Теория множеств (музыка)

Пример Z-отношения для двух наборов шагов, которые можно анализировать или получить из Z17, с интервалами между классами высоты звука, помеченными для удобства сравнения между двумя наборами и их общим вектором интервалов, 212320

Теория музыкальных множеств предлагает концепции категоризации музыкальных объектов и описания их отношений. Говард Хэнсон первым разработал многие концепции анализа тональной музыки. Другие теоретики, такие как Аллен Форте , развили теорию анализа атональной музыки. опираясь на двенадцати тонов теорию Милтона Бэббита . Понятия теории музыкальных множеств очень общие и могут быть применены к тональным и атональным стилям в любой равнотемперированной системе настройки и, в некоторой степени, в более общем плане.

Одна ветвь теории музыкальных множеств имеет дело с коллекциями ( наборами и перестановками ) звуковых частот и классов высоты тона ( теория множеств звуковых классов ), которые могут быть упорядочены или неупорядочены и могут быть связаны с помощью музыкальных операций, таких как транспонирование , мелодическая инверсия и дополнение. . Некоторые теоретики применяют методы теории музыкальных множеств для анализа ритма и .

Сравнение с математической теорией множеств

Хотя часто считается, что теория музыкальных множеств предполагает применение математической теории множеств к музыке, между методами и терминологией этих двух методов существует множество различий. Например, музыканты используют термины транспонирование и инверсия там, где математики использовали бы перевод и отражение . Более того, там, где теория музыкальных множеств относится к упорядоченным наборам, математика обычно относится к кортежам или последовательностям (хотя математика действительно говорит об упорядоченных множествах , и хотя можно увидеть, что они в некотором смысле включают в себя музыкальный тип, они гораздо более сложны).

Более того, теория музыкальных множеств более тесно связана с теорией групп и комбинаторикой, чем с математической теорией множеств, которая занимается такими вопросами, как, например, различные размеры бесконечно больших множеств. В комбинаторике неупорядоченное подмножество из n объектов, такое как классы основного тона , называется комбинацией , а упорядоченное подмножество — перестановкой . Теорию музыкальных множеств лучше рассматривать как приложение комбинаторики к теории музыки, чем как раздел математической теории множеств. Его основная связь с математической теорией множеств заключается в использовании словаря теории множеств для разговора о конечных множествах.

Виды наборов

Основная статья: Сет (музыка)

Фундаментальной концепцией теории музыкальных множеств является (музыкальный) набор, который представляет собой неупорядоченную коллекцию звуковых классов. Точнее, набор питч-классов представляет собой числовое представление, состоящее из различных целых чисел (т. е. без дубликатов). Элементы набора могут проявляться в музыке в виде одновременных аккордов, последовательных тонов (как в мелодии) или того и другого. Соглашения об обозначениях различаются от автора к автору, но множества обычно заключаются в фигурные скобки: {}, или квадратные скобки: [].

Некоторые теоретики используют угловые скобки ⟨ ⟩ для обозначения упорядоченных последовательностей, в то время как другие различают упорядоченные множества, разделяя числа пробелами. Таким образом, можно обозначить неупорядоченный набор классов высоты тона 0, 1 и 2 (соответствующих в данном случае C, C ♯ и D) как {0,1,2}. Упорядоченная последовательность CC ♯ -D будет обозначаться ⟨0,1,2⟩ или (0,1,2). Хотя в этом примере C считается нулевым, это не всегда так. Например, пьеса (тональная или атональная) с четким центром высоты звука F может быть наиболее полезно анализироваться с F, установленным на ноль (в этом случае {0,1,2} будет представлять F, F ♯ и G. (Для использование цифр для обозначения нот, см. класс высоты тона .)

Хотя теоретики множеств обычно рассматривают наборы классов одинакового темперирования, можно рассматривать наборы тонов, классы неравнотемперированного звука, ритмичные начала, или «классы ударов».

Наборы из двух элементов называются диадами , наборы из трех элементов — трихордами (иногда «триадами», хотя это легко спутать с традиционным значением слова «триада »). Наборы более высоких мощностей называются тетрахордами (или тетрадами), пентахордами (или пентадами), гексахордами (или гексадами), гептахордами (гептахордами или, иногда, смешением латинских и греческих корней, «септахордами» — например, Раном ), октахорды (октады), нонахорды (нонады), декашорды (декады), ундекахорды и, наконец, додекахорды .

Основные операции

Основная статья: Трансформация (музыка)

Инверсия класса высоты тона: 234te отражается около 0 и становится t9821.

Основные операции, которые можно выполнять над множеством, — это транспонирование и инверсия . Множества, связанные транспозицией или инверсией, называются транспозиционно связанными или инверсионно связанными и принадлежат к одному и тому же классу множеств . Поскольку транспозиция и инверсия являются изометриями пространства высотных классов, они сохраняют интервальную структуру набора, даже если они не сохраняют музыкальный характер (т.е. физическую реальность) элементов набора. Это можно считать центральным постулатом теории музыкальных множеств. На практике теоретико-множественный музыкальный анализ часто заключается в выявлении неочевидных транспозиционных или инверсионных отношений между наборами, встречающимися в произведении.

операции дополнения и умножения Некоторые авторы рассматривают также . Дополнением множества X является множество, состоящее из всех классов высоты звука, не содержащихся в X. Произведение двух классов высоты звука является произведением чисел их классов высоты звука по модулю 12. Поскольку дополнение и умножение не являются изометриями пространства классов высоты звука, они не обязательно сохраняют музыкальный характер объектов, которые они преобразуют. Другие авторы, такие как Аллен Форте, подчеркивали Z-отношение , которое возникает между двумя множествами, которые имеют одинаковое общее содержание интервалов или вектор интервалов , но не являются транспозиционно или инверсионно эквивалентными. Другое название этих отношений, использованное Хэнсоном, является «изомерным».

Операции над упорядоченными последовательностями классов высоты тона также включают транспозицию и инверсию, а также ретроградное движение и вращение . Ретроградация упорядоченной последовательности меняет порядок ее элементов. Вращение упорядоченной последовательности эквивалентно циклической перестановке .

Транспонирование и инверсию можно представить как элементарные арифметические операции. Если x — число, представляющее класс высоты звука, его транспонирование на n полутонов записывается T _n = x + n mod 12. Инверсия соответствует отражению вокруг некоторой фиксированной точки в пространстве классов высоты звука . Если x — класс высоты тона, инверсия с индексным номером n записывается I _n = n — x mod 12.

Отношение эквивалентности

См. также: Класс эквивалентности (музыка)

«Чтобы отношение в множестве S было отношением эквивалентности [в алгебре ], оно должно удовлетворять трем условиям: оно должно быть рефлексивным ..., симметричным ... и транзитивным ...». «Действительно, неформальное понятие эквивалентности всегда было частью теории и анализа музыки. Однако теория множеств ПК придерживалась формальных определений эквивалентности».

Классы транспозиционных и инверсионных множеств

Говорят, что два транспозиционно связанных множества принадлежат к одному и тому же классу транспозиционных множеств (Tn ₎ . Говорят, что два множества, связанные транспозицией или инверсией, принадлежат к одному и тому же классу транспозиционных/инверсионных множеств (инверсия обозначается T _n I или I _n ). Множества, принадлежащие к одному и тому же классу транспозиционных множеств, звучат очень похоже; в то время как наборы, принадлежащие к одному и тому же классу транспозиционных / инверсионных наборов, могут включать два аккорда одного типа, но в разных тональностях, что будет менее похоже по звучанию, но, очевидно, все же будет относиться к ограниченной категории. По этой причине теоретики музыки часто считают наборы классов основными объектами музыкального интереса.

Существует два основных соглашения для именования классов множеств с одинаковым темпом. Одно из них, известное как число Форте , происходит от Аллена Форте, чья «Структура атональной музыки» (1973) является одной из первых работ по теории музыкальных множеств. Форте присвоил каждому классу множеств номер в форме c – d , где c указывает мощность набора, а d – порядковый номер. Таким образом, хроматический трихорд {0, 1, 2} принадлежит классу набора 3–1, что указывает на то, что это первый класс набора из трех нот в списке Форте. Расширенный трихорд {0, 4, 8} получает метку 3–12 и является последним трихордом в списке Форте.

Основная критика номенклатуры Forte заключается в следующем: (1) метки Forte произвольны и их трудно запомнить, и на практике часто проще просто перечислить элемент набора классов; (2) Система Форте предполагает равную темперацию и не может быть легко расширена за счет включения диатонических наборов, наборов высоты звука (в отличие от наборов классов высоты звука), мультисетов или наборов в других системах настройки; (3) Исходная система Форте считает, что инверсионно связанные множества принадлежат одному и тому же классу множеств. Это означает, что, например, мажорное и минорное трезвучие считаются одним и тем же набором.

Западная тональная музыка на протяжении веков считала мажор и минор, а также инверсию аккордов существенно разными. Они действительно генерируют совершенно разные физические объекты. Игнорирование физической реальности звука является очевидным ограничением атональной теории. Однако в защиту высказывалось мнение, что теория не была создана для заполнения вакуума, в котором существующие теории неадекватно объясняли тональную музыку. Скорее, теория Форте используется для объяснения атональной музыки, где композитор изобрел систему, в которой различие между {0, 4, 7} (называемым «мажорным» в тональной теории) и его инверсией {0, 3, 7} (называемым «мажорным» в тональной теории) «минор» в теории тонов) может быть неуместным.

Вторая система обозначений обозначает множества в терминах их нормальной формы , которая зависит от концепции нормального порядка . Чтобы расположить набор в обычном порядке, расположите его по возрастающей шкале в пространстве высотных классов, охватывающем менее октавы. Затем циклически переставляйте его, пока его первая и последняя ноты не окажутся как можно ближе друг к другу. В случае ничьей минимизируйте расстояние между первой и предпоследней нотой. (В случае совпадения минимизируйте расстояние между первой и предпоследней нотой и т. д.) Таким образом, {0, 7, 4} в обычном порядке равно {0, 4, 7}, в то время как {0, 2, 10} в обычном порядке равно {10, 0, 2}. Чтобы привести набор в нормальную форму, начните с размещения его в нормальном порядке, а затем транспонируйте его так, чтобы его первый шаг был равен 0. Математики и ученые-компьютерщики чаще всего упорядочивают комбинации, используя либо алфавитный порядок, либо двоичный порядок (по основанию два), либо кодирование Грея , каждый из которых приводит к различным, но логическим нормальным формам.

Поскольку транспозиционно связанные множества имеют одну и ту же нормальную форму, нормальные формы можно использовать для обозначения классов множеств T _n .

Чтобы определить класс набора T _n /I _n :

• Определите класс множества T _n .
• инверсии _{Инвертируйте набор и найдите класс набора T n} .
• Сравните эти две нормальные формы, чтобы увидеть, какая из них наиболее «упакована слева».

исходного набора _{Результирующий набор помечает класс набора T n} /I _n .

Симметрии

Число различных операций в системе, которые отображают множество в себя, является степенью симметрии множества . Степень симметрии «определяет количество операций, которые сохраняют неупорядоченные наборы раздела; она показывает, в какой степени наборы классов тона этого раздела сопоставляются (или находят) друг друга при транспонировании или инверсии». Каждое множество имеет по крайней мере одну симметрию, поскольку оно отображается само в себя при выполнении тождественной операции T ₀ . Транспозиционно-симметричные множества отображаются сами на себя при T _n , где n не равно 0 (mod 12). Инверсионно-симметричные множества отображаются сами в себя относительно TnI _. Для любого данного _{типа Tn} / _TnI все множества имеют одинаковую степень симметрии. Число различных наборов в типе равно 24 (общее количество операций транспозиции и инверсии для n = 0–11), деленное на степень симметрии типа T _n /T _n I.

Транспозиционно-симметричные множества либо делят октаву поровну, либо могут быть записаны как объединение множеств одинакового размера, которые сами делят октаву поровну. Инверсионно-симметричные аккорды инвариантны относительно отражений в пространстве высотных классов. Это означает, что аккорды можно упорядочивать циклически, чтобы серия интервалов между последовательными нотами была одинаковой при чтении вперед или назад. Например, при циклическом порядке (0, 1, 2, 7) интервал между первой и второй нотой равен 1, интервал между второй и третьей нотой равен 1, интервал между третьей и четвертой нотой равен 5, а интервал между четвертой и первой нотами равен 5.

Ту же последовательность можно получить, если начать с третьего элемента ряда и двигаться назад: интервал между третьим элементом ряда и вторым равен 1; интервал между вторым элементом ряда и первым равен 1; интервал между первым элементом ряда и четвертым равен 5; а интервал между последним элементом ряда и третьим элементом равен 5. Таким образом, между T ₀ и T ₂ I имеется 12 множеств _{I обнаруживается симметрия, и в классе эквивалентности T n} /T _n .

См. также

• Идентичность (музыка)
• Интервал шага
• Тоннец
• Трансформационная теория

Ссылки

Источники

• Алегант, Брайан. 2001. «Поперечные перегородки как гармония и голосовое лидерство в двенадцатитоновой музыке». Теория музыки Спектр 23, вып. 1 (Весна): 1–40.
• Коэн, Аллен Лоуренс. 2004. Говард Хэнсон в теории и практике . Вклад в изучение музыки и танца 66. Вестпорт, Коннектикут и Лондон: Praeger. ISBN   0-313-32135-3 .
• Кон, Ричард . 1992. «Транспозиционная комбинация наборов бит-класса в фазовой музыке Стива Райха». Перспективы новой музыки 30, вып. 2 (лето): 146–177.
• Форте, Аллен . 1973. Структура атональной музыки . Нью-Хейвен и Лондон: Издательство Йельского университета. ISBN   0-300-01610-7 (ткань) ISBN  0-300-02120-8 (pbk).
• Хэнсон, Ховард . 1960. Гармонические материалы современной музыки: ресурсы темперированной гаммы . Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts.
• Ран, Джон . 1980. Основная атональная теория . Нью-Йорк: Книги Ширмера; Лондон и Торонто: Prentice Hall International. ISBN   0-02-873160-3 .
• Шуйер, Михель. 2008. Анализ атональной музыки: теория множеств высоты звука и ее контексты . ISBN   978-1-58046-270-9 .
• Уорбертон, Дэн. 1988. «Рабочая терминология минимальной музыки». Интеграл 2: 135–159.

Дальнейшее чтение

• Картер, Эллиотт . 2002. Книга гармонии , под редакцией Николаса Хопкинса и Джона Ф. Линка. Нью-Йорк: Карл Фишер. ISBN   0-8258-4594-7 .
• Левин, Дэвид . 1993. Музыкальная форма и трансформация: четыре аналитических эссе . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN   0-300-05686-9 . Перепечатано с предисловием Эдварда Голлина, Нью-Йорк: Oxford University Press, 2007. ISBN   978-0-19-531712-1 .
• Левин, Дэвид. 1987. Обобщенные музыкальные интервалы и трансформации . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN   0-300-03493-8 . Перепечатано, Нью-Йорк: Oxford University Press, 2007. ISBN   978-0-19-531713-8 .
• Моррис, Роберт . 1987. Композиция с высотой тона: теория композиционного дизайна . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN   0-300-03684-1 .
• Перл, Джордж . 1996. Двенадцатитоновая тональность , второе издание, переработанное и дополненное. Беркли: Издательство Калифорнийского университета. ISBN   0-520-20142-6 . (Первое издание 1977 г., ISBN   0-520-03387-6 )
• Старр, Дэниел. 1978. «Множества, инвариантность и разделы». Журнал теории музыки 22, вып. 1 (Весна): 1–42.
• Штраус, Джозеф Н. 2005. Введение в посттональную теорию , третье издание. Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN   0-13-189890-6 .

Внешние ссылки

• Такер, Гэри (2001) «Краткое введение в анализ набора звуковых классов» , Музыкальный факультет Университета Маунт-Эллисон .
• Ник Коллинз «Уникальность пространств питч-классов, минимальных баз и Z-партнеров» , Sonic Arts .
• «Теория высоты звука двадцатого века: некоторые полезные термины и методы» , Форма и анализ: виртуальный учебник .
• Соломон, Ларри (2005). «Букварь теории множеств для музыки» , SolomonMusic.net .
• Келли, Роберт Т. (2001). «Введение в постфункциональный музыкальный анализ: терминология постфункциональной теории» , RobertKelleyPhd.com .
• Келли, Роберт Т. (2002). «Введение в постфункциональный музыкальный анализ: теория множеств, матрица и метод двенадцати тонов» .
• «Просмотр SetClass (SCv)» , Flexatone.net . NetTool athenaCL для онлайн-анализа и справочной информации по питч-классам.
• Томлин, Джей. «Все о теории множеств» . ДжейТомлин.com .
• «Машина теории множеств Java» или калькулятор
• Кайзер, Ульрих. «Калькулятор набора классов высоты тона» , musikanalyse.net . (на немецком языке)
• «Теория и восприятие множеств питч-класса» , Ohio-State.edu .
• «Программные инструменты для композиторов» , ComposerTools.com . Калькулятор набора компьютеров Javascript, калькуляторы отношений двух наборов и учебник по теории.
• « Калькулятор ПК , MtA.Ca. »
• Тейлор, Стивен Эндрю. «SetFinder» , Stephenandrewtaylor.net . Библиотека наборов классов высоты тона и калькулятор простых форм.