективен для последовательной обработки данных на центральных процессорах (ЦП), но в своей исходной форме он неэффективен на параллельных архитектурах, таких как графические процессоры (ГП). Однако процедуру обновления фильтра можно выразить в терминах ассоциативного оператора, используя формулировку Сярккя и Гарсиа-Фернандес (2021). Затем решение фильтра можно получить с помощью алгоритма суммы префиксов , который можно эффективно реализовать на графическом процессоре. Это снижает сложность вычислений с $O(N)$ по количеству шагов по времени, чтобы $O(\log(N))$.

Связь с рекурсивной байесовской оценкой

Фильтр Калмана можно представить как одну из простейших динамических байесовских сетей . Фильтр Калмана вычисляет оценки истинных значений состояний рекурсивно во времени, используя входящие измерения и математическую модель процесса. Аналогично, рекурсивная байесовская оценка вычисляет оценки неизвестной функции плотности вероятности (PDF) рекурсивно во времени с использованием входящих измерений и математической модели процесса.

При рекурсивной байесовской оценке истинное состояние считается ненаблюдаемым марковским процессом , а измерения — наблюдаемыми состояниями скрытой марковской модели (HMM).

hidden markov model

Из-за предположения Маркова истинное состояние условно независимо от всех предыдущих состояний, учитывая непосредственно предыдущее состояние.

$p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k-1})=p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})$

Аналогично, измерение на k -м временном шаге зависит только от текущего состояния и условно независимо от всех других состояний с учетом текущего состояния.

$p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k})=p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})$

Используя эти предположения, распределение вероятностей по всем состояниям скрытой модели Маркова можно просто записать как:

$p\left(\mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k},\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{k}\right)=p\left(\mathbf {x} _{0}\right)\prod _{i=1}^{k}p\left(\mathbf {z} _{i}\mid \mathbf {x} _{i}\right)p\left(\mathbf {x} _{i}\mid \mathbf {x} _{i-1}\right)$

используется фильтр Калмана Однако, когда для оценки состояния x , интересующее распределение вероятностей связано с текущими состояниями, обусловленными измерениями до текущего временного шага. Это достигается путем исключения предыдущих состояний и деления на вероятность набора измерений.

Это приводит к тому, что фазы прогнозирования и обновления фильтра Калмана записаны вероятностно. Распределение вероятностей, связанное с прогнозируемым состоянием, представляет собой сумму (интеграл) произведений распределения вероятностей, связанного с переходом от ( k - 1)-го временного шага к k -му, и распределения вероятностей, связанного с предыдущим состоянием, из всех возможных $x_{k-1}$.

$p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k-1}$

Измерение, установленное до времени t, равно

$\mathbf {Z} _{t}=\left\{\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{t}\right\}$

Распределение вероятностей обновления пропорционально произведению вероятности измерения и прогнозируемого состояния.

$p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k}\right)={\frac {p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}{p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}}$

Знаменатель

$p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k}$

является нормировочным термином.

Остальные функции плотности вероятности:

${\begin{aligned}p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {Q} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k-1},\mathbf {P} _{k-1}\right)\end{aligned}}$

PDF на предыдущем временном шаге индуктивно считается предполагаемым состоянием и ковариацией. Это оправдано, поскольку в качестве оптимального средства оценки фильтр Калмана наилучшим образом использует измерения, поэтому PDF для $\mathbf {x} _{k}$ учитывая размеры $\mathbf {Z} _{k}$ — оценка фильтра Калмана.

Предельная вероятность

В отношении рекурсивной байесовской интерпретации, описанной выше, фильтр Калмана можно рассматривать как генеративную модель , т.е. процесс генерации потока случайных наблюдений z = ( z ₀ , z ₁ , z ₂ , ...). В частности, процесс

1. Пример скрытого состояния $\mathbf {x} _{0}$ из предварительного распределения Гаусса $p\left(\mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0},\mathbf {P} _{0\mid 0}\right)$.
2. Пример наблюдения $\mathbf {z} _{0}$ из модели наблюдения $p\left(\mathbf {z} _{0}\mid \mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{0}\mathbf {x} _{0},\mathbf {R} _{0}\right)$.
3. Для $k=1,2,3,\ldots$, делать
   1. Попробуйте следующее скрытое состояние $\mathbf {x} _{k}$ из модели перехода $p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k}\right).$
   2. Пример наблюдения $\mathbf {z} _{k}$ из модели наблюдения $p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right).$

Этот процесс имеет структуру, идентичную скрытой марковской модели , за исключением того, что дискретное состояние и наблюдения заменяются непрерывными переменными, выбранными из гауссовских распределений.

В некоторых приложениях полезно вычислить вероятность того, что фильтр Калмана с заданным набором параметров (априорное распределение, модели перехода и наблюдения, а также управляющие входы) будет генерировать конкретный наблюдаемый сигнал. Эта вероятность известна как предельное правдоподобие, поскольку она интегрирует («вытесняет») значения скрытых переменных состояния, поэтому ее можно вычислить, используя только наблюдаемый сигнал. Предельное правдоподобие может быть полезно для оценки различных вариантов выбора параметров или для сравнения фильтра Калмана с другими моделями с использованием сравнения байесовских моделей .

Вычислить предельное правдоподобие как побочный эффект вычислений рекурсивной фильтрации несложно. По правилу цепочки вероятность можно факторизовать как произведение вероятности каждого наблюдения с учетом предыдущих наблюдений:

$p(\mathbf {z} )=\prod _{k=0}^{T}p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)$,

а поскольку фильтр Калмана описывает марковский процесс, вся соответствующая информация из предыдущих наблюдений содержится в оценке текущего состояния. ${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}.$ Таким образом, предельная вероятность определяется выражением

${\begin{aligned}p(\mathbf {z} )&=\prod _{k=0}^{T}\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}\int {\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right){\mathcal {N}}\left(\mathbf {x} _{k};{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\right)\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}\right),\end{aligned}}$

т. е. произведение гауссовских плотностей, каждая из которых соответствует плотности одного наблюдения z _k при текущем распределении фильтрации $\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}$. Это можно легко вычислить как простое рекурсивное обновление; однако, чтобы избежать числового опустошения , в практической реализации обычно желательно вычислить логарифмическую предельную вероятность $\ell =\log p(\mathbf {z} )$ вместо. Принятие конвенции $\ell ^{(-1)}=0$, это можно сделать с помощью правила рекурсивного обновления

$\ell ^{(k)}=\ell ^{(k-1)}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}+\log \left|\mathbf {S} _{k}\right|+d_{y}\log 2\pi \right),$

где $d_{y}$ – размерность вектора измерения.

Важным приложением, в котором используется такая (логарифмическая) вероятность наблюдений (с учетом параметров фильтра), является отслеживание нескольких целей. Например, рассмотрим сценарий отслеживания объектов, где входными данными является поток наблюдений, однако неизвестно, сколько объектов находится в сцене (или количество объектов известно, но больше одного). Для такого сценария априори может быть неизвестно, какие наблюдения/измерения каким объектом были произведены. Средство отслеживания множественных гипотез (MHT) обычно формирует различные гипотезы ассоциации треков, где каждую гипотезу можно рассматривать как фильтр Калмана (для линейного гауссовского случая) с определенным набором параметров, связанных с гипотетическим объектом. Таким образом, важно вычислить вероятность наблюдений для различных рассматриваемых гипотез так, чтобы можно было найти наиболее вероятную из них.

Информационный фильтр

В случаях, когда размерность вектора наблюдения y больше, чем размерность вектора пространства состояний x , информационный фильтр может избежать инверсии большей матрицы при вычислении коэффициента усиления Калмана ценой инвертирования меньшей матрицы на этапе прогнозирования. , тем самым экономя время вычислений. В информационном фильтре или обратном ковариационном фильтре оцененная ковариация и оцененное состояние заменяются информационной матрицей и информационным вектором соответственно. Они определяются как:

${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\end{aligned}}$

Точно так же прогнозируемая ковариация и состояние имеют эквивалентные информационные формы, определяемые как:

${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\end{aligned}}$

а также ковариацию измерения и вектор измерения, которые определяются как:

${\begin{aligned}\mathbf {I} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}\\\mathbf {i} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}$

Обновление информации теперь становится тривиальной суммой.

${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\mathbf {I} _{k}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {i} _{k}\end{aligned}}$

Основное преимущество информационного фильтра состоит в том, что на каждом временном шаге можно фильтровать N измерений, просто суммируя их информационные матрицы и векторы.

${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {I} _{k,j}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {i} _{k,j}\end{aligned}}$

Для прогнозирования информационного фильтра информационная матрица и вектор могут быть преобразованы обратно в их эквиваленты в пространстве состояний или, альтернативно, можно использовать прогнозирование информационного пространства.

${\begin{aligned}\mathbf {M} _{k}&=\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}\mathbf {Y} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{-1}\\\mathbf {C} _{k}&=\mathbf {M} _{k}\left[\mathbf {M} _{k}+\mathbf {Q} _{k}^{-1}\right]^{-1}\\\mathbf {L} _{k}&=\mathbf {I} -\mathbf {C} _{k}\\\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\mathbf {M} _{k}+\mathbf {C} _{k}\mathbf {Q} _{k}^{-1}\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}{\hat {\mathbf {y} }}_{k-1\mid k-1}\end{aligned}}$

Плавность с фиксированной задержкой

Оптимальный сглаживатель с фиксированной задержкой обеспечивает оптимальную оценку ${\hat {\mathbf {x} }}_{k-N\mid k}$ для заданного фиксированного лага $N$ используя измерения из $\mathbf {z} _{1}$ к $\mathbf {z} _{k}$. Его можно получить, используя предыдущую теорию через расширенное состояние, и основное уравнение фильтра выглядит следующим образом:

${\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-1\mid t}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-N+1\mid t}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} \\0\\\vdots \\0\\\end{bmatrix}}{\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}+{\begin{bmatrix}0&\ldots &0\\\mathbf {I} &0&\vdots \\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\mathbf {I} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}_{t-1\mid t-1}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-2\mid t-1}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-N+1\mid t-1}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\mathbf {K} ^{(0)}\\\mathbf {K} ^{(1)}\\\vdots \\\mathbf {K} ^{(N-1)}\\\end{bmatrix}}\mathbf {y} _{t\mid t-1}$

где:

• ${\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}$ оценивается с помощью стандартного фильтра Калмана;
• $\mathbf {y} _{t\mid t-1}=\mathbf {z} _{t}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}$ – нововведение, полученное с учетом оценки стандартного фильтра Калмана;
• различные ${\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}$ с $i=1,\ldots ,N-1$ являются новыми переменными; т.е. они не появляются в стандартном фильтре Калмана;
• Прибыль рассчитывается по следующей схеме:

  $\mathbf {K} ^{(i+1)}=\mathbf {P} ^{(i)}\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left[\mathbf {H} \mathbf {P} \mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right]^{-1}$

и

$\mathbf {P} ^{(i)}=\mathbf {P} \left[\left(\mathbf {F} -\mathbf {K} \mathbf {H} \right)^{\textsf {T}}\right]^{i}$

где $\mathbf {P}$ и $\mathbf {K}$ – это ковариация ошибки прогнозирования и коэффициенты усиления стандартного фильтра Калмана (т. е. $\mathbf {P} _{t\mid t-1}$).

Если ковариация ошибки оценки определена так, что

$\mathbf {P} _{i}:=E\left[\left(\mathbf {x} _{t-i}-{\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}\right)^{*}\left(\mathbf {x} _{t-i}-{\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}\right)\mid z_{1}\ldots z_{t}\right],$

тогда мы имеем улучшение оценки $\mathbf {x} _{t-i}$ дается:

$\mathbf {P} -\mathbf {P} _{i}=\sum _{j=0}^{i}\left[\mathbf {P} ^{(j)}\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} \mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \left(\mathbf {P} ^{(i)}\right)^{\textsf {T}}\right]$

Сглаживатели с фиксированным интервалом

Оптимальный сглаживатель с фиксированным интервалом обеспечивает оптимальную оценку ${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}$ ( $k<n$) с использованием измерений с фиксированного интервала $\mathbf {z} _{1}$ к $\mathbf {z} _{n}$. Это также называется «сглаживанием Калмана». Существует несколько широко используемых алгоритмов сглаживания.

Раух-Тунг-Штрибель

Сглаживатель Рауха-Тунга-Штрибеля (RTS) представляет собой эффективный двухпроходный алгоритм сглаживания с фиксированным интервалом.

Прямой проход аналогичен обычному алгоритму фильтра Калмана. Эти отфильтрованные априорные и апостериорные оценки состояния. ${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}$, ${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}$ и ковариации $\mathbf {P} _{k\mid k-1}$, $\mathbf {P} _{k\mid k}$ сохраняются для использования при обратном проходе (для ретродиктации ).

В обратном проходе мы вычисляем сглаженные оценки состояния ${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}$ и ковариации $\mathbf {P} _{k\mid n}$. Мы начинаем с последнего временного шага и движемся назад во времени, используя следующие рекурсивные уравнения:

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}+\mathbf {C} _{k}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid n}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid k}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k}+\mathbf {C} _{k}\left(\mathbf {P} _{k+1\mid n}-\mathbf {P} _{k+1\mid k}\right)\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\end{aligned}}$

где

$\mathbf {C} _{k}=\mathbf {P} _{k\mid k}\mathbf {F} _{k+1}^{\textsf {T}}\mathbf {P} _{k+1\mid k}^{-1}.$

$\mathbf {x} _{k\mid k}$ это апостериорная оценка временного шага $k$ и $\mathbf {x} _{k+1\mid k}$ - это априорная оценка временного шага $k+1$. Те же обозначения применимы и к ковариации.

Модифицированный более сглаживающий Брайсон – Фрейзер

Альтернативой алгоритму RTS является модифицированный сглаживатель с фиксированным интервалом Брайсона-Фрейзера (MBF), разработанный Бирманом. При этом также используется обратный проход, который обрабатывает данные, сохраненные из прямого прохода фильтра Калмана. Уравнения для обратного прохода включают рекурсивную вычисление данных, которые используются в каждый момент наблюдения для вычисления сглаженного состояния и ковариации.

Рекурсивные уравнения:

${\begin{aligned}{\tilde {\Lambda }}_{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}+{\hat {\mathbf {C} }}_{k}^{\textsf {T}}{\hat {\Lambda }}_{k}{\hat {\mathbf {C} }}_{k}\\{\hat {\Lambda }}_{k-1}&=\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}{\tilde {\Lambda }}_{k}\mathbf {F} _{k}\\{\hat {\Lambda }}_{n}&=0\\{\tilde {\lambda }}_{k}&=-\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\mathbf {y} _{k}+{\hat {\mathbf {C} }}_{k}^{\textsf {T}}{\hat {\lambda }}_{k}\\{\hat {\lambda }}_{k-1}&=\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}{\tilde {\lambda }}_{k}\\{\hat {\lambda }}_{n}&=0\end{aligned}}$

где $\mathbf {S} _{k}$ - остаточная ковариация и ${\hat {\mathbf {C} }}_{k}=\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}$. Сглаженное состояние и ковариацию затем можно найти путем подстановки в уравнения

${\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k}-\mathbf {P} _{k\mid k}{\hat {\Lambda }}_{k}\mathbf {P} _{k\mid k}\\\mathbf {x} _{k\mid n}&=\mathbf {x} _{k\mid k}-\mathbf {P} _{k\mid k}{\hat {\lambda }}_{k}\end{aligned}}$

или

${\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}{\tilde {\Lambda }}_{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\\\mathbf {x} _{k\mid n}&=\mathbf {x} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}{\tilde {\lambda }}_{k}.\end{aligned}}$

Важным преимуществом MBF является то, что он не требует поиска обратной ковариационной матрицы.

Сглаживание минимальной дисперсии

Сглаживатель с минимальной дисперсией может достичь максимально возможной производительности по ошибкам при условии, что модели линейны, их параметры и статистика шума точно известны. Этот сглаживатель представляет собой изменяющееся во времени обобщение оптимального непричинного фильтра Винера в пространстве состояний .

Более плавные вычисления выполняются за два прохода. Прямые вычисления включают в себя предиктор на один шаг вперед и определяются выражением

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid k}&=(\mathbf {F} _{k}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}){\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}\\\alpha _{k}&=-\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}$

Вышеуказанная система известна как обратный фактор Винера-Хопфа. Обратная рекурсия является дополнением к описанной выше прямой системе. Результат обратного прохода $\beta _{k}$ можно рассчитать, применяя прямые уравнения к обращенному во времени $\alpha _{k}$ и время, обращающее результат. В случае оценки выпуска сглаженная оценка определяется выражением

${\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid N}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {R} _{k}\beta _{k}$

Взяв причинную часть этого более гладкого результата с минимальной дисперсией, получим

${\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {R} _{k}\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\alpha _{k}$

который идентичен фильтру Калмана с минимальной дисперсией. Вышеупомянутые решения минимизируют дисперсию ошибки оценки выходных данных. Обратите внимание, что более гладкий вывод Рауха-Тунга-Штрибеля предполагает, что основные распределения являются гауссовыми, тогда как решения с минимальной дисперсией - нет. Оптимальные сглаживатели для оценки состояния и оценки входных данных могут быть построены аналогичным образом.

Версия вышеупомянутого сглаживателя с непрерывным временем описана в .

Алгоритмы ожидания-максимизации могут использоваться для расчета приблизительных оценок максимального правдоподобия неизвестных параметров пространства состояний в фильтрах минимальной дисперсии и сглаживателях. Часто неопределенности остаются внутри проблемных предположений. Сглаживатель, учитывающий неопределенности, можно создать, добавив к уравнению Риккати положительно определенный член.

В случаях, когда модели нелинейны, поэтапная линеаризация может осуществляться в рамках фильтра минимальной дисперсии и более плавных рекурсий ( расширенная фильтрация Калмана ).

Частотно-взвешенные фильтры Калмана

Новаторские исследования восприятия звуков разных частот были проведены Флетчером и Мансоном в 1930-х годах. Их работа привела к стандартному способу взвешивания измеренных уровней звука при исследованиях промышленного шума и потери слуха. С тех пор частотные характеристики использовались в конструкциях фильтров и контроллеров для управления производительностью в интересующих диапазонах.

Обычно функция формирования частоты используется для взвешивания средней мощности спектральной плотности ошибки в указанной полосе частот. Позволять $\mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}$ обозначают ошибку оценки выходного сигнала, проявляемую обычным фильтром Калмана. Кроме того, пусть $\mathbf {W}$ обозначают передаточную функцию причинно-частотного взвешивания. Оптимальное решение, минимизирующее дисперсию $\mathbf {W} \left(\mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}\right)$ возникает путем простого построения $\mathbf {W} ^{-1}{\hat {\mathbf {y} }}$.

Дизайн $\mathbf {W}$ остается открытым вопросом. Один из способов — идентифицировать систему, которая генерирует ошибку оценки, и установить $\mathbf {W}$ равна обратной этой системе. Эту процедуру можно повторять для получения улучшения среднеквадратической ошибки за счет увеличения порядка фильтра. Тот же метод можно применить и к сглаживателям.

Нелинейные фильтры

Базовый фильтр Калмана ограничен линейным предположением. Однако более сложные системы могут быть нелинейными . Нелинейность может быть связана либо с моделью процесса, либо с моделью наблюдения, либо с тем и другим.

Наиболее распространенными вариантами фильтров Калмана для нелинейных систем являются расширенный фильтр Калмана и фильтр Калмана без запаха. Пригодность того или иного фильтра использовать зависит от показателей нелинейности процесса и модели наблюдения.

Расширенный фильтр Калмана

Основная статья: Расширенный фильтр Калмана

В расширенном фильтре Калмана (EKF) модели перехода состояний и наблюдения не обязательно должны быть линейными функциями состояния, а могут быть нелинейными функциями. Эти функции имеют дифференцируемый тип.

${\begin{aligned}\mathbf {x} _{k}&=f(\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {u} _{k})+\mathbf {w} _{k}\\\mathbf {z} _{k}&=h(\mathbf {x} _{k})+\mathbf {v} _{k}\end{aligned}}$

Функцию f можно использовать для вычисления прогнозируемого состояния на основе предыдущей оценки, и аналогичным образом функцию h можно использовать для вычисления прогнозируемого измерения на основе прогнозируемого состояния. Однако f и h нельзя применить к ковариации напрямую. матрица частных производных ( якобиан Вместо этого вычисляется ).

На каждом временном шаге якобиан оценивается с текущими предсказанными состояниями. Эти матрицы можно использовать в уравнениях фильтра Калмана. Этот процесс по существу линеаризует нелинейную функцию вокруг текущей оценки.

Фильтр Калмана без запаха

Когда модели перехода состояний и наблюдения, то есть функции прогнозирования и обновления, $f$ и $h$— сильно нелинейны, расширенный фильтр Калмана может дать особенно низкую производительность. Это связано с тем, что ковариация распространяется посредством линеаризации базовой нелинейной модели. Фильтр Калмана без запаха (УКФ) использует метод детерминированной выборки, известный как преобразование без запаха (UT), для выбора минимального набора точек выборки (называемых сигма-точками) вокруг среднего значения. Затем сигма-точки распространяются по нелинейным функциям, из которых затем формируются новое среднее значение и оценка ковариации. Результирующий фильтр зависит от того, как рассчитывается преобразованная статистика UT и какой набор сигма-точек используется. Следует отметить, что всегда можно последовательно строить новые УКФ. Для некоторых систем результирующая UKF более точно оценивает истинное среднее значение и ковариацию. Это можно проверить с помощью выборки Монте-Карло или ряд Тейлора разложения апостериорной статистики в . Кроме того, этот метод устраняет необходимость явного расчета якобианов, что для сложных функций само по себе может быть трудной задачей (т. е. требовать сложных производных, если они выполняются аналитически, или затратно с точки зрения вычислений, если они выполняются численно), если не невозможно (если эти функции не дифференцируемо).

Сигма-очки

Для случайного вектора $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{L})$, сигма-точки — это любой набор векторов

$\{\mathbf {s} _{0},\dots ,\mathbf {s} _{N}\}={\bigl \{}{\begin{pmatrix}s_{0,1}&s_{0,2}&\ldots &s_{0,L}\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}s_{N,1}&s_{N,2}&\ldots &s_{N,L}\end{pmatrix}}{\bigr \}}$

приписывается с

• веса первого порядка $W_{0}^{a},\dots ,W_{N}^{a}$ которые выполняют

1. $\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{a}=1$
2. для всех $i=1,\dots ,L$: $E[x_{i}]=\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{a}s_{j,i}$

• веса второго порядка $W_{0}^{c},\dots ,W_{N}^{c}$ которые выполняют

1. $\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{c}=1$
2. для всех пар $(i,l)\in \{1,\dots ,L\}^{2}:E[x_{i}x_{l}]=\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{c}s_{j,i}s_{j,l}$.

Простой выбор сигма-точек и весов для $\mathbf {x} _{k-1\mid k-1}$ в алгоритме UKF

${\begin{aligned}\mathbf {s} _{0}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\-1&<W_{0}^{a}=W_{0}^{c}<1\\\mathbf {s} _{j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+{\sqrt {\frac {L}{1-W_{0}}}}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\\mathbf {s} _{L+j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}-{\sqrt {\frac {L}{1-W_{0}}}}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\W_{j}^{a}&=W_{j}^{c}={\frac {1-W_{0}}{2L}},\quad j=1,\dots ,2L\end{aligned}}$

где ${\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}$ это средняя оценка $\mathbf {x} _{k-1\mid k-1}$. Вектор $\mathbf {A} _{j}$ это j -й столбец $\mathbf {A}$ где $\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}=\mathbf {AA} ^{\textsf {T}}$. Обычно $\mathbf {A}$ получается Холецкого разложением $\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}$. При некоторой осторожности уравнения фильтра можно выразить так, что $\mathbf {A}$ оценивается напрямую, без промежуточных расчетов $\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}$. Это называется фильтром Калмана с квадратным корнем без запаха .

Вес среднего значения, $W_{0}$, может быть выбран произвольно.

Другая популярная параметризация (которая обобщает вышеизложенное):

${\begin{aligned}\mathbf {s} _{0}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\W_{0}^{a}&={\frac {\alpha ^{2}\kappa -L}{\alpha ^{2}\kappa }}\\W_{0}^{c}&=W_{0}^{a}+1-\alpha ^{2}+\beta \\\mathbf {s} _{j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\alpha {\sqrt {\kappa }}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\\mathbf {s} _{L+j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}-\alpha {\sqrt {\kappa }}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\W_{j}^{a}&=W_{j}^{c}={\frac {1}{2\alpha ^{2}\kappa }},\quad j=1,\dots ,2L.\end{aligned}}$

$\alpha$ и $\kappa$ контролировать разброс сигма-точек. $\beta$ связано с распространением $x$. Обратите внимание, что это чрезмерная параметризация в том смысле, что любой из $\alpha$, $\beta$ и $\kappa$ можно выбирать произвольно.

Соответствующие значения зависят от решаемой проблемы, но типичная рекомендация $\alpha =1$, $\beta =0$, и $\kappa \approx 3L/2$. Если истинное распределение $x$ является гауссовским, $\beta =2$ является оптимальным.

Предсказывать

Как и в случае с EKF, прогноз UKF можно использовать независимо от обновления UKF, в сочетании с линейным обновлением (или даже EKF) или наоборот.

Учитывая оценки среднего и ковариации, ${\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}$ и $\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}$, получается $N=2L+1$ сигма-точки, как описано в разделе выше. Сигма-точки распространяются через функцию перехода f .

$\mathbf {x} _{j}=f\left(\mathbf {s} _{j}\right)\quad j=0,\dots ,2L$.

Распространенные сигма-точки взвешиваются для получения прогнозируемого среднего значения и ковариации.

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{a}\mathbf {x} _{j}\\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}\left(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}\end{aligned}}$

где $W_{j}^{a}$ - веса первого порядка исходных сигма-точек, а $W_{j}^{c}$ являются весами второго порядка. Матрица $\mathbf {Q} _{k}$ - ковариация переходного шума, $\mathbf {w} _{k}$.

Обновлять

Учитывая прогнозные оценки ${\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}$ и $\mathbf {P} _{k\mid k-1}$, новый набор $N=2L+1$ сигма-очки $\mathbf {s} _{0},\dots ,\mathbf {s} _{2L}$ с соответствующими весами первого порядка $W_{0}^{a},\dots W_{2L}^{a}$ и веса второго порядка $W_{0}^{c},\dots ,W_{2L}^{c}$ рассчитывается. Эти сигма-точки преобразуются с помощью функции измерения $h$.

$\mathbf {z} _{j}=h(\mathbf {s} _{j}),\,\,j=0,1,\dots ,2L$.

Затем вычисляются эмпирическое среднее и ковариация преобразованных точек.

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {z} }}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{a}\mathbf {z} _{j}\\[6pt]{\hat {\mathbf {S} }}_{k}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})^{\textsf {T}}+\mathbf {R_{k}} \end{aligned}}$

где $\mathbf {R} _{k}$ — ковариационная матрица шума наблюдения, $\mathbf {v} _{k}$. Кроме того, также необходима матрица перекрестной ковариации.

${\begin{aligned}\mathbf {C_{xz}} &=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1})(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})^{\textsf {T}}.\end{aligned}}$

Выигрыш Калмана

${\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}=\mathbf {C_{xz}} {\hat {\mathbf {S} }}_{k}^{-1}.\end{aligned}}$

Обновленные оценки среднего и ковариации:

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {K} _{k}(\mathbf {z} _{k}-{\hat {\mathbf {z} }})\\\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}{\hat {\mathbf {S} }}_{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}.\end{aligned}}$

Дискриминационный фильтр Калмана

Когда модель наблюдения $p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})$ является сильно нелинейным и/или негауссовым, может оказаться выгодным применить Байеса правило и оценку

$p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})\approx {\frac {p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k})}{p(\mathbf {x} _{k})}}$

где $p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k})\approx {\mathcal {N}}(g(\mathbf {z} _{k}),Q(\mathbf {z} _{k}))$ для нелинейных функций $g,Q$. Это заменяет генеративную спецификацию стандартного фильтра Калмана дискриминационной моделью для скрытых состояний с учетом наблюдений.

В рамках модели стационарного состояния

${\begin{aligned}p(\mathbf {x} _{1})&={\mathcal {N}}(0,\mathbf {T} ),\\p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})&={\mathcal {N}}(\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1},\mathbf {C} ),\end{aligned}}$

где $\mathbf {T} =\mathbf {F} \mathbf {T} \mathbf {F} ^{\intercal }+\mathbf {C}$, если

$p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{1:k})\approx {\mathcal {N}}({\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1},\mathbf {P} _{k|k-1}),$

затем дали новое наблюдение $\mathbf {z} _{k}$, отсюда следует, что

$p(\mathbf {x} _{k+1}\mid \mathbf {z} _{1:k+1})\approx {\mathcal {N}}({\hat {\mathbf {x} }}_{k+1|k},\mathbf {P} _{k+1|k})$

где

${\begin{aligned}\mathbf {M} _{k+1}&=\mathbf {F} \mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {F} ^{\intercal }+\mathbf {C} ,\\\mathbf {P} _{k+1|k}&=(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}+Q(\mathbf {z} _{k})^{-1}-\mathbf {T} ^{-1})^{-1},\\{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1|k}&=\mathbf {P} _{k+1|k}(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {P} _{k+1|k}^{-1}g(\mathbf {z} _{k})).\end{aligned}}$

Обратите внимание, что это приближение требует $Q(\mathbf {z} _{k})^{-1}-\mathbf {T} ^{-1}$ быть положительно-определенным; в случае, если это не так,

$\mathbf {P} _{k+1|k}=(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}+Q(\mathbf {z} _{k})^{-1})^{-1}$

вместо этого используется. Такой подход оказывается особенно полезным, когда размерность наблюдений намного превышает размерность скрытых состояний. и могут использоваться для создания фильтров, которые особенно устойчивы к нестационарностям в модели наблюдения.

Адаптивный фильтр Калмана

Адаптивные фильтры Калмана позволяют адаптироваться к динамике процесса, которая не моделируется в модели процесса. $\mathbf {F} (t)$, что происходит, например, в контексте маневрирующей цели, когда для отслеживания используется фильтр Калмана с постоянной скоростью (пониженного порядка).

Фильтр Калмана – Бьюси

Фильтрация Калмана – Бьюси (названная в честь Ричарда Сноудена Бьюси) представляет собой версию фильтрации Калмана с непрерывным временем.

Он основан на модели пространства состояний.

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)\\\mathbf {z} (t)&=\mathbf {H} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {v} (t)\end{aligned}}$

где $\mathbf {Q} (t)$ и $\mathbf {R} (t)$ представляют интенсивности (или, точнее, матрицы спектральной плотности мощности (PSD)) двух членов белого шума. $\mathbf {w} (t)$ и $\mathbf {v} (t)$, соответственно.

Фильтр состоит из двух дифференциальных уравнений: одного для оценки состояния и одного для ковариации:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\hat {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {F} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {K} (t)\left(\mathbf {z} (t)-\mathbf {H} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right)\\{\frac {d}{dt}}\mathbf {P} (t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}(t)+\mathbf {Q} (t)-\mathbf {K} (t)\mathbf {R} (t)\mathbf {K} ^{\textsf {T}}(t)\end{aligned}}$

где выигрыш Калмана определяется выражением

$\mathbf {K} (t)=\mathbf {P} (t)\mathbf {H} ^{\textsf {T}}(t)\mathbf {R} ^{-1}(t)$

Обратите внимание, что в этом выражении для $\mathbf {K} (t)$ ковариация шума наблюдения $\mathbf {R} (t)$ одновременно представляет собой ковариацию ошибки прогнозирования (или инновации ) ${\tilde {\mathbf {y} }}(t)=\mathbf {z} (t)-\mathbf {H} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)$; эти ковариации равны только в случае непрерывного времени.

Различия между этапами прогнозирования и обновления дискретной фильтрации Калмана не существует в непрерывном времени.

Второе дифференциальное уравнение для ковариации является примером уравнения Риккати . Нелинейные обобщения фильтров Калмана – Бьюси включают расширенный по времени фильтр Калмана.

Гибридный фильтр Калмана

Большинство физических систем представлены в виде моделей с непрерывным временем, в то время как измерения в дискретном времени часто проводятся для оценки состояния с помощью цифрового процессора. Таким образом, модель системы и модель измерения имеют вид

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t),&\mathbf {w} (t)&\sim N\left(\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t)\right)\\\mathbf {z} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k},&\mathbf {v} _{k}&\sim N(\mathbf {0} ,\mathbf {R} _{k})\end{aligned}}$

где

$\mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})$.

Инициализировать

${\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}=E\left[\mathbf {x} (t_{0})\right],\mathbf {P} _{0\mid 0}=\operatorname {Var} \left[\mathbf {x} \left(t_{0}\right)\right]$

Предсказывать

${\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)&=\mathbf {F} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t){\text{, with }}{\hat {\mathbf {x} }}\left(t_{k-1}\right)={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\\Rightarrow {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}&={\hat {\mathbf {x} }}\left(t_{k}\right)\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} (t){\text{, with }}\mathbf {P} \left(t_{k-1}\right)=\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\\\Rightarrow \mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} \left(t_{k}\right)\end{aligned}}$

Уравнения прогнозирования получены из уравнений фильтра Калмана непрерывного времени без обновления результатов измерений, т. е. $\mathbf {K} (t)=0$. Прогнозируемое состояние и ковариация рассчитываются соответственно путем решения системы дифференциальных уравнений с начальным значением, равным оценке на предыдущем шаге.

В случае линейных систем, инвариантных во времени , динамика непрерывного времени может быть точно дискретизирована в систему дискретного времени с использованием матричных экспонент .

Обновлять

${\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)^{-1}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\end{aligned}}$

Уравнения обновления идентичны уравнениям фильтра Калмана дискретного времени.

Варианты восстановления разреженных сигналов

Традиционный фильтр Калмана также использовался для восстановления редких , возможно, динамических сигналов из зашумленных наблюдений. Последние работы использовать понятия из теории сжатого зондирования /выборки, такие как свойство ограниченной изометрии и связанные с ним аргументы вероятностного восстановления, для последовательной оценки разреженного состояния в изначально малоразмерных системах.

Связь с гауссовскими процессами

Поскольку линейные гауссовские модели в пространстве состояний приводят к гауссовским процессам, фильтры Калмана можно рассматривать как последовательные решатели регрессии гауссовского процесса .

Приложения

• Системы ориентации и направления
• Автопилот
• электрической батареи Оценка состояния заряда (SoC)
• Интерфейсы мозг-компьютер
• Отслеживание и подгонка вершин заряженных частиц в детекторах частиц
• Отслеживание объектов в компьютерном зрении
• Динамическое позиционирование в сфере доставки
• Экономика , в частности макроэкономика , анализ временных рядов и эконометрика.
• Инерциальная система наведения
• Ядерная медицина – восстановление изображений однофотонной эмиссионной компьютерной томографии
• Определение орбиты
• Оценка состояния энергосистемы
• Радар-трекер
• Спутниковые навигационные системы
• Сейсмология
• Бездатчиковое управление частотно-регулируемыми приводами двигателей переменного тока
• Одновременная локализация и картографирование
• Улучшение речи
• Визуальная одометрия
• Прогноз погоды
• Навигационная система
• 3D modeling
• Структурный мониторинг здоровья
• Сенсомоторная обработка человека

См. также

• Альфа-бета-фильтр
• Взвешивание обратной дисперсии
• Ковариационное пересечение
• Усвоение данных
• Ансамбль фильтра Калмана
• Расширенный фильтр Калмана
• Быстрый фильтр Калмана
• Задача фильтрации (случайные процессы)
• Обобщенная фильтрация
• Инвариантный расширенный фильтр Калмана
• Адаптивный фильтр ядра
• Теорема Масрелье
• Оценка движущегося горизонта
• фильтра частиц Оценщик
• ПИД-регулятор
• Метод предиктора-корректора
• Рекурсивный фильтр наименьших квадратов
• Фильтр Шмидта – Калмана
• Принцип разделения
• Управление скользящим режимом
• Матрица перехода состояний
• Стохастические дифференциальные уравнения
• Переключение фильтра Калмана

Дальнейшее чтение

• Эйнике, Джорджия (2019). Сглаживание, фильтрация и прогнозирование: оценка прошлого, настоящего и будущего (2-е изд.) . Издательство Амазон Прайм. ISBN  978-0-6485115-0-2 .
• Джинья Су; Байбинг Ли; Вэнь-Хуа Чен (2015). «О существовании, оптимальности и асимптотической устойчивости фильтра Калмана с частично наблюдаемыми входами» . Автоматика . 53 : 149–154. дои : 10.1016/j.automatica.2014.12.044 .
• Гельб, А. (1974). Прикладная оптимальная оценка . МТИ Пресс.
• Кальман, Р.Э. (1960). «Новый подход к проблемам линейной фильтрации и прогнозирования» (PDF) . Журнал фундаментальной инженерии . 82 (1): 35–45. дои : 10.1115/1.3662552 . S2CID   1242324 . Архивировано из оригинала (PDF) 29 мая 2008 г. Проверено 3 мая 2008 г.
• Кальман, Р.Э.; Бьюси, RS (1961). «Новые результаты в теории линейной фильтрации и прогнозирования». Журнал фундаментальной инженерии . 83 : 95–108. CiteSeerX   10.1.1.361.6851 . дои : 10.1115/1.3658902 . S2CID   8141345 .
• Харви, AC (1990). Прогнозирование, модели структурных временных рядов и фильтр Калмана . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-40573-7 .
• Ровейс, С.; Гахрамани, З. (1999). «Объединяющий обзор линейных гауссовских моделей» (PDF) . Нейронные вычисления . 11 (2): 305–345. дои : 10.1162/089976699300016674 . ПМИД   9950734 . S2CID   2590898 .
• Саймон, Д. (2006). Оценка оптимального состояния: Калман, H бесконечность и нелинейные подходы . Уайли-Интерсайенс. Архивировано из оригинала 30 декабря 2010 г. Проверено 5 июля 2006 г.
• Уорвик, К. (1987). «Оптимальные наблюдатели для моделей ARMA». Международный журнал контроля . 46 (5): 1493–1503. дои : 10.1080/00207178708933989 .
• Бирман, Дж.Дж. (1977). Методы факторизации для дискретного последовательного оценивания . Том. 128. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-44981-4 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
• Божич, С.М. (1994). Цифровая фильтрация и фильтрация Калмана . Баттерворт-Хайнеманн.
• Хайкин, С. (2002). Адаптивная теория фильтров . Прентис Холл.
• Лю, В.; Принсипи, Дж. К. и Хайкин, С. (2010). Адаптивная фильтрация ядра: подробное введение . Джон Уайли. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Манолакис, Д.Г. (1999). Статистическая и адаптивная обработка сигналов . Артех Хаус.
• Уэлч, Грег; Бишоп, Гэри (1997). «SCAAT: инкрементальное отслеживание с неполной информацией» (PDF) . SIGGRAPH '97 Материалы 24-й ежегодной конференции по компьютерной графике и интерактивным технологиям . ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co., стр. 333–344. дои : 10.1145/258734.258876 . ISBN  978-0-89791-896-1 . S2CID   1512754 .
• Джазвински, Эндрю Х. (1970). Стохастические процессы и фильтрация . Математика в науке и технике. Нью-Йорк: Академическая пресса . п. 376. ИСБН  978-0-12-381550-7 .
• Мэйбек, Питер С. (1979). «Глава 1» (PDF) . Стохастические модели, оценка и контроль . Математика в науке и технике. Том. 141–1. Нью-Йорк: Академическая пресса . ISBN  978-0-12-480701-3 .
• Мория, Н. (2011). Введение в фильтрацию Калмана: взгляд физика . Нью-Йорк: Nova Science Publishers, Inc. ISBN  978-1-61668-311-5 .
• Дуник, Дж.; Симандл М.; Страка О. (2009). «Методы оценки состояния и ковариационных матриц шума измерения: аспекты и сравнение» . 15-й симпозиум МФБ по идентификации систем, 2009 г. Франция. стр. 372–377. дои : 10.3182/20090706-3-FR-2004.00061 . ISBN  978-3-902661-47-0 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Чуи, Чарльз К.; Чен, Гуанжун (2009). Фильтрация Калмана в приложениях реального времени . Серия Спрингера по информационным наукам. Том. 17 (4-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер . п. 229. ИСБН  978-3-540-87848-3 .
• Спайви, Бен; Хеденгрен, Дж. Д. и Эдгар, Т. Ф. (2010). «Ограниченная нелинейная оценка загрязнения промышленных процессов». Исследования в области промышленной и инженерной химии . 49 (17): 7824–7831. дои : 10.1021/ie9018116 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Томас Кайлат ; Али Х. Сайед ; Бабак Хассиби (2000). Линейная оценка . Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  978-0-13-022464-4 .
• Али Х. Сайед (2008). Адаптивные фильтры . Нью-Джерси: Уайли. ISBN  978-0-470-25388-5 .

Внешние ссылки

• Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования , Р.Э. Калман, 1960 г.
• Калмана и байесовские фильтры в Python . Учебник по фильтрации Калмана с открытым исходным кодом.
• Как работает фильтр Калмана, в картинках . Подсвечивает фильтр Калмана картинками и цветами.
• Фильтр Калмана-Бьюси , производный фильтр Калмана-Бьюси.
• Видеолекция MIT о фильтре Калмана на YouTube
• Фильтр Калмана в Javascript . Библиотека фильтров Калмана с открытым исходным кодом для node.js и веб-браузера.
• Введение в фильтр Калмана. Архивировано 24 февраля 2021 г. на Wayback Machine , курс SIGGRAPH 2001, Грег Уэлч и Гэри Бишоп.
• Веб-страница фильтра Калмана со множеством ссылок
• Простое объяснение фильтра Калмана , пошаговое руководство по использованию фильтра Калмана с уравнениями
• «Фильтры Калмана, используемые в моделях погоды» (PDF) . СИАМ Новости . 36 (8). Октябрь 2003 г. Архивировано из оригинала (PDF) 17 мая 2011 г. Проверено 27 января 2007 г.
• Хазелтин, Эрик Л.; Роулингс, Джеймс Б. (2005). «Критическая оценка расширенной фильтрации Калмана и оценки скользящего горизонта». Исследования в области промышленной и инженерной химии . 44 (8): 2451. doi : 10.1021/ie034308l .
• Библиотека подпрограмм оценки Джеральда Дж. Бирмана : соответствует коду в исследовательской монографии «Методы факторизации для дискретной последовательной оценки», первоначально опубликованной Academic Press в 1977 году. Переиздано Dover.
• Matlab Toolbox, реализующий части библиотеки подпрограмм оценки Джеральда Дж. Бирмана : факторизация UD/UDU' и LD/LDL' с соответствующими обновлениями времени и измерений, составляющими фильтр Калмана.
• Панель инструментов Matlab для фильтрации Калмана, применяемая для одновременной локализации и картографии : транспортное средство, движущееся в 1D, 2D и 3D
• Фильтр Калмана в воспроизведении гильбертовых пространств ядра . Подробное введение.
• Код Matlab для оценки модели процентных ставок Кокса – Ингерсолла – Росса с фильтром Калмана . Архивировано 9 февраля 2014 г. в Wayback Machine : соответствует статье «Оценка и тестирование моделей экспоненциально-аффинной временной структуры с помощью фильтра Калмана», опубликованной Review of Quantitative Finance. и бухгалтерский учет в 1999 году.
• Онлайн-демонстрация фильтра Калмана . Демонстрация фильтра Калмана (и других методов ассимиляции данных) с использованием двойных экспериментов.
• kalman-filter.com . Информация об использовании фильтров Калмана в различных областях.
• Ботелла, Гильермо; Мартин Х., Хосе Антонио; Сантос, Матильда; Мейер-Безе, Уве (2011). «Мультимодальная встраиваемая сенсорная система на основе FPGA, объединяющая зрение низкого и среднего уровня» . Датчики . 11 (12): 1251–1259. Бибкод : 2011Senso..11.8164B . дои : 10.3390/s110808164 . ПМК   3231703 . ПМИД   22164069 .
• Примеры и инструкции по использованию фильтров Калмана с MATLAB. Учебное пособие по фильтрации и оценке.
• Объяснение фильтрации (оценки) за один час, десять минут, одну минуту и ​​одно предложение Ю-Чи Хо
• Симо Сярккя (2013). «Байесовская фильтрация и сглаживание». Издательство Кембриджского университета. Полный текст доступен на странице автора https://users.aalto.fi/~ssarkka/ .