Jump to content

Додекагон

(Перенаправлено с Додекагона )
Правильный двенадцатиугольник
Правильный двенадцатиугольник
Тип Правильный многоугольник
Ребра и вершины 12
Символ Шлефли {12}, т{6}, тт{3}
Диаграммы Кокстера – Динкина
Группа симметрии Двугранник 12 ), заказ 2×12
Внутренний угол ( градусы ) 150°
Характеристики Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон Себя

В геометрии двенадцатиугольником , , или 12-угольником называется любой двенадцатигранный многоугольник .

Правильный двенадцатиугольник

[ редактировать ]
Три квадрата со сторонами R можно разрезать и перестроить в двенадцатиугольник радиуса описанной окружности R , что дает безсловное доказательство того, что его площадь равна 3 R. 2

Правильный двенадцатиугольник — это фигура , у которой стороны одинаковой длины и внутренние углы одинакового размера. Он имеет двенадцать линий отражательной симметрии и вращательной симметрии порядка 12. Правильный двенадцатиугольник представлен символом Шлефли {12} и может быть построен как усеченный шестиугольник t {6} или дважды усеченный треугольник tt {3 }. Внутренний угол при каждой вершине правильного двенадцатиугольника равен 150°.

Площадь a правильного двенадцатиугольника со стороной определяется выражением:

А с точки зрения апофемы r (см. также вписанный рисунок ) площадь равна:

С точки зрения радиуса окружности R площадь равна: [ 1 ]

Размах S двенадцатиугольника равен расстоянию между двумя параллельными сторонами и равен удвоенной апофеме. Простая формула площади (с учетом длины стороны и размаха):

Это можно проверить с помощью тригонометрического соотношения:

Периметр

[ редактировать ]

Периметр правильного двенадцатиугольника через радиус описанной окружности равен: [ 2 ]

Периметр с точки зрения апофемы равен:

Этот коэффициент вдвое превышает коэффициент, найденный в апофеме уравнения площади. [ 3 ]

Строительство додекагона

[ редактировать ]

Как 12 = 2 2 × 3, правильный двенадцатиугольник можно построить с помощью конструкции циркуля и линейки :

Построение правильного двенадцатиугольника по заданной описанной окружности
Построение правильного двенадцатиугольника
при заданной длине стороны, анимация. (Конструкция очень похожа на конструкцию восьмиугольника с заданной длиной стороны .)

Диссекция

[ редактировать ]
12-кубовый 60 ромбовидное рассечение
Изотоксальный додекагон

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и одинаковой длины) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограмма. [ 4 ] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного двенадцатиугольника =6 , m и его можно разделить на 15: 3 квадрата, 6 широких ромбов 30° и 6 узких ромбов 15°. Это разложение основано на Петри многоугольной проекции 6-куба с 15 из 240 граней. Последовательность OEIS A006245 определяет количество решений как 908, включая до 12-кратных вращений и киральные формы при отражении.

Разрезание на 15 ромбов

6-куб.

Один из способов использования блоков математических манипулятивных шаблонов заключается в создании ряда различных додекагонов. [ 5 ] Они относятся к ромбическим расчленениям, в которых три ромба по 60° слиты в шестиугольники, полушестиугольные трапеции или разделены на два равносторонних треугольника.

Другие регулярные вскрытия

Соколаровая черепица

Узорные блоки

Симметрия

[ редактировать ]
Симметрии правильного двенадцатиугольника показаны цветом ребер и вершин. Джон Конвей обозначает эти низшие симметрии буквой, и порядок симметрии следует за буквой. Он дает d (диагональ, диасимметрия) с зеркальными линиями, проходящими через вершины, p с зеркальными линиями, проходящими через края (перпендикуляр, персимметрия), i с зеркальными линиями, проходящими как через вершины, так и через края (изосимметрия), и g для вращения (гиросимметрия). А1 обозначает асимметрию. Эти более низкие симметрии допускают степень свободы в определении неправильных додекагонов. [ 6 ]

Правильный додекагон имеет симметрию Dih 12 , порядок 24. Существует 15 различных подгрупп диэдральных и циклических симметрий. Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g12 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Пример додекагонов по симметрии

р24

д12

g12

стр12

i8

d6

g6

стр.6

d4

g4

п4

g3

d2

g2

п2

а1

возникновение

[ редактировать ]

Укладка плитки

[ редактировать ]

Правильный додекагон может заполнить вершину плоскости другими правильными многоугольниками четырьмя способами:

3.12.12 4.6.12 3.3.4.12 3.4.3.12

Вот три примера периодических плоских мозаик , в которых используются правильные додекагоны, определяемые конфигурацией их вершин :

1-униформа 2-униформа
Плитка 3bb.svg
3.12.12

4.6.12

3.12.12; 3.4.3.12

Наклон додекагона

[ редактировать ]
Правильный косой додекагон, видимый как зигзагообразные края шестиугольной антипризмы .

Косой додекагон — это косой многоугольник с 12 вершинами и ребрами, но не расположенный в одной плоскости. Внутренность такого двенадцатиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный додекагон имеет вершины, чередующиеся в двух параллельных плоскостях.

Правильный косой додекагон вершинно -транзитивен с равными длинами ребер. В трехмерном измерении это будет зигзагообразный косой додекагон, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях шестиугольной антипризмы с тем же D 5d , [2 + ,10] симметрия, порядок 20. Додекаграммная антипризма s{2,24/5} и додекаграммная скрещенная антипризма s{2,24/7} также имеют правильные косые додекагоны.

Полигоны Петри

[ редактировать ]

Правильный додекагон — это многоугольник Петри для многих многогранников более высокой размерности, рассматриваемый как ортогональные проекции на плоскости Кокстера . Примерами в 4-х измерениях являются 24-ячеечная , курносая 24-ячеечная , дуопризма 6-6 , дуопирамида 6-6 . В 6 измерениях 6-куб , 6-ортоплекс , 2 21 , 1 22 . Это также многоугольник Петри для великого 120-ячеечного и великого звездчатого 120-ячеечного .

[ редактировать ]

Додекаграмма — это 12-сторонний звездчатый многоугольник , обозначенный символом {12/n}. Существует один правильный звездчатый многоугольник : {12/5}, использующий те же вершины, но соединяющий каждую пятую точку. Также есть три составных соединения: {12/2} сокращается до 2{6} как два шестиугольника , а {12/3} сокращается до 3{4} как три квадрата , {12/4} сокращается до 4{3 } как четыре треугольника, а {12/6} сокращается до 6{2} как шесть вырожденных двуугольников .

Более глубокие усечения правильного додекагона и додекаграмм могут привести к образованию изогональных ( вершинно-транзитивных ) промежуточных звездных многоугольников с равными интервалами между вершинами и двумя длинами ребер. Усеченный шестиугольник — это додекагон, t{6}={12}. Квазиусеченный шестиугольник, перевернутый как {6/5}, представляет собой додекаграмму: t{6/5}={12/5}. [ 7 ]

Примеры использования

[ редактировать ]

В заглавных буквах буквы E , H и X I в шрифте с засечками ) имеют двенадцатиугольные контуры. Крест это двенадцатиугольник, как и логотип автомобильного подразделения Chevrolet .

Церковь Вера Крус в Сеговии

Правильный двенадцатиугольник занимает видное место во многих зданиях. Торре -дель-Оро — двенадцатиугольная военная сторожевая башня в Севилье , на юге Испании , построенная династией Альмохадов . Церковь Вера-Крус начала тринадцатого века в Сеговии , Испания, имеет двенадцатиугольную форму. Другим примером являются Порта ди Венере (Ворота Венеры) в Спелло , Италия , построенные в I веке до нашей эры и имеющие две двенадцатиугольные башни, называемые «Башнями Проперция».

Британские трехпенсовики 1942 года выпуска, реверс.

К обычным двенадцатиугольным монетам относятся:

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ См. также Куршака геометрическое доказательство в демонстрационном проекте Вольфрама.
  2. ^ Плоская геометрия: эксперимент, классификация, открытие, применение Кларенса Аддисона Уиллиса Б., (1922) Blakiston's Son & Company, стр. 249 [1]
  3. ^ Элементы геометрии , Джон Плейфэр Уильям Уоллес, Джон Дэвидсонс, (1814) Bell & Bradfute, с. 243 [2]
  4. ^ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
  5. ^ "Doin' Da' Dodeca'" на mathforum.org
  6. ^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN   978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275–278)
  7. ^ Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 130fc4a280ef43988eb3167bec45d380__1714735200
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/13/80/130fc4a280ef43988eb3167bec45d380.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Dodecagon - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)