Арнольд язык

В математике , особенно в динамических системах , языки Арнольда (названы в честь Владимира Арнольда ) ^[1]^[2] представляют собой наглядное явление, которое возникает при визуализации того, как число вращения динамической системы или другое связанное с ней инвариантное свойство изменяется в зависимости от двух или более ее параметров. Для некоторых динамических систем наблюдалось, что области постоянного числа вращения образуют геометрические формы , напоминающие языки, и в этом случае их называют языками Арнольда. ^[3]

Языки Арнольда наблюдаются в самых разных природных явлениях, которые включают в себя колеблющиеся величины, такие как концентрация ферментов и субстратов в биологических процессах. ^[4] и сердечные электрические волны . Иногда частота колебаний зависит от некоторой величины или ограничивается (т. е. синхронизацией по фазе или моде в некоторых контекстах) на основе некоторой величины, и часто представляет интерес изучение этой зависимости. Например, возникновение опухоли вызывает в этой области серию колебаний вещества (главным образом белков), которые взаимодействуют друг с другом; моделирование показывает, что эти взаимодействия вызывают появление языков Арнольда, то есть частота одних колебаний ограничивает другие, и это можно использовать для контроля роста опухоли. ^[3]

Другие примеры, где можно обнаружить языки Арнольда, включают негармоничность музыкальных инструментов, орбитальный резонанс и приливную синхронизацию орбитальных лун, синхронизацию мод в оптоволокне , системах фазовой автоподстройки частоты и других электронных генераторах , а также в сердечных ритмах , сердечных аритмиях и клеточный цикл . ^[5]

Одна из простейших физических моделей, демонстрирующих синхронизацию мод, состоит из двух вращающихся дисков, соединенных слабой пружиной. Один диск может свободно вращаться, а другой приводится в движение двигателем. Синхронизация мод происходит, когда свободно вращающийся диск вращается с частотой, рационально кратной частоте ведомого вращателя.

Простейшей математической моделью, демонстрирующей синхронизацию мод, является карта круга, которая пытается отразить движение вращающихся дисков через дискретные интервалы времени.

Стандартная круговая карта

Языки Арнольда чаще всего появляются при изучении взаимодействия между осцилляторами , особенно в том случае, когда один осциллятор приводит в движение другой. То есть один осциллятор зависит от другого, но не наоборот, поэтому они не влияют друг на друга взаимно, как это происходит в моделях Курамото , например, . Это частный случай управляемых генераторов с движущей силой, имеющей периодическое поведение. Практический пример: клетки сердца (внешний генератор) производят периодические электрические сигналы для стимуляции сердечных сокращений (ведомый генератор); здесь может быть полезно определить соотношение между частотой осцилляторов, возможно, для разработки более совершенных искусственных кардиостимуляторов . Семейство круговых карт служит полезной математической моделью этого биологического явления, а также многих других. ^[6]

Семейство отображений круга — это функции (или эндоморфизмы ) круга на себя. Математически проще считать точку в окружности точкой $x$ в реальной строке, которую следует интерпретировать по модулю $2\pi$ , представляющий угол, под которым точка расположена в круге. Когда модуль берется со значением, отличным от $2\pi$ , результат по-прежнему представляет собой угол, но его необходимо нормализовать, чтобы весь диапазон $[0,2\pi ]$ можно представить. Имея это в виду, семейство круговых карт определяется следующим образом: ^[7]

\theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega

где $\Omega$ - это «естественная» частота генератора и $g$ представляет собой периодическую функцию, которая дает влияние, вызванное внешним осциллятором. Обратите внимание, что если $g(\theta )=\theta$ для всех $\theta$ частица просто ходит по кругу со скоростью $\Omega$ единицы одновременно; в частности, если $\Omega$ иррационально, карта сводится к иррациональному вращению .

Особая карта круга, первоначально изученная Арнольдом, ^[8] и который продолжает оказываться полезным даже в наши дни, это:

\theta _{i+1}=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i})

где $K$ называется силой сцепления , а $\theta _{i}$ следует интерпретировать по модулю $1$ . Эта карта отображает очень разнообразное поведение в зависимости от параметров. $K$ и $\Omega$ ; если мы исправим $\Omega =1/3$ и варьироваться $K$ , бифуркационная диаграмма получается вокруг этого абзаца, где мы можем наблюдать периодические орбиты , бифуркации удвоения периода, а также возможное хаотическое поведение .

Получение карты круга

Другой способ просмотра круговой карты заключается в следующем. Рассмотрим функцию $y(t)$ который линейно убывает с наклоном $a$ . Как только он достигает нуля, его значение сбрасывается до определенного осциллирующего значения, описываемого функцией $z(t)=c+b\sin(2\pi t)$ . Нас теперь интересует последовательность времен $\{t_{n}\}$ при котором y(t) достигает нуля.

Эта модель говорит нам, что во времени $t_{n-1}$ это действительно так $y(t_{n-1})=c+b\sin(2\pi t_{n-1})$ . С этого момента, $y$ будет уменьшаться линейно до тех пор, пока $t_{n}$ , где функция $y$ равно нулю, что дает:

{\begin{aligned}0&=y(t_{n-1})-a\cdot (t_{n}-t_{n-1})\\[0.5em]0&=\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]-at_{n}+at_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&={\frac {1}{a}}\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]+t_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&=t_{n-1}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}\sin(2\pi t_{n-1})\end{aligned}}

и выбрав $\Omega =c/a$ и $K=2\pi b/a$ мы получаем карту круга, обсуждавшуюся ранее:

t_{n}=t_{n-1}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi t_{n-1}).

Гласс Л. (2001) утверждает, что эта простая модель применима к некоторым биологическим системам, таким как регуляция концентрации веществ в клетках или крови, с $y(t)$ выше представляет собой концентрацию определенного вещества.

В этой модели фазовая синхронизация $N:M$ будет означать, что $y(t)$ сбрасывается точно $N$ раз каждый $M$ периоды синусоидальной $z(t)$ . Число вращения, в свою очередь, будет частным $N/M$ . ^[7]

Характеристики

Рассмотрим общее семейство эндоморфизмов окружности:

\theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega

где для стандартной карты круга мы имеем это $g(\theta )=\theta +(K/2\pi )\sin(2\pi \theta )$ . Иногда также будет удобно представить карту круга в виде отображения $f(\theta )$ :

\theta _{i+1}=f(\theta _{i})=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i}).

Перейдем теперь к перечислению некоторых интересных свойств этих эндоморфизмов окружности.

П1. $f$ монотонно возрастает для $K<1$ , поэтому для этих значений $K$ итерации $\theta _{i}$ двигайтесь по кругу только вперед, никогда назад. Чтобы убедиться в этом, заметим, что производная $f$ является:

f'(\theta )=1+K\cos(2\pi \theta )

что является положительным, пока $K<1$ .

П2. При расширении рекуррентного соотношения получаем формулу для $\theta _{n}$ :

\theta _{n}=\theta _{0}+n\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n-1}\sin(2\pi \theta _{i}).

П3. Предположим, что $\theta _{n}=\theta _{0}{\bmod {1}}$ , поэтому они являются периодическими фиксированными точками периода $n$ . Поскольку синус колеблется с частотой 1 Гц, количество колебаний синуса за период $\theta _{i}$ будет $M=(\theta _{n}-\theta _{0})\cdot 1$ , что характеризует фазовую синхронизацию $n:M$ . ^[7]

П4. Для любого $p\in \mathbb {N}$ , это правда, что $f(\theta +p)=f(\theta )+p$ , что, в свою очередь, означает, что $f(\theta +p)=f(\theta ){\bmod {1}}$ . По этой причине для многих целей не имеет значения, выполняются ли итерации $\theta _{i}$ принимаются по модулю $1$ или нет.

P5 (трансляционная симметрия). ^[9]^[7] Предположим, что для данного $\Omega$ есть $n:M$ фазовая синхронизация в системе. Тогда для $\Omega '=\Omega +p$ с целым числом $p$ , было бы $n:(M+np)$ фазовая синхронизация. Это также означает, что если $\theta _{0},\dots ,\theta _{n}$ является периодической орбитой для параметра $\Omega$ , то это также периодическая орбита для любого $\Omega '=\Omega +p,p\in \mathbb {N}$ .

Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что рекуррентное соотношение в свойстве 2 будет выглядеть следующим образом:

{\begin{aligned}\theta _{n}'&=\theta _{0}+n\Omega '+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{0}+n(\Omega +p)+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{n}+np,\end{aligned}}

так с тех пор

\theta _{n}-\theta _{0}=M

из-за оригинальной фазовой синхронизации, теперь мы имели бы

\theta _{n}'-\theta _{0}=\theta _{n}+np-\theta _{0}=M+np

.

П6. Для $K=0$ всегда будет фазовая синхронизация $\Omega$ является рациональным. Более того, пусть $\Omega =p/q\in \mathbb {Q}$ , то фазовая синхронизация $q:p$ .

Учитывая рекуррентное соотношение в свойстве 2, рациональное

\Omega =p/q

подразумевает:

\theta _{n}=\theta _{0}+n{\frac {p}{q}}

и модуль равенства $1$ будет удерживаться только тогда, когда $n(p/q)$ является целым числом, а первое $n$ это удовлетворяет это $n=q$ . Следовательно:

\theta _{q}=\theta _{0}+p

(\theta _{q}-\theta _{0})=p

означает $q:p$ фазовая синхронизация.

Для иррационального

\Omega

(что приводит к иррациональному вращению ), необходимо было бы иметь

n\Omega =k

для целых чисел

n

и

k

, но тогда

\Omega =k/n

и

\Omega

рационально, что противоречит исходной гипотезе.

Блокировка режима

Число вращения как функция от Ω, при этом K остается постоянным при K = 1.

Для малых и промежуточных значений K (то есть в диапазоне от K = 0 до примерно K = 1) и определенных значений Ω отображение демонстрирует явление, называемое синхронизацией мод или фазовой синхронизацией . В области фазовой синхронизации значения θ _n увеличиваются по существу как рациональное кратное n , хотя в малых масштабах они могут происходить хаотично.

Предельное поведение в областях синхронизации мод определяется числом вращения .

\omega =\lim _{n\to \infty }{\frac {\theta _{n}}{n}}.

^[10]

который также иногда называют номером обмотки карты .

Области фазовой синхронизации, или языки Арнольда, показаны желтым цветом на рисунке справа. Каждая такая V-образная область достигает рационального значения Ω = ⁠ p / q ⁠ в пределе K → 0. Все значения ( K , Ω) в одной из этих областей приведут к такому движению, что число вращения ω = ⁠ п / q ⁠ . Например, все значения ( K ,Ω) в большой V-образной области в центре нижнего рисунка соответствуют числу вращения ω = ⁠ 1/2 ⁠ . Одна из причин, по которой используется термин «запирание», заключается в том, что отдельные значения θ _n могут быть нарушены довольно большими случайными возмущениями (вплоть до ширины язычка для заданного значения K ), не нарушая предельного числа оборотов. То есть последовательность остается «привязанной» к сигналу, несмотря на добавление значительного шума к ряду θ _n . Эта способность «фиксироваться» при наличии шума является центральной в полезности электронной схемы с фазовой автоподстройкой частоты. ^{[ нужна ссылка ]}

Для каждого рационального числа существует область с фиксированной модой. ⁠ п / q ⁠ . Иногда говорят, что карта круга отображает рациональные числа, набор нулевой меры при K = 0, в набор ненулевой меры при K ≠ 0. Самые большие языки, упорядоченные по размеру, встречаются в дробях Фарея . Фиксируя K и делая поперечное сечение этого изображения так, чтобы ω отображалась как функция Ω, получаем «лестницу дьявола», форму, которая в общих чертах аналогична функции Кантора .Можно показать, что при K<1 отображение окружности является диффеоморфизмом и существует только одно устойчивое решение. Однако при K>1 это уже не так, и можно найти области двух перекрывающихся областей запирания. Для круговой карты можно показать, что в этой области могут перекрываться не более двух устойчивых областей синхронизации мод, но существует ли какой-либо предел числа перекрывающихся языков Арнольда для общих синхронизированных систем, неизвестно. ^{[ нужна ссылка ]}

Карта круга также демонстрирует субгармонические пути к хаосу, то есть удвоение периода в форме 3, 6, 12, 24,....

Стандартная карта Чирикова

Стандартное отображение Чирикова связано с отображением круга, имеющим аналогичные рекуррентные соотношения, которые можно записать как

{\begin{aligned}\theta _{n+1}&=\theta _{n}+p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})\\p_{n+1}&=\theta _{n+1}-\theta _{n}\end{aligned}}

обе итерации выполняются по модулю 1. По сути, стандартная карта вводит импульс p _n , которому разрешено динамически изменяться, а не принудительно фиксироваться, как в круговой карте. Стандартное отображение изучается в физике с помощью ударного ротора гамильтониана .

Приложения

Языки Арнольда были применены для изучения

Сердечные ритмы - см. Glass L. et al. (1983) и МакГиннесс, М. и др. (2004)
Синхронизация резонансных туннельных диодных генераторов ^[11]

Галерея

См. также

Штурмовское слово

Примечания

^ Arnol'd, V.I. (1961). "Small denominators. I. Mapping the circle onto itself" . Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya . 25 (1): 21–86. Section 12 in page 78 has a figure showing Arnold tongues.
^ Перевод на английский статьи Арнольда: С. Аджан; В. И. Арнольд; С. П. Демушкин; Ю. С. Гуревич; С.С. Кемхадзе; Н.И. Климов; Ю. В. Линник; А.В. Малышев; П. С. Новиков; Д.А. Супруненко; В.А. Тартаковский; В. Ташбаев. Одиннадцать статей по теории чисел, алгебре и функциям комплексной переменной . Том. 46. Переводы Американского математического общества, серия 2.
^ Jump up to: ^а ^б Дженсен, Миннесота; Кришна, С. (2012). «Вызывание фазовой синхронизации и хаоса в клеточных генераторах путем модуляции движущих стимулов». Письма ФЭБС . 586 (11): 1664–1668. arXiv : 1112.6093 . дои : 10.1016/j.febslet.2012.04.044 . ПМИД 22673576 . S2CID 2959093 .
^ Жерар, К.; Голдбетер, А. (2012). «Клеточный цикл — это предельный цикл» . Математическое моделирование природных явлений . 7 (6): 126–166. дои : 10.1051/mmnp/20127607 .
^ Накао, М.; Энххудулмур, ТЭ; Катаяма, Н.; Карашима, А. (2014). Обучаемость моделей осцилляторов клеточного цикла с экспоненциальным ростом клеточной массы . Конференция общества инженерии в медицине и биологии. IEEE. стр. 6826–6829.
^ Гласс, Л. (2001). «Синхронизация и ритмические процессы в физиологии». Природа . 410 (6825): 277–284. Бибкод : 2001Natur.410..277G . дои : 10.1038/35065745 . ПМИД 11258383 . S2CID 4379463 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Гласс, Л.; Перес, Р. (1982). «Тонкая структура фазовой синхронизации». Письма о физических отзывах . 48 (26): 1772. Бибкод : 1982PhRvL..48.1772G . doi : 10.1103/PhysRevLett.48.1772 .
^ Он изучал это, используя косинус вместо синуса; см. стр. 78 Арнольда VI (1961) .
^ Гевара, MR; Гласс, Л. (1982). «Фазовая синхронизация, бифуркации удвоения периода и хаос в математической модели генератора с периодическим приводом: теория вовлечения биологических осцилляторов и генерации сердечных аритмий». Журнал математической биологии . 14 (1): 1–23. CiteSeerX 10.1.1.476.8649 . дои : 10.1007/BF02154750 . ПМИД 7077182 . S2CID 2273911 .
^ Вайсштейн, Эрик. «Количество обмоток карты» . Математический мир . Проверено 20 июня 2016 г.
^ Ромейра, Б.; Фигейредо, Ж.М.; Айронсайд, Китай; Слайт, Т. (2009). «Хаотическая динамика в резонансно-туннельных оптоэлектронных генераторах, управляемых напряжением». Письма IEEE Photonics Technology . 21 (24): 1819–1821. Бибкод : 2009IPTL...21.1819R . дои : 10.1109/LPT.2009.2034129 . S2CID 41327316 .

Ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Круговая карта» . Математический мир .
Бойленд, Польша (1986). «Бифуркации круговых карт: языки Арнольда, бистабильность и интервалы вращения» . Связь в математической физике . 106 (3): 353–381. Бибкод : 1986CMaPh.106..353B . дои : 10.1007/BF01207252 . S2CID 121088353 .
Гилмор, Р.; Лефранк, М. (2002). Топология хаоса: Алиса в Стретче и Сквизленде . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-40816--6 . - Содержит краткий обзор основных фактов в разделе 2.12 .
Гласс, Л .; Гевара, MR; Шриер, А.; Перес, Р. (1983). «Бифуркация и хаос в периодически стимулируемом сердечном генераторе». Физика D: Нелинейные явления . 7 (1–3): 89–101. Бибкод : 1983PhyD....7...89G . дои : 10.1016/0167-2789(83)90119-7 . - Выполняет детальный анализ сердечного ритма сердца в разрезе круговой карты.
МакГиннесс, М.; Хонг, Ю.; Галлетли, Д.; Ларсен, П. (2004). «Языки Арнольда в кардиореспираторной системе человека». Хаос . 14 (1): 1–6. Бибкод : 2004Хаос..14....1М . дои : 10.1063/1.1620990 . ПМИД 15003038 .

Внешние ссылки

Круговая карта с интерактивным Java-апплетом

[arnold-1] Arnol'd, V.I. (1961). "Small denominators. I. Mapping the circle onto itself" . Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya . 25 (1): 21–86. Section 12 in page 78 has a figure showing Arnold tongues.

[2] Перевод на английский статьи Арнольда: С. Аджан; В. И. Арнольд; С. П. Демушкин; Ю. С. Гуревич; С.С. Кемхадзе; Н.И. Климов; Ю. В. Линник; А.В. Малышев; П. С. Новиков; Д.А. Супруненко; В.А. Тартаковский; В. Ташбаев. Одиннадцать статей по теории чисел, алгебре и функциям комплексной переменной . Том. 46. Переводы Американского математического общества, серия 2.

[jensen-3] Jump up to: ^а ^б Дженсен, Миннесота; Кришна, С. (2012). «Вызывание фазовой синхронизации и хаоса в клеточных генераторах путем модуляции движущих стимулов». Письма ФЭБС . 586 (11): 1664–1668. arXiv : 1112.6093 . дои : 10.1016/j.febslet.2012.04.044 . ПМИД 22673576 . S2CID 2959093 .

[4] Жерар, К.; Голдбетер, А. (2012). «Клеточный цикл — это предельный цикл» . Математическое моделирование природных явлений . 7 (6): 126–166. дои : 10.1051/mmnp/20127607 .

[5] Накао, М.; Энххудулмур, ТЭ; Катаяма, Н.; Карашима, А. (2014). Обучаемость моделей осцилляторов клеточного цикла с экспоненциальным ростом клеточной массы . Конференция общества инженерии в медицине и биологии. IEEE. стр. 6826–6829.

[glass-synchronization-6] Гласс, Л. (2001). «Синхронизация и ритмические процессы в физиологии». Природа . 410 (6825): 277–284. Бибкод : 2001Natur.410..277G . дои : 10.1038/35065745 . ПМИД 11258383 . S2CID 4379463 .

[glass-perez-7] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Гласс, Л.; Перес, Р. (1982). «Тонкая структура фазовой синхронизации». Письма о физических отзывах . 48 (26): 1772. Бибкод : 1982PhRvL..48.1772G . doi : 10.1103/PhysRevLett.48.1772 .

[8] Он изучал это, используя косинус вместо синуса; см. стр. 78 Арнольда VI (1961) .

[9] Гевара, MR; Гласс, Л. (1982). «Фазовая синхронизация, бифуркации удвоения периода и хаос в математической модели генератора с периодическим приводом: теория вовлечения биологических осцилляторов и генерации сердечных аритмий». Журнал математической биологии . 14 (1): 1–23. CiteSeerX 10.1.1.476.8649 . дои : 10.1007/BF02154750 . ПМИД 7077182 . S2CID 2273911 .

[10] Вайсштейн, Эрик. «Количество обмоток карты» . Математический мир . Проверено 20 июня 2016 г.

[11] Ромейра, Б.; Фигейредо, Ж.М.; Айронсайд, Китай; Слайт, Т. (2009). «Хаотическая динамика в резонансно-туннельных оптоэлектронных генераторах, управляемых напряжением». Письма IEEE Photonics Technology . 21 (24): 1819–1821. Бибкод : 2009IPTL...21.1819R . дои : 10.1109/LPT.2009.2034129 . S2CID 41327316 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]