Икосододекаэдр

Икосододекаэдр
Икосододекаэдр
Тип	Архимедово тело ; Однородный многогранник ; Квазиправильный многогранник
Лица	32
Края	60
Вершины	30
Группа симметрии	Икосаэдрическая симметрия
Двугранный угол ( градусы )	142.62°
Двойной многогранник	Ромбический триаконтаэдр
Характеристики	выпуклый
Вершинная фигура
Сеть

В геометрии икосододекаэдр гранями или пятиугольная гиробиротунда — это многогранник с двадцатью ( икоси ) треугольными и двенадцатью ( додека ) пятиугольными гранями. Икосододекаэдр имеет 30 одинаковых вершин , в каждой из которых сходятся два треугольника и два пятиугольника, и 60 одинаковых ребер, каждое из которых отделяет треугольник от пятиугольника. По сути, это одно из архимедовых тел , а точнее, квазиправильный многогранник .

Строительство

Один из способов построить икосододекаэдр — начать с двух пятиугольных ротонд , прикрепив их к основаниям. Эти ротонды закрывают свое десятиугольное основание так, что полученный многогранник имеет 32 грани, 30 вершин и 60 ребер. Эта конструкция похожа на одно из тел Джонсона , пятиугольную ортобиротонду . Разница в том, что икосододекаэдр строится путем скручивания его ротонд на 36° — процесса, известного как вращение , в результате которого пятиугольная грань соединяется с треугольной. Икосододекаэдр имеет альтернативное название — пятиугольная гиробиротунда . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Отличие икосододекаэдра от пятиугольной ортобиротонды и его рассечение.

Удобные декартовы координаты вершин икосододекаэдра с единичными ребрами задаются четными перестановками : $(0,0,\pm \varphi ),\qquad \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {\varphi }{2}},\pm {\frac {\varphi ^{2}}{2}}\right),$ где $\varphi$ обозначает золотое сечение . ^{[ 3 ]}

Характеристики

Площадь поверхности икосододекаэдра $A$ можно определить, вычислив площади всех пятиугольных граней. Объем икосододекаэдра $V$ можно определить, разрезав его на две пятиугольные ротонды, после чего просуммировав их объемы. Следовательно, его площадь поверхности и объем можно сформулировать как: ^{[ 1 ]} ${\begin{aligned}A&=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}&\approx 29.306a^{2}\\V&={\frac {45+17{\sqrt {5}}}{6}}a^{3}&\approx 13.836a^{3}.\end{aligned}}$

Двугранный угол икосододекаэдра между пятиугольником и треугольником равен $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142.62^{\circ },$ определяется путем расчета угла пятиугольной ротонды. ^{[ 4 ]}

Икосододекаэдр имеет икосаэдрическую симметрию , и его первая звездчатая форма представляет собой и его соединение додекаэдра двойственного икосаэдра , причем вершины икосододекаэдра расположены в середине ребер каждого из них.

Икосододекаэдр — это архимедово тело , то есть это очень симметричный и полуправильный многогранник, в вершине которого встречаются две или более различных правильных многоугольных грани. ^{[ 5 ]} Многоугольные грани, которые встречаются в каждой вершине, представляют собой два равносторонних треугольника и два правильных пятиугольника, а фигура вершины икосододекаэдра равна $(3\cdot 5)^{2}=3^{2}\cdot 5^{2}$ . Его двойственный многогранник — ромбический триаконтаэдр , каталонское тело . ^{[ 4 ]}

60 ребер образуют 6 декагонов, соответствующих большим кругам сферической мозаики.

Икосододекаэдр имеет 6 центральных десятиугольников . Проецированные в сферу, они образуют шесть больших кругов . Фуллер (1975) использовал эти 6 больших кругов вместе с 15 и 10 другими в двух других многогранниках, чтобы определить свой 31 большой круг сферического икосаэдра . ^{[ 6 ]}

Длинный радиус (от центра до вершины) икосододекаэдра находится в золотом пропорции к длине его ребра; таким образом, его радиус равен $\varphi$ если длина его ребра равна 1, а длина ребра равна $1/\varphi$ если его радиус равен 1. ^{[ 4 ]} Лишь немногие однородные многогранники обладают этим свойством, включая четырехмерный 600-ячеечный , трехмерный икосододекаэдр и двумерный декагон . (Икосододекаэдр — это экваториальное сечение икосододекаэдра, а декагон — это экваториальное сечение икосододекаэдра.) Эти радиально-золотые многогранники с их радиусами могут быть построены из золотых треугольников , которые встречаются в центре, каждый из которых дает два радиуса и ребро.

Связанные многогранники

Икосододекаэдр — это выпрямленный додекаэдр , а также выпрямленный икосаэдр , существующий как полное усечение между этими правильными телами.

Икосододекаэдр содержит 12 пятиугольников додекаэдра и 20 треугольников икосаэдра :

Семейство однородных икосаэдрических многогранников.
Symmetry: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Икосододекаэдр существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) ², переходя от мозаик сферы к евклидовой плоскости и к гиперболической плоскости. При симметрии орбифолдной записи * n 32 все эти мозаики не строятся внутри фундаментальной области симметрии с образующими точками в прямоугольном углу области. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

* n 32 орбифолдных симметрии квазирегулярных мозаик : (3. n ) ²
Construction	Spherical			Euclidean	Hyperbolic
Construction	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Quasiregular figures
Vertex	(3.3)²	(3.4)²	(3.5)²	(3.6)²	(3.7)²	(3.8)²	(3.∞)²

5 n 2 мутации симметрии квазирегулярных мозаик: (5.n) ²* v т и
Symmetry *5n2 [n,5]	Spherical	Hyperbolic					Paracompact	Noncompact
Symmetry *5n2 [n,5]	*352 [3,5]	*452 [4,5]	*552 [5,5]	*652 [6,5]	*752 [7,5]	*852 [8,5]...	*∞52 [∞,5]	[ni,5]
Figures
Config.	(5.3)²	(5.4)²	(5.5)²	(5.6)²	(5.7)²	(5.8)²	(5.∞)²	(5.ni)²
Rhombic figures
Config.	V(5.3)²	V(5.4)²	V(5.5)²	V(5.6)²	V(5.7)²	V(5.8)²	V(5.∞)²	V(5.∞)²

Связанные многогранники

Усеченный куб можно превратить в икосододекаэдр, разделив восьмиугольники на два пятиугольника и два треугольника. Имеет пиритоэдрическую симметрию .

Восемь однородных звездчатых многогранников имеют одинаковое расположение вершин . Из них два также имеют одинаковое расположение ребер : маленький икосихемидодекаэдр (имеющий общие треугольные грани) и маленький додекахемидодекаэдр (имеющий общие пятиугольные грани). Расположение вершин также общее с соединениями пяти октаэдров и пяти тетрагемигексаэдров .

Родственная полихора

В четырехмерной геометрии икосододекаэдр появляется в регулярном 600-ячейке как экваториальный срез, который принадлежит первому вершинному прохождению 600-ячейки через трехмерное пространство. Другими словами: 30 вершин 600-ячейки, лежащие на описанной ею гиперсфере на расстоянии 90 градусов от пары противоположных вершин, являются вершинами икосододекаэдра. Каркасная фигура из 600 ячеек состоит из 72 плоских правильных десятиугольников. Шесть из них представляют собой экваториальные декагоны с парой противоположных вершин, и эти шесть образуют каркасную фигуру икосододекаэдра.

Если 600-ячеечная в стереографически проецируется трехмерное пространство вокруг любой вершины и все точки нормализованы, геодезические, икосододекаэдра на которые падают ребра, составляют барицентрическое подразделение .

График

Скелет графа икосододекаэдра можно представить в виде с 30 вершинами и 60 ребрами, одного из архимедовых графов . Это квартика , то есть каждая ее вершина соединена четырьмя другими вершинами. ^{[ 9 ]}

Появление

Икосододекаэдр может появиться в структурном виде, как в геодезическом куполе сферы Хобермана .

Икозидодекаэдры можно обнаружить во всех эукариотических клетках, включая клетки человека, в виде Sec13/31 COPII . белковых образований оболочки ^{[ 10 ]}

Икосододекаэдр также можно найти в массовой культуре. Во вселенной «Звездного пути» вулканская логическая игра Кал-То преследует цель создать форму с двумя вложенными голографическими икосододекаэдрами, соединенными в середине своих сегментов.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .
^ Огиевецкий О.; Шлосман, С. (2021). «Платоновые соединения и цилиндры». У Новикова С.; Кричевер И.; Огиевецкий О.; Шлосман, С. (ред.). Интегрируемость, квантование и геометрия. II. Квантовые теории и алгебраическая геометрия . Американское математическое общество . п. 477. ИСБН 978-1-4704-5592-7 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Группа икосаэдра» . Математический мир .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. с. 86. ИСБН 978-0-486-23729-9 .
^ Дюдя, МВ (2018). Многооболочечные многогранные кластеры . Углеродные материалы: химия и физика. Том. 10. Спрингер . п. 39. дои : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2 .
^ Фуллер, РБ (1975). Синергетика: исследования в геометрии мышления . Макмиллан. п. 183–185. ISBN 978-0-02-065320-2 .
^ Коксетера Регулярные многогранники , Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (Глава V: Калейдоскоп, раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа)
^ Мутации двумерной симметрии Дэниела Хьюсона
^ Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269
^ Рассел, Кристофер; Стэгг, Скотт (11 февраля 2010 г.). «Новый взгляд на структурные механизмы пальто COPII» . Трафик . 11 (3): 303–310. дои : 10.1111/j.1600-0854.2009.01026.x . ПМИД 20070605 .

Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , « Икосидодекаэдр » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники o3x5o — id» .
Редактируемая для печати сетка икосододекаэдра с интерактивным 3D-просмотром
Однородные многогранники
Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников

[berman-1] Перейти обратно: ^а ^б Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .

[os-2] Огиевецкий О.; Шлосман, С. (2021). «Платоновые соединения и цилиндры». У Новикова С.; Кричевер И.; Огиевецкий О.; Шлосман, С. (ред.). Интегрируемость, квантование и геометрия. II. Квантовые теории и алгебраическая геометрия . Американское математическое общество . п. 477. ИСБН 978-1-4704-5592-7 .

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Группа икосаэдра» . Математический мир .

[williams-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. с. 86. ИСБН 978-0-486-23729-9 .

[diudea-5] Дюдя, МВ (2018). Многооболочечные многогранные кластеры . Углеродные материалы: химия и физика. Том. 10. Спрингер . п. 39. дои : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2 .

[fuller-6] Фуллер, РБ (1975). Синергетика: исследования в геометрии мышления . Макмиллан. п. 183–185. ISBN 978-0-02-065320-2 .

[7] Коксетера Регулярные многогранники , Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (Глава V: Калейдоскоп, раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа)

[8] Мутации двумерной симметрии Дэниела Хьюсона

[9] Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269

[rs-10] Рассел, Кристофер; Стэгг, Скотт (11 февраля 2010 г.). «Новый взгляд на структурные механизмы пальто COPII» . Трафик . 11 (3): 303–310. дои : 10.1111/j.1600-0854.2009.01026.x . ПМИД 20070605 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

Икосододекаэдр	Малый икосихемидодекаэдр	Малый додекахемидодекаэдр
Большой икосододекаэдр	Большой додекахемидодекаэдр	Большой икосихемидодекаэдр
Додекадодекаэдр	Малый додекагемикосаэдр	Большой додекагемикосаэдр
Соединение пяти октаэдров	Соединение пяти тетрагемигексаэдров.