Додекагон

Правильный двенадцатиугольник
Правильный двенадцатиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	12
Символ Шлефли	{12}, т{6}, тт{3}
Диаграммы Кокстера – Дынкина
Группа симметрии	Двугранник (Д 12 ), заказ 2×12
Внутренний угол ( градусы )	150°
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон	Себя

В геометрии двенадцатиугольником , , или 12-угольником называется любой двенадцатигранный многоугольник .

Правильный двенадцатиугольник

Три квадрата со сторонами R можно разрезать и перестроить в двенадцатиугольник радиуса описанной окружности R , что дает безсловное доказательство того, что его площадь равна 3 R. ²

Правильный двенадцатиугольник — это фигура , у которой стороны одинаковой длины и внутренние углы одинакового размера. Он имеет двенадцать линий отражательной симметрии и вращательной симметрии порядка 12. Правильный двенадцатиугольник представлен символом Шлефли {12} и может быть построен как усеченный шестиугольник t {6} или дважды усеченный треугольник tt {3 }. Внутренний угол при каждой вершине правильного двенадцатиугольника равен 150°.

Область

Площадь a правильного двенадцатиугольника со стороной определяется выражением:

${\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}$

А с точки зрения апофемы r (см. также вписанный рисунок ) площадь равна:

${\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}$

С точки зрения радиуса окружности R площадь равна:

$A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}$

Размах S двенадцатиугольника равен расстоянию между двумя параллельными сторонами и равен удвоенной апофеме. Простая формула площади (с учетом длины стороны и размаха):

$A=3aS$

Это можно проверить с помощью тригонометрического соотношения:

$S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})$

Периметр

Периметр правильного двенадцатиугольника через радиус описанной окружности равен:

${\begin{aligned}p&=24R\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,R\end{aligned}}$

Периметр с точки зрения апофемы равен:

${\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835\,r\end{aligned}}$

Этот коэффициент вдвое превышает коэффициент, найденный в апофеме уравнения площади.

Строительство додекагона

Как 12 = 2 ² × 3, правильный двенадцатиугольник можно построить с помощью конструкции циркуля и линейки :

Построение правильного двенадцатиугольника по заданной описанной окружности

Построение правильного двенадцатиугольника
при заданной длине стороны, анимация. (Конструкция очень похожа на конструкцию восьмиугольника с заданной длиной стороны .)

Диссекция

12-кубовый	60 ромбовидное рассечение

Изотоксальный додекагон

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и одинаковой длины) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограмма. В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного двенадцатиугольника =6 , m и его можно разделить на 15: 3 квадрата, 6 широких ромбов 30° и 6 узких ромбов 15°. Это разложение основано на Петри многоугольной проекции 6-куба с 15 из 240 граней. Последовательность OEIS A006245 определяет количество решений как 908, включая до 12-кратных вращений и киральные формы при отражении.

Разрезание на 15 ромбов

6-куб.

Один из способов использования блоков математических манипулятивных шаблонов заключается в создании ряда различных додекагонов. Они относятся к ромбическим расчленениям, в которых 3 ромба по 60° слиты в шестиугольники, полушестиугольные трапеции или разделены на 2 равносторонних треугольника.

Другие регулярные вскрытия

Соколаровая черепица

Узорные блоки

Симметрия

Симметрии правильного двенадцатиугольника показаны цветами ребер и вершин. Джон Конвей обозначает эти низшие симметрии буквой, и порядок симметрии следует за буквой. Он дает d (диагональ, диасимметрия) с зеркальными линиями, проходящими через вершины, p с зеркальными линиями, проходящими через края (перпендикуляр, персимметрия), i с зеркальными линиями, проходящими как через вершины, так и через края (изосимметрия), и g для вращения (гиросимметрия). А1 обозначает асимметрию. Эти более низкие симметрии допускают степень свободы в определении неправильных додекагонов.

Правильный додекагон имеет симметрию Dih ₁₂ , порядок 24. Существует 15 различных подгрупп диэдральных и циклических симметрий. Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g12 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

hideПример додекагонов по симметрии
р24
д12	g12	стр12		i8
d6	g6	стр.6		d4	g4	п4
g3				d2	g2	п2
а1

Возникновение

Укладка плитки

Правильный додекагон может заполнить вершину плоскости другими правильными многоугольниками четырьмя способами:

3.12.12	4.6.12	3.3.4.12	3.4.3.12

Вот три примера периодических плоских мозаик , в которых используются правильные додекагоны, определяемые конфигурацией их вершин :

1-униформа		2-униформа
3.12.12	4.6.12	3.12.12; 3.4.3.12

Наклон додекагона

Правильный косой додекагон, видимый как зигзагообразные края шестиугольной антипризмы .

Косой додекагон — это косой многоугольник с 12 вершинами и ребрами, но не расположенный в одной плоскости. Внутренность такого двенадцатиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный додекагон имеет вершины, чередующиеся в двух параллельных плоскостях.

Правильный косой додекагон вершинно -транзитивен с равными длинами ребер. В трехмерном измерении это будет зигзагообразный косой додекагон, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях шестиугольной антипризмы с тем же D _5d , [2 ⁺ ,10] симметрия, порядок 20. Додекаграммная антипризма s{2,24/5} и додекаграммная скрещенная антипризма s{2,24/7} также имеют правильные косые додекагоны.

Полигоны Петри

Правильный додекагон — это многоугольник Петри для многих многогранников более высокой размерности, рассматриваемый как ортогональные проекции на плоскости Кокстера . Примерами в 4-х измерениях являются 24-ячеечная , курносая 24-ячеечная , дуопризма 6-6 , дуопирамида 6-6 . В 6 измерениях 6-куб , 6-ортоплекс , 2 ₂₁ , 1 ₂₂ . Это также многоугольник Петри для великого 120-ячеечного и великого звездчатого 120-ячеечного .

showПравильные косые додекагоны в более высоких измерениях
E6		F4		2G2 (4D)
221	122	24-cell	Snub 24-cell	6-6 duopyramid	{6}×{6}
A11	D7		B6		4A2
11-simplex	(411)	141	6-orthoplex	6-cube	{3}×{3}×{3}×{3}

Связанные цифры

Додекаграмма — это 12-сторонний звездчатый многоугольник , обозначенный символом {12/n}. Существует один правильный звездчатый многоугольник : {12/5}, использующий те же вершины, но соединяющий каждую пятую точку. Также есть три составных элемента: {12/2} сокращается до 2{6} как два шестиугольника , а {12/3} сокращается до 3{4} как три квадрата , {12/4} сокращается до 4{3 } как четыре треугольника, а {12/6} сокращается до 6{2} как шесть вырожденных двуугольников .

showЗвезды и соединения
n	1	2	3	4	5	6
Form	Polygon	Compounds			Star polygon	Compound
Image	{12/1} = {12}	{12/2} or 2{6}	{12/3} or 3{4}	{12/4} or 4{3}	{12/5}	{12/6} or 6{2}

Более глубокие усечения правильного додекагона и додекаграмм могут привести к образованию изогональных ( вершинно-транзитивных ) промежуточных звездчатых многоугольников с равными интервалами между вершинами и двумя длинами ребер. Усеченный шестиугольник — это додекагон, t{6}={12}. Квазиусеченный шестиугольник, перевернутый как {6/5}, представляет собой додекаграмму: t{6/5}={12/5}.

showВершинно-транзитивные усечения шестиугольника
Quasiregular	Isogonal		Quasiregular
t{6}={12}			t{6/5}={12/5}

Примеры использования

В заглавных буквах буквы E , H и X (и I в шрифте с засечками ) имеют двенадцатиугольные контуры. Крест — это двенадцатиугольник, как и логотип автомобильного подразделения Chevrolet .

Церковь Вера Крус в Сеговии

Правильный двенадцатиугольник занимает видное место во многих зданиях. Торре -дель-Оро — двенадцатиугольная военная сторожевая башня в Севилье , на юге Испании , построенная династией Альмохадов . Церковь Вера-Крус начала тринадцатого века в Сеговии , Испания, имеет двенадцатиугольную форму. Другим примером являются Порта ди Венере (Ворота Венеры) в Спелло , Италия , построенные в I веке до нашей эры и имеющие две двенадцатиугольные башни, называемые «Башнями Проперция».

Британские трехпенсовики 1942 года выпуска, реверс.

К обычным двенадцатиугольным монетам относятся:

• Британская трехпенсовая монета с 1937 по 1971 год, когда она перестала быть законным платежным средством.
• Британская монета в один фунт , выпущенная в обращение в 2017 году.
• Австралийская монета номиналом 50 центов
• Фиджийские 50 центов
• Тонга 50-сенити , с 1974 г.
• Соломоновы Острова 50 центов
• Хорватские 25 кун
• Румынские 5000 леев , 2001–2005 гг.
• Канадский пенни , 1982–1996 гг.
• Южновьетнамские 20 донгов , 1968–1975 гг.
• Замбийский 50 нгви , 1969–1992 гг.
• Малавийские 50 центов , 1986–1995 гг.
• Мексиканские 20 сентаво , 1992-2009 гг.

См. также

• Двенадцатиугольное число
• Додекаэдр – любой многогранник с 12 гранями.
• Додекаграмма

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Додекагон» . Математический мир .
• Плитка и теорема Кюршака
• Определение и свойства двенадцатиугольника С интерактивной анимацией
• Правильный додекагон в классе с использованием шаблонных блоков.