Треугольная матрица

В математике треугольная матрица — это особый вид квадратной матрицы . Квадратная матрица называется нижний треугольник , если все элементы над главной диагональю равны нулю. Аналогично квадратная матрица называется верхний треугольный , если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Поскольку матричные уравнения с треугольными матрицами легче решать, они очень важны в численном анализе . С помощью LU-разложения алгоритма обратимая матрица может быть записана как произведение нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U тогда и только тогда, когда все ее ведущие главные миноры отличны от нуля.

Описание

Матрица вида

L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}

называется нижней треугольной матрицей или левой треугольной матрицей и аналогично матрицей вида

U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}

называется верхнетреугольной матрицей или правотреугольной матрицей . Нижняя или левая треугольная матрица обычно обозначается переменной L верхняя или правая треугольная матрица обычно обозначается переменной U или R. , а

Матрица, имеющая одновременно верхнюю и нижнюю треугольную форму, является диагональной . Матрицы, подобные треугольным , называются триангуляризуемыми .

Неквадратная (а иногда и любая) матрица с нулями выше (ниже) диагонали называется нижней (верхней) трапециевидной матрицей. Ненулевые записи образуют форму трапеции .

Примеры

Матрица

{\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\\\end{bmatrix}}

имеет нижнюю треугольную форму, а

{\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

имеет верхнюю треугольную форму.

Замена вперед и назад.

Матричное уравнение вида $L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ или $U\mathbf {x} =\mathbf {b}$ очень легко решить с помощью итерационного процесса, называемого прямой заменой для нижних треугольных матриц и аналогично обратной заменой для верхних треугольных матриц. Этот процесс называется так потому, что для нижних треугольных матриц сначала вычисляется $x_{1}$ , затем подставляет это значение в следующее уравнение для решения $x_{2}$ и повторяется до $x_{n}$ . В верхней треугольной матрице все работает в обратном порядке, сначала вычисляя $x_{n}$ , а затем подставив это обратно в предыдущее уравнение, чтобы найти $x_{n-1}$ и повторяя через $x_{1}$ .

Обратите внимание, что для этого не требуется инвертировать матрицу.

Замена вперед

Матричное уравнение L x = b можно записать в виде системы линейных уравнений

{\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}

Заметим, что первое уравнение ( $\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$ ) включает только $x_{1}$ , и, таким образом, можно решить $x_{1}$ напрямую. Второе уравнение включает только $x_{1}$ и $x_{2}$ , и, следовательно, может быть решено, если заменить уже решенное значение на $x_{1}$ . Продолжая таким образом, $k$ -е уравнение включает только $x_{1},\dots ,x_{k}$ , и можно решить $x_{k}$ используя ранее решенные значения для $x_{1},\dots ,x_{k-1}$ . Полученные формулы:

{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}

Матричное уравнение с верхнетреугольной матрицей U можно решить аналогичным образом, только действуя в обратном направлении.

Приложения

Форвардное замещение используется при финансовой начальной загрузке для построения кривой доходности .

Характеристики

Транспонирование . верхней треугольной матрицы является нижней треугольной матрицей и наоборот

Матрица, которая одновременно симметрична и треугольна, является диагональной.Аналогичным образом, матрица, которая является одновременно нормальной (что означает A ^*А = АА ^*, где А ^* является сопряженным транспонированием ), а треугольник также является диагональным. В этом можно убедиться, посмотрев на диагональные элементы A. ^*А и АА ^*.

Определитель . и перманент треугольной матрицы равны произведению диагональных элементов, что можно проверить прямым вычислением

На самом деле верно нечто большее: собственные значения треугольной матрицы — это в точности ее диагональные элементы. При этом каждое собственное значение встречается ровно k на диагонали раз, где k — его алгебраическая кратность , то есть его кратность как корня характеристического многочлена $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ А. Другими словами, характеристический полином треугольной размера n × n матрицы A в точности равен

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

,

то есть уникальный полином степени n , корни которого являются диагональными элементами A (с кратностями).Чтобы увидеть это, заметьте, что $xI-A$ также треугольный и, следовательно, его определитель $\det(xI-A)$ является произведением его диагональных элементов $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ . ^[1]

Специальные формы

Унитреугольная матрица

Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы равны 1, матрица называется (верхней или нижней) унитреугольной .

Другие названия, используемые для этих матриц, — единичная (верхняя или нижняя) треугольная или очень редко нормированная (верхняя или нижняя) треугольная . Однако единичная треугольная матрица — это не то же самое, что единичная матрица , и нормированная треугольная матрица не имеет ничего общего с понятием матричной нормы .

Все конечные унитреугольные матрицы унипотентны .

Строго треугольная матрица

Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы также равны 0, матрица называется строго (верхней или нижней) треугольной .

Все конечные строго треугольные матрицы нильпотентны индекса не выше n как следствие теоремы Кэли-Гамильтона .

Атомная треугольная матрица

Атомная равны нулю, за (верхняя или нижняя) треугольная матрица — это особая форма унитреугольной матрицы, в которой все недиагональные элементы исключением записей в одном столбце. Такая матрица также называется матрицей Фробениуса , матрицей Гаусса или матрицей преобразования Гаусса .

Блочная треугольная матрица

Блочная треугольная матрица — это блочная матрица (разделенная матрица), которая является треугольной матрицей.

Верхний блок треугольный

Матрица $A$ является верхним блоком треугольным, если

A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}

,

где $A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}$ для всех $i,j=1,\ldots ,k$ . ^[2]

Нижний блок треугольный

Матрица $A$ является нижним блоком треугольным, если

A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}

,

где $A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}$ для всех $i,j=1,\ldots ,k$ . ^[2]

Триангулярность

Матрица, подобная треугольной , называется триангуляризуемой . Абстрактно это эквивалентно стабилизации флага : верхние треугольные матрицы — это именно те, которые сохраняют стандартный флаг , который задается стандартным упорядоченным базисом. $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ и полученный флаг $0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.$ Все флаги сопряжены (поскольку общая линейная группа действует транзитивно на базисах), поэтому любая матрица, стабилизирующая флаг, аналогична той, которая стабилизирует стандартный флаг.

Любая комплексная квадратная матрица триангуляризуема. ^[1] Фактически, матрица A над полем, содержащим все собственные значения A (например, любая матрица над алгебраически замкнутым полем ), аналогична треугольной матрице. Это можно доказать, используя индукцию на основе того факта, что A имеет собственный вектор, взяв факторпространство по собственному вектору и проведя индукцию, чтобы показать, что A стабилизирует флаг и, таким образом, является триангуляризуемым относительно базиса для этого флага.

Более точное утверждение даёт теорема Жордана о нормальной форме , которая утверждает, что в этой ситуации A подобен верхней треугольной матрице очень специфической формы. Однако более простого результата триангуляризации часто бывает достаточно, и в любом случае он используется при доказательстве теоремы Жордана о нормальной форме. ^[1]^[3]

В случае комплексных матриц о триангуляризации можно сказать больше, а именно, что любая квадратная матрица А имеет разложение Шура . Это означает, что A унитарно эквивалентна (т. е. подобна, используя унитарную матрицу в качестве замены базиса) верхней треугольной матрице; это следует из принятия эрмитовой основы для флага.

Одновременная триангуляризуемость

Набор матриц $A_{1},\ldots ,A_{k}$ Говорят, что они одновременно треугольные, если существует основа, при которой все они верхнетреугольные; эквивалентно, если они триангуляризуются сверху с помощью одной матрицы подобия P. Такой набор матриц легче понять, рассмотрев алгебру матриц, которую он порождает, а именно все полиномы из $A_{i},$ обозначенный $K[A_{1},\ldots ,A_{k}].$ Одновременная триангуляризуемость означает, что эта алгебра сопряжена с подалгеброй Ли верхнетреугольных матриц и эквивалентна тому, что эта алгебра является подалгеброй Ли борелевской подалгебры .

Основной результат состоит в том, что (над алгебраически замкнутым полем) коммутирующие матрицы $A,B$ или в более общем плане $A_{1},\ldots ,A_{k}$ одновременно триангуляризуемы. Это можно доказать, сначала показав, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, а затем проведя индукцию по размерности, как и раньше. Это было доказано Фробениусом, начиная с 1878 года для коммутирующей пары, как обсуждалось в коммутирующих матрицах . Что касается одной матрицы, то по комплексным числам их можно триангуляризировать с помощью унитарных матриц.

Тот факт, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, можно интерпретировать как результат Nullstellensatz Гильберта : коммутирующие матрицы образуют коммутативную алгебру. $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ над $K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ которое можно интерпретировать как многообразие в k -мерном аффинном пространстве, а существование (общего) собственного значения (и, следовательно, общего собственного вектора) соответствует тому, что это многообразие имеет точку (будучи непустой), которая является содержимым многообразия. (слабый) Нульстеллензац. ^{[ нужна ссылка ]} В алгебраических терминах эти операторы соответствуют алгебраическому представлению алгебры полиномов от k переменных.

Это обобщено теоремой Ли , которая показывает, что любое представление разрешимой алгебры Ли одновременно триангуляризуемо сверху, причем случай коммутации матриц является случаем абелевой алгебры Ли , а абелева тем более разрешима.

В более общем смысле и точнее набор матриц $A_{1},\ldots ,A_{k}$ одновременно триангуляризуема тогда и только тогда, когда матрица $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ нильпотентен p для всех многочленов от k некоммутирующих переменных , где $[A_{i},A_{j}]$ является коммутатором ; для поездок на работу $A_{i}$ коммутатор исчезает, поэтому это справедливо. Это доказали Дразин, Данжи и Грюнберг в 1951 г.; ^[4] краткое доказательство дано Прасоловым в 1994 г. ^[5] Одно направление ясно: если матрицы одновременно триангуляризуемы, то $[A_{i},A_{j}]$ триангуляризуема строго сверху (следовательно, нильпотентна), что сохраняется при умножении на любое $A_{k}$ или их комбинацию – в базисе триангуляции по диагонали все равно будут 0.

Алгебры треугольных матриц

Верхняя треугольность сохраняется многими операциями:

Сумма двух верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной.
Произведение двух верхних треугольных матриц является верхнетреугольным.
Обратная . верхнетреугольная матрица, если она существует, является верхнетреугольной
Произведение верхнетреугольной матрицы и скаляра является верхнетреугольным.

В совокупности эти факты означают, что верхние треугольные матрицы образуют подалгебру ассоциативной алгебры квадратных матриц заданного размера. Кроме того, это также показывает, что верхние треугольные матрицы можно рассматривать как подалгебру Ли алгебры Ли квадратных матриц фиксированного размера, где скобка Ли [ a , b ] задана коммутатором ab − ba . Алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц является разрешимой алгеброй Ли . Ее часто называют борелевской подалгеброй алгебры Ли всех квадратных матриц.

Все эти результаты справедливы, если верхний треугольник полностью заменить нижним треугольником ; в частности, нижние треугольные матрицы также образуют алгебру Ли. Однако операции смешивания верхних и нижних треугольных матриц обычно не приводят к созданию треугольных матриц. Например, сумма верхней и нижней треугольной матрицы может быть любой матрицей; произведение нижней треугольной матрицы на верхнюю треугольную матрицу также не обязательно является треугольным.

Множество унитреугольных матриц образует группу Ли .

Множество строго верхних (или нижних) треугольных матриц образует нильпотентную алгебру Ли , обозначаемую ${\mathfrak {n}}.$ Эта алгебра является Ли производной алгеброй ${\mathfrak {b}}$ , алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц; в символах, ${\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].$ Кроме того, ${\mathfrak {n}}$ — алгебра Ли группы Ли унитреугольных матриц.

В самом деле, по теореме Энгеля любая конечномерная нильпотентная алгебра Ли сопряжена с подалгеброй строго верхнетреугольных матриц, т. е. конечномерная нильпотентная алгебра Ли одновременно строго триангуляризуема сверху.

Алгебры верхнетреугольных матриц имеют естественное обобщение в функциональном анализе , которое дает гнездовые алгебры на гильбертовых пространствах .

Борелевские подгруппы и борелевские подалгебры

Множество обратимых треугольных матриц данного вида (верхнего или нижнего) образует группу , точнее группу Ли , которая является подгруппой общей линейной группы всех обратимых матриц. Треугольная матрица обратима именно тогда, когда ее диагональные элементы обратимы (отличны от нуля).

По действительным числам эта группа разъединена, имея $2^{n}$ компоненты соответственно, поскольку каждая диагональная запись является положительной или отрицательной. Единичная компонента — это обратимые треугольные матрицы с положительными элементами на диагонали, а группа всех обратимых треугольных матриц — полупрямое произведение этой группы и группы диагональных матриц с $\pm 1$ по диагонали, соответствующей компонентам.

Алгебра Ли группы Ли обратимых верхнетреугольных матриц представляет собой множество всех верхнетреугольных матриц, не обязательно обратимых, и является разрешимой алгеброй Ли . Это соответственно стандартная борелевская подгруппа B группы Ли GL _n и стандартная борелевская подалгебра ${\mathfrak {b}}$ алгебры Ли gl _n .

Верхние треугольные матрицы — это именно те, которые стабилизируют стандартный флаг . Обратимые из них образуют подгруппу общей линейной группы, сопряженными подгруппами которой являются те, которые определены как стабилизатор некоторого (другого) полного флага. Эти подгруппы являются борелевскими подгруппами . Группа обратимых нижнетреугольных матриц является такой подгруппой, поскольку она является стабилизатором стандартного флага, сопоставленного стандартному базису в обратном порядке.

Стабилизатор частичного флага, полученный забыванием некоторых частей стандартного флага, можно описать как набор блочных верхнетреугольных матриц (но не все его элементы являются треугольными матрицами). Сопряженными к такой группе являются подгруппы, определенные как стабилизатор некоторого частичного флага. Эти подгруппы называются параболическими подгруппами.

Примеры

Группа верхних унитреугольных матриц размера 2 × 2 изоморфна аддитивной группе поля скаляров; в случае комплексных чисел ему соответствует группа, образованная параболическими преобразованиями Мёбиуса ; верхние унитреугольные матрицы 3×3 образуют группу Гейзенберга .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Экслер, Шелдон Джей (1997). Линейная алгебра сделана правильно (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 86–87, 169. ISBN. 0-387-22595-1 . OCLC 54850562 .
^ Jump up to: ^а ^б Бернштейн, Деннис С. (2009). Матричная математика: теория, факты и формулы (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 168. ИСБН 978-0-691-14039-1 .
^ Херштейн, Индиана (1975). Темы алгебры (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 285–290. ISBN 0-471-01090-1 . ОСЛК 3307396 .
^ Дразин, народный депутат; Данжи, JW; Грюнберг, К.В. (1951). «Некоторые теоремы о коммутативных матрицах» . Журнал Лондонского математического общества . 26 (3): 221–228. дои : 10.1112/jlms/s1-26.3.221 .
^ Прасолов, В.В. (1994). Проблемы и теоремы линейной алгебры . Семен Иванов. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 178–179. ISBN 9780821802366 . ОСЛК 30076024 .

[axler-1] Jump up to: ^а ^б ^с Экслер, Шелдон Джей (1997). Линейная алгебра сделана правильно (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 86–87, 169. ISBN. 0-387-22595-1 . OCLC 54850562 .

[bernstein2009-2] Jump up to: ^а ^б Бернштейн, Деннис С. (2009). Матричная математика: теория, факты и формулы (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 168. ИСБН 978-0-691-14039-1 .

[herstein-3] Херштейн, Индиана (1975). Темы алгебры (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 285–290. ISBN 0-471-01090-1 . ОСЛК 3307396 .

[4] Дразин, народный депутат; Данжи, JW; Грюнберг, К.В. (1951). «Некоторые теоремы о коммутативных матрицах» . Журнал Лондонского математического общества . 26 (3): 221–228. дои : 10.1112/jlms/s1-26.3.221 .

[5] Прасолов, В.В. (1994). Проблемы и теоремы линейной алгебры . Семен Иванов. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 178–179. ISBN 9780821802366 . ОСЛК 30076024 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Матричные классы
Явно ограниченные записи	Чередование Антидиагональ антиэрмитовский Антисимметричный наконечник стрелы Группа двуугольный Бисимметричный Блок-диагональ Блокировать Блок трехдиагональный логическое значение Коши Центросимметричный Конференция Комплекс Адамара Сопозитивный Диагональная доминанта Диагональ Дискретное преобразование Фурье элементарный Эквивалент Фробениус Обобщенная перестановка Адамар Приобретение эрмитовский Хессенберг Пустой Целое число Логический Матричный блок Мецлер Мур Неотрицательный Пятиугольный перестановка Персимметричный Полиномиальный кватернионный Подпись косо-эрмитовский Кососимметричный Горизонт Редкий Сильвестр Симметричный Тёплиц Треугольный Трехдиагональный Вандермонде Уолш С
Постоянный	Обмен Гильберт Личность Лемер Из них Паскаль Паули Редхеффер Сдвиг Ноль
Условия на собственные значения или собственные векторы	Компаньон Конвергентный Дефектный Определенный Диагонализуемый Гурвиц Положительно-определенный Стилтьес
Выполнение условий на изделия или инверсы	Конгруэнтный Идемпотент или проекция Обратимый Инволютивный Нильпотентный Нормальный ортогональный Унимодульный Одномогущий Унитарный Полностью унимодульный Взвешивание
С конкретными приложениями	Адъюгат знак чередования Дополненный Безу Карлеман Картан циркулирующий Кофактор коммутация Путаница Коксетер Расстояние Дублирование и устранение Евклидово расстояние Фундаментальное (линейное дифференциальное уравнение) Генератор Грамм Гессен Домохозяин якобиан Момент Расплачиваться Выбирать случайный Вращение Зейферт сдвиг Сходство симплектический Полностью позитивный Трансформация
Используется в статистике	Центрирование Корреляция Ковариация Дизайн Двойной стохастический Информация о Фишере Имеет Точность Стохастический Переход
Используется в теории графов	Смежность Бисмежность Степень Эдмондс Заболеваемость лапласиан Соседство Зайделя Все
Используется в науке и технике	Кабиббо – Кобаяши – Маскава Плотность Фундаментальный (компьютерное зрение) Нечеткая ассоциативность Гамма Гелл-Манн гамильтониан Нерегулярный Перекрывать С Государственный переход Замена З (химия)
Связанные термины	Джордан в нормальной форме Линейная независимость Матричная экспонента Матричное представление конических сечений Идеальная матрица Псевдообратный Форма эшелона строк Вронскиан
Математический портал Список матриц Категория:Матрицы