Шульба Сутры

Шулва -сутры или Шулбасутры ( санскрит : शुल्बसूत्र; śulba : «нитка, шнур, веревка») — это тексты сутр, принадлежащие ритуалу Шраута и содержащие геометрию, связанную со строительством огненного алтаря .

Цель и происхождение

в форме сокола, Веди раскопанные в Пуроле, Уттаркаши; вероятно, принадлежащий периоду Кунинда (150 г. до н.э. – 250 г. н.э.).

Шульба-сутры являются частью более крупного корпуса текстов, называемых Шраута-сутры , которые считаются приложениями к Ведам . Они являются единственными источниками знаний индийской математики ведического периода . Уникальные формы Вед (огненного алтаря) ассоциировались с уникальными дарами Богов. Например, «кто желает неба, тот должен построить огненный жертвенник в виде сокола»; «огненный алтарь в форме черепахи должен быть построен тем, кто желает завоевать мир Брахмана» и «те, кто желает уничтожить существующих и будущих врагов, должны построить огненный алтарь в форме ромба».

Четыре основные Шулба-сутры, которые являются наиболее значимыми с математической точки зрения, принадлежат Баудхаяне , Манаве , Апастамбе и Катьяяне . Их язык – поздний ведический санскрит , что указывает на то, что они возникли примерно в первом тысячелетии до нашей эры . Самая старая из них — сутра, приписываемая Баудхаяне, возможно, составленная примерно с 800 по 500 год до нашей эры. Пингри говорит, что Апастамба, вероятно, следующий по возрасту; он помещает Катьяяну и Манаву на третье и четвертое места в хронологическом порядке на основании очевидных заимствований. По словам Плофкера, Катьяяна была составлена ​​после «великой грамматической кодификации санскрита Панини , вероятно, в середине четвертого века до нашей эры», но она относит Манаву к тому же периоду, что и Баудхаяну.

Что касается состава ведических текстов, Плофкер пишет:

Ведическое почитание санскрита как священной речи, чьи божественно открытые тексты предназначались для чтения, прослушивания и запоминания, а не для передачи в письменной форме, помогло сформировать санскритскую литературу в целом. ... Таким образом, тексты составлялись в форматах, которые можно было легко запомнить: либо сжатые прозаические афоризмы ( сутры , слово, позже примененное для обозначения правила или алгоритма в целом), либо стихи, особенно в классический период. Естественно, простота запоминания иногда мешала легкости понимания. В результате большинство трактатов были дополнены одним или несколькими комментариями в прозе...»

К каждой из «Шульба-сутр» имеется множество комментариев, но они были написаны намного позже оригинальных произведений. Например, комментарий Сундарараджи к Апастамбе датируется концом 15 века нашей эры. а комментарий Дваракнатхи к Баудхайане, по-видимому, заимствован у Сундараджи. По мнению Стаала, некоторые аспекты традиции, описанной в «Шульба-сутрах», могли «передаваться устно», и он указывает на места на юге Индии, где до сих пор практикуется ритуал огненного алтаря и сохранилась устная традиция. Однако традиция огненного алтаря в Индии практически вымерла, и Плофкер предупреждает, что те районы, где эта практика сохранилась, могут отражать более позднее ведическое возрождение, а не непрерывную традицию. Археологические свидетельства алтарных конструкций, описанных в «Шулба-сутрах», немногочисленны. Большой огненный алтарь в форме сокола ( śyenaciti ), датируемый вторым веком до нашей эры, был найден в 1957-59 годах при раскопках Г. Р. Шармы в Каусамби , но этот алтарь не соответствует размерам, предписанным Шульба-сутрами.

Обложка договора Шулбасутры индийского математика Катьяяны, датированного примерно II веком до нашей эры.

Содержание Шульба-сутр, вероятно, старше самих произведений. « Сатапатха -брахмане» « Тайттирия-самхите» датируется концом второго тысячелетия или началом первого тысячелетия до н. которых и , содержание В Баудхаяна Шульба Сутра.

Происхождение математики в «Шулба-сутрах» неизвестно. Возможно, как предположил Гупта, геометрия была разработана для удовлетворения потребностей ритуала. Некоторые ученые идут еще дальше: Стаал выдвигает гипотезу об общем ритуальном происхождении индийской и греческой геометрии, ссылаясь на схожий интерес и подход к удвоению и другим проблемам геометрического преобразования. Зайденберг, а затем ван дер Варден, рассматривают ритуальное происхождение математики в более широком смысле, постулируя, что основные достижения, такие как открытие теоремы Пифагора, произошли только в одном месте и распространились оттуда по остальному миру. Ван дер Варден упоминает, что автор сутр Сульбха существовал до 600 г. до н.э. и не мог находиться под влиянием греческой геометрии. Хотя Бойер упоминает древневавилонскую математику (ок. 2000 г. до н.э. – 1600 г. до н.э.) как возможное происхождение, ок. 1800 г. до н.э., Табличка Plimpton 322, содержащая таблицу троек, однако также утверждает, что сутры Шульбы содержат формулу, которой нет в вавилонских источниках. К. С. Кришнан утверждает, что сутры Шульбы предшествуют месопотамским тройкам Пифагора. Зайденберг утверждает, что либо «Старая Вавилония получила теорему Пифагора из Индии, либо Старая Вавилония и Индия получили ее из третьего источника». Зайденберг предполагает, что этот источник может быть шумерским и датироваться более 1700 годом до нашей эры. Напротив, Пингри предупреждает, что «было бы ошибкой видеть в работах [строителей алтарей] уникальное происхождение геометрии; другие в Индии и других местах, будь то в ответ на практические или теоретические проблемы, вполне могли продвинуться так далеко без их решения были запомнены или в конечном итоге записаны в рукописях». Плофкер также предполагает, что «существующие геометрические знания [были] сознательно включены в ритуальную практику».

Список Шульба-сутр

1. Апастамба
2. Баудхаяна
3. Дыхание
4. Катяна
5. Майтраяния (чем-то похож на текст Манавы)
6. Вараха (в рукописи)
7. Вадхула (в рукописи)
8. Хираньякешин (похож на Апастамба Шулба Сутры)

Математика

Теорема Пифагора и тройки Пифагора

Сутры содержат утверждения теоремы Пифагора , как в случае равнобедренного прямоугольного треугольника , так и в общем случае, а также списки пифагорейских троек . В Баудхаяне, например, правила сформулированы следующим образом:

1.9. Диагональ квадрата дает двойную площадь [квадрата].
[...]
1.12. Площади [квадратов], полученные по отдельности из длин ширины прямоугольника, вместе равны площади [квадрата], полученной из диагонали.
1.13. Это наблюдается у прямоугольников, имеющих стороны 3 и 4, 12 и 5, 15 и 8, 7 и 24, 12 и 35, 15 и 36.

Точно так же в правилах Апастамбы для построения прямых углов в огненных алтарях используются следующие пифагорейские тройки:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(12,35,37)$

Кроме того, в сутрах описаны процедуры построения квадрата, площадь которого равна сумме или разности двух данных квадратов. Обе конструкции основаны на том, что самый большой из квадратов является квадратом на диагонали прямоугольника, а два меньших квадрата — квадратами на сторонах этого прямоугольника. Утверждение о том, что каждая процедура дает квадрат нужной площади, эквивалентно утверждению теоремы Пифагора. Другая конструкция дает квадрат с площадью, равной площади данного прямоугольника. Процедура заключается в том, чтобы отрезать прямоугольный кусок от конца прямоугольника и приклеить его в сторону, чтобы сформировать гномон с площадью, равной исходному прямоугольнику. Поскольку гномон — это разность двух квадратов, задачу можно решить, используя одну из предыдущих конструкций.

Геометрия

Сутра Баудхаяны Шульбы дает построение геометрических фигур, таких как квадраты и прямоугольники. Он также дает, иногда приблизительные, сохраняющие геометрическую площадь преобразования одной геометрической формы в другую. К ним относятся преобразование квадрата в прямоугольник , равнобедренная трапеция , равнобедренный треугольник , ромб и круг , а также преобразование круга в квадрат. В этих текстах приближения, такие как преобразование круга в квадрат, встречаются рядом с более точными утверждениями. Например, утверждение об обходе квадрата дано в Баудхаяне следующим образом:

2.9. Если желательно превратить квадрат в круг, [шнур длиной в половину диагонали [квадрата] протягивается от центра к востоку [часть его, лежащая за пределами восточной стороны квадрата]; прибавив одну треть [части, лежащей снаружи] к остатку [половины диагонали], рисуется [нужный] круг.

а утверждение квадратуры круга задается как:

2.10. Чтобы превратить круг в квадрат, диаметр делят на восемь частей; одна [такая] часть после разделения на двадцать девять частей уменьшается на двадцать восемь из них и далее на шестую [из оставшейся части] за вычетом восьмой [из шестой части].
2.11. Альтернативно разделите [диаметр] на пятнадцать частей и уменьшите его на две из них; это дает приблизительную сторону квадрата [желаемая].

Конструкции в 2.9 и 2.10 дают значение π как 3,088, а конструкция в 2.11 дает π как 3,004.

Квадратные корни

Строительство алтаря также привело к оценке квадратного корня из 2 , как это показано в трех сутрах. В сутре Баудаяны это звучит так:

2.12. Меру следует увеличить на треть, а эту [третью] снова на свою четверть за вычетом тридцать четвертой части [этой четверти]; это [значение] диагонали квадрата, [сторона которого является мерой].

что приводит к тому, что значение квадратного корня из двух равно:

${\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}=1.4142...$

Действительно, ранний метод вычисления квадратных корней можно найти в некоторых сутрах. , метод использует рекурсивную формулу: ${\sqrt {x}}\approx {\sqrt {x-1}}+{\frac {1}{2\cdot {\sqrt {x-1}}}}$ для больших значений x, что основано на нерекурсивном тождестве ${\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2\cdot a}}$ для значений r чрезвычайно малых по отношению к a .

Это также было предложено, например, Бюрком. что это приближение √2 подразумевает знание того, что √2 иррационально . » Евклида В своем переводе «Начал Хит выделяет ряд вех, необходимых для того, чтобы иррациональность считалась открытой, и указывает на отсутствие доказательств того, что индийская математика достигла этих вех в эпоху Шульба-сутр.

См. также

• Кальпа (Веданга)

Ссылки

• Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN  0-471-54397-7 .
• Бюрк, Альберт (1901). «Апастамба Сулба Сутра, отредактированная, переведенная и с введением» . Журнал Немецкого восточного общества (на немецком языке). 55 :543-591.
• Делир, Жан Мишель (2009). «Хронологические выводы из сравнения комментариев к различным Шулбасутрам ». В Вуястике, Доминик (ред.). Математика и медицина на санскрите . стр. 37–62.
• Брайант, Эдвин (2001). Поиски истоков ведической культуры: дебаты об индоарийской миграции . Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780195137774 .
• Кук, Роджер (2005) [Впервые опубликовано в 1997 году]. История математики: Краткий курс . Уайли-Интерсайенс . ISBN  0-471-44459-6 .
• Датта, Бибхутибхушан (1932). Наука Сульбы. Исследование ранней индуистской геометрии . Университет Калькутты .
• Гупта, Р.К. (1997). «Баудхайана». В Селин, Хелейн (ред.). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Спрингер. ISBN  978-0-7923-4066-9 .
• Хит, сэр Томас Л. (1925) [1908]. Тринадцать книг «Начал» Евклида, перевод с текста Хейберга, с введением и комментариями . Том. Я (2-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
• Пингри, Дэвид (1981), Гонда, Ян (редактор), Джйотихшастра: астральная и математическая литература , История индийской литературы, том. VI, Научно-техническая литература
• Плофкер, Ким (2007). «Математика в Индии». В Каце, Виктор Дж (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-11485-9 .
• Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691120676 .
• Сарма, КВ (1997). «Сулбасутры». В Селин, Хелейн (ред.). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Спрингер. ISBN  978-0-7923-4066-9 .
• Зайденберг, А. (1978). «Происхождение математики». Архив истории точных наук . 18 (4): 301–342. дои : 10.1007/BF00348435 . S2CID   118671661 .
• Зайденберг, А. (1983). «Геометрия ведических ритуалов». В Стаале, Фриц (ред.). Агни: Ведический ритуал огненного алтаря . Беркли: Asian Humanities Press.
• Стаал, Фриц (1999). «Греческая и ведическая геометрия». Журнал индийской философии . 27 : 105–127. дои : 10.1023/А:1004364417713 . S2CID   16466375 .
• Тибо, Джордж (1875). «О Шулвасутрах» . Журнал Азиатского общества Бенгалии . 44 : 227–275.
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1983). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях . Спрингер Верлаг. ISBN  9783642617812 .

Переводы

• «Шулвасутра Баудхаяны с комментарием Двараканатхаяджвана» Джорджа Тибо была опубликована в серии выпусков журнала The Pandit. Ежемесячный журнал Бенаресского колледжа, посвященный санскритской литературе . Обратите внимание, что комментарий остался непереведенным.
  • (1875) 9 (108): 292–298
  • (1875–1876) 10 (109): 17–22 , (110): 44–50 , (111): 72–74 , (114): 139–146 , (115): 166–170 , (116): 186–194 , (117): 209–218
  • (новая серия) (1876–1877) 1 (5): 316–322 , (9): 556–578 , (10): 626–642 , (11): 692–706 , (12): 761–770
• «Шулбапаришишта Катьяяны с комментариями Рамы, сына Сурьядасы» Джорджа Тибо была опубликована в серии выпусков журнала The Pandit. Ежемесячный журнал Бенаресского колледжа, посвященный санскритской литературе . Обратите внимание, что комментарий остался непереведенным.
  • (новая серия) (1882) 4 (1–4): 94–103 , (5–8): 328–339 , (9–10): 382–389 , (9–10): 487–491
• Бюрк, Альберт (1902). «Апастамба Сулба Сутра, отредактированная, переведенная и с введением» . Журнал Немецкого восточного общества (на немецком языке). 56 :327-391. Транскрипция и анализ у Бюрка (1901) .
• Сен, СН; Сумка, АК (1983). Шульба-сутры Баудхаяны, Апастамбы, Катьяяны и Манавы с текстом, английским переводом и комментариями . Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.