Семантика истинностного значения

В формальной семантике семантика истинностного значения является альтернативой семантике Тарского . Его в первую очередь отстаивала Рут Баркан Маркус . Х. Леблан, Дж. Майкл Данн и Нуэль Белнап . Это также называется интерпретацией замещения (квантификаторов) или квантификацией замещения.

Идея этой семантики состоит в том, что всеобщности (соответственно экзистенциальный ) квантор может быть прочитан как конъюнкция (соответственно дизъюнкция ) формул, в которых константы заменяют переменные в области действия квантора. Например, $\forall xPx$ можно прочитать( $Pa\land Pb\land Pc\land \dots$) где $a,b,c$ являются отдельными константами, заменяющими все вхождения $x$ в $Px$.

Основное различие между семантикой истинностного значения и стандартной семантикой логики предикатов состоит в том, что для семантики истинностного значения нет областей. Только утверждения истинности для атомарных и количественных формул отличаются от предложений стандартной семантики. Тогда как в стандартной семантике атомарные формулы типа $Pb$ или $Rca$ истинны тогда и только тогда, когда (референт) $b$ является членом расширения предиката $P$соответственно тогда и только тогда, когда пара $(c,a)$ является членом расширения $R$В семантике истинностных значений истинностные значения атомарных формул являются основными. Универсальная (экзистенциальная) формула истинна тогда и только тогда, когда все (некоторые) экземпляры основной замены неквантованной подформулы истинны. Сравните это со стандартной семантикой, которая утверждает, что универсальная (экзистенциальная) формула истинна тогда и только тогда, когда для всех (некоторых) членов области формула справедлива для всех (некоторых) из них; например, $\forall xA$ истинно (согласно интерпретации) тогда и только тогда, когда для всех $k$ в домене $D$, $A(k/x)$ верно (где $A(k/x)$ это результат замены $k$ на все случаи $x$ в $A$). (Здесь мы предполагаем, что константы являются именами сами по себе, т. е. они также являются членами домена.)

Семантика истинности-значения не лишена проблем. Во-первых, не работают сильная теорема полноты и компактности . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим набор $\{F(1),F(2),\dots \}$. Очевидно, что формула $\forall xF(x)$ является логическим следствием множества, но не является следствием какого-либо его конечного подмножества (и, следовательно, не выводимо из него). Отсюда сразу следует, что и компактность, и теорема о сильной полноте неверны для семантики истинностного значения. Это исправляется модифицированным определением логического следствия, данным Dunn and Belnap 1968.

Другая проблема возникает в свободной логике . Рассмотрим язык с одной индивидуальной константой $c$ это необозначающий и предикат $F$ означает «не существует». Затем $\exists xFx$ ложно, даже если его пример замены (фактически каждый такой случай в рамках этой интерпретации) истинен. Чтобы решить эту проблему, мы просто добавляем оговорку, что экзистенциально квантифицированное утверждение истинно при интерпретации, по крайней мере, для одного случая замены, в котором константа обозначает нечто существующее.

См. также

• Семантика игры
• Семантика Крипке
• Теоретико-доказательная семантика
• Квазицитата
• Семантика, условная истина