Полугруппа

Алгебраические структуры между магмами и группами : полугруппа - это магма с ассоциативностью . Моноид - это полугруппа с элементом идентификации .

В математике полугруппа представляет собой алгебраическую структуру, состоящую из набора вместе с ассоциативной внутренней бинарной операцией .

Бинарная операция полугруппы чаще всего обозначается мультипликативно (только нотация, не обязательно элементарное арифметическое умножение ): x ⋅ y или просто XY , обозначает результат применения операции полугруппы к упорядоченной паре ( x , y ) . Ассоциативность формально выражается как то, что ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) для всех x , y и z в полугруппе.

Полугруппы могут считаться особым случаем магм , где операция является ассоциативной или как обобщение групп , не требуя существования элемента идентичности или конверс. Как и в случае групп или магм, операция полугруппы не должна быть коммутативной , поэтому x ⋅ y не обязательно равна Y ⋅ x ; Хорошо известным примером операции, которая является ассоциативной, но некоммутативной, является умножение матрицы . Если операция в полугруппе является коммутативной, то полугруппа называется коммутативной полугруппой или (реже, чем в аналогичном случае групп ), ее можно назвать полугруппой Абелеи .

Моноид , что подчиняется всем , представляет собой алгебраическую структуру, промежуточную между полугруппами и группами, и является полугруппой, имеющей элемент идентичности кроме одной из аксиомов группы: существование инверс не требуется от моноида. Естественным примером являются строки с конкатенацией в качестве бинарной операции, а пустая строка в качестве элемента идентификации. Ограничение непустыми строками приводит пример полугруппы, которая не является моноидом. Положительные целые числа с добавлением образуют коммутативную полугруппу, которая не является моноидом, тогда как неотрицательные целые числа образуют моноид. Полугруппа без элемента идентификации может быть легко превращена в моноид, просто добавив элемент идентификации. Следовательно, моноиды изучаются в теории полугрупп, а не в теории группы. Полугруппы не следует путать с квазигруппами , которые являются обобщением групп в другом направлении; Операция в Quasigroup не должна быть ассоциативной, но квазигранки сохраняют от групп понятие разделения . Разделение в полугруппах (или в моноидах) в целом невозможно.

Формальное исследование полугрупп началось в начале 20 -го века. Ранние результаты включают теорему Cayley для полугрупп, реализующих любую полугруппу как полугруппа преобразования , в которой произвольные функции заменяют роль биологии в теории групп. Глубокий результат в классификации конечных полугрупп - теория Krohn -Rhodes , аналогичная разложению Иордан -Хёлдера для конечных групп. Некоторые другие методы изучения полугрупп, таких как отношения Грина , ничего не похожи в теории групп.

Теория конечных полугруппов имеет особое значение в теоретической информатике с 1950 -х годов из -за естественной связи между конечными полугруппами и конечными автоматами через синтаксический моноид . В теории вероятности полугруппы связаны с процессами Маркова . В других областях прикладной математики полугруппы являются фундаментальными моделями для линейных временных систем . В частичных дифференциальных уравнениях полугруппа связана с любым уравнением, пространственная эволюция, не зависит от времени.

Существует множество специальных классов полугрупп , полугрупп с дополнительными свойствами, которые появляются в конкретных приложениях. Некоторые из этих классов еще ближе к группам, демонстрируя некоторые дополнительные, но не все свойства группы. Из них мы упоминаем: регулярные полугруппы , православные полугруппы , полугруппы с инволюцией , обратные полугруппы и отменные полугруппы . Есть также интересные классы полугрупп, которые не содержат никаких групп, кроме тривиальной группы ; Примерами последнего вида являются полосы и их коммутативный подкласс - полулаттики , которые также являются упорядоченными алгебраическими структурами .

Определение

Полугруппа - это вместе набор с бинарной операцией ⋅ (то есть функция ⋅: S × S → S ), которая удовлетворяет ассоциативному свойству :

Для всех a , b , c ∈ S уравнение ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) удерживает.

Более кратко, полугруппа - это ассоциативная магма .

Примеры полугрупп

• Пустая полугруппа : пустой набор образует полугруппу с пустой функцией в качестве двоичной операции.
• Полугруппа с одним элементом : существует только один (в частности, только один до изоморфизма ), Singleton { a } с операцией A · A = a .
• Полугруппа с двумя элементами : есть пять, которые по сути отличаются.
• Моноид «шлепанца»: полугруппа с тремя элементами, представляющими три операции на переключателе-устанавливают, сбрасывают и ничего не делают.
• Набор положительных целых чисел с добавлением. (С 0 включенным, это становится моноидом .)
• Набор целых чисел с минимальным или максимальным. (С положительной/отрицательной бесконечной, это становится моноидом.)
• Квадратные неотрицательные матрицы заданного размера с умножением матрицы.
• Любой идеал кольца . с умножением кольца
• Набор всех конечных строк над фиксированным алфавитом σ с объединением строк в качестве операции полугруппы-так называемая « свободная полугруппа над σ». С пустой строкой, эта полугруппа становится свободным моноидом по σ.
• Распределение вероятностей F вместе со всеми полномочиями F , с сверткой в ​​качестве операции. Это называется полугруппой свертки.
• Трансформация полугрупп и моноиды .
• Набор непрерывных функций от топологического пространства до себя с составом функций образует моноид с идентификацией, действующей как идентичность. В целом, эндоморфизмы любого объекта категории образуют моноид под композицией.
• Продукт лиц расположения гиперпланов .

Основные понятия

Личность и ноль

Левая идентичность полугруппы ( или, в более общем плане, магма ) является элементом E , который для всех x в s , e ⋅ x = x . Точно так же правая идентичность является элементом F, такой, что для всех x в s , x ⋅ f = x . Левая и правая идентичность называется односторонней идентичностью . Полугруппа может иметь одну или несколько левых идентичностей, но без правильной идентичности, и наоборот.

Двусторонняя идентичность (или просто идентичность )-это элемент, который является как левой, так и правой идентичностью. Полугруппы с двусторонней идентичностью называются моноидами . Полугруппа может иметь не более одной двухсторонней идентичности. Если полугруппа имеет двухстороннюю идентичность, то двусторонняя идентичность является единственной односторонней идентичностью в полугруппе. Если полугруппа имеет как левую идентичность, так и правую идентичность, то она имеет двустороннюю идентичность (поэтому является уникальной односторонней идентичностью).

Полугруппа S без идентичности может быть встроена в моноид, образованный примыкающим элементом e ∉ s к S и определяющим e ⋅ s = s ⋅ e = s для всех s ∈ S ∪ { e } . Обозначения с ¹ обозначает моноид, полученный из S путем примыкания к личности при необходимости ( s ¹ = S для моноида).

Точно так же у каждой магмы есть не более одного поглощающего элемента , который в полугруппе теории называется ноль . Аналогично вышеуказанной конструкции, для каждой полугруппы S определить можно ⁰ , полугруппа с 0, которая встраивает с .

Подсемографии и идеалы

Операция полугруппы индуцирует операцию по сбору подмножеств: подмножества A и B полугруппы S , их продукт A · B , обычно написанный как AB , является набором { ab | A в A и B в B }. (Это понятие определяется идентично, как и для групп .) С точки зрения этой операции, подмножество A вызывается

• субемогвод , если АА подмножества , является
• правильный идеал, как и подмножество и если
• Левый идеал если SA - это подмножество A. ,

Если A -это как левый, так и правый идеал, то это называется идеалом ( или двусторонним идеалом ).

Если S является полугруппой, то пересечение любой коллекции субемигр , также является подземной S. группой Таким образом, субемогводы S образуют полную решетку .

Примером полугруппы без минимального идеала является набор положительных целых чисел в дополнение. Минимальный идеал коммутативной полугруппы, когда она существует, является группой.

Отношения Грина , набор из пяти отношений эквивалентности , которые характеризуют элементы с точки зрения основных идеалов, которые они генерируют, являются важными инструментами для анализа идеалов полугруппы и связанных с этим понятий структуры.

Подмножество с свойством, которое каждый элемент ездит с любым другим элементом полугруппы, называется центром полугруппы. Центр полугруппы на самом деле является подземной.

Гомоморфизмы и конструкции

Полугруппа . гомоморфизм - это функция, которая сохраняет структуру полугруппы Функция F : S → T между двумя полугруппами - это гомоморфизм, если уравнение

f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .

Удерживает для всех элементов A , B в s , то есть результат одинаково при выполнении операции полугруппы после или до применения карты f .

Полугруппа гомоморфизм между моноидами сохраняет идентичность, если это моноидный гомоморфизм . Но есть полугруппа гомоморфизмы, которые не являются моноидными гомоморфизмами, например, каноническое внедрение полугруппы без идентичности в S ¹ Полем Условия, характеризующие моноидные гомоморфизмы, обсуждаются далее. Пусть F : S ₀ → S ₁ - полугруппа гомоморфизм. Изображение F также полугруппа. Если S ₀ - моноид с элементом идентификатора e ₀ , то F ( e ₀ ) является элементом идентификации на изображении f . Если S ₁ также является моноидом с элементом идентичности E ₁ и E _1, принадлежит к изображению F , то F ( E ₀ ) = E ₁ , то есть F - моноидный гомоморфизм. В частности, если F является сервер , то это моноидный гомоморфизм.

Говорят, что две полугруппы S и T являются изоморфными если существует биуктивная полугруппа гомоморфизм F : S → T. , Изоморфные полугруппы имеют одинаковую структуру.

Полугруппа конгруэнтность ~ - это отношение эквивалентности , которое совместимо с операцией полугруппы. То есть подмножество ~ S × S , которая является отношением эквивалентности, и x ~ y и u ~ v подразумевает xu ~ yv для каждого x , y , u , v в s . Как и в любом отношениях эквивалентности, конгруэнтность полугруппы индуцирует классы конгруэнтности

[ a ] _~ = { x ∈ S | x ~ a }

и операция полугруппы индуцирует бинарную операцию ∘ на классах конгруэнтности:

[ u ] _~ ∘ [ v ] _~ = [ uv ] _~

Поскольку ~ является конгруэнтностью, набор всех классов конгруэнтности составляет полугруппу с ∘, называемым полугруппой или полугруппой фактора и обозначал S / ~ . Картирование x ↦ [ x ] _~ - это полугруппа гомоморфизм, называемый коэффициентом карты , канонические супержиры или проекцию ; Если S - моноид, то коэффициентная полугруппа - это моноид с идентичностью [1] _~ . И наоборот, ядро ​​любого полугруппно -гомоморфизма - это конгруэнтность полугруппы. Эти результаты представляют собой не что иное, как спецификация первой теоремы изоморфизма в универсальной алгебре . Классы конгруэнтности и факторные моноиды являются объектами изучения в системах переписывания строк .

Ядерная конгруэнтность на S что является ядром эндоморфизма S. является тем ,

Полугруппа S удовлетворяет максимальному состоянию в соответствии с конструкциями, если какая -либо семья конгруэнций на S , заказанная включением, имеет максимальный элемент. По лемме Зорна , это эквивалентно сказать, что условие восходящей цепи : не существует бесконечной строго поднимающейся цепочки конгруэнций на s .

Каждый идеал I полугруппы индуцирует полугруппа фактора, полугруппа фактора Риса , посредством конгруэнтности ρ, определяемого x ρ y , если либо x = y , либо как x, так и y, находятся в i .

Коэффициенты и подразделения

Следующие понятия Представьте идею о том, что полугруппа содержится в другой.

Полугруппа t является коэффициентом полугруппы, если сервисная полугруппа морфизм от S до T. существует Например, ( z /2 z , +) является коэффициентом ( z /4 z , +) , используя морфизм, состоящий из приема оставшегося модуля 2 целого числа.

Полугруппа t делит полугруппу S , обозначаемую t ≼ s, t является коэффициентом подземного . если В частности, субемигрипции S делят T это не обязательно тот случай, когда есть коэффициент S. , хотя

Оба эти отношения являются переходными.

Структура полугрупп

Для любого подмножества A из S существует наименьшая подземная серия T которая , содержит A , и мы говорим, что генерирует t . Один элемент x от S генерирует субемограмм { x ^не | n ∈ Z. ⁺ } . Если это конечно, то x , как говорят, имеет конечный порядок , в противном случае это бесконечный порядок . Считается, что полугруппа является периодической , если все его элементы имеют конечный порядок. Полугруппа, сгенерированная одним элементом, считается моногенной (или циклической ). Если моногенная полугруппа бесконечна, то она является изоморфной для полугруппы положительных целых чисел с помощью работы с добавлением. Если он конечен и непусты, то он должен содержать хотя бы один идентификатор . Отсюда следует, что каждая неэмпальная периодическая полугруппа имеет по крайней мере один идентификатор.

Subsemigroup, которая также является группой, называется подгруппой . Существует тесная связь между подгруппами полугруппы и ее идентификаторами. Каждая подгруппа содержит ровно один идентификатор, а именно элемент идентификации подгруппы. Для каждого идентификатора E полугруппы существует уникальная максимальная подгруппа, содержащая e . Таким образом возникает каждая максимальная подгруппа, поэтому между идентификаторами и максимальными подгруппами существует соответствие один на один. Здесь термин максимальная подгруппа отличается от его стандартного использования в теории групп.

Часто можно сказать больше, когда заказ конечен. Например, каждая непустовая конечная полугруппа периодическая и имеет минимальный идеал и, по крайней мере, один идентификатор. Количество конечных полугрупп данного размера (больше 1) (очевидно) больше, чем количество групп одинакового размера. Например, из шестнадцати возможных «таблиц умножения» для набора из двух элементов {a, b }, восемь полугрупп форм тогда как только четыре из них являются моноидами и только две группы формируют. Подробнее о структуре конечных полугрупп см. Теорию Krohn -Rhodes .

Специальные классы полугрупп

Основная статья: Специальные классы полугрупп

• Моноид - это полугруппа с элементом идентификации .
• Группа обратный - это моноид, в котором каждый элемент имеет элемент .
• Subsemigroup - это подмножество полугруппы, которая закрывается в рамках операции полугруппы.
• - Отмена полугруппа это та, которая имеет собственность отмены : A · B = A · C подразумевает B = C аналогично B · A = C · A. и Каждая группа - это отменная полугруппа, и каждая конечная отмена полугруппа является группой.
• Группа - это полугруппа, чья операция идентична .
• Полуаттиция - это полугруппа, чья операция является идентической и коммутативной .
• 0 Сампл полугруппы.
• Трансформация полугрупп : любая конечная полугруппа может быть представлена ​​преобразованием (состоянием-) набором Q наибольшего | S | + 1 состояния. Каждый элемент x S S -затем отображает Q в себя x : q → q , а последовательность xy определяется как q ( xy ) = ( qx ) y для каждого q в q . Секвенирование явно является ассоциативной операцией, здесь эквивалентно композиции функции . Это представление является основным для любого автомата или машины с конечным состоянием (FSM).
• Бициклическая полугруппа на самом деле является моноидом, который можно описать как свободную полугруппу на двух генераторах P и Q , под соотношением PQ = 1 .
• C ₀ -Semigroups .
• Регулярные полугруппы . Каждый элемент x имеет хотя бы один обратный y , который удовлетворяет xyx = x и yxy = y ; Элементы x и y иногда называют «взаимно обратным».
• Обратные полугруппы - это регулярные полугруппы, где каждый элемент имеет ровно один обратный. В качестве альтернативы, регулярная полугруппа является обратной, если и только если какие -либо два идентификатора ездят.
• Affine Semigroup: полугруппа, которая является изоморфной для конечногенерированной подземной группы z ^{дюймовый} Полем Эти полугруппы имеют заявки на коммутативную алгебру .

Теорема структуры для коммутативных полугрупп

Существует теорема структуры для коммутативных полугрупп с точки зрения полулаттеса . Полуатиза (или, точнее, встреча с семилатисом) ( L , ≤) -это частично упорядоченный набор , в котором каждая пара элементов A , b ∈ L имеет наибольшую нижнюю границу , обозначенный a ∧ b . Операция ∧ превращает L в полугруппу, которая удовлетворяет дополнительному об истинопотенности закону a ∧ a = a .

Учитывая гомоморфизм F : S → L от произвольной полугруппы в полузатех, каждое обратное изображение S _a = f ⁻¹ { a } - (возможно, пустая) полугруппа. Более того, S станет оценкой L что , в том смысле, S _A S _B ⊆ S _{a ∧ b} .

Если f на F -на, полулатизиация L изоморфна к отношению S f с помощью отношения эквивалентности ~ так, что x ~ y, если и только тогда, если ( x ) = f ( y ) . Это отношение эквивалентности является конгруэнтностью полугруппы, как определено выше.

Всякий раз, когда мы принимаем коэффициент коммутативной полугруппы по конгруэнтности, мы получаем еще одну коммутативную полугруппу. Теорема структуры гласит, что для любой коммутативной полугруппы S существует лучшая конгруэнтность, так что отношение S к этой эквивалентной зависимости является полулатимией. Обозначая эту полулатику , мы получаем гомоморфизм F от S на L. L Как уже упоминалось, S оценивается по этой полулатизии.

Кроме того, компоненты S _A - все это архимедические полугруппы . Архимедическая полугруппа - это та, где дана любая пара элементов x , y , существует элемент z и n > 0 , что x ^не = YZ .

Свойство Архимедина немедленно следует из -за упорядочения в полулатике L , поскольку с этим упорядочением мы имеем f ( x ) ≤ f ( y ), если и только тогда, если x ^не = YZ для некоторых Z и N > 0 .

Группа фракций

Группа фракций или группового завершения полугруппы S представляет собой группу g = g ( ы ), генерируемая элементами S в качестве генераторов и всех уравнений xy = z , которые содержатся в S как отношения . Существует очевидный гомоморфизм полугруппы J : S → G ( S ) , который отправляет каждый элемент S в соответствующий генератор. Это имеет универсальное свойство для морфизмов от S до группы: Учитывая любую группу H и любую полугруппа гомоморфизма k : s → h , существует уникальный групповой гомоморфизм F : G → H с K = FJ . Мы можем думать о G которая содержит гомоморфное изображение S. как о «самой общей» группе ,

Важным вопросом является характеристика тех полугрупп, для которых эта карта является внедрением. Это не всегда имеет место: например, принять S , чтобы быть полугруппой подмножества некоторых наборов x с теоретичным пересечением набора в качестве бинарной операции (это пример полулатиза). С тех пор а . A = a hold для всех элементов S , это должно быть верно и для всех генераторов G ( s ), что, следовательно, является тривиальной группой . Это явно необходимо для внедрения, чтобы S обладает свойством отмены . Когда S коммутативен этого условия также достаточно и Группа Grothendieck в полугруппе обеспечивает строительство группы фракций. Проблема для некоммутативных полугрупп может быть связана с первой существенной статьей о полугруппах. Anatoly Maltsev дала необходимые и достаточные условия для внедрения в 1937 году.

Методы полугруппы в уравнениях с частичной дифференциацией

Дополнительная информация: C0-Semigroup

Теория полугруппы может быть использована для изучения некоторых проблем в области дифференциальных уравнений . Грубо говоря, полугруппа подход заключается в том, чтобы рассматривать зависящее от времени уравнение в деталях как обычное дифференциальное уравнение в функциональном пространстве. Например, рассмотрите следующую задачу начальной/граничного значения для уравнения тепла в пространственном интервале (0, 1) ⊂ r и время t ≥ 0 :

${\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{cases}}$

Пусть x = l ² ((0, 1) r ) быть L ^п Пространство квадратных интегрируемых реальных функций с доменом. Интервал (0, 1) и пусть A будет оператором второго производства с доменом

$D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)=0{\big \}},$

где h ² это пространство для соболев . Тогда вышеуказанная задача исходного/граничного значения может быть интерпретирована как задача начального значения для обычного дифференциального уравнения в пространстве x :

${\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}$

На эвристическом уровне решение этой проблемы «должно быть», должно быть u ( t ) = exp ( ta ) u ₀ . Однако для строгого лечения необходимо уделять экспоненте TA значение . В зависимости от t , Exp ( TA ) представляет собой полугруппу операторов от x до себя, принимая начальное состояние u ₀ в момент времени t = 0 в состояние u ( t ) = exp ( ta ) u ₀ в момент времени t . Оператор A , как говорят, является бесконечно малым генератором полугруппы.

История

Изучение полугрупп отстало от изучения других алгебраических структур с более сложными аксиомами, такими как группы или кольца . Ряд источников Атрибут первого использования термина (на французском языке) J.-A. De Séguier в Elements de la Théorie des Groupes Abstraits (элементы теории абстрактных групп) в 1904 году. Термин используется на английском языке в 1908 году в теории групп конечного порядка Гарольда Хинтона .

Антон Сушкевич получил первые нетривиальные результаты о полугруппах. Его бумага 1928 года "über die endlichen gruppen ohne das gesetz der eindeutigen umkehrbarkeit" («на конечных группах без правила уникальной обратимости») просты структуру определил конечных Конечная полугруппа проста. С этого момента основы теории полугруппы были дополнительно заложены Дэвидом Рисом , Джеймсом Александом Грином , Евгением Серджеевичем Лиапином , Альфредом Х. Клиффордом и Гордоном Престоном . Последние два опубликовали двухтомную монографию по теории полугруппы в 1961 и 1967 годах соответственно. В 1970 году новый периодический форум под названием Semigroup (в настоящее время отредактированный Springer Verlag ) стал одним из немногих математических журналов, полностью посвященных теории полугруппы.

Теория представления полугрупп была разработана в 1963 году Борисом Шейном с использованием бинарных отношений на сет -a и составе отношений для полугрупповой продукта. Шейн обследовал литературу по B _A , полугруппу отношений на A. На алгебраической конференции в 1972 году В 1997 году Шейн и Ральф Маккензи доказали, что каждая полугруппа является изоморфной для переходной полугруппы бинарных отношений.

В последние годы исследователи в этой области стали более специализированными с выделенными монографиями, появляющимися на важных классах полугрупп, таких как обратные полугруппы , а также монографии, посвященные приложениям в теории алгебраических автоматов , особенно для конечных автоматов, а также в функциональном анализе .

Обобщения

Группоподобные структуры

	Закрытие	Ассоциативный	Личность	Отмена	Коммутативный
Частичная магма	Ненормальный	Ненормальный	Ненормальный	Ненормальный	Ненормальный
Полугрипоидный	Ненормальный	Необходимый	Ненормальный	Ненормальный	Ненормальный
Небольшая категория	Ненормальный	Необходимый	Необходимый	Ненормальный	Ненормальный
Группа	Ненормальный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненормальный
Коммутативное группа	Ненормальный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Магма	Необходимый	Ненормальный	Ненормальный	Ненормальный	Ненормальный
Коммутативная магма	Необходимый	Ненормальный	Ненормальный	Ненормальный	Необходимый
Квазиграция	Необходимый	Ненормальный	Ненормальный	Необходимый	Ненормальный
Коммутативная квазигруппа	Необходимый	Ненормальный	Ненормальный	Необходимый	Необходимый
Единая магма	Необходимый	Ненормальный	Необходимый	Ненормальный	Ненормальный
Commutative Unital Magma	Необходимый	Ненормальный	Необходимый	Ненормальный	Необходимый
Петля	Необходимый	Ненормальный	Необходимый	Необходимый	Ненормальный
Коммутативная петля	Необходимый	Ненормальный	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненормальный	Ненормальный	Ненормальный
Коммутативная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненормальный	Ненормальный	Необходимый
Ассоциативная квазиграция	Необходимый	Необходимый	Ненормальный	Необходимый	Ненормальный
Коммутативная и ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненормальный	Необходимый	Необходимый
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненормальный	Ненормальный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненормальный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненормальный
Абелевская группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый

Если аксиома ассоциативности полугруппы отброшена, результатом является магма как набором M, оснащенным бинарной операцией , которая закрыта M × M → M. , которая является не чем иным ,

Обобщая в другом направлении, n -Ary Semigroup (также n -Semigroup , Polyadic Semigroup или Multiary Semigroup ) является обобщением полугруппы на набор G с N -Hary Operation вместо бинарной операции. Ассоциативное право обобщается следующим образом: Тернальная ассоциативность - это ( ABC ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , то есть строка Abcde с любыми тремя смежными элементами. n -Sary Associativity -это цепочка длины n + ( n -1) с любым n смежными элементами. 2-й полугруппа-это всего лишь полугруппа. Дальнейшие аксиомы приводят к N -Hary Group .

Третье обобщение - это полугрипоид , в котором требование о том, чтобы бинарное отношение было поднято. Поскольку категории обобщают моноиды таким же образом, полугрипоид ведет себя очень похоже на категорию, но не имеет идентичности.

Медицинские обобщения коммутативных полугрупп иногда рассматривались различными авторами.

Смотрите также

• Поглощающий элемент
• Набор Biordered
• Компактная полугруппа
• Пустая полугруппа
• Генерализованный обратный
• Идентификационный элемент
• Тест на ассоциативность света
• Основной фактор
• Квантовая динамическая полугруппа
• Полугруппа кольцо
• Слабый обратный

Ссылки

Общие ссылки

• Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугруппы . Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-851194-6 Полем ZBL   0835.20077 .
• Клиффорд, Альфред Хоблицель ; Престон, Гордон Бэмфорд (1961). Алгебраическая теория полугрупп . Тол. 1. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-0271-7 Полем ZBL   0111.03403 .
• Клиффорд, Альфред Хоблицель ; Престон, Гордон Бэмфорд (2010) [1967]. Алгебраическая теория полугрупп . Тол. 2. Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-0272-4 .
• Грилле, Пьер Антуан (1995). Полугруппы: введение в теорию структуры . Марсель Деккер. ISBN  978-0-8247-9662-4 Полем ZBL   0830.20079 .
• Жареная, Пьер Антуан (2001). Коммутативные полугруппы . Springer Verlag. ISBN  978-0-7923-7067-3 Полем ZBL   1040.20048 .
• Холлингс, Кристофер (2009). «Раннее развитие алгебраической теории полугрупп». Архив для истории точных наук . 63 (5): 497–536. doi : 10.1007/s00407-009-0044-3 . S2CID   123422715 .
• Холлингс, Кристофер (2014). Математика по всему железному занавесу: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. ISBN  978-1-4704-1493-1 Полем ZBL   1317.20001 .
• Петрич, Марио (1973). Введение в полугруппы . Чарльз Э. Меррилл. ISBN  978-0-675-09062-9 Полем ZBL   0321.20037 .

Конкретные ссылки

• Феллер, Уильям (1971). Введение в теорию вероятности и ее приложения . Тол. II (2 -е изд.). Уайли. MR   0270403 .
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974). Функциональный анализ и полугруппы . Американское математическое общество . ISBN  978-0821874646 Полем MR   0423094 .
• Сушкевич, Антон (1928). «О конечных группах без закона четкой обратимости». Математические летописи . 99 (1): 30–50. Doi : 10.1007/bf01459084 . HDL : 10338.dmlcz/100078 . ISSN   0025-5831 . MR   1512437 . S2CID   121081075 .
• Канторовиц, Шмуэль (2009). Темы в полугруппах оператора . Спрингер. ISBN  978-0-8176-4932-6 Полем ZBL   1187.47003 .
• Джейкобсон, Натан (2009). Основная алгебра . Тол. 1 (2 -е изд.). Дувр. ISBN  978-0-486-47189-1 .
• Лоусон, Марк В. (1998). Обратные полугруппы: теория частичной симметрии . Мировой научный. ISBN  978-981-02-3316-7 Полем ZBL   1079.20505 .
• Lothaire, M. (2011) [2002]. Алгебраическая комбинаторика на словах . Энциклопедия математики и ее применения. Тол. 90. издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-18071-9 Полем Obl   1221.68183 .