Тензор спина

В математике , математической физике и теоретической физике тензор спина — это величина, используемая для описания вращательного движения частиц в пространстве-времени . Тензор спина имеет применение в общая теория относительности и специальная теория относительности , а также квантовая механика , релятивистская квантовая механика и квантовая теория поля .

Специальная евклидова группа SE( d ) прямых изометрий порождается сдвигами и вращениями . Его алгебра Ли записывается ${\mathfrak {se}}(d)$ .

В этой статье используются декартовы координаты и тензорные индексные обозначения .

Предыстория Нётеровских течений

Нётеровский ток перемещений в пространстве — это импульс, а ток приращений во времени — энергия. времени, то есть смещение между двумя событиями, порождаются четырехимпульсом P. Эти два утверждения объединяются в одно в пространстве-времени: перемещения в пространстве - Сохранение четырехимпульса задается уравнением непрерывности :

$\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0\,,$

где $T^{\mu \nu }\,$ – тензор энергии-напряжения , а ∂ – частные производные , составляющие четырехградиент ( в недекартовых координатах это необходимо заменить ковариантной производной ). Интеграция в пространстве:

$\int d^{3}xT^{\mu 0}\left({\vec {x}},t\right)=P^{\mu }$

дает вектор четырехимпульса в момент времени t .

Нётеровский ток вращения вокруг точки у задается тензором 3-го порядка, обозначаемым $M_{y}^{\alpha \beta \mu }$ . Из-за алгебры Ли соотношений

$M_{y}^{\alpha \beta \mu }(x)=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(x)+y^{\alpha }T^{\beta \mu }(x)-y^{\beta }T^{\alpha \mu }(x)\,,$

где индекс 0 указывает на начало координат (в отличие от импульса, угловой момент зависит от начала координат), интеграл:

$\int d^{3}xM_{0}^{\mu \nu }({\vec {x}},t)$

дает тензор углового момента $M^{\mu \nu }\,$ во время т .

Определение

Тензор спина определяется в точке x как значение нётеровского тока в точке x вращения вокруг x ,

$S^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} M_{x}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )+x^{\alpha }T^{\beta \mu }(\mathbf {x} )-x^{\beta }T^{\alpha \mu }(\mathbf {x} )$

Уравнение неразрывности

$\partial _{\mu }M_{0}^{\alpha \beta \mu }=0\,,$

подразумевает:

$\partial _{\mu }S^{\alpha \beta \mu }=T^{\beta \alpha }-T^{\alpha \beta }\neq 0$

и, следовательно, тензор энергии-импульса не является симметричным тензором .

Величина S — это плотность спинового момента (спин в данном случае не только для точечной частицы, но и для протяженного тела), а M — плотность орбитального момента. Полный угловой момент всегда представляет собой сумму спинового и орбитального вкладов.

Отношение:

$T_{ij}-T_{ji}$

дает плотность крутящего момента , показывающую скорость преобразования между орбитальным угловым моментом и вращением.

Примеры

Примерами материалов с ненулевой спиновой плотностью являются молекулярные жидкости , электромагнитное поле и турбулентные жидкости . В молекулярных жидкостях отдельные молекулы могут вращаться. Электромагнитное поле может иметь циркулярно поляризованный свет . Для турбулентных жидкостей мы можем произвольно провести различие между явлениями с длинной волной и явлениями с короткой длиной волны. Длинноволновая завихренность может быть преобразована посредством турбулентности во все более и более мельчайшие вихри, переносящие угловой момент на все меньшие и меньшие длины волн, одновременно уменьшая завихренность . Это можно аппроксимировать вихревой вязкостью .

См. также

Ссылки

А.К. Райчаудхури; С. Банерджи; А. Банерджи (2003). Общая теория относительности, астрофизика и космология . Библиотека астрономии и астрофизики. Спрингер. стр. 66–67. ISBN 978-038-740-628-2 .
Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 156–159 , §5.11. ISBN 978-0-7167-0344-0 .
Л.М. Мясник; А. Ласенби; М. Хобсон (2012). «Локализация углового момента линейной гравитации». Физ. Преподобный Д. 86 (8): 084012. arXiv : 1210.0831 . Бибкод : 2012PhRvD..86h4012B . дои : 10.1103/PhysRevD.86.084012 . S2CID 119220791 .
Т. Бэнкс (2008). «Современная квантовая теория поля: краткое введение» . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-113-947-389-7 .

С. Копейкин, М.Ефроимский, Г. Каплан (2011). «Релятивистская небесная механика Солнечной системы» . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-352-763-457-6 . {{cite news}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
В. Ф. Махер; Дж. Д. Зунд (1968). «Спинорный подход к тензору спина Ланцоша». Иль Нуово Чименто А. 10. 57 (4). Спрингер: 638–648. Бибкод : 1968NCimA..57..638M . дои : 10.1007/BF02751371 . S2CID 124665829 .

Внешние ссылки

фон Ян Штайнхофф. «Каноническая формулировка спина в общей теории относительности (Диссертация)» (PDF) . Проверено 27 октября 2013 г.