Призма (геометрия)

Набор однородных $n$ -угольных призм
Набор однородных n -угольных призм
	Пример: однородная шестиугольная призма ( n = 6 )
Тип	однородный в смысле полуправильный многогранник
Лица	2 n -сторонних правильных многоугольника ; n квадратов
Края	3 н
Вершины	2 н
Конфигурация вершин	4.4. н
Символ Шлефли	{ п }×{ } ; т{2, п }
Обозначение Конвея	П н
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	D n h , [ n ,2], (* n 22), порядок 4 n
Группа ротации	Д н , [ н ,2] + , ( n 22), порядок 2 n
Двойной многогранник	выпуклая дуально- однородная n -угольная бипирамида
Характеристики	выпуклые, многоугольника правильные грани , изогональные , перенесенные основания, стороны ⊥ основания
Сеть
	Пример: сетка однородной эннеагональной призмы ( n = 9 )

В геометрии призма , — это многогранник состоящий из $n-$ стороннего многоугольника в основании , второго основания, представляющего собой транслированную копию (жестко перемещаемую без вращения) первой, и $n$ других граней , обязательно все параллелограммы , соединяющие соответствующие стороны двух оснований. . Все сечения, параллельные основаниям, являются трансляциями оснований. Призмы называются по основаниям, например, призма с пятиугольным основанием называется пятиугольной призмой. Призмы — подкласс призматоидов . ^[2]

Как и многие основные геометрические термины, слово «призма» (от греческого πρίσμα (призма) «что-то распиленное») впервые было использовано в «Началах» Евклида . Евклид определил этот термин в книге XI как «твёрдую фигуру, состоящую из двух противоположных, равных и параллельных плоскостей, а остальные являются параллелограммами». Однако это определение подвергалось критике за недостаточную конкретность в отношении природы оснований (что вызывает некоторую путаницу среди поколений более поздних авторов геометрии). ^[3]^[4]

Косой против правого

Косая призма — это призма, у которой соединяемые ребра и грани не перпендикулярны основным граням.

Пример: параллелепипед — это наклонная призма, основанием которой является параллелограмм или, что то же самое, многогранник с шестью гранями параллелограмма.

Правильная — это призма , призма у которой соединяемые ребра и грани перпендикулярны основным граням. ^[5] Это применимо тогда и только тогда, когда все соединяемые грани прямоугольные .

Двойственной n прямой - $призме$ является правая $n$ - бипирамида .

Правая призма (с прямоугольными сторонами) с правильными $n$ -угольными основаниями имеет символ Шлефли ${ }\times{n}.$ Он приближается к цилиндру , когда $n$ приближается к бесконечности . ^[6]

Особые случаи

Прямую прямоугольную призму (с прямоугольным основанием) еще называют кубоидом или неофициально прямоугольным ящиком . Прямоугольная призма имеет символ Шлефли ${ }\times{ }\times{ }.$
Прямоугольную призму (с квадратным основанием) также называют квадратным кубоидом или неофициально квадратным ящиком .

Примечание: в некоторых текстах термин «прямоугольная призма» или «квадратная призма» может применяться как к прямой призме с прямоугольным основанием, так и к призме с прямым квадратным основанием.

Типы

Правильная призма

Правильная призма – это призма с правильными основаниями.

Равномерная призма

Однородная призма или полуправильная призма — это прямая призма с правильными основаниями и всеми ребрами одинаковой длины.

Таким образом, все боковые грани однородной призмы являются квадратами .

Таким образом, все грани однородной призмы являются правильными многоугольниками. Кроме того, такие призмы изогональны ; таким образом, они являются однородными многогранниками . Они образуют одну из двух бесконечных серий полуправильных многогранников , другую серию образуют антипризмы .

Равномерная $n$ -угольная призма имеет символ Шлефли $t{2, n}.$

Семейство однородных n -угольных призм v т и
Prism name	Digonal prism	(Trigonal) Triangular prism	(Tetragonal) Square prism	Pentagonal prism	Hexagonal prism	Heptagonal prism	Octagonal prism	Enneagonal prism	Decagonal prism	Hendecagonal prism	Dodecagonal prism	...	Apeirogonal prism
Polyhedron image												...
Spherical tiling image												Plane tiling image
Vertex config.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
Coxeter diagram												...

Характеристики

Объем

Объем основания призмы — это произведение площади на высоту, т. е. расстояние между двумя гранями основания (в случае непрямой призмы обратите внимание, что это означает расстояние по перпендикуляру).

Таким образом, объем составляет:

V=Bh,

где $B$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Следовательно, объем призмы, основанием которой является $n$ -сторонний правильный многоугольник со стороной $s$ , равен: $V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

Площадь поверхности

поверхности Площадь прямой призмы равна:

2B+Ph,

где $B$ — площадь основания, $h$ — высота, $P$ основания — периметр .

Следовательно, площадь поверхности прямой призмы, основанием которой является правильный $n$ -сторонний многоугольник с длиной стороны $s$ и высотой $h$ , равна:

A={\frac {n}{2}}s^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}+nsh.

Симметрия

Группа симметрии правосторонней $n$ -сторонней призмы с правильным основанием равна $D n h$ порядка $4 n$ , за исключением куба, который имеет большую группу симметрии $порядка Oh$ 48, которая имеет три версии $D 4h$ как подгруппы . Группа вращения — это $D n$ порядка $2 n$ , за исключением куба, который имеет большую группу симметрии $O$ порядка 24, которая имеет три версии $D 4$ в качестве подгрупп.

Группа симметрии $D n h$ содержит инверсию тогда и только тогда, когда $n$ четно.

Осоэдры геометрического и диэдры также обладают двугранной симметрией, и $n$ -угольная призма может быть построена путем усечения n $-$ угольного осоэдра, а также путем сгибания или расширения n $-$ угольного диэдра.

Диаграммы Шлегеля

П3	П4	П5	П6	Р7	Р8

Подобные многогранники

Усеченная призма

Пример усеченной треугольной призмы. Его верхняя грань усечена под косым углом, но это не косая призма .

образуется Усеченная призма , когда призму разрезают плоскостью, не параллельной ее основаниям. У усеченной призмы основания не равны , а ее стороны не являются параллелограммами. ^[7]

Витая призма

— Скрученная призма это невыпуклый многогранник, построенный из однородной $n$ -призмы, каждая боковая грань которой разделена пополам по диагонали квадрата, путем скручивания вершины, обычно на ⁠ $π$ / n ⁠ радиан ( ⁠ 180 / n ⁠ градусов) в одном направлении, в результате чего стороны становятся вогнутыми. ^[8]^[9]

Скрученную призму невозможно разрезать на тетраэдры без добавления новых вершин. Простейшая витая призма имеет треугольные основания и называется многогранником Шёнхардта .

n $-$ угольная скрученная призма топологически идентична $n$ -угольной однородной антипризме , но имеет половину группы симметрии : $D n, [n,2] +$ , заказывайте $2 н$ . Его можно рассматривать как невыпуклую антипризму с удаленными тетраэдрами между парами треугольников.

3-угольный	4-угольный		12-угольный
Многогранник Шёнхардта	Витая квадратная призма	Квадратная антипризма	Скрученная двенадцатиугольная антипризма

Кусок

— Усеченная пирамида это конструкция, похожая на призму, с трапециевидными боковыми гранями и верхними и нижними многоугольниками разного размера.

Звездная призма

Звездная призма — это невыпуклый многогранник, построенный из двух одинаковых граней звездчатого многоугольника сверху и снизу, параллельных, смещенных на расстояние и соединенных прямоугольными гранями. Однородная звездная призма будет иметь символ Шлефли ${p / q} \times { },$ с $p$ прямоугольниками и 2 $гранями {p / q}$ . Топологически она идентична $p$ -угольной призме.

Примеры
${ }\times{ } 180 \times{ }$	$т а {3}\times{ }$		${5/2}\times{ }$	${7/2}\times{ }$	${7/3}\times{ }$	${8/3}\times{ }$
$Д 2ч$ , заказ 8	$Д 3ч$ , заказ 12		$Д 5ч$ , заказ 20	$Д 7ч$ , заказ 28		$Д 8ч$ , заказ 32

Перекрещенная призма

— Скрещенная призма невыпуклый многогранник, построенный из призмы, вершины одного основания которой перевернуты вокруг центра этого основания (или повернуты на 180°). Это преобразует боковые прямоугольные грани в скрещенные прямоугольники . Основание правильного многоугольника имеет вид $n$ -угольных песочных часов . Все косые ребра проходят через один центр тела. Примечание: в центре тела нет вершин. Скрещенная призма топологически идентична $n$ -угольной призме.

Примеры
${ }\times{ } 180 \times{ } 180$	$т а {3}\times{ } 180$		${3}\times{ } 180$	${4}\times{ } 180$	${5}\times{ } 180$	${5/2}\times{ } 180$	${6}\times{ } 180$
$Д 2ч$ , заказ 8	$Д 3д$ , заказать 12			$Д 4ч$ , заказ 16	$Д 5д$ , заказ 20		$Д 6д$ , заказ 24

Тороидальная призма

Тороидальная призма — это невыпуклый многогранник, подобный скрещенной призме , но без нижней и верхней граней основания, а также с простыми прямоугольными боковыми гранями, замыкающими многогранник. Это можно сделать только для односторонних базовых многоугольников. Это топологические торы с эйлеровой характеристикой нулевой . Топологическую многогранную сеть можно вырезать из двух рядов квадратной мозаики (с конфигурацией вершин $4.4.4.4$ ): полосы из $n$ квадратов, каждый из которых прикреплен к скрещенному прямоугольнику . n $скрещенных$ -угольная тороидальная призма имеет $2 n$ вершин, $2 n$ граней: $n$ квадратов и $n$ прямоугольников, а также $4 n$ ребер. Оно топологически самодвойственно .

Примеры
$Д 4ч$ , заказ 16	$Д 6ч$ , заказ 24
$В = 8$ , $Е = 16$ , $Ж = 8$	$В = 12$ , $Е = 24$ , $Ж = 12$

Призматический многогранник

Призматический — многогранник это многомерное обобщение призмы. n $-$ -мерный призматический многогранник состоит из двух ( $n 1$ )-мерных многогранников, переведенных в следующее измерение.

Призматические $элементы n$ -многогранника удваиваются из элементов ( $n - 1$ )-многогранника, а затем создаются новые элементы из следующего нижнего элемента.

Возьмем $n$ -многогранник с $F i$ $i$ -грани элементами $( i = 0, ..., n$ ). Его ( $n + 1$ )-многогранная призма будет иметь $2 F i + F i -1$ $i$ -гранных элемента. (При $F -1 = 0$ , $F n = 1.$ )

По размеру:

Возьмем многоугольник с $n$ вершинами и $n$ ребрами. Его призма имеет $2 n$ вершин, $3 n$ ребер и $2 + n$ граней.
Возьмем многогранник с $V$ вершинами $, ребрами E$ и $F.$ гранями Его призма имеет $2 вершины V$ , $2 ребра E + V$ , $2 грани F + E$ и $2 + F$ ячеек.
Возьмем полихорон с $V$ вершинами, $E$ ребрами, $F$ гранями и $C$ ячейками. Его призма имеет $2 вершины V$ , $2 ребра E + V$ , $2 F + E$ грани $, 2 ячейки C + F$ и $2 + C$ гиперячейки.

Однородный призматический многогранник

Правильный $n$ -многогранник, представленный символом Шлефли ${p, q,..., t},$ может образовывать равномерный призматический ( $n + 1$ )-многогранник, представленный декартовым произведением двух символов Шлефли : ${p, q,... , т}\times{ }.$

По размеру:

0-многогранная призма — это отрезок прямой , представленный пустым символом Шлефли ${ }.$
1-многогранная призма — это прямоугольник , составленный из двух сдвинутых отрезков прямой. Он представлен как произведение символа Шлефли ${ }\times{ }.$ Если это квадрат , симметрию можно уменьшить: ${ }\times{ } = {4}.$
Пример: , Квадрат, ${ }\times{ },$ два параллельных отрезка, соединенных двумя сторонами отрезка .
Многоугольная . призма — это трехмерная призма, состоящая из двух сдвинутых многоугольников, соединенных прямоугольниками Правильный многоугольник ${p}$ может составить равномерную $n$ -угольную призму, представленную произведением ${p}\times{ }.$ Если $p = 4$ , с симметрией квадратных сторон он становится кубом : ${4}\times{ } = {4,3}.$
Пример: , Пятиугольная призма , ${5}\times{ },$ два параллельных пятиугольника, соединенных 5 прямоугольными сторонами .
Многогранная призма — это четырехмерная призма, состоящая из двух сдвинутых многогранников , соединенных трехмерными призматическими ячейками. Правильный многогранник ${p, q}$ может построить равномерную полихорическую призму, представленную произведением ${p, q}\times{ }.$ Если многогранник и стороны являются кубами, он становится тессерактом : { $4,3}\times{ } = {4,3,3}.$
Пример: , Додекаэдрическая призма , ${5,3}\times{ },$ два параллельных додекаэдра, соединенных 12 сторонами пятиугольной призмы .
...

Призматические многогранники более высокого порядка также существуют как декартово произведение любых двух или более многогранников. Размерность многогранника-произведения равна сумме размерностей его элементов. Первые их примеры существуют в 4-мерном пространстве; они называются дуопризмами как произведение двух многоугольников в 4-х измерениях.

Правильные дуопризмы представлены как ${p} \times {q},$ с $pq$ вершинами, $2 pq$ ребрами, $pq$ квадратными гранями, $p$ $q$ -угольными гранями, $q$ $p$ -угольными гранями и ограничены $p$ $q$ -угольными призмами и $q$ $p$ -угольными гранями. призмы.

Например, ${4}\times{4},$ дуопризма 4–4, является формой более низкой симметрии тессеракта , как и ${4,3}\times{ },$ кубическая призма . ${4}\times{4}\times{ }$ (призма дуопризмы 4-4), ${4,3}\times{4}$ (дуопризма куба-4) и ${4,3,3}\times{ }$ (тессерактическая призма) расположены ниже формы симметрии 5-куба .

См. также

Ссылки

^ Джонсон, Северная Западная Европа (2018). «Глава 11: Конечные группы симметрии». Геометрии и преобразования . ISBN 978-1-107-10340-5 . См. 11.3 Пирамиды, призмы и антипризмы, рисунок 11.3b.
^ Грюнбаум, Бранко (1997). «Изогональные призматоиды» . Дискретная и вычислительная геометрия . 18 :13–52. дои : 10.1007/PL00009307 .
^ Мальтон, Томас (1774). Королевская дорога в геометрию, или простое и знакомое введение в математику . автор, и продал. п. 360.
^ Эллиот, Джеймс (1845). Ключ к полному трактату по практической геометрии и измерениям: содержащий полную демонстрацию правил . Лонгман, Браун, Грин и Лонгманс. п. 3.
^ Керн, Уильям Ф.; Бланд, Джеймс Р. (1938). Твердые измерения с доказательствами . п. 28.
^ Геретшлагер, Роберт (2020). Привлечение молодежи к изучению математики посредством олимпиад: мировые перспективы и практика . Том. 1. Всемирный научный . п. 39. ИСБН 978-981-120-582-8 .
^ Керн и Бланд (1938) , с. 81.
^ Горини, Кэтрин А. (2003). Факты в файле: Справочник по геометрии . п. 172. ИСБН 0-8160-4875-4 .
^ «Картины витых призм» .

Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7 . Глава 2: Архимедовы многогранники, призмы и антипризмы

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Призма» . Математический мир .
Бумажные модели призм и антипризм Бесплатные сетки призм и антипризм
Бумажные модели призм и антипризм. Использование сеток, созданных Стеллой.

[1] Джонсон, Северная Западная Европа (2018). «Глава 11: Конечные группы симметрии». Геометрии и преобразования . ISBN 978-1-107-10340-5 . См. 11.3 Пирамиды, призмы и антипризмы, рисунок 11.3b.

[prismatoid-2] Грюнбаум, Бранко (1997). «Изогональные призматоиды» . Дискретная и вычислительная геометрия . 18 :13–52. дои : 10.1007/PL00009307 .

[malton-1774-3] Мальтон, Томас (1774). Королевская дорога в геометрию, или простое и знакомое введение в математику . автор, и продал. п. 360.

[elliot-1845-4] Эллиот, Джеймс (1845). Ключ к полному трактату по практической геометрии и измерениям: содержащий полную демонстрацию правил . Лонгман, Браун, Грин и Лонгманс. п. 3.

[mensuration-5] Керн, Уильям Ф.; Бланд, Джеймс Р. (1938). Твердые измерения с доказательствами . п. 28.

[cylinder-6] Геретшлагер, Роберт (2020). Привлечение молодежи к изучению математики посредством олимпиад: мировые перспективы и практика . Том. 1. Всемирный научный . п. 39. ИСБН 978-981-120-582-8 .

[FOOTNOTEKernBland193881-7] Керн и Бланд (1938) , с. 81.

[gorini-2003-8] Горини, Кэтрин А. (2003). Факты в файле: Справочник по геометрии . п. 172. ИСБН 0-8160-4875-4 .

[9] «Картины витых призм» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]