Парадокс Росса – Литтлвуда

График, показывающий количество шариков, попавших в вазу и вынутых из нее для первых десяти итераций задачи.

Парадокс Росса-Литтлвуда (также известный как проблема шаров и вазы или проблема мяча для пинг-понга ) — гипотетическая проблема в абстрактной математике и логике, призванная проиллюстрировать парадоксальную или, по крайней мере , неинтуитивную природу бесконечности . В частности, как и парадокс лампы Томсона , парадокс Росса-Литтлвуда пытается проиллюстрировать концептуальные трудности с понятием сверхзадачи , в которой бесконечное количество задач выполняется последовательно. ^{[ 1 ]} Первоначально проблема была описана математиком Джоном Э. Литтлвудом в его книге «Сборник Литтлвуда» 1953 года , а позже была расширена Шелдоном Россом в его книге 1988 года «Первый курс теории вероятностей» .

Проблема начинается с пустой вазы и бесконечного запаса шариков. Затем выполняется бесконечное число шагов, так что на каждом шаге в вазу добавляют 10 шаров и вынимают из нее 1 шар. Затем задается вопрос: сколько шаров окажется в вазе, когда задание будет выполнено?

Для выполнения бесконечного числа шагов предполагается, что за одну минуту до полудня ваза пуста и выполняются следующие шаги:

Первый шаг выполняется за 30 секунд до полудня.
Второй шаг выполняется за 15 секунд до полудня.
Каждый последующий шаг выполняется за половину времени предыдущего шага, т. е. шаг n выполняется за 2 ^{− п} минут до полудня.

Это гарантирует, что к полудню будет выполнено счетное бесконечное число шагов. Поскольку каждый последующий шаг занимает вдвое меньше времени, чем предыдущий, за время, прошедшее в одну минуту, выполняется бесконечное количество шагов. Тогда возникает вопрос: сколько шаров находится в вазе в полдень?

Решения

Ответы на головоломку делятся на несколько категорий.

В вазе бесконечно много шариков.

Самый интуитивный ответ, по-видимому, состоит в том, что к полудню ваза будет содержать бесконечное количество шариков, поскольку на каждом этапе пути шаров добавляется больше, чем удаляется. По определению, на каждом шаге шаров будет больше, чем на предыдущем. Фактически не существует шага, на котором количество шаров уменьшалось бы по сравнению с предыдущим шагом. Если количество шариков каждый раз увеличивается, то после бесконечных шагов шариков будет бесконечное количество.

Ваза пуста

Предположим, что шары из бесконечного запаса шариков были пронумерованы и что на шаге 1 в вазу вставляются шары с 1 по 10, а затем удаляется шар с номером 1. На шаге 2 вставляются шарики с 11 по 20, а затем удаляется шарик 2. Это означает, что к полудню каждый шарик с меткой n , вставленный в вазу, в конечном итоге будет удален на последующем шаге (а именно, на шаге n ). Следовательно, в полдень ваза пуста. Это решение предпочитают математики Эллис и Кутсер. Сопоставление аргумента о том, что ваза пуста в полдень, вместе с более интуитивным ответом о том, что в вазе должно быть бесконечно много шариков, дает основание назвать эту проблему парадоксом Росса-Литтлвуда.

Вероятностная версия проблемы Росса расширила метод удаления до случая, когда всякий раз, когда шар должен быть извлечен, этот шар равномерно случайным образом выбирается из числа тех, которые в тот момент находились в вазе. В этом случае он показал, что вероятность того, что какой-либо конкретный шар останется в вазе в полдень, равна 0, и, следовательно, используя неравенство Буля и взяв счетную сумму по шарам, вероятность того, что ваза будет пустой в полдень, равна 1. ^{[ 2 ]}

Зависит от условий

Действительно, количество шариков, которые в итоге получатся, зависит от порядка, в котором шары вынимаются из вазы. Как говорилось ранее, шары можно добавлять и удалять таким образом, чтобы в полдень в вазе не оставалось ни одного шара. Однако если на шаге 1 из вазы вынули шар номер 10, на шаге 2 — шар номер 20 и т. д., то ясно, что в полдень в вазе останется бесконечное количество шаров. Фактически, в зависимости от того, какой шар был удален на различных этапах, любое выбранное количество шаров можно поместить в вазу к полудню, как показывает процедура, описанная ниже. Это решение предпочитают философ-логик Том Тимочко и математик-логик Джим Хенле . Это решение математически соответствует взятию нижнего предела последовательности множеств .

Следующая процедура описывает, как получить выбранное n количество шаров, оставшихся в вазе.

Пусть n обозначает желаемое конечное количество шаров в вазе ( n ≥ 0 ).
Пусть i обозначает номер операции, происходящей в данный момент ( i ≥ 1 ).

Процедура:

для i = 1 до бесконечности:

положите в вазу шарики с номерами от (10*i - 9) до (10*i)

если я ≤ n , то удалите шар номер 2*i

если i > n, то удалите шар номер n + i

Очевидно, что первые n нечетных шаров не удаляются, а все шары, число которых больше или равно 2 n, удаляются. Следовательно, ровно n в вазе осталось шариков.

Проблема недостаточно определена

Хотя состояние шаров и вазы четко определено в каждый момент времени до полудня, нельзя сделать никакого заключения о каком-либо моменте времени в полдень или после него. Таким образом, насколько нам известно, в полдень ваза просто волшебным образом исчезает, или с ней происходит что-то еще. Но мы не знаем, так как в постановке задачи об этом ничего не сказано. Следовательно, как и в предыдущем решении, в этом решении говорится, что проблема недостаточно определена, но иначе, чем в предыдущем решении. Это решение поддерживает философ математики Поль Бенацерраф .

Проблема неправильно сформулирована

Проблема некорректна. Если быть точным, то по постановке задачи до полудня будет выполнено бесконечное количество операций, а затем в полдень спросит о положении дел. Но, как и в парадоксах Зенона , если до полудня должно произойти (последовательно) бесконечное количество операций, то полдень — это момент времени, который никогда не может быть достигнут. С другой стороны, спрашивать, сколько шаров останется в полдень, значит предполагать, что полдень наступит. Следовательно, в самой постановке задачи заложено противоречие, и это противоречие заключается в предположении, что можно каким-то образом «выполнить» бесконечное число шагов. Это решение предпочитает математик и философ Жан Поль Ван Бендегем .

См. также

Ссылки

^ «Императивы и логика», Альф Росс , Theoria vol. 7, 1941, стр. 53-71.
^ Шелдон Росс, Первый курс теории вероятностей (восьмое издание, глава 2, пример 6a, стр. 46)

Дальнейшее чтение

«Сборник Литтлвуда» (изд. Бела Боллобас ), Cambridge University Press, Кембридж, 1986. стр. 26. (Впервые опубликовано как «Сборник математиков» (под ред. Белы Боллобаса, Methuen & Co., 1953 г.)
«Задачи, сверхзадачи и современная элеатика», Пол Бенацерраф, Философский журнал, LIX, 1962, стр. 765–784.
«Первый курс теории вероятностей», Шелдон Росс, Нью-Йорк: Macmillan, 1976.
«О некоторых парадоксах бесконечного», Виктор Аллис и Теунис Кутсьер, Британский журнал философии науки , т. 42, № 2, июнь 1991 г., стр. 187–194.
«Парадокс Росса - невыполнимая сверхзадача», Жан Поль Ван Бендегем, Британский журнал философии науки , т. 45, № 2, июнь 1994 г., стр. 743–748.
«Бесконечные боли: проблемы со сверхзадачами», Эрман, Дж. и Нортон, доктор медицинских наук, в книге С. Стича (ред.) Пол Бенасерраф: Философ и его критики (Нью-Йорк: Блэквелл), 1994 г.
«Сладкая причина: практическое руководство по современной логике», Том Тимочко и Джим Хенле, Freeman Press, 1995 г.

[1] «Императивы и логика», Альф Росс , Theoria vol. 7, 1941, стр. 53-71.

[2] Шелдон Росс, Первый курс теории вероятностей (восьмое издание, глава 2, пример 6a, стр. 46)

[ 1 ]

[ 2 ]