Решетка (дискретная подгруппа)

Для отдельных подгрупп R R ^не , см. решетку (группа) . Для других видов использования см. Решету (неоднозначности) .

Часть дискретной группы Гейзенберга , дискретная подгруппа непрерывной группы Хейзенберга. (Окраска и края предназначены только для визуальной помощи.)

Во время теории и связанных с ними областей математики решетка в локально компактной группе является дискретной подгруппой с собственностью, которую увлекательное пространство имеет конечную инвариантную меру . В особом случае подгрупп R R ^не Это составляет обычное геометрическое понятие решетки в качестве периодического подмножества точек, и как алгебраическая структура решетки, так и геометрия пространства всех решетков относительно хорошо изучены.

Теория особенно богата решетчатыми в полузащитных группах или в более общем смысле в полусмысленных алгебраических группах над местными областями . В частности, существует множество жесткости в этой обстановке, и знаменитая теорема Григори Маргулис утверждает, что в большинстве случаев все решетки получаются в качестве арифметических групп .

Решетки также хорошо изучены в некоторых других классах групп, в частности, групп, связанных с алгебрами KAC-Moody и Automorphisms of Rigation Trees (последние известны как решеток деревьев ).

Решетки представляют интерес во многих областях математики: теория геометрической группы (как особенно хорошие примеры дискретных групп ), в дифференциальной геометрии (посредством построения локально однородных коллекторов), в теории чисел (через арифметические группы ), в эргодической теории (через Изучение гомогенных потоков в отношении коэффициентов) и в комбинаторике (посредством построения расширяющихся графиков Cayley и других комбинаторных объекты).

Общие сетки

Неформальное обсуждение

Лучше всего рассматриваются как отдельные приближения непрерывных групп (таких как группы LIE). Например, интуитивно ясно, что подгруппа $\mathbb {Z} ^{n}$ целочисленных векторов «выглядит как» реальное векторное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ В некотором смысле, в то время как обе группы по существу различаются: одна конечно сгенерирован и склонен , в то время как другая не сгенерирована конечно и имеет кардинальность континуума .

Строгое определение значения «приближения непрерывной группы дискретной подгруппой» в предыдущем абзаце, чтобы получить понятие, обобщающее пример $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ это вопрос того, для чего он предназначен для достижения. Возможно, самая очевидная идея состоит в том, чтобы сказать, что подгруппа «приближается к« более крупной группе, заключается в том, что большая группа может быть покрыта переводами «маленького» подмножества всеми элементами в подгруппах. В локально компактной топологической группе существуют два сразу доступные представления о «маленьком»: топологическом ( компактном или относительно компактном подмножестве ) или теоретическом измерении (подмножество конечных показателей HAAR). Обратите внимание, что, поскольку мера HAAR является мерой радона , поэтому она дает конечную массу компактным подмножеству, второе определение является более общим. Определение решетки, используемой в математике, зависит от второго значения (в частности, для включения таких примеров, как $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$) но первое также имеет свой интерес (такие решетки называются единообразными).

Другими понятиями являются грубая эквивалентность и более сильная квазиизометрия . Равномерные решетки квазиизометричны по отношению к своим окружающим группам, но неравномерные из них даже не являются грубыми эквивалентами этого.

Определение

Позволять $G$ быть местной компактной группой и $\Gamma$ дискретная подгруппа (это означает, что существует район $U$ элемента идентификации $e_{G}$ из $G$ так что $\Gamma \cap U=\{e_{G}\}$) Затем $\Gamma$ называется решеткой в $G$ Если, кроме того, существует мера бореля $\mu$ в отношении коэффициента $G/\Gamma$ что конечно (т.е. $\mu (G/\Gamma )<+\infty$) и $G$-инвариант (это означает, что для любого $g\in G$ и любое открытое подмножество $W\subset G/\Gamma$ равенство $\mu (gW)=\mu (W)$ удовлетворен).

Немного более сложная формулировка выглядит следующим образом: предположим, что дополнительно, что $G$ немодучный, тогда, поскольку $\Gamma$ Дискретный он также немодучный и по общим теоремам существует уникальный $G$-инвариантная мера бореля на $G/\Gamma$ до масштабирования. Затем $\Gamma$ это решетка тогда и только тогда, когда эта мера конечна.

В случае дискретных подгрупп эта инвариантная мера совпадает с мерой HAAR и, следовательно, дискретной подгруппы в локально компактной группе $G$ Быть решеткой эквивалентно ей имеет фундаментальную область (для действия на $G$ левым трансляцией) конечного объема для измерения HAAR.

Решетка $\Gamma \subset G$ называется равномерным (или сокомкомпактом), когда коэффициент пространства $G/\Gamma$ является компактным (и неравномерным в противном случае). Эквивалентно дискретная подгруппа $\Gamma \subset G$ является единой решеткой, если и только если существует компактное подмножество $C\subset G$ с $G=\bigcup {}_{\gamma \in \Gamma }\,C\gamma$Полем Обратите внимание, что если $\Gamma$ Является ли любая дискретная подгруппа в $G$ так что $G/\Gamma$ тогда компактно $\Gamma$ автоматически решетка в $G$.

Первые примеры

Фундаментальный и самый простой, пример - подгруппа $\mathbb {Z} ^{n}$ которая является решеткой в ​​группе лжи $\mathbb {R} ^{n}$Полем Немного более сложный пример приведен отдельной группой Гейзенберга внутри непрерывной группы Хейзенберга.

Если $G$ это отдельная группа, затем решетка в $G$ именно подгруппа $\Gamma$ конечного индекса (т.е. набор коэффициента $G/\Gamma$ конечно).

Все эти примеры равномерны. Неравномерный пример приведен модульной группой $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ внутри $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$, а также по более высоким аналогам $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )$.

Любая конечная подгруппа решетки также является решеткой в ​​той же группе. В более общем плане подгруппа, обоснованная с решеткой, является решеткой.

Какие группы имеют решетки?

Не каждая локально компактная группа содержит решетку, и для этого нет общего теоретического состояния. С другой стороны, существует множество более конкретных настроек, где существуют такие критерии. Например, существование или несуществующее решетки в группах -это хорошо понятная тема.

Как мы уже упоминали, необходимое условие для группы, которая содержат решетку, состоит в том, что группа должна быть однодульной . Это позволяет легко построить групп без решетки, например, группу переносимых верхних треугольных матриц или аффинных групп . Также не очень сложно найти немодулярные группы без решетки, например, определенные нильпотентные группы LIE, как объяснено ниже.

Более сильное состояние, чем одномодулярность - это простота . Этого достаточно, чтобы подразумевать существование решетки в группе лжи, но в более общих настройках локально компактных групп существуют простые группы без решетки, например, «неретиновые группы».

Решетки в решаемых группах лжи

Нильпотентные группы лжи

Для нильпотентных групп теория многое упрощает из общего случая и остается похожей на случай абельских групп. Все решетки в нильпотентной группе лжи равномерны, и если $N$ Является ли подключенная просто подключенная группа Nilpotent Lie (эквивалентно, что она не содержит нетривиальную компактную подгруппу), то дискретная подгруппа является решеткой, если и только если она не содержится в правильной подключенной подгруппе (Это обобщает тот факт, что дискретная подгруппа в векторном пространстве является решеткой, если и только тогда, когда она охватывает векторное пространство).

Нильпотентная группа лжи $N$ содержит решетку тогда и только тогда, когда алгебра лей ${\mathfrak {n}}$ из $N$ может быть определен над рациональными. То есть, если и только тогда, когда констант структура ${\mathfrak {n}}$ рациональные числа. Точнее: если $N$ Является ли нильпотентная просто подключенная группа Lie Group, чья алгебра Lie Algebra ${\mathfrak {n}}$ имеет только константы рациональной структуры и $L$ это решетка в ${\mathfrak {n}}$ (В более элементарном смысле решетки (группа) ) тогда $\exp(L)$ генерирует решетку в $N$; И наоборот, если $\Gamma$ это решетка в $N$ затем $\exp ^{-1}(\Gamma )$ генерирует решетку в ${\mathfrak {n}}$.

Решетка в нильпотентной группе лжи $N$ всегда конечно генерируется (и, следовательно, конечно представлен, поскольку он сам по себе нильпотентен); на самом деле это генерируется больше всего $\dim(N)$ элементы.

Наконец, нильпотентная группа является изоморфной для решетки в нильпотентной группе LIE, если и только если она содержит подгруппу конечного индекса, которая не содержит кручения и получена конечно.

Общий случай

Критерий для нильпотентных групп лжи, приведенных выше, не распространяется на более общие решаемые группы Lie. Остается верным, что любая решетка в решаемой группе лжи является равномерной И эти решетки в решаемых группах конечно представлены.

Не все конечно сгенерированные решаемые группы - это решетки в группе лжи. Алгебраический критерий состоит в том, что группа является полициклической .

Решетки в полузащитных группах

Арифметические группы и существование решетки

Основная статья: арифметическая группа

Если $G$ Полученная линейная алгебраическая группа в $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ который определяется на поле $\mathbb {Q}$ рациональных чисел (то есть определяющие полиномиальные уравнения $G$ иметь свои коэффициенты в $\mathbb {Q}$) тогда у него есть подгруппа $\Gamma =G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$Полем Фундаментальная теорема Арманда Борела и Хариш-Чандра утверждает, что $\Gamma$ всегда решетка в $G$; Самый простой пример этого - подгруппа $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$.

Обобление строительства выше, получает представление о арифметической решетке в полузащитной группе. Поскольку все полученные группы лжи могут быть определены $\mathbb {Q}$ Следствием арифметической конструкции является то, что любая полузащитная группа Lie содержит решетку.

Неразрешимость

Когда группа лжи $G$ расщепляется как продукт $G=G_{1}\times G_{2}$ В значительной степени есть очевидное строительство решетки $G$ из меньших групп: если $\Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}$ тогда решетки $\Gamma _{1}\times \Gamma _{2}\subset G$ это также решетка. Примерно, тогда считается, что решетка не подходит, если она не исходит от этой конструкции.

Более формально, если $G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}$ это разложение $G$ в простые факторы, решетка $\Gamma \subset G$ Говорят, что является неповрежденным, если какое -либо из следующих эквивалентных условий удерживается:

• Проекция $\Gamma$ к любому фактору $G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}$ плотный;
• Пересечение $\Gamma$ с любым фактором $G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}$ не решетка.

Пример непонижающейся решетки приведен подгруппой $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])$ который мы рассматриваем как подгруппа $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ через карту $g\mapsto (g,\sigma (g))$ где $\sigma$ Карта Галуа, посылающая матричку с коэффициентами $a_{i}+b_{i}{\sqrt {2}}$ к $a_{i}-b_{i}{\sqrt {2}}$.

Ранг 1 против более высокого ранга

Настоящее звание группы лжи $G$ максимальное измерение $\mathbb {R}$-Поражат ​ ​ $G$ (Абельская подгруппа, содержащая только полузащитные элементы, по крайней мере, с одним реальным собственным значением, отличным от $\pm 1$) Получистые группы Lie Lie of Real Rank 1 без компактных факторов (вплоть до изогения ) в следующем списке (см. Список групп простых лжи ):

• Ортогональные группы $\mathrm {SO} (n,1)$ реальных квадратичных форм подписи $(n,1)$ для $n\geq 2$;
• Унитарные группы $\mathrm {SU} (n,1)$ от гермитовых форм подписи $(n,1)$ для $n\geq 2$;
• Группы $\mathrm {Sp} (n,1)$ (Группы матриц с коэффициентами кватерниона , которые сохраняют «кватернионную квадратичную форму» подписи $(n,1)$) для $n\geq 2$;
• Исключительная группа лжи $F_{4}^{-20}$ (Реальная форма ранга 1, соответствующая исключительной алгебре Lie $F_{4}$).

Реальное звание группы лжи оказывает значительное влияние на поведение решений, которые он содержит. В частности, поведение решетки в первых двух семействах групп (и, в меньшей степени, по сравнению с решетками во вторых двух) сильно отличается от поведения неприводимых решетков в группах более высокого ранга. Например:

• Существуют неарифметические решетки во всех группах $\mathrm {SO} (n,1)$, в $\mathrm {SU} (2,1),\mathrm {SU} (3,1)$, и, возможно, в $\mathrm {SU} (n,1),n\geq 4$ (Последний - это открытый вопрос ), но все непроницаемые решетки в других арифметические;
• Раттизиаты в ранге 1 LOE имеют бесконечные, бесконечные индексы нормальные подгруппы , в то время как все нормальные подгруппы неприводимых решетков в более высоком ранке имеют либо конечный индекс, либо содержатся в их центре;
• Предполагается, что арифметические решетки в группах с более высокой оценкой имеют собственность подгруппы конгруэнтности Но в $\mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)$ которые имеют неконтролируемые подгруппы конечно-индекс.

Kazhdan's property (T)

Собственность, известная как (t), была введена Кавданом для изучения решетки алгебраической структуры в определенных группах LIE, когда классические, более геометрические методы потерпели неудачу или, по крайней мере, не были такими эффективными. Фундаментальный результат при изучении решетков является следующим:

Решетка в локально компактной группе имеет свойство (t), если и только тогда, когда сама группа имеет свойство (t).

Используя гармонический анализ, можно классифицировать полученные группы LIE в зависимости от того, имеют ли они собственность или нет. Как следствие, мы получаем следующий результат, дополнительно иллюстрируя дихотомию предыдущего раздела:

• Решетки в $\mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)$ не иметь имущества Качдана (T), в то время как невозмутимые решетки во всех других простых группах лжи;

Свойства ограничения

Решетки в полусмысленных группах ложных групп всегда конечно представлены и фактически удовлетворяют более сильные условия конечности . Для унифицированных решетков это прямое следствие кокамплектности. В неравномерном случае это может быть доказано с использованием теории восстановления. Легче доказать конечную презентабельность для групп с свойством (T) ; Тем не менее, существует геометрическое доказательство, которое работает для всех полузащитных групп лжи.

Риеманские коллекторы, связанные с решетками в группах.

Левые инвариантные метрики

Если $G$ Тогда группа лжи из внутреннего продукта $g_{e}$ на озагласном пространстве ${\mathfrak {g}}$ (Алгебра лей $G$) можно построить риманновую метрику на $G$ следующим образом: если $v,w$ принадлежать к касательному пространству в точке $\gamma \in G$ помещать $g_{\gamma }(v,w)=g_{e}(\gamma ^{*}v,\gamma ^{*}w)$ где $\gamma ^{*}$ указывает на касательную карту (в $\gamma$) диффеоморфизма $x\mapsto \gamma ^{-1}x$ из $G$.

Карты $x\mapsto \gamma x$ для $\gamma \in G$ по определению изометрии для этой метрики $g$Полем В частности, если $\Gamma$ Является ли любая дискретная подгруппа в $G$ (так, чтобы он действовал свободно и должным образом прерывисты $G$) коэффициент $\Gamma \backslash G$ Riemannian Medifold локально изометрический $G$ с метрикой $g$.

Риеманская форма объема, связанная с $g$ определяет меру HAAR на $G$ и мы видим, что коэффициент коллектора имеет конечный риманский том, если и только тогда, когда $\Gamma$ это решетка.

Интересные примеры в этом классе римановых пространств включают компактные плоские коллекторы и нильманифолды .

Локально симметричные пространства

Основная статья: симметричное пространство

Естественная билинейная форма на ${\mathfrak {g}}$ дается формой убийства . Если $G$ не является компактным, он не является определенным и, следовательно, не внутренний продукт: однако, когда $G$ Получите и $K$ максимальная компактная подгруппа, которую можно использовать для определения $G$-инвариантная метрика на однородном пространстве $X=G/K$: Такие римановые коллекторы называются симметричными пространствами некомпактного типа без евклидовых факторов.

Подгруппа $\Gamma \subset G$ действует свободно, правильно прерывится на $X$ Если и только тогда, когда он дискретный и без крушения. Коэффициенты $\Gamma \backslash X$ называются локально симметричными пространствами. Таким образом, существует биктивное соответствие между полными локально симметричными пространствами локально изоморфным к $X$ и конечного риманового объема и решетки без скручиваний в $G$Полем Эта переписка может быть распространена на все решетки, добавив орбии на геометрической стороне.

Решетки в группах P-Adic Lie

Класс групп с аналогичными свойствами (по отношению к решеткам) для реальных полузащитных групп Lie-это полузащитные алгебраические группы над местными областями характеристики 0, например, P-Adic полей $\mathbb {Q} _{p}$Полем Существует арифметическая конструкция, аналогичная реальному случаю, и дихотомия между более высоким рангом и первым в этом случае также содержится в более заметной форме. Позволять $G$ быть алгебраической группой $\mathbb {Q} _{p}$ сплит- $\mathbb {Q} _{p}$-Ранк р . Затем:

• Если r не менее 2 все неприводимых решетков в $G$ арифметические;
• Если r = 1, то существует бесконечно много соучанных классов неарифметических решетков.

В последнем случае все решетки на самом деле являются бесплатными группами (до конечного индекса).

S-арифметические группы

В более широком смысле можно смотреть на решетки в группах формы

$G=\prod _{p\in S}G_{p}$

где $G_{p}$ полученная алгебраическая группа $\mathbb {Q} _{p}$Полем Обычно $p=\infty$ разрешено, в этом случае $G_{\infty }$ настоящая группа лжи. Пример такой решетки приведен

$\mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]\right)\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p})$.

Эта арифметическая конструкция может быть обобщена, чтобы получить понятие S-арифметической группы . Теорема арифметичности Маргулиса также применима к этой обстановке. В частности, если по крайней мере два фактора $G_{p}$ некомпактны, тогда любая непонижаемая решетка в $G$ S-арифметика.

Решетки в аделических группах

Если $\mathrm {G}$ Полученная алгебраическая группа в области числа $F$ и $\mathbb {A}$ его кольцо Аделя, тогда группа $G=\mathrm {G} (\mathbb {A} )$ из Adélic Points четко определена (модули некоторые технические данные), и это локально компактная группа, которая естественным образом содержит группу $\mathrm {G} (F)$ из $F$-Нарациональная точка как дискретная подгруппа. Теорема Borel-Harish-Chandra распространяется на эту обстановку и $\mathrm {G} (F)\subset \mathrm {G} (\mathbb {A} )$ это решетка.

Сильная теорема приближения связывает коэффициент $\mathrm {G} (F)\backslash \mathrm {G} (\mathbb {A} )$ к более классическим S-арифметическим коэффициентам. Этот факт делает группы Adèle очень эффективными в качестве инструментов в теории авторфейных форм . В частности, современные формы формулы трассировки обычно указываются и доказаны для Adélic Groups, а не для групп LIE.

Жесткость

Результаты жесткости

Другая группа явлений, касающихся решетки в полусмысленных алгебраических группах, коллективно известна как жесткость . Вот три классических примера результатов в этой категории.

Результаты локальной жесткости указывают, что в большинстве ситуаций каждая подгруппа, которая достаточно «близко» к решетке (в интуитивном смысле, формализованной топологией Chabauty или топологией на разнообразии персонажа ) фактически сопряжена с исходной решеткой по элементу элемента Эмбиентная группа. Следствием локальной жесткости и теоремы Качдан-Маргулиса является теорема Ванга: в данной группе (с фиксированной мерой HAAR), для любого V> 0 есть только конечно (вплоть до конъюгации) решетки с коволом, V. ограниченным

Теорема жесткости мощности гласит, что для решетков в простых группах, а не изоморфных локально $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ (Группа из 2 на 2 матрица с детерминантой 1) Любая изоморфизм решетков по существу вызван изоморфизмом между самими группами. В частности, решетка в группе лжи «вспоминает» группу окружающей среды через свою групповую структуру. Первое утверждение иногда называется сильной жесткостью и связано с Джорджем Мостау и Гопалом Прасадом (Mostow доказал это для кокомпактных решетков, а Прасад распространил его до общего случая).

Супертигранность обеспечивает (для групп LIE и алгебраических групп над местными областями более высокого ранга) укрепление как локальной, так и сильной жесткости, имея дело с произвольными гомоморфизмами из решетки в алгебраической группе в другую алгебраическую группу H. G Это было доказано Григори Маргулисом и является неотъемлемым компонентом в доказательстве его теоремы арифметики.

Невосприимчивость в низких измерениях

Единственные полузащитные группы лежа $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$Полем В этом случае существует непрерывно много решетков, и они вызывают пространства Teichmüller .

Неравномерные решетки в группе $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )$ не являются локально жесткими. На самом деле они являются точками накопления (в топологии Хабаути) решетки меньшего количества коврика, о чем свидетельствуют гиперболическая хирургия ден .

Поскольку решетки в группах P-ADIC являются практически бесплатными группами, они очень не являются жесткими.

Деревные решетки

Определение

Позволять $T$ быть деревом с кокамкомпактной группой автоторфизмов; например, $T$ Может быть обычным или двумерным деревом. Группа автоторфизмов $\mathrm {Aut} (T)$ из $T$ является локально компактной группой (когда наделена топологией компактного открытия , в которой основание окрестностей идентичности определяется стабилизаторами конечных подтереев, которые являются компактными). Любая группа, которая является решением в некоторых $\mathrm {Aut} (T)$ затем называется решеткой дерева .

Дискретность в этом случае легко увидеть из группового действия на дереве: подгруппа $\mathrm {Aut} (T)$ является дискретным тогда и только тогда, когда все стабилизаторы вершины являются конечными группами.

Это легко видно из основной теории групповых действий на деревьях, что равномерные решалки деревьев являются практически свободными группами. Таким образом, более интересные древесные решетки-это неравномерные, эквивалентно те, для которых коэффициент граф $\Gamma \backslash T$ бесконечно. Существование таких решетков нелегко увидеть.

Расшивки деревьев из алгебраических групп

Если $F$ является локальной поле позитивной характеристики (то есть завершение функционального поля кривой по конечному полю, например, поля формальной серии Laurent Power $\mathbb {F} _{p}((t))$) и $G$ алгебраическая группа, определенная $F$ из $F$-Поллект один, затем любая решетка в $G$ является решеткой дерева через его действие на здании Bruhat -Tits, которое в данном случае является деревом. В отличие от характеристики 0, такие решетки могут быть неравномерными, и в этом случае они никогда не генерируются конечно.

Решюзы деревьев из теории бас -серы

Основная статья: теория бас -серы

Если $\Gamma$ является фундаментальной группой бесконечного графика групп , все группы вершин являются конечными, и при дополнительных необходимых предположениях об индексе групп краев и размере групп вершин, затем действие $\Gamma$ На дереве бас-сервиса, связанном с графом групп, понимает его как решетку дерева.

Критерий существования

В более широком смысле можно задать следующий вопрос: если $H$ это закрытая подгруппа $\mathrm {Aut} (T)$, при каких условиях $H$ содержать решетку? Существование единой решетки эквивалентно $H$ быть немодулярным и коэффициентом $H\backslash T$ быть конечным. Теорема общего существования более тонкая: это необходимо и достаточно, чтобы $H$ быть немодулярным, и что коэффициент $H\backslash T$ быть «конечным объемом» в подходящем смысле (который можно выразить комбинаторно с точки зрения действия $H$), более общее, чем более сильное условие, что коэффициент был конечным (как доказано самим существованием неравномерных решетков дерева).

Ссылки

• Басс, Хайман; Любоцкий, Александр (2001). Рейтиты деревьев с приложениями Х. Басса, Л. Карбон, А. Любоцки, Г. Розенберга и Дж. Ситков . Прогресс в математике. Birkhäuser Verlag. ISBN  0-8176-4120-3 .
• Margulis, Grigory (1991). Дискретные подгруппы полученных групп лжи . Результаты математики и их пограничные районы. Springer Publishing House . С. ISBN  3-540-12179-х Полем MR   1090825 .
• Платонов, Владимир ; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел. (Перевод с российского оригинала 1991 года Рэйчел Роуэн.) . Чистая и прикладная математика. Тол. 139. Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc. ISBN  0-12-558180-7 Полем MR   1278263 .
• Рагхунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп лжи . Результаты математики и их пограничные районы. Springer Publishing House . MR   0507234 .
• Витте-Моррис, Дейв (2015). Введение в арифметические группы . Дедуктивная пресса. п. 492. ISBN  978-0-9865716-0-2 .
• Gelander, Tsachik (2014). «Лекции о решетках и локально симметричных пространствах». В Бествине, Младен; SAGEEV, Michah; Фогтманн, Карен (ред.). Геометрическая теория группы . С. 249–282. Arxiv : 1402.0962 . BIBCODE : 2014ARXIV1402.0962G .