Аксиома бесконечности

В аксиоматической теории множеств и разделах математики и философии , которые ее используют, аксиома бесконечности является одной из аксиом теории множеств Цермело-Френкеля . Это гарантирует существование по крайней мере одного бесконечного множества , а именно множества, содержащего натуральные числа . Впервые оно было опубликовано Эрнстом Цермело как часть его теории множеств в 1908 году.

Официальное заявление

На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома выглядит следующим образом:

$\exists I\ (\exists o\ (o\in I\ \land \ \lnot \exists n\ \ n\in o)\ \land \ \forall x\ (x\in I\Rightarrow \exists y\ (y\in I\ \land \ \forall a\ (a\in y\Leftrightarrow (a\in x\ \lor \ a=x)))))$

Существует 𝐼 такое множество ( множество, которое постулируется бесконечным), что пустое множество является его элементом и для каждого элемента $x$ из 𝐼 существует элемент $y$ из 𝐼, состоящего только из элементов $x$ и $x$ сам.

Эту формулу можно сократить так:

$\exists I\,(\varnothing \in I\,\land \,\forall x\,(x\in I\Rightarrow \,(x\cup \{x\})\in I))$

Некоторые математики могут назвать построенное таким образом множество индуктивным множеством .

Толкование и последствия

аксиома тесно связана с конструкцией фон Неймана натуральных чисел в теории множеств, в которой преемник x Эта определяется как x ∪ { x }. Если x — множество, то из других аксиом теории множеств следует, что этот преемник также является однозначно определенным множеством. Преемники используются для определения обычного теоретико-множественного кодирования натуральных чисел . В этой кодировке ноль — это пустой набор:

0 = {}.

Число 1 является преемником 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

Аналогично, 2 является преемником 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1} = { {}, {{}} },

и так далее:

3 = {0, 1, 2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} };

4 = {0, 1, 2, 3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.

Следствием этого определения является то, что каждое натуральное число равно множеству всех предыдущих натуральных чисел. Количество элементов в каждом наборе на верхнем уровне такое же, как и представленное натуральное число, а глубина вложенности наиболее глубоко вложенного пустого набора {}, включая его вложенность в набор, который представляет число, из которого он состоит. часть также равна натуральному числу, которое представляет набор.

Эта конструкция образует натуральные числа. Однако других аксиом недостаточно, чтобы доказать существование множества всех натуральных чисел: $\mathbb {N} _{0}$. Поэтому его существование принимается как аксиома – аксиома бесконечности. Эта аксиома утверждает, что существует множество I , содержащее 0 и замкнутое относительно операции взятия преемника; то есть для каждого элемента I преемник этого элемента также находится в I .

Таким образом, суть аксиомы такова:

Существует множество I , включающее все натуральные числа.

Аксиома бесконечности также является одной из аксиом фон Неймана–Бернейса–Гёделя .

Извлечение натуральных чисел из бесконечного множества

Бесконечное множество I является надмножеством натуральных чисел. Чтобы показать, что натуральные числа сами по себе составляют набор, можно применить схему аксиом спецификации для удаления ненужных элементов, оставив набор N всех натуральных чисел. Это множество уникально по аксиоме экстенсиональности .

Чтобы извлечь натуральные числа, нам нужно определить, какие множества являются натуральными числами. Натуральные числа могут быть определены таким образом, который не предполагает никаких аксиом, кроме аксиомы экстенсиональности и аксиомы индукции : натуральное число является либо нулем, либо последователем, и каждый из его элементов является либо нулем, либо преемником другого его элемента. элементы. На формальном языке определение гласит:

$\forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([n=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k(n=k\cup \{k\})]\,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})])).$

Или еще более формально:

$\forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\;\land$

$\forall m(m\in n\Rightarrow [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\lor j=k)))]))).$

Альтернативный метод

Альтернативный метод заключается в следующем. Позволять $\Phi (x)$ быть формулой, в которой говорится, что «x индуктивен»; т.е. $\Phi (x)=(\emptyset \in x\wedge \forall y(y\in x\to (y\cup \{y\}\in x)))$. Неформально, мы возьмем пересечение всех индуктивных множеств. Более формально, мы хотим доказать существование уникального множества $W$ такой, что

$\forall x(x\in W\leftrightarrow \forall I(\Phi (I)\to x\in I)).$ (*)

Для существования мы будем использовать Аксиому Бесконечности в сочетании со схемой Аксиомы спецификации . Позволять $I$ быть индуктивным множеством, гарантированным аксиомой бесконечности. Затем мы используем схему аксиом спецификации, чтобы определить наш набор $W=\{x\in I:\forall J(\Phi (J)\to x\in J)\}$ - т.е. $W$ представляет собой совокупность всех элементов $I$, которые также являются элементами любого другого индуктивного множества. Это явно удовлетворяет гипотезе (*), поскольку если $x\in W$, затем $x$ находится в каждом индуктивном множестве, и если $x$ находится в каждом индуктивном множестве, в частности, в $I$, поэтому он также должен быть в $W$.

Для обеспечения уникальности сначала обратите внимание, что любое множество, удовлетворяющее (*), само по себе является индуктивным, поскольку 0 находится во всех индуктивных множествах, и если элемент $x$ находится во всех индуктивных множествах, то по свойству индуктивности таким же является и его последующий элемент. Таким образом, если бы существовал еще один набор $W'$ это удовлетворено (*) у нас будет это $W'\subseteq W$ с $W$ является индуктивным, и $W\subseteq W'$ с $W'$ является индуктивным. Таким образом $W=W'$. Позволять $\omega$ обозначим этот уникальный элемент.

Это определение удобно тем, что сразу следует принцип индукции : если $I\subseteq \omega$ является индуктивным, то также $\omega \subseteq I$, так что $I=\omega$.

Оба эти метода создают системы, которые удовлетворяют аксиомам арифметики второго порядка , поскольку аксиома набора степеней позволяет нам количественно оценивать набор степеней $\omega$, как в логике второго порядка . Таким образом, они оба полностью определяют изоморфные системы, и, поскольку они изоморфны относительно тождественного отображения , они фактически должны быть равны .

Явно более слабая версия

В некоторых старых текстах используется явно более слабая версия аксиомы бесконечности, а именно:

$\exists x\,(\exists y\,(y\in x)\,\land \,\forall y(y\in x\,\rightarrow \,\exists z(z\in x\,\land \,y\subsetneq z)))\,.$

Это говорит о том, что существует элемент x и для каждого элемента y из x существует другой элемент x , который является строгим надмножеством y . Это подразумевает, что x — бесконечное множество, не говоря особо о его структуре. Однако с помощью других аксиом ZF мы можем показать, что из этого следует существование ω. Во-первых, если мы возьмем набор степеней любого бесконечного множества x , то этот набор степеней будет содержать элементы, которые являются подмножествами x каждой конечной мощности (среди других подмножеств x ). Для доказательства существования этих конечных подмножеств может потребоваться либо аксиома разделения, либо аксиомы спаривания и объединения. Затем мы можем применить аксиому замены, чтобы заменить каждый элемент этого набора степеней x исходным той же мощности (или нулем, если такого порядковым номером порядкового номера нет). Результатом будет бесконечный набор ординалов. Затем мы можем применить к этому аксиому объединения, чтобы получить порядковый номер, больший или равный ω.

Независимость

Аксиому бесконечности нельзя доказать на основе других аксиом ZFC, если они непротиворечивы. (Чтобы понять почему, обратите внимание, что ZFC $\vdash$ Гёделя Con(ZFC − Infinity) и используйте вторую теорему о неполноте .)

Отрицание аксиомы бесконечности не может быть выведено из остальных аксиом ZFC, если они непротиворечивы. (Это равносильно утверждению, что ZFC непротиворечив, если другие аксиомы непротиворечивы.) Таким образом, ZFC не подразумевает ни аксиому бесконечности, ни ее отрицание и совместим ни с тем, ни с другим.

Действительно, используя вселенную фон Неймана , мы можем построить модель ZFC − Infinity + (¬Infinity). Это $V_{\omega }\!$, класс наследственно конечных множеств с унаследованным отношением принадлежности. Обратите внимание, что если аксиома пустого множества не рассматривается как часть этой системы (поскольку ее можно вывести из ZF + Infinity), то пустая область также удовлетворяет ZFC − Infinity + ¬Infinity, поскольку все ее аксиомы универсально универсальны. количественно и, таким образом, тривиально удовлетворяется, если множества не существует.

Мощность набора натуральных чисел, алеф нуль ( $\aleph _{0}$), обладает многими свойствами большого кардинала . Таким образом, аксиому бесконечности иногда считают первой большой кардинальной аксиомой , и наоборот, большие кардинальные аксиомы иногда называют более сильные аксиомы бесконечности.

См. также

• Аксиомы Пеано
• Финитизм

Ссылки

• Пол Халмос (1960) Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда. Перепечатано в 1974 году издательством Springer-Verlag. ISBN   0-387-90092-6 .
• Томас Джех (2003) Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное . Спрингер-Верлаг. ISBN   3-540-44085-2 .
• Кеннет Кунен (1980) Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN   0-444-86839-9 .
• Хрбачек, Карел; Джех, Томас (1999). Введение в теорию множеств (3-е изд.). Марсель Деккер. ISBN  0-8247-7915-0 .