Кросс-многогранник

Кросс-многогранники размерности от 2 до 5

2 измерения квадрат	3 измерения октаэдр
4 измерения 16-ячеечный	5 измерений 5-ортоплекс

В геометрии многогранник перекрестный , гипероктаэдр , ортоплекс , или кокуб — ​​правильный выпуклый многогранник , существующий в n - мерном евклидовом пространстве . 2-мерный перекрестный многогранник — это квадрат, 3-мерный перекрестный многогранник — правильный октаэдр , а 4-мерный перекрестный многогранник — это 16-клеточный . Его грани представляют собой симплексы перекрестного многогранника предыдущего измерения, а фигура вершины представляет собой другой перекрестный многогранник из предыдущего измерения.

Вершины перекрестного многогранника можно выбрать в качестве единичных векторов, указывающих вдоль каждой оси координат, т.е. всех перестановок (±1, 0, 0, ..., 0) . Кросс-многогранник — это выпуклая оболочка его вершин. n -мерный кросс-многогранник также можно определить как замкнутый единичный шар (или, по мнению некоторых авторов, его границу) в ℓ ₁ -норме на R ^н :

$\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.$

В 1 измерении перекрестный многогранник представляет собой просто отрезок [−1, +1], в 2 измерениях это квадрат (или ромб) с вершинами {(±1, 0), (0, ±1)}. В трех измерениях это октаэдр — один из пяти выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела . Это можно обобщить на более высокие измерения, при этом n -ортоплекс строится как бипирамида с ( n -1)-ортоплексным основанием.

Кросс-многогранник — это многогранник гиперкуба . двойственный 1- скелет -мерного n кросс-многогранника представляет собой граф Турана T (2 n , n ) (также известный как граф коктейльной вечеринки) . ).

4 измерения

Четырехмерный перекрестный многогранник также известен под названием гексадекашорон или 16-клеточный . Это один из шести выпуклых правильных 4-многогранников . Эти 4-многогранники были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века.

Высшие измерения

Семейство кросс-многогранников — одно из трех правильных многогранников семейств , обозначенных Коксетером как β _n , два других — это семейство гиперкубов , обозначенное как γ _n , и семейство симплексов , обозначенное как α _n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов он обозначил как δn _. ,

n -мерный кросс-многогранник имеет 2 n вершин и 2 ^н грани (( n − 1)-мерные компоненты), все из которых являются ( n − 1) -симплексами . n − Все вершинные фигуры представляют собой ( 1 )-кросс-многогранники. Символ Шлефли перекрестного многогранника — {3,3,...,3,4}.

Двугранный угол -мерного перекрестного многогранника n равен $\delta _{n}=\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)$. Это дает: δ ₂ = arccos(0/2) = 90°, δ ₃ = arccos(−1/3) = 109,47°, δ ₄ = arccos(−2/4) = 120°, δ ₅ = arccos(− 3/5) = 126,87°, ... δ _∞ = arccos(−1) = 180°.

Гиперобъем n -мерного кросс-многогранника равен

${\frac {2^{n}}{n!}}.$

Для каждой пары непротивоположных вершин существует соединяющее их ребро. В более общем смысле, каждый набор из k + 1 ортогональных вершин соответствует отдельному k -мерному компоненту, который их содержит. Таким образом, количество k -мерных компонентов (вершин, ребер, граней, ..., граней) в n -мерном перекрестном многограннике определяется выражением (см. Биномиальный коэффициент ):

$2^{k+1}{n \choose {k+1}}$

Расширенный f-вектор для n -ортоплекса можно вычислить по формуле ( 1 ,2) ^н , как и коэффициенты полиномиальных произведений . Например, 16-ячейка — это ( 1 ,2) ⁴ = ( 1 ,4,4) ² = ( 1 ,8,24,32,16).

Существует множество возможных орфографических проекций , которые могут отображать перекрестные многогранники в виде двумерных графов. Проекции многоугольников Петри отображают точки в правильные 2 n -угольники или правильные многоугольники более низкого порядка. Вторая проекция использует 2( n -1)-гональный многоугольник Петри нижнего измерения, рассматриваемый как бипирамида , проецируемый вниз по оси, с двумя вершинами, отображаемыми в центре.

Кросс-многогранники

н	β н к 11	Имя(а) График	График 2н - гон	Шлефли	Коксетер-Дынкин диаграммы	Вершины	Края	Лица	Клетки	4-ликий	5-гранный	6-гранный	7-гранный	8-гранный	9-ликий	10-ликий
0	б 0	Точка 0-ортоплекс	.	( )		1
1	б 1	Отрезок линии 1-ортоплекс		{ }		2	1
2	б 2 −1 11	квадрат 2-ортоплекс Бикросс		{4} 2{ } = { }+{ }		4	4	1
3	б 3 0 11	октаэдр 3-ортоплекс Трикросс		{3,4} {3 1,1 } 3{ }		6	12	8	1
4	б 4 1 11	16-ячеечный 4-ортоплекс Тетракросс		{3,3,4} {3,3 1,1 } 4{ }		8	24	32	16	1
5	б 5 2 11	5-ортоплекс Пентакросс		{3 3 ,4} {3,3,3 1,1 } 5{ }		10	40	80	80	32	1
6	б 6 3 11	6-ортоплекс гексакросс		{3 4 ,4} {3 3 ,3 1,1 } 6{ }		12	60	160	240	192	64	1
7	б 7 4 11	7-ортоплекс Гептакросс		{3 5 ,4} {3 4 ,3 1,1 } 7{ }		14	84	280	560	672	448	128	1
8	б 8 5 11	8-ортоплекс Октакросс		{3 6 ,4} {3 5 ,3 1,1 } 8{ }		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	1
9	б 9 6 11	9-ортоплекс Эннеакросс		{3 7 ,4} {3 6 ,3 1,1 } 9{ }		18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	1
10	б 10 7 11	10-ортоплекс Декакросс		{3 8 ,4} {3 7 ,3 1,1 } 10{ }		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	1
...
н	β н к 11	n- ортоплекс н -крест		{3 п - 2 ,4} {3 п - 3 ,3 1,1 } п {}	... ... ...	2 n 0-граней , ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ к -грани ..., 2 н ( n −1)-грани

Все вершины перекрестного многогранника, ориентированного по осям, находятся на одинаковом расстоянии друг от друга на манхэттенском расстоянии ( L ¹ норма ). Гипотеза Куснера утверждает, что этот набор из 2 d точек является максимально возможным эквидистантным набором для этого расстояния.

Обобщенный ортоплекс

Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве, называемом обобщенными ортоплексами (или перекрестными многогранниками), β ^п
_n = ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} _p , или .. . Реальные решения существуют при p = 2, т.е. β ²
_n = β _n = ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} ₂ = {3,3,..,4}. При p > 2 они существуют в $\mathbb {\mathbb {C} } ^{n}$. p n -обобщенный pn имеет -ортоплекс вершин. Обобщенные ортоплексы имеют правильные симплексы (вещественные) в качестве фасетов . Обобщенные ортоплексы образуют полные многодольные графы , β ^п
₂ сделать K _{p , p} для полного двудольного графа , β ^п
₃ сделайте K _{p , p , p} для полных трехдольных графов. β ^п
_n создает K _{p ^н} . исключением кратных Можно определить ортогональную проекцию, которая отображает все вершины, расположенные на равном расстоянии от окружности, со всеми соединенными парами вершин, за n . Периметр правильного многоугольника в этих ортогональных проекциях называется многоугольником Петри .

Обобщенные ортоплексы

	р = 2		р = 3	р = 4	р = 5	р = 6	р = 7	р = 8
$\mathbb {R} ^{2}$	2 {4} 2 = {4} = К 2,2	$\mathbb {\mathbb {C} } ^{2}$	2 {4} 3 = К 3,3	2 {4} 4 = К 4,4	2 {4} 5 = К 5,5	2 {4} 6 = К 6,6	2 {4} 7 = К 7,7	2 {4} 8 = К 8,8
$\mathbb {R} ^{3}$	2 {3} 2 {4} 2 = {3,4} = К 2,2,2	$\mathbb {\mathbb {C} } ^{3}$	2 {3} 2 {4} 3 = К 3,3,3	2 {3} 2 {4} 4 = К 4,4,4	2 {3} 2 {4} 5 = К 5,5,5	2 {3} 2 {4} 6 = К 6,6,6	2 {3} 2 {4} 7 = К 7,7,7	2 {3} 2 {4} 8 = К 8,8,8
$\mathbb {R} ^{4}$	2 {3} 2 {3} 2 {3,3,4} = К 2,2,2,2	$\mathbb {\mathbb {C} } ^{4}$	2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 К 3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 К 4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 К 5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 К 6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 К 7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 К 8,8,8,8
$\mathbb {R} ^{5}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,4} = К 2,2,2,2,2	$\mathbb {\mathbb {C} } ^{5}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 К 3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 К 4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 К 5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 К 6,6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 К 7,7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 К 8,8,8,8,8
$\mathbb {R} ^{6}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,3,4} = К 2,2,2,2,2,2	$\mathbb {\mathbb {C} } ^{6}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 К 3,3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 К 4,4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 К 5,5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 К 6,6,6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 К 7,7,7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 К 8,8,8,8,8,8

Родственные семейства многогранников

Перекрестные многогранники можно комбинировать с их двойными кубами, образуя составные многогранники:

• В двух измерениях мы получаем октаграммную фигуру звезды { ⁠ 8 / 2 ⁠ },
• В трёх измерениях получаем соединение куба и октаэдра ,
• В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16-клеточного .

См. также

• Список правильных многогранников
• Гипероктаэдрическая группа , группа симметрии кросс-многогранника.

Ссылки

• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
  • стр. 121-122, §7.21. см. рисунок Рис. 7.2 B
  • п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Перекрестный многогранник» . Математический мир .