Jump to content

Делитель

(Перенаправлено с Нетривиального делителя )
Делители числа 10 изображены стержнями Кюизенера : 1, 2, 5 и 10.

В математике делитель целого числа также фактором называется целое число которое можно умножить на некоторое целое число, чтобы получить [1] В этом случае также говорят, что кратно Целое число делится число или делится без остатка на другое целое если является делителем ; это подразумевает разделение к не оставляет остатка.

Определение [ править ]

Целое число делится на ненулевое целое число если существует целое число такой, что Это написано как

Это можно прочитать так делит является делителем является фактором или кратно Если не делит тогда обозначение [2] [3]

Существуют две конвенции, различающиеся тем, являются ли они допускается равняться нулю:

  • С соглашением без дополнительных ограничений на для каждого целого числа [2] [3]
  • С соглашением, что быть ненулевым, для каждого ненулевого целого числа [4] [5]

Общие [ править ]

Делители могут быть как отрицательными , так и положительными, хотя часто этот термин ограничивается положительными делителями. Например, существует шесть делителей числа 4; это 1, 2, 4, -1, -2 и -4, но обычно упоминаются только положительные (1, 2 и 4).

1 и −1 делят (являются делителями) каждое целое число. Каждое целое число (и его отрицание) является делителем самого себя. Целые числа, делящиеся на 2, называются четными , а целые числа, не делящиеся на 2, — нечетными .

1, −1, и известны как делители тривиальные Делитель который не является тривиальным делителем, известен как нетривиальный делитель (или строгий делитель [6] ). Ненулевое целое число, имеющее хотя бы один нетривиальный делитель, называется составным числом , а единицы -1 и 1, а также простые числа не имеют нетривиальных делителей.

Существуют правила делимости , которые позволяют по цифрам числа узнавать определенные делители числа.

Примеры [ править ]

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Простые числа имеют ровно 2 делителя, а составные числа выделены жирным шрифтом.
  • 7 делитель 42, потому что поэтому мы можем сказать Также можно сказать, что 42 делится на 7, 42 кратно 7 , 7 делит 42 или 7 делит 42.
  • Нетривиальными делителями числа 6 являются 2, −2, 3, −3.
  • Положительные делители числа 42 — 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
  • Набор , всех положительных делителей 60 частично упорядочен по делимости, имеет диаграмму Хассе :

и Дальнейшие факты понятия

Есть несколько элементарных правил:

  • Если и затем т.е. делимость является транзитивным отношением .
  • Если и затем или
  • Если и затем держится, как и [а] Однако, если и затем не всегда выполняется (например, и но 5 не делит 6).

Если и затем [б] Это называется леммой Евклида .

Если является простым числом и затем или

Положительный делитель это отличается от называется собственный делитель или аликвотная часть Число, которое не делится нацело но оставляет остаток, который иногда называют значительная часть

Целое число число, единственный собственный делитель которого равен 1, называется простым числом . Другими словами, простое число — это целое положительное число, имеющее ровно два положительных делителя: 1 и само себя.

Любой положительный делитель является произведением простых делителей возведен в некоторую степень. Это следствие основной теоремы арифметики .

Число называется совершенным , если оно равно сумме своих собственных делителей, дефектным, если сумма его собственных делителей меньше и обильным , если эта сумма превышает

Общее количество положительных делителей это мультипликативная функция это означает, что когда два числа и относительно простые , то Например, ; восемь делителей числа 42 — это 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. Однако количество положительных делителей не является полностью мультипликативной функцией: если два числа и имеют общий делитель, то может быть неверно, что Сумма положительных делителей это еще одна мультипликативная функция (например ). Обе эти функции являются примерами функций делителей .

Если факторизация простая дается

тогда число положительных делителей является

и каждый из делителей имеет вид

где для каждого

Для каждого природного

Также, [7]

где постоянная Эйлера–Машерони .Одна из интерпретаций этого результата состоит в том, что случайно выбранное положительное целое число n имеет среднее значение.число делителей около Однако это результат вклада чисел с «аномально большим количеством» делителей .

В абстрактной алгебре [ править ]

Теория колец [ править ]

Разделительная решетка [ править ]

В определениях, допускающих, что делитель равен 0, отношение делимости превращает множество неотрицательных , целых чисел в частично упорядоченный набор который представляет собой полную дистрибутивную решетку . Самый большой элемент этой решетки равен 0, а самый маленький — 1. Операция встречи задается наибольшим общим делителем , а операция соединения ∨ — наименьшим общим кратным . Эта решетка изоморфна двойственной решетке подгрупп бесконечной циклической группы Z.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Сходным образом,
  2. ^ относится к наибольшему общему делителю .

Цитаты [ править ]

  1. ^ Тантон 2005 , с. 185
  2. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Харди и Райт 1960 , с. 1
  3. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Нивен, Цукерман и Монтгомери 1991 , с. 4
  4. ^ Симс 1984 , с. 42
  5. ^ Дурбин (2009) , с. 57, Глава III Раздел 10
  6. ^ «FoCaLiZe и Dedukti спешат на помощь для обеспечения совместимости доказательств, Рафаэль Кодерлье и Катрин Дюбуа» (PDF) .
  7. ^ Харди и Райт 1960 , с. 264, Теорема 320.

Ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1c063acd8ffef412029532f421dde84c__1711330380
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/1c/4c/1c063acd8ffef412029532f421dde84c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Divisor - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)