Узел (математика)

Эта статья о математическом объекте. Чтобы узнать о других значениях, см. Узел (значения) .

Таблица всех простых узлов с семью пересечениями или меньше (не включая зеркальные изображения).

становится Верхний узел узлом -трилистником, соединяя концы.

Треугольник связан с узлом трилистника.

Крендель в форме 7 ₄ узла-кренделя

В математике узел ​ это вложение окружности — ( S ¹ ) в трехмерное евклидово пространство , R ³ (также известный как Е ³ ). Часто два узла считаются эквивалентными, если они объемлющие изотопны , то есть если существует непрерывная деформация R ³ который переносит один узел в другой.

Решающее различие между стандартными математическими и традиционными представлениями об узле состоит в том, что математические узлы закрыты — в математическом узле нет концов, которые можно было бы завязать или развязать. Физические свойства, такие как трение и толщина, также не применяются, хотя существуют математические определения узла, учитывающие такие свойства. Термин «узел» также применяется к вложениям S ^дж в С ^н , особенно в случае j знак равно n - 2 . Раздел математики, изучающий узлы, известен как теория узлов и имеет много общего с теорией графов .

Формальное определение

Узел — вложение окружности это ( S ¹ ) в трехмерное евклидово пространство ( R ³ ), или 3-сфера ( S ³ ), поскольку 3-сфера компактна . Два узла считаются эквивалентными, если существует объемлющая изотопия . между ними

Проекция

Узел в R ³ в 3-сфере S (или, альтернативно , ³ ), можно спроецировать на плоскость R ² (соответственно сфера   S ² ). Эта проекция почти всегда регулярна , то есть она инъективна всюду, за исключением конечного числа точек пересечения, которые являются проекциями только двух точек узла, и эти точки не лежат на одной прямой . В этом случае, выбрав сторону проекции, можно полностью закодировать изотопический класс узла его регулярной проекцией, записывая простую информацию о превышении/недостатке на этих пересечениях. Таким образом , с точки зрения теории графов, регулярная проекция узла или диаграмма узла представляет собой четырехвалентный планарный граф с чрезмерно или недостаточно декорированными вершинами. Локальные модификации этого графа, позволяющие перейти от одной диаграммы к любой другой диаграмме того же узла (с точностью до объемлющей изотопии плоскости), называются движениями Райдемейстера .

• 
  Рейдемейстер ход 1
• 
  Рейдемейстер ход 2
• 
  Рейдемейстер ход 3

Виды узлов

Узел можно развязать, если петля порвалась.

Самый простой узел, называемый развязным или тривиальным узлом, представляет собой круглый круг, вложенный в R. ³ . В обычном смысле слова узел вообще не является «завязанным». Простейшими нетривиальными узлами являются узел трилистник ( 3 ₁ в таблице), узел восьмерка ( 4 ₁ ) и узел лапчатка ( 5 ₁ ).

Несколько узлов, связанных или запутанных вместе, называются звеньями . Узлы — это связи, состоящие из одного компонента.

Прирученные против диких узлов

Дикий узел

узел Многоугольный — это узел, образ которого в R ³ является объединением конечного набора отрезков прямой . узел Ручной — это любой узел, эквивалентный многоугольному узлу. Узлы, которые не ручные, называются дикими , и может иметь патологическое поведение. В теории узлов и теории трёх многообразий часто опускается прилагательное «ручной». Например, гладкие узлы всегда ручные.

Узел в рамке

— Оснащенный узел это продолжение ручного узла до вложения полнотория D ² × С ¹ в С ³ .

Обрамление связующий узла — номер изображения ленты I × S. ¹ с узлом. Узел в рамке можно рассматривать как встроенную ленту, а обрамление — это (со знаком) количество витков. Это определение обобщается до аналогичного для структурированных ссылок . Рамочные связи называются эквивалентными , если их расширения на полноторы являются объемлющими изотопами.

связей в рамке Диаграммы представляют собой диаграммы связей, в которых каждый компонент помечен для обозначения кадрирования целым числом , представляющим наклон по отношению к меридиану и предпочтительной долготе. Стандартный способ просмотра диаграммы ссылок без пометок как представляющей ссылку в рамке — использовать рамку на доске . Это обрамление получается путем преобразования каждого компонента в ленту, лежащую ровно на плоскости. типа I Ход Рейдемейстера явно меняет рамку доски (он меняет количество витков ленты), но два других хода - нет. Замена типа I move модифицированным типом I move дает результат для диаграмм связей с обрамлением «черная доска», аналогичный теореме Райдемейстера: диаграммы связей с обрамлением «черная доска» представляют собой эквивалентные обрамленные связи тогда и только тогда, когда они соединены последовательностью (модифицированных ) ходы типа I, II и III. Учитывая узел, на нем можно определить бесконечное число оснащений. Предположим, что нам дан узел с фиксированным каркасом. Из существующего можно получить новый каркас, разрезав ленту и скручиваем ее вокруг узла на целое число, кратное 2π, а затем снова приклеиваем на место мы сделали разрез. Таким образом, из старого получается новое оснащение с точностью до отношения эквивалентности. для узлов в рамке, оставляя узел фиксированным. Обрамление в этом смысле связано с количеством витков. векторное поле действует вокруг узла. Зная, сколько раз закручено векторное поле узел позволяет определить векторное поле с точностью до диффеоморфизма и класс эквивалентности кадрирование полностью определяется этим целым числом, называемым целым числом кадрирования.

Узел дополнения

Узел, дополнение которого имеет нетривиальное JSJ-разложение.

Учитывая узел в 3-сфере, дополнением к узлу являются все точки 3-сферы, не содержащиеся в узле. Основная теорема Гордона и Люке утверждает, что не более двух узлов имеют гомеоморфные дополнения (исходный узел и его зеркальное отражение). По сути, это превращает изучение узлов в изучение их дополнений и, в свою очередь, в теорию трехмерных многообразий .

JSJ-разложение

Основная статья: Разложение JSJ

и Разложение JSJ теорема Тёрстона о гиперболизации сводят исследование узлов в 3-сфере к изучению различных геометрических многообразий посредством сплайсинга или сателлитных операций . В изображенном узле JSJ-разложение разбивает дополнение на объединение трёх многообразий: двух трилистниковых дополнений и дополнения колец Борромео . Дополнение трилистника имеет геометрию H. ² × R , а дополнение колец Борромео имеет геометрию H ³ .

Гармонические узлы

Параметрические представления узлов называются гармоническими узлами. Аарон Траутвейн в своей докторской диссертации собрал параметрические представления для всех узлов, включая узлы с числом пересечений 8.

Приложения к теории графов

Таблица всех простых узлов до семи с числом пересечений , представленная в виде диаграмм узлов с их медиальным графом.

Медиальный график

Основная статья: Медиальный график

Планарный граф со знаком, связанный с диаграммой узла.

Левая направляющая

Правильное руководство

Еще одно удобное представление диаграмм узлов. был введен Питером Тейтом в 1877 году.

Любая диаграмма узла определяет плоский граф , вершины которого являются пересечениями, а ребра — путями между последовательными пересечениями. Ровно одна грань этого плоского графа неограничена; каждый из остальных гомеоморфен двумерному диску . Раскрасьте эти грани в черный или белый цвет, чтобы неограниченная грань была черной, а любые две грани, имеющие общую границу, имели противоположные цвета. Теорема Жордана о кривой подразумевает, что такая раскраска ровно одна.

Мы строим новый плоский граф, вершинами которого являются белые грани, а ребра соответствуют пересечениям. Мы можем пометить каждое ребро в этом графе как левое или правое ребро, в зависимости от того, какая нить пересекает другую, если мы рассматриваем соответствующее пересечение с одной из конечных точек ребра. Левый и правый края обычно обозначаются путем обозначения левых краев + и правых краев – или путем рисования левых краев сплошными линиями, а правых краев – пунктирными линиями.

Исходная диаграмма узла является медиальным графом этого нового плоского графа, в котором тип каждого пересечения определяется знаком соответствующего ребра. Изменение знака каждого ребра соответствует отражению узла в зеркале .

Бессвязное и бесузловое встраивание

Основная статья: встраивание без ссылок

Семь графов в семье Петерсенов . Независимо от того, как эти графы встраиваются в трехмерное пространство, некоторые два цикла будут иметь ненулевое число зацеплений .

В двух измерениях только плоские графы можно вложить в евклидову плоскость без пересечений, но в трех измерениях любой неориентированный граф можно вложить в пространство без пересечений. Однако пространственным аналогом планарных графов являются графы с вложениями без связей и вложениями без узлов . Бессвязное вложение — это вложение графа, свойство которого состоит в том, что любые два цикла не связаны между собой ; вложение без узлов — это вложение графа, обладающее свойством развязывания любого отдельного цикла . Графы с вложениями без связей имеют запрещенную характеристику графа , включающую семейство Петерсена , набор из семи графов, которые неразрывно связаны: независимо от того, как они вложены, некоторые два цикла будут связаны друг с другом. Полная характеристика графов с безузловыми вложениями не известна, но полный граф K7 _узел является одним из минимальных запрещенных графов для безузлового вложения: независимо от того, как вложен _K7 , он будет содержать цикл, образующий -трилистник .

Обобщение

В современной математике термин «узел» иногда используется для описания более общего явления, связанного с вложениями. Учитывая многообразие M с подмногообразием N , иногда говорят, что можно завязать в M, если существует вложение N в M , которое не изотопно N. N Традиционные узлы образуют случай, когда N = S ¹ и М = Р ³ или М = S ³ .

Теорема Шенфлиса утверждает, что круг не завязывается в 2-сфере: каждый топологический круг в 2-сфере изотопен геометрическому кругу. Теорема Александера утверждает, что 2-сфера не плавно (или PL или топологически укрощена) завязывается в 3-сферу. В ручной топологической категории известно, что n -сфера не завязывается в n + 1 -сферу при всех n . Это теорема Мортона Брауна , Барри Мазура и Марстона Морса . Рогатая сфера Александра является примером завязанной 2-сферы в 3-сфере, которая не является ручной. Известно , что в гладкой категории n -сфера не завязывается в n + 1 -сфере при условии n ≠ 3 . Случай n = 3 представляет собой давнюю проблему, тесно связанную с вопросом: допускает ли 4-шар экзотическую гладкую структуру ?

Андре Хэфлигер не существует гладких j -мерных узлов . доказал, что в S ^н предоставил 2 n − 3 j − 3 > 0 и привел дополнительные примеры завязанных сфер для всех n > j ≥ 1 таких, что 2 n − 3 j − 3 = 0 . n − j называется коразмерностью узла. Интересный аспект работы Хефлигера состоит в том, что изотопические классы вложений S ^дж в С ^н образуют группу, причем групповая операция задается суммой соединения, при условии, что коразмерность больше двух. Хефлигер основывал свою работу на Стивена Смейла о h теореме -кобордизме . Одна из теорем Смейла состоит в том, что когда мы имеем дело с узлами коразмерности больше двух, даже неэквивалентные узлы имеют диффеоморфные дополнения. Это придает предмету другой оттенок, чем теория узлов коразмерности 2. Если кто-то допускает топологические или PL-изотопии, Кристофер Зееман доказал, что сферы не завязываются, когда коразмерность больше 2. См. обобщение на многообразия .

См. также

• Теория узлов - Изучение математических узлов.
• Инвариант узла - функция узла, которая принимает одно и то же значение для эквивалентных узлов.
• Список математических узлов и связей

Библиография

• Адамс, Колин К. (1994). Книга «Узлы: элементарное введение в математическую теорию узлов» . У. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-2393-6 .
• Армстронг, Массачусетс (1983) [1979]. Базовая топология . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер. ISBN  0-387-90839-0 .
• Кромвель, Питер Р. (2004). Узлы и Связи . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511809767 . ISBN  0-521-83947-5 . МР   2107964 .
• Фармер, Дэвид В.; Стэнфорд, Теодор Б. (1995). Узлы и поверхности: Руководство по изучению математики . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-7265-9 .
• Ливингстон, Чарльз (1993). Теория узла . Учебники Математической ассоциации Америки. Том. 24. Математическая ассоциация Америки. ISBN  9780883850008 .

Внешние ссылки

• « Main_Page », Атлас узлов .
• Проект «Атлас многообразия»