Огромная гравитация

В теоретической физике массивная гравитация — это теория гравитации , которая модифицирует общую теорию относительности , наделяя гравитон ненулевой массой . В классической теории это означает, что гравитационные волны подчиняются уравнению массивной волны и, следовательно, движутся со скоростью ниже скорости света .

Фон

Массивная гравитация имеет долгую и извилистую историю, начавшуюся в 1930-х годах, когда Вольфганг Паули и Маркус Фирц впервые разработали теорию массивного поля со спином 2, распространяющегося на плоском фоне пространства-времени. Позже, в 1970-х годах, стало ясно, что теории массивного гравитона страдают опасными патологиями, включая призрак-режим и разрыв с общей теорией относительности в пределе, когда масса гравитона стремится к нулю. Хотя решения этих проблем некоторое время существовали в трех измерениях пространства-времени, они не были решены в четырех измерениях и выше до работы Клаудии де Рам , Грегори Габададзе и Эндрю Толли (модель dRGT) в 2010 году.

Одна из самых ранних теорий массивной гравитации была построена в 1965 году Огиевецким и Полубариновым (ОП). Несмотря на то, что модель ОП совпадает с моделями массивной гравитации без призраков, заново открытыми в dRGT, модель ОП была почти неизвестна современным физикам, работающим над массивной гравитацией, возможно, потому, что стратегия, которой придерживалась эта модель, сильно отличалась от той, которую используют в этой модели. общепринятое в настоящее время. Массивная двойная гравитация для модели OP может быть получено путем связывания двойного гравитонного поля с ротором его собственного тензора энергии-импульса. Поскольку смешанная симметричная напряженность поля двойной гравитации сравнима с полностью симметричным тензором внешней кривизны теории Галилеонов, эффективный лагранжиан дуальной модели в 4-D может быть получен из рекурсии Фаддеева – Леверье , которая аналогична рекурсии Теория галилеона с точностью до членов, содержащих полиномы следа напряженности поля. Это проявляется и в двойственной формулировке теории Галилеона.

Тот факт, что общая теория относительности модифицируется на больших расстояниях в условиях массивной гравитации, дает возможное объяснение ускоренному расширению Вселенной, не требующему никакой темной энергии . Массивная гравитация и ее расширения, такие как биметрическая гравитация . может дать космологические решения, которые действительно демонстрируют ускорение позднего времени в соответствии с наблюдениями.

Наблюдения гравитационных волн ограничили комптоновскую длину волны гравитона значением λ _g > 1,6 × 10. ¹⁶  m , что можно интерпретировать как ограничение массы гравитона m _g < 7,7 × 10 ⁻²³  эВ / c ² . Конкурентные оценки массы гравитона также были получены на основе измерений Солнечной системы с помощью космических миссий, таких как Кассини и Мессенджер , которые вместо этого дают ограничение λ _g > 1,83 × 10. ¹⁶  м или мг _​ < 6,76 × 10 ⁻²³  эВ /c ² .

Линеаризованная массивная гравитация

На линейном уровне можно построить теорию массивного поля со спином -2. $h_{\mu \nu }$ распространяющаяся в пространстве Минковского . Это можно рассматривать как расширение линеаризованной гравитации следующим образом. Линеаризованная гравитация получается путем линеаризации общей теории относительности вокруг плоского пространства. $g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+M_{\mathrm {Pl} }^{-1}h_{\mu \nu }$, где $M_{\mathrm {Pl} }=(8\pi G)^{-1/2}$ — планковская масса с $G$ гравитационная постоянная . Это приводит к кинетическому члену в лагранжиане для $h_{\mu \nu }$ что согласуется с инвариантностью диффеоморфизма , а также связью с материей вида

$h^{\mu \nu }T_{\mu \nu },$

где $T_{\mu \nu }$ – тензор энергии-импульса . Этот кинетический член и взаимодействие материи вместе взятые представляют собой не что иное, как действие Эйнштейна-Гильберта, линеаризованное относительно плоского пространства.

Массивная гравитация получается добавлением непроизводных членов взаимодействия для $h_{\mu \nu }$. На линейном уровне (т.е. второго порядка по $h_{\mu \nu }$), есть только два возможных массовых члена:

${\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=ah^{\mu \nu }h_{\mu \nu }+b\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}.$

Фирц и Паули показал в 1939 году, что при этом распространяются ожидаемые пять поляризаций массивного гравитона (по сравнению с двумя для безмассового случая), если коэффициенты выбраны так, что $a=-b$. Любой другой выбор откроет шестую, призрачную степень свободы. Призрак — это режим с отрицательной кинетической энергией. Его гамильтониан не ограничен снизу и поэтому неустойчив в распаде на частицы сколь угодно больших положительных и отрицательных энергий. Массовый член Фирца – Паули ,

${\mathcal {L}}_{\mathrm {FP} }=m^{2}\left(h^{\mu \nu }h_{\mu \nu }-\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}\right)$

Таким образом, это единственная непротиворечивая линейная теория массивного поля со спином 2.

Разрыв вДВЗ

В 1970-е годы Хендрик ван Дам и Мартинус Дж. Г. Вельтман. and, independently, Valentin I. Zakharov обнаружил своеобразное свойство массивной гравитации Фирца – Паули: его предсказания не сводятся к предсказаниям общей теории относительности в пределе $m\to 0$. В частности, хотя на малых масштабах (меньше комптоновской длины волны массы гравитона) восстанавливается закон гравитации Ньютона , искривление света составляет лишь три четверти результата, Альбертом Эйнштейном полученного в общей теории относительности. Это известно как разрыв vDVZ .

Меньшее отклонение света можно понять следующим образом. Массивный гравитон Фирца – Паули из-за нарушенной инвариантности диффеоморфизма распространяет три дополнительные степени свободы по сравнению с безмассовым гравитоном линеаризованной общей теории относительности. Эти три степени свободы упаковываются в векторное поле, которое не имеет значения для наших целей, и скалярное поле. Эта скалярная мода оказывает дополнительное притяжение в массивном случае по сравнению с безмассовым случаем. Следовательно, если кто-то хочет, чтобы измерения силы, действующей между нерелятивистскими массами, согласовывались, константа связи массивной теории должна быть меньше, чем у безмассовой теории. Но изгиб света слеп к скалярному сектору, потому что тензор энергии-импульса света бесследен. Следовательно, при условии, что две теории согласны в отношении силы между нерелятивистскими зондами, массивная теория предсказывает меньшее искривление света, чем безмассовая.

Скрининг Вайнштейна

Это утверждал Вайнштейн. два года спустя, что разрыв vDVZ является артефактом линейной теории и что предсказания общей теории относительности фактически восстанавливаются в малых масштабах, когда учитываются нелинейные эффекты, т. е. более высокие, чем квадратичные члены в $h_{\mu \nu }$. С эвристической точки зрения, в области, известной как радиус Вайнштейна , флуктуации скалярной моды становятся нелинейными, а члены ее производной более высокого порядка становятся больше, чем канонический кинетический член. Таким образом, каноническая нормализация скаляра вокруг этого фона приводит к сильно подавленному кинетическому члену, который гасит колебания скаляра в пределах радиуса Вайнштейна. Поскольку дополнительная сила, передаваемая скаляром, пропорциональна (минус) его градиенту, это приводит к гораздо меньшей дополнительной силе, чем мы могли бы рассчитать, просто используя линейную теорию Фирца – Паули.

Это явление, известное как экранирование Вайнштейна , проявляется не только в массивной гравитации, но и в родственных теориях модифицированной гравитации, таких как DGP и некоторых скалярно-тензорных теориях , где оно имеет решающее значение для сокрытия эффектов модифицированной гравитации в Солнечной системе. . Это позволяет этим теориям соответствовать земным и Солнечным тестам гравитации , а также общей теории относительности, сохраняя при этом большие отклонения на больших расстояниях. Таким образом, эти теории могут привести к космическому ускорению и иметь наблюдаемый отпечаток на крупномасштабной структуре Вселенной, не вступая в противоречие с другими, гораздо более строгими ограничениями, налагаемыми наблюдениями ближе к дому.

Призрак Бульвара-Дезера

В ответ на Фрейнда – Махешвари – Шенберга гравитационную модель конечного диапазона , и примерно в то же время, когда были открыты разрыв vDVZ и механизм Вайнштейна, Дэвид Булвар и Стэнли Дезер в 1972 году обнаружили, что общие нелинейные расширения теории Фирца – Паули вновь вводят опасный призрак-режим; тюнинг $a=-b$ которые гарантировали отсутствие этой моды в квадратичном порядке, как они обнаружили, обычно нарушались в кубическом и более высоких порядках, вновь вводя призрак в этих порядках. В результате этот призрак Булвера-Дезера будет присутствовать, например, на крайне неоднородном фоне.

Это проблематично, поскольку линеаризованная теория гравитации, такая как Фирц-Паули, четко определена сама по себе, но не может взаимодействовать с материей, поскольку связь $h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }$ нарушает инвариантность диффеоморфизма. Это необходимо исправить, добавляя новые термины все более и более высокого порядка, до бесконечности . Для безмассового гравитона этот процесс сходится, и результат хорошо известен: мы просто приходим к общей теории относительности. В этом смысл утверждения, что общая теория относительности является единственной теорией (с точностью до условий размерности, локальности и т. д.) безмассового поля со спином 2.

Чтобы массивная гравитация фактически описывала гравитацию, т. е. массивное поле со спином 2, связанное с материей и, таким образом, опосредующее гравитационную силу, аналогичным образом должно быть получено нелинейное завершение. Призрак Булвера-Дезера представляет собой серьезное препятствие на пути к такому начинанию. Подавляющее большинство теорий массивных и взаимодействующих полей со спином 2 страдают от этого призрака и, следовательно, нежизнеспособны. Фактически, до 2010 года широко распространено мнение, что все лоренц-инвариантные теории массивной гравитации обладают призраком Булвера-Дезера. несмотря на попытки доказать, что такое убеждение недействительно. Стоит отметить, что модель dRGT — лучший способ выделить и «разрушить» призрак BD, поскольку обе они разработаны с использованием гамильтоновой обработки и ADM переменных . Но для модели гравитации с конечным диапазоном и модели Огиевецкого и Полубаринова оказывается, что им нужен вариационный принцип Нётер вместе с переопределением и конформным улучшением тензора энергии-импульса как исходного поля .

Массивная гравитация без призраков

В 2010 году был достигнут прорыв, когда де Рам , Габададзе и Толли построили, по порядку, теорию массивной гравитации с коэффициентами, настроенными так, чтобы избежать призрака Булвера-Дезера, путем упаковки всех призрачных операторов (т. е. с более высокой производной) в полные производные. которые не вносят вклада в уравнения движения. Полное отсутствие призрака Булвера-Дезера, по всем приказам и за пределом развязки, впоследствии было доказано Фавадом Хасаном и Рэйчел Розен .

Действие массивной гравитации де Рама – Габададзе – для бесдуховой Толли (dRGT) определяется выражением

$S=\int d^{4}x{\sqrt {-g\;~}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\alpha _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {K} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)\ ,$

или, что то же самое,

$S=\int d^{4}x\ {\sqrt {-g\;}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {X} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)~.$

Ингредиенты требуют некоторых пояснений. Как и в стандартной общей теории относительности, существует кинетический член Эйнштейна – Гильберта, пропорциональный скаляру Риччи. $\ R\$ и минимальная связь с лагранжианом материи $\ {\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\ ,$ с $\ \Phi _{i}\$ представляющие все поля материи, такие как поля Стандартной модели . Новая часть представляет собой массовый термин, или потенциал взаимодействия, тщательно построенный, чтобы избежать призрака Булвера-Дезера, с силой взаимодействия. $m$ что (если ненулевое $\ \beta _{i}\$ являются $\ {\mathcal {O}}(1)\$) тесно связана с массой гравитона.

Принцип калибровочной инвариантности делает выражения избыточными в любой теории поля, снабженной соответствующей калибровкой. Например, в массивном действии Прока со спином 1 массивная часть в лагранжиане $\ {\tfrac {1}{2}}\ m\ A_{\mu }\ A^{\mu }\$ ломает $\ \mathrm {U} (1)\$ Калибровочная инвариантность. Однако инвариантность восстанавливается введением преобразований: $A_{\mu }\to A_{\mu }+\partial _{\mu }\pi ~.$ То же самое можно сделать и для массивной гравитации, следуя эффективной теории поля Аркани-Хамеда, Георги и Шварца для массивной гравитации. Отсутствие разрыва vDVZ в этом подходе мотивировало разработку dRGT-возобновления теории массивной гравитации следующим образом.

Потенциал взаимодействия строится из элементарных симметричных многочленов $\ e_{n}\$ собственных значений матриц $\ \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f\;~}}\$ или $\ \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f\;~}}\ ,$ параметризованный безразмерными константами связи $\ \alpha _{i}\$ или $\beta _{i},$ соответственно. Здесь $\ {\sqrt {g^{-1}f\;~}}\$ является матричным квадратным корнем матрицы $g^{-1}f$. Записано в индексной записи, $\mathbb {X}$ определяется соотношением $\ X^{\mu }{}_{\alpha }\ X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }\ f_{\nu \alpha }~.$ Мы ввели эталонную метрику $f_{\mu \nu }$ для построения члена взаимодействия. Для этого есть простая причина: невозможно построить нетривиальный член взаимодействия (т. е. непроизводный) из $\ g_{\mu \nu }\$ один. Единственные возможности – это $\ g^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }\$ и $\ \det g\ ,$ оба из которых приводят к космологическому постоянному члену, а не к подлинному взаимодействию. Физически, $\ f_{\mu \nu }\$ соответствует фоновой метрике , вокруг которой флуктуации принимают форму Фирца–Паули. Это означает, что, например, нелинейное завершение теории Фирца–Паули вокруг пространства Минковского, приведенное выше, приведет к массивной гравитации dRGT с $\ f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\ ,$ хотя доказательство отсутствия призрака Булвера-Дезера справедливо для общих $f_{\mu \nu }$.

Эталонная метрика преобразуется как метрический тензор при диффеоморфизме.

$f_{\mu \nu }\to f'_{\mu \nu }\!\left(\ X(x)\ \right)\equiv f_{\alpha \beta }\ \partial _{\mu }X^{\alpha }\ \partial _{\nu }X^{\beta }~.$

Поэтому $\ \left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]=X^{\mu }{}_{\alpha }\ X^{\alpha }{}_{\mu }=g^{\mu \alpha }\ f_{\mu \alpha }\ ,$ и подобные члены с более высокими степенями преобразуются как скаляр при том же диффеоморфизме. Для изменения координат $x_{\mu }\to x_{\mu }+\xi _{\mu }$, мы расширяем $\ X^{\mu }=x^{\mu }-\phi ^{\mu }\$ с $\ f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\$ такой, что возмущенная метрика становится:

$h_{\mu \nu }\to h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\phi _{\nu }+\partial _{\nu }\phi _{\mu }-\partial _{\mu }\phi ^{\alpha }\ \partial _{\nu }\phi _{\alpha }\ ,$

а потенциалоподобный вектор преобразуется согласно трюку Штюкельберга как $\ \phi _{\mu }\to \phi _{\mu }+\xi _{\mu }\$ такое, что поле Штюкельберга определяется как $\ \phi ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\left(A_{\nu }-\partial _{\nu }\pi \right)~.$ Из диффеоморфизма можно определить другую матрицу Штюкельберга $\ \mathbb {Y} _{~b}^{a}\equiv f_{bc}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }X^{a}\partial _{\nu }X^{c}\ ,$ где $\ \mathbb {Y} _{~b}^{a}\$ и $\ \mathbb {X} _{~b}^{a}\$ имеют одинаковые собственные значения. Теперь рассмотрим следующие симметрии:

${\begin{aligned}\delta h_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ {\mathcal {L}}_{\xi }\ h_{\mu \nu }\\\delta A_{\mu }&=\partial _{\mu }\pi -m\ \xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ \xi ^{\alpha }\partial _{\alpha }A_{\mu }\\\delta \pi &=-m\ \pi \end{aligned}}$

такой, что преобразованная возмущенная метрика становится:

$h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }A_{\alpha }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }\partial _{\alpha }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }A^{\alpha }-2\ \partial _{\mu }\partial _{\nu }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }\partial ^{\alpha }\ \pi ~.$

Ковариантная форма этих преобразований получается следующим образом. Если режим спиральности-0 (или спин-0) $\ \pi \$ является чистой калибровкой нефизических мод Голдстоуна с $\ \Pi _{\mu \nu }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\pi \ ,$ матрица $\ \mathbb {X} \$ является тензорной функцией тензора ковариантизации

$H_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\Pi _{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\Pi _{\mu \alpha }\Pi _{\beta \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }-\eta _{ab}\nabla _{\mu }\phi ^{a}\nabla _{\nu }\phi ^{b}$

возмущения метрики $\ h_{\mu \nu }\$ такой, что тензор $\ H_{\mu \nu }\$ Штюкельбергизуется по полю $\ \phi ^{a}=A^{a}-\eta ^{a\mu }\nabla _{\mu }\pi ~.$ Режим спиральности-0 преобразуется в результате преобразований Галилея $\ \pi \to \pi +c+v_{\mu }\ x^{\mu }\ ,$ отсюда и название «Галилеоны». Матрица $\ \mathbb {X} \$ является тензорной функцией тензора ковариантизации $\ H_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }-f'_{\mu \nu }\$ возмущения метрики $\ h_{\mu \nu }\$ с компонентами задаются следующим образом:

$\mathbb {X} _{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\ {\mathcal {K}}_{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\ {\mathcal {K}}_{\mu \alpha }{\mathcal {K}}_{\beta \nu }\ ,$

где

${\mathcal {K}}_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-\left({\sqrt {\mathbb {X} \;~}}\right)_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-{\sqrt {\ \eta _{\mu \nu }-H_{\mu \nu }\;~}}$

это внешняя кривизна.

Интересно, что тензор ковариантизации был первоначально введен Махешвари в самостоятельной статье, являющейся продолжением статьи о спиральности. $(2\oplus 0)$ Модель гравитации конечного радиуса действия Фрейнда – Махешвари – Шенберга. В работе Махешвари метрическое возмущение подчиняется условию Гильберта-Лоренца. $\ m^{2}\left(\partial _{\nu }h_{\mu \nu }+q\ \partial _{\mu }h\right)=0\$ в вариации

$\delta ^{*}h_{\mu \nu }=\delta h_{\mu \nu }+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+p\ \eta _{\mu \nu }\ h+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}$

который вводится в массивную гравитацию Огиевецкого–Полубаринова, где $\ p\$ и $\ q\$ предстоит определить. Легко заметить сходство между тензором $\ \mathbb {X} \$ в dRGT и тензоре $\ h_{(p)}^{\mu \nu }=(\eta ^{\mu \nu }-n\ \psi ^{\mu \nu })^{\tfrac {1}{n}}\$ в Махешвари работаю один раз $\ n=2\$ выбран. Также предусмотрена модель Огиевецкого-Полубаринова. $\ n=-{\frac {\ 1\ }{p}}\ ,$ это означает, что в 4D, $\ p=-{\frac {\ 1\ }{n}}=-{\frac {\ 1\ }{2}}\ ,$ вариация $\ \delta h_{\mu \nu }\$ является конформным.

Массивные поля dRGT разделились на две спиральности-2. $\ h_{\mu \nu }\ ,$ две спиральности-1 $\ A_{\mu }\$ и одна спиральность-0 $\ \pi \$ степеней свободы, как и в массивной теории Фирца-Паули. Однако ковариантизация вместе с пределом разделения гарантируют, что симметрия этой массивной теории сводится к симметрии линеаризованной общей теории относительности плюс симметрии $\ U(1)\$ массивная теория, в то время как скалярная теория отделяется. Если $\ v_{\mu }\$ выбирается бездивергентным, т.е. $\ \Box \ \pi =0\ ,$ предел разделения dRGT дает известную линеаризованную гравитацию. Чтобы увидеть, как это происходит, разверните термины, содержащие ${\mathcal {K}}_{\mu \nu }$ в действии в полномочиях $\ H_{\mu \nu }\ ,$ где $H_{\mu \nu }\$ выражается в терминах $\ \phi ^{a}\$ поля типа того, как $\ h'_{\mu \nu }\$ выражается в терминах $\ A^{\mu }~.$ Поля $\ h_{\mu \nu },A_{\mu },\pi \$ заменяются:

${\begin{aligned}{\tilde {h}}_{\mu \nu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ h_{\mu \nu }\\{\tilde {A}}_{\mu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ m\ A_{\mu }\\{\tilde {\pi }}&=M_{\mathsf {Pl}}\ m^{2}\ \pi \\{\hat {h}}_{\mu \nu }&={\tilde {h}}_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }{\tilde {\pi }}\end{aligned}}$

Тогда следует, что в пределе разделения , т. е. когда оба $\ M_{\mathsf {Pl}}\to \infty ,m\to 0,m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}={\mathsf {const.}}\ ,$ Лагранжиан массивной гравитации инвариантен относительно:

1. $\ \delta h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }\ ,$ как в линеаризованной общей теории относительности,
2. $\ \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\pi \ ,$ как в электромагнитной теории Максвелла, и
3. $\ \delta \pi =0~.$

В принципе, эталонная метрика должна задаваться вручную, и поэтому не существует единой теории массивной гравитации dRGT, поскольку теория с плоской эталонной метрикой отличается от теории с эталонной метрикой де Ситтера и т. д. Альтернативно можно подумать о $\ f_{\mu \nu }\$ как константа теории, очень похоже на $\ m\$ или $\ M_{\mathsf {Pl}}~.$ Вместо того, чтобы с самого начала указывать эталонную метрику, можно позволить ей иметь собственную динамику. Если кинетический член для $\ f_{\mu \nu }\$ также является Эйнштейном-Гильбертом, то теория остается свободной от призраков, и мы остаемся с теорией массивной бигравитации , (или биметрическая теория относительности , БР), распространяющая две степени свободы безмассового гравитона в дополнение к пяти у массивного.

На практике нет необходимости вычислять собственные значения $\ \mathbb {X} \$ (или $\ \mathbb {K} \$), чтобы получить $\ e_{n}~.$ Их можно записать непосредственно в терминах $\ \mathbb {X} \$ как

${\begin{aligned}e_{0}\!\left(\mathbb {X} \right)&=1\ ,\\e_{1}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\left[\ \mathbb {X} \right]\ ,\\e_{2}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{2}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{2}-\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]\right)\ ,\\e_{3}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{6}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{3}-3\ \left[\ \mathbb {X} \ \right]\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]+2\ \left[\ \mathbb {X} ^{3}\ \right]\right)\ ,\\e_{4}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\det \mathbb {X} \ ,\end{aligned}}$

где скобки обозначают след , $[\ \mathbb {X} \ ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }\equiv \operatorname {tr} \mathbb {X} ~.$ Это особая антисимметричная комбинация терминов в каждом из $\ e_{n}\$ который отвечает за нединамический рендеринг призрака Булвера-Дезера.

Выбор использования $\ \mathbb {X} \$ или $\mathbb {K} =\mathbb {I} -\mathbb {X}$, с $\ \mathbb {I} \$ единичная матрица является соглашением, поскольку в обоих случаях свободный от призраков массовый член представляет собой линейную комбинацию элементарных симметричных полиномов выбранной матрицы. Можно перейти от одного базиса к другому, и в этом случае коэффициенты удовлетворяют соотношению

$\beta _{n}=(4-n)!\ \sum _{i=n}^{4}\ {\frac {\ (-1)^{i+n}\ }{\ (4-i)!(i-n)!\ }}\ \alpha _{i}~.$

Коэффициенты имеют характеристический полином , имеющий форму определителя Фредгольма . Их также можно получить с помощью алгоритма Фаддеева–Леверье .

Огромная гравитация на языке четвероногих

В 4D ортонормированной тетрадной системе координат у нас есть основания:

${\begin{aligned}e_{~\mu }^{0}&=(-1,0,0,0)\\e_{\mu }^{I}&=(0,e_{i}^{I})\end{aligned}}$

где индекс $i$ относится к трехмерной пространственной составляющей $\mu$-неортонормированные координаты и индекс $I$ относится к трехмерным пространственным компонентам $a$-ортонормированные. Параллельная транспортировка требует спинового соединения. $e^{0\nu }\nabla _{e^{0\nu }}e_{~\mu }^{I}=0.$ Следовательно, внешняя кривизна , соответствующая ${\mathcal {K}}_{\mu \nu }$ в метрическом формализме становится

$K_{j}^{i}\equiv {\frac {1}{2}}\gamma ^{ik}\partial _{t}(\gamma _{kj})=e_{I}^{i}\partial _{t}(e_{j}^{I}),$

где $\gamma _{ij}$ — пространственная метрика, как в формализме ADM и формулировке начального значения .

Если тетрада конформно преобразуется как $e_{i}^{I}\to {e'}_{i}^{I}\equiv a(t)~e_{i}^{I},$ внешняя кривизна становится ${K'}_{j}^{i}={\frac {a}{\dot {a}}}K_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-{\frac {a}{\dot {a}}}e_{I}^{i}\partial _{t}\!\!\left(e_{j}^{I}\right)$, где из уравнений Фридмана ${\frac {a}{\dot {a}}}={\frac {a}{\partial _{t}a}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\Lambda }}}$, и $m\sim 1/{\sqrt {\Lambda }}$ (хотя это спорно ), т.е. внешняя кривизна преобразуется как $K_{j}^{i}\to mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}$. Это очень похоже на матрицу $\mathbb {K}$ или тензор ${\mathcal {K}}_{j}^{i}$.

dRGT был разработан на основе применения предыдущего метода к 5D- модели DGP после рассмотрения деконструкции многомерных теорий гравитации Калуцы-Клейна . в котором дополнительное измерение(я) заменяется серией N узлов решетки , так что метрика более высокой размерности заменяется набором взаимодействующих метрик, которые зависят только от 4D-компонентов.

Наличие матрицы с квадратным корнем несколько неудобно и указывает на альтернативную, более простую формулировку в терминах Фирбейна . Разбиение метрик на фирбены как

${\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }\\f_{\mu \nu }&=\eta _{ab}f^{a}{}_{\mu }f^{b}{}_{\nu }\end{aligned}}$

а затем определение одной формы

${\begin{aligned}\mathbf {e} ^{a}&=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {f} ^{a}&=f^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {i} ^{a}&=\delta ^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\end{aligned}}$

условия взаимодействия без призраков в теории большой гравитации Хасана-Розена можно записать просто как (с точностью до числовых множителей)

${\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {e} ^{d}\\e_{1}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{2}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{3}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{4}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {f} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\end{aligned}}$

Таким образом, с точки зрения Вирбейнов, а не метрик, мы можем довольно ясно увидеть физическое значение свободных от призраков потенциальных членов dRGT: они просто представляют собой все различные возможные комбинации клиновых произведений Вирбейнов двух метрик.

Обратите внимание, что массивная гравитация в метрической формулировке и формулировке Вирбена эквивалентна только в том случае, если выполнено условие симметрии

$(e^{-1})_{a}{}^{\mu }f_{b\nu }=(e^{-1})_{b}{}^{\mu }f_{a\nu }$

удовлетворен. Хотя это верно для большинства физических ситуаций, могут быть случаи, например, когда материя соединяется с обеими метриками или в мультиметрических теориях с циклами взаимодействия, когда это не так. В этих случаях метрическая формулировка и формулировка Вирбена представляют собой разные физические теории, хотя каждая из них распространяет здоровый массивный гравитон.

Новизна массивной гравитации dRGT заключается в том, что это теория калибровочной инвариантности относительно обоих локальных преобразований Лоренца, исходя из предположения, что эталонная метрика $f_{\mu \nu }$ равно метрике Минковского $\eta _{\mu \nu }$и инвариантность диффеоморфизма из существования активного искривленного пространства-времени $g_{\mu \nu }$. Это можно показать, переписав ранее обсуждавшийся формализм Штюкельберга на языке Вирбейна следующим образом.

Читается 4D-версия уравнений поля Эйнштейна в 5D.

$G_{\mu \nu }n^{\mu }n^{\nu }={\frac {1}{2}}\left(R-K^{\mu \nu }K_{\mu \nu }+\left(K_{~\mu }^{\mu }\right)^{2}\right),$

где $n^{\mu }$ — вектор, нормальный к 4D-срезу. Использование определения массивной внешней кривизны $mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I},$ нетрудно видеть, что члены, содержащие внешнюю кривизну, принимают функциональную форму $(f^{a}-e^{a})\wedge (f^{b}-e^{b})\wedge e^{c}\wedge e^{d}$ в тетрадном действии.

Поэтому полное действие дРГТ в тензорной форме с точностью до числовых коэффициентов имеет вид

$S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\int dx^{4}{\sqrt {g}}\left(R+2m^{2}[e_{2}({\mathcal {K}})+e_{3}({\mathcal {K}})+e_{4}({\mathcal {K}})]\right),$

где функции $e_{i}({\mathcal {K}})$ принять форму, подобную форме $e_{i}(\mathbb {X} )$. Тогда с точностью до некоторых числовых коэффициентов действие принимает интегральный вид

$S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\epsilon _{abcd}\int {\Big (}\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land R^{cd}-m^{2}\left[\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {i} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}\right]{\Big )},$

где первый член представляет собой часть Эйнштейна-Гильберта тетрадного действия Палатини и $\epsilon _{abcd}$ является символом Леви-Чивита .

Поскольку предел развязки гарантирует, что $\Box \pi =0$ и $A_{\mu }\to x_{\mu }$ сравнивая $X^{\mu }$ к $\phi ^{\mu }$, уместно подумать о тензоре $\partial _{\mu }\phi ^{a}=\delta _{~\mu }^{a}.$ Сравнивая это с определением 1-формы $\mathbf {i} ^{a},$ можно определить ковариантные компоненты поля кадра $f_{~\mu }^{a}=\partial _{\mu }\phi ^{\nu }\delta _{~\nu }^{a},$ то есть $e_{~\mu }^{a}={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \phi ^{\mu }}}\Lambda _{~b}^{a}e_{~\nu }^{b}$, чтобы заменить $\mathbf {i} ^{a}$ так что последние три члена взаимодействия в действии Вирбена становятся

$S=-{\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}m^{2}\epsilon _{abcd}\int \left[\mathbf {f} ^{a}\land \left(\Lambda _{b'}^{b}\mathbf {e} ^{b'}\right)\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \mathbf {f} ^{c}\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)\right].$

Это можно сделать, поскольку разрешено свободно перемещать преобразования диффеоморфизма. $\partial _{\nu }\phi ^{\mu }$ на эталонный Вирбейн посредством преобразований Лоренца $\Lambda _{~b}^{a}$. Что еще более важно, преобразования диффеоморфизма помогают проявить динамику мод спиральности-0 и спиральности-1, отсюда и легкость их оценки при сравнении теории с ее версией с единственным $U(1)$ калибровочные преобразования при выключенных полях Штюкельберга.

Можно задаться вопросом, почему коэффициенты опущены и как гарантировать, что они будут числовыми и не будут явно зависеть от полей. На самом деле это допускается, поскольку изменение действия Вирбейна относительно локально преобразованных Лоренцем полей Штюкельберга дает этот хороший результат. Более того, мы можем явно решить лоренц-инвариантные поля Штюкельберга, а после подстановки обратно в действие Вирбейна мы можем показать полную эквивалентность тензорной форме массивной гравитации dRGT.

Космология

Если масса гравитона $m$ сравнимо со скоростью Хаббла $H_{0}$, то на космологических расстояниях массовый член может вызвать отталкивающий гравитационный эффект, который приводит к космическому ускорению. Поскольку, грубо говоря, повышенная симметрия диффеоморфизма в пределе $m=0$ защищает небольшую массу гравитона от больших квантовых поправок, выбор $m\sim H_{0}$ на самом деле технически естественно . Таким образом, массивная гравитация может обеспечить решение проблемы космологической постоянной : почему квантовые поправки не приводят к ускорению Вселенной в очень ранние времена?

Однако оказывается, что плоские и замкнутые космологические решения Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера не существуют в массивной гравитации dRGT с плоской эталонной метрикой. Открытые решения и решения с общими эталонными метриками страдают нестабильностью. Следовательно, жизнеспособные космологии можно найти только в условиях массивной гравитации, если отказаться от космологического принципа , согласно которому Вселенная однородна в больших масштабах, или иным образом обобщить dRGT. Например, космологические решения лучше ведут себя в условиях большой гравитации . теория, которая расширяет dRGT, давая $f_{\mu \nu }$ динамика. Хотя они также имеют тенденцию обладать нестабильностью, эти нестабильности могут найти решение в нелинейной динамике (посредством механизма, подобного Вайнштейну) или в переносе эры нестабильности в очень раннюю Вселенную.

3D massive gravity

Особый случай существует в трех измерениях, когда безмассовый гравитон не распространяет никаких степеней свободы. Здесь можно определить несколько бесдуховых теорий массивного гравитона, распространяющего две степени свободы. В случае топологически массивной гравитации у одного есть действие

$S={\frac {M_{3}}{2}}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}(R-2\Lambda )+{\frac {1}{4\mu }}\epsilon ^{\lambda \mu \nu }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }\left(\partial _{\mu }\Gamma _{\rho \nu }^{\sigma }+{\frac {2}{3}}\Gamma _{\mu \alpha }^{\sigma }\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\right),$

с $M_{3}$ трехмерная планковская масса. Это трехмерная общая теория относительности, дополненная термином типа Черна-Саймонса, построенным на основе символов Кристоффеля .

теория, получившая название « новая массивная гравитация» . Совсем недавно была разработана который описывается действием

$S=M_{3}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}\left[\pm R+{\frac {1}{m^{2}}}\left(R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-{\frac {3}{8}}R^{2}\right)\right].$

Связь с гравитационными волнами

Открытие гравитационных волн в 2016 году. и последующие наблюдения дали ограничения на максимальную массу гравитонов, если они вообще массивны. После события GW170104 было обнаружено, что комптоновская длина волны гравитона составляет не менее 1,6 × 10. ¹⁶ м , или около 1,6 световых лет , что соответствует массе гравитона не более 7,7 × 10 ⁻²³ эВ/c ² . Это соотношение между длиной волны и энергией рассчитывается по той же формуле ( соотношение Планка-Эйнштейна ), которая связывает электромагнитного излучения длину волны с энергией фотона . Однако фотоны , обладающие только энергией и не имеющие массы, в этом отношении принципиально отличаются от массивных гравитонов, поскольку комптоновская длина волны гравитона не равна гравитационной длине волны. Вместо этого нижняя граница комптоновской длины волны гравитона составляет около 9 × 10. ⁹ раз больше гравитационной длины волны события GW170104, которая составила ~1700 км. Это связано с тем, что комптоновская длина волны определяется массой покоя гравитона и является инвариантной скалярной величиной.

См. также

• Ускоряющееся расширение Вселенной - космологическое явление
• Альтернативы общей теории относительности - Предлагаемые теории гравитации
• Теория Хорндески
• Биметрическая гравитация - Предлагаемые теории гравитации
• Модель DGP
• Скалярно-тензорная теория - теория в физике со скалярами и тензорами, описывающими силу или взаимодействие.
• Двойная гравитация

Дальнейшее чтение

Обзор статей

• де Рам, Клаудия (2014), «Массивная гравитация», « Живые обзоры в теории относительности » , 17 (1): 7, arXiv : 1401.4173 , Bibcode : 2014LRR....17....7D , doi : 10.12942/lrr-2014 -7 , ПМК   5256007 , ПМИД   28179850
• Хинтербихлер, Курт (2012), «Теоретические аспекты массивной гравитации», Обзоры современной физики , 84 (2): 671–710, arXiv : 1105.3735 , Bibcode : 2012RvMP...84..671H , doi : 10.1103/RevModPhys.84.671 , S2CID   119279950